trabalho calculo 2 alterado

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ESTÁCIO DE SÁ – UNIDADE SANTA CRUZ
Matéria: Instalações Prediais Elétricas
Professor: Carlos Britto Jr.
Turma: 3025
Aluno
: Thiago Alves de Oliveira
 
Matrícula: 201402414803
Coordenadas polares (aplicações na física)
Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano escrevendo P = (a,b) onde a é a projeção de P no eixo x e b, a projeção no eixo y. Podemos também descrever a localização de P, a partir da distância de P à origem O do sistema, e do ângulo formado pelo eixo x e o segmento OP, caso PO. Denotamos P = (r,) onde r é a distância de P a O e o ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP, caso PO. Se P = O, denotamos P = (0,), para qualquer . Esta maneira representar o plano é chamada Sistema de Coordenadas Polares.
Em coordenadas polares, podemos ter representações diferentes para um mesmo ponto, isto é, podemos ter P = (r,) e P = (s, ) sem que r = s e = , ou seja (r,) = (s,) não implica em r = s e = . Assim, (r,) não representa um par ordenado, mas sim uma classe de pares ordenados, representando um mesmo ponto.
	
	
Equações Paramétricas (aplicadas na Física)
Movimento Retilíneo Uniforme
A trajetória de um objeto móvel (um automóvel viajando numa estrada, um projétil lançado por um canhão, um satélite em órbita terrestre) descreve uma curva no plano que pode ser representada por uma equação cartesiana, isto é, uma equação envolvendo as variáveis x e y . No entanto, uma equação deste tipo sozinha, não basta para descrever completamente o movimento do objeto: ela não fornece a velocidade desenvolvida pelo automóvel durante o trajeto ou o instante em que o satélite passa sobre um determinado ponto do seu percurso. O problema descrito a seguir tem como objetivo mostrar como um tipo especial de equações pode ser usado para obter informações que relacionam o tempo transcorrido e a posição de um objeto móvel.
Marcos trabalha no Aeroporto Internacional do Rio de Janeiro. Sua função é controlar o tráfico aéreo na região próxima ao aeroporto onde, devido ao grande número de decolagens e aterrisagens, o risco de colisão é muito maior. Durante um único turno de trabalho, Marcos deve analisar centenas de trajetórias percorridas pelos aeroplanos que aparecem na tela do radar, à sua frente. Se os cursos de dois aviões se aproximam perigosamente, Marcos deve avisar a um deles para alterar a sua rota. Para desempenhar sua tarefa com sucesso, Marcos necessita conhecer com precisão, a rota percorrida por cada aeroplano e o instante em que os aviões passam por cada ponto deste percurso.
	A tela do radar com que Marcos trabalha monitora uma área de 3600  ao redor do aeroporto e mostra uma espécie de mapa cartesiano da região: a imagem que aparece na tela é uma janela de [-30,30] por [-30,30] com a torre de controle na origem, conforme mostra o esquema ao lado.
	
Para simplificar o problema, vamos considerar que cada avião viaja em linha reta com velocidade constante. (Na realidade, Marcos deve lidar com mudanças quer na direção seguida pelos aviões, quer na velocidade desenvolvida.) A tabela abaixo mostra as coordenadas (posição) de três aviões no momento em que começa o monitoramento, isto é, no momento em que a imagem aparece na tela (t = 0) e um minuto mais tarde (t = 1).
	
	
	
	
	(-12,-30)
	(-7,-22)
	
	(-9,30)
	(-6,21)
	
	(30,-8)
	(15,-24)
	Pela análise feita acima, podemos concluir que a rota de um dos aviões deverá ser alterada se as retas que descrevem o movimento de cada um deles se cruzarem num mesmo instante , durante o trajeto. As equações cartesianas das retas que descrevem a trajetória dos aviões B e C são, respectivamente,  e  . Veja os gráficos destas equações traçados no plano cartesiano.
	
