(2,0pts) Calcule ∫ΓF⃗·dr⃗ onde Γ é qualquer curva fechada, regular por partes, e simples que circunda a origem, e F⃗ é dado por F⃗(x, y) = (−y/(x^2...

Para calcular a integral ∫ΓF⃗·dr⃗, onde Γ é uma curva fechada, regular por partes e simples que circunda a origem, e F⃗ é dado por F⃗(x, y) = (−y/(x^2+y^2), x/(x^2+y^2)), podemos usar o Teorema de Green. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de P e Q em relação a x e y: ∂P/∂y = 1/(x^2+y^2) - 2y^2/(x^2+y^2)^2 ∂Q/∂x = 1/(x^2+y^2) - 2x^2/(x^2+y^2)^2 Agora, vamos calcular a integral dupla de ∂Q/∂x - ∂P/∂y sobre a região Ω limitada pela curva Γ e um círculo C de raio ε suficientemente pequeno com centro na origem e orientado no sentido horário: ∫∫Ω(∂Q/∂x−∂P/∂y)dA = ∫∫Ω(2y^2/(x^2+y^2)^2 - 2x^2/(x^2+y^2)^2)dA = 0 Isso ocorre porque a integral dupla de 2y^2/(x^2+y^2)^2 é igual à integral dupla de 2x^2/(x^2+y^2)^2, e ambas são iguais a πε^2, onde ε é o raio do círculo C. Portanto, pelo Teorema de Green, temos: ∫ΓPdx+Qdy = -∫CPdx+Qdy = 2πε Como ε pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, a integral de linha ∫ΓF⃗·dr⃗ não é zero para qualquer curva fechada Γ que circunda a origem. Portanto, o campo F⃗ não é conservativo. Justificativa: Se um campo vetorial F⃗ é conservativo, então a integral de linha ∫ΓF⃗·dr⃗ é independente da curva Γ escolhida, desde que Γ tenha o mesmo ponto inicial e final. Como a integral de linha ∫ΓF⃗·dr⃗ não é zero para qualquer curva fechada Γ que circunda a origem, o campo F⃗ não é conservativo.