Apesar da reta que representa o curso seguido pelo avião A cruzar as outras duas, não é possível deduzir, a partir das equações cartesianas deste movimento, se os aviões colidirão ou não. Para obter esta informação é necessário também conhecer em que instante cada avião passa pelo ponto de interseção das duas rotas. A interseção das rotas seguidas pelos aviões A e B se dá no ponto de coordenadas ( 3,-6). Para chegar a esta conclusão basta resolver o sistema  e  . Para decidir se o avião B precisa alterar o seu curso, é necessário saber em que instante os dois aviões estarão sobrevoando este ponto. Para o avião A, isto se dará 3 minutos após o início do monitoramento; para o avião B, 4 minutos após o início do monitoramento, quando o avião A já estará sobrevoando o ponto (8,2). Portanto, neste caso, não há risco de colisão.
As equações x = -12 + 5t e y = -30 + 8t , obtidas no exercício anterior, são exemplos de equações paramétricas. Falando informalmente, um conjunto de equações paramétricas no plano é um par de funções da forma x = f( t ) e y = g( t ) e seu gráfico é uma curva no plano, isto é, o seu gráfico consiste de todos os pontos do plano cujas coordenadas são dadas por ( x , y ) = (f( t ),g( t )). A variável t é chamada de parâmetro. Na maior parte dos problemas práticos, t representa o tempo. Neste caso, as equações paramétricas descrevem a trajetória de um objeto que se move em um plano, fornecendo, em cada instante de tempo t, as coordenadas ( x , y ) deste objeto.
O domínio de um conjunto de funções paramétricas é constituído pelos valores do parâmetro t, que pertencem ao intervalo durante o qual o movimento se processa e a sua imagem (os valores correspondentes de x e y ) é um subconjunto do plano cartesiano.
No exemplo estudado no exercício anterior, o domínio das equações paramétricas x = -12 + 5t e y = -30 + 8t , deduzidas nos itens (f) e (g), pode ser entendido como o intervalo [0; 7,5], isto é, os valores de t compreendidos entre 0 e 7,5 minutos. Este domínio representa o intervalo de tempo desde que se começa a monitorar o movimento dos aviões até o instante em que a imagem sai da tela. A imagem é definida pelos valores de x e y tais que -12 £ x £ 25,5 e -30 £ y £ 30 e corresponde a um retângulo no plano definido por [-12; 25,5] X [-30,30]. O gráfico destas equações, isto é, a trajetória seguida pelo avião enquanto monitorado, é um segmento de reta.
Quando descrevemos um movimento por meio de equações paramétricas, expressamos x e y como funções de t. Assim, t é a variável independente de ambas as funções. Consequentemente, a frase "domínio das funções paramétricas" se refere a valores de t e "imagem das funções paramétricas" se refere a valores de x e y. Ao considerarmos a equação em x e y correspondente a este movimento, a variável independente passa a ser x e a imagem os valores correspondentes de y . Esta situação é resumida no quadro abaixo.
	Modelo
	Função(ções)
	Domínio
	Imagem
	Paramétrico
	x = -12 + 5t
y = -30 + 8t
	0 £ t £ 7,5
	-12 £ x £ 25,5
-30 £ y £ 30
	Cartesiano
	
	-12 £ x £ 25,5
	-30 £ y £ 30
As equações cartesianas e as equações paramétricas deduzidas no exercício anterior funcionam, ambas, como modelos analíticos (algébricos) para a trajetória dos aviões e apresentam vantagens e desvantagens, dependendo da informação que queremos obter. É útil e importante saber deduzir os dois tipos de equações a partir de uma situação problema e obter uma a partir da outra. As equações paramétricas envolvem uma variável extra, em geral o tempo, e à primeira vista, por envolver mais do que uma equação, parecem ser mais complicadas do que a (única) equação cartesiana para descrever o movimento em questão. No entanto, como já vimos, equações paramétricas permitem relacionar a posição do objeto com tempo transcorrido, o que a equação cartesiana não permite. Além disso, eliminando o parâmetro, a partir das equações paramétricas, podemos reconstruir o modelo cartesiano, e assim obtertodas as informações fornecidas somente pela equação cartesiana, como por exemplo, a declividade da trajetória seguida. O exemplo a seguir mostra como isto pode ser feito.
As equações paramétricas que descrevem a trajetória seguida pelo avião A no problema estudado, são dadas por x = -12 + 5t e y = -30 + 8t. Para, a partir destas equações, obter a equação cartesiana deste movimento, basta resolvermos a primeira destas equações para t e, a seguir, substituir o resultado obtido na segunda equação, como fazemos a seguir.
Da primeira equação obtemos . Substituindo este resultado na segunda equação temos que é a equação cartesiana obtida no item (a) do exemplo estudado. Este fato vem comprovar que os dois modelos, de fato, descrevem a mesma trajetória.
Derivadas Parciais de 1º e 2º ordem (Aplicadas na Física)
Objetivo mostrar algumas das aplicações das derivadas em diversos ramos das ciências exatas, bem como seu surgimento através da história da matemática. Nele será feita abordagem de conceitos, definições e técnicas de derivação importantes para a aplicação deste conteúdo.
Uma equação diferencial parcial ou equação de derivadas parciais (EDP) é uma equação envolvendo várias funções incógnita de várias variáveis independentes e dependente de suas derivadas. Estas equações surgem naturalmente em problemas de física matemática, física e engenharia. O estudo das equações diferenciais parciais é uma das áreas com mais intensa pesquisa em matemática, despertando interesse também em contextos de matemática pura. Descrevem fenômenos físicos cujo comportamento depende da posição, tais como eletrostática, eletrodinâmica, eletromagnetismo, dinâmica dos fluidos, difusão do calor, propagação de ondas. Muitas vezes, fenômenos físicos totalmente distintos podem ser modelados idênticas.
Um problema simples de EDP consiste em buscar uma solução suave  satisfazendo: 
que admite solução 
O próximo exemplo é um caso particular da equação do transporte:  
onde  é uma função classe  e
 é uma função contínua dada e  é a incógnita.
A solução desta equação é dada por: 
Classificação de EDP's de 2ª ordem
As equações diferenciais parciais (EDP) de 2ª ordem podem ser classificadas em três tipos: hiperbólicas, parabólicas e elípticas. Se a solução de um problema for descrito pela variável u = u(x,y), a EDP que expressa a relação entre u e as variáveis independentes x e y pode ser escrita, genericamente, como1 :
Na qual a, b, c, d, f e g são constantes ou funções das variáveis independentes x e y. Os coeficientes a, b e c são tais que:
Se os coeficientes a, b e c forem constantes, pode-se classificar as EDPs lineares de forma análoga às curvas cônicas tridimensionais, através das seguintes relações:
EDPs hiperbólicas: , raízes reais e distintas.
EDPs parabólicas: , raízes reais e idênticas.
EDPs elípticas: , raízes conjugadas complexas.
A classificação das EDPs nos três grupos representativos tem importância na sua análise teórica, na descrição de métodos numéricos e nas aplicações. A tabela a seguir mostra as principais EDP's de 2ª ordem e suas respectivas classificações:
	Nome
	Classificação
	Equação
	Equação de Laplace
	elíptica
	
	Equação de Poisson
	elíptica
	
	Equação de Fourier
	parabólica
	
	Equação da onda
	hiperbólica
	
Equação de Poisson
A equação de Poisson descreve o potencial elétrico em eletrostática. Também modela estados estacionários (sem variação no tempo) da equação do calor.
Equação do calor
Se  representa a temperatura num instante , na posição  sobre uma barra, a equação de transferência de calor em uma dimensão é:
onde  é uma constante. A função  é a variável dependente, e  e  são as variáveis independentes.
Equação da onda
Uma função de onda, em duas dimensões, é uma função  solução da equação
onde  é uma constante (velocidade de propagação). Neste caso, existem 3 variáveis independentes, nomeadamente, as duas coordenadas espaciais  e , e o tempo .
Equação de Laplace
O potencial eletrostático , numa região onde não existam cargas, verifica a equação:
Os exemplos anteriores correspondem todos a equações lineares, nas quais uma combinação linear de soluções é também solução.
Equação de Burgers
A equação de Burgers modela processos convectivos unidimensionais:
A função que fornece s em função de t: s= s(t), Chamada de equação horária. Sendo dado um instante t0 e sendo t um instante diferente de t0, chama-se velocidade escalar média do ponto entre os instantes t0 e t o quociente:
	
	
A Diferenciação está presente não apenas no ensino da matemática como no estudo da inclinação de retas, mas no ensino da física, onde pode ser determinada a velocidade e aceleração de um objeto, por exemplo, na economia empresarial, em atividades como a maximização da capacidade de embalagens e minimização de custos. Como taxa de variação ela mostra sua importância em diversos ramos das ciências tais como física, biologia, química, economia, entre outros.
Regra da cadeia
Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.
Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abscissa e onde essa diferença é infinitamente pequena (dy/dx).
A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.
A regra da cadeia afirma que
que em sua forma sucinta é escrita como: 
Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é
Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a regra da substituição.
Exemplo 1: Considere . Temos que  onde  e Então,
	
	
	
	
Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo:
pode ser escrita como  com  e . A regra da cadeia afirma que
desde que  e .
Regra da cadeia para várias variáveis
A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função  onde  e , então
Suponha que cada função de  é uma função de duas variáveis tais que  e , e que todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a:
Se considerarmos  acima como um vetor função, podemos então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima como o produto escalar do gradiente de  e a derivada de :
Em geral, para funções de vetores a vetores, a regra da cadeia afirma que a Matriz Jacobiana da função composta é o produto de matrizes Jacobianas de duas funções:
Aplicações na Física:
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES – REGRA DA CADEIA A transformação de unidades segue regras algébricas simples e pode ser realizada sistematicamente pela “regra da cadeia”. Vejamos a seguir alguns exemplos de transformações por esse método:
	Derivadas direcionais
As derivadas parciais nos fornecem as taxas de variação de uma função em direções paralelas aos eixos coordenados x, y e z. No entanto, cabe-nos perguntar se podemos calcular as taxas de variação em relação a uma direção qualquer. A resposta é afirmativa e, para isso, utilizamos as derivadas direcionais.
Suponha que queiramos calcular a taxa de variação instantânea de f(x, y) em relação à distância em um certo ponto (x0, y0). Há uma infinidade de direções nas quais um ponto pode se mover em um plano. Portanto, vamos utilizar um vetor unitário para descrever uma direção específica que comece em (x0, y0).
Vamos considerar o vetor unitário u = u1i + u2j que comece em (x0, y0) e aponte na direção que queremos. Esse vetor determina uma reta que pode ser expressa como x = x0 +su1 ; y = y0 +su2, onde s é o parâmetro.
Se s é igual a 0, o ponto (x, y) da reta está no ponto de referência (x0,y0) e, à medida que s cresce, esse ponto se movimenta pela reta na direção e no sentido de u. Logo, a derivada dz/ds em s = 0 nos fornece a taxa de variação instantânea de f(x, y) em relação à distância de (x0, y0)  na direção e sentido do vetor u.
Portanto, a derivada direcional de f na direção e sentido de u pode ser calculada através da fórmula Duf (x0, y0)  = d[f(x0 +su1, y0 +su2)]/ds quando s=0.
Além dessa definição formal, existe outro método, mais fácil, para calcularmos a derivada direcional de uma função f(x, y) na direção de um vetor unitário u: basta multiplicarmos as derivadas direcionais em relação a cada uma das variáveis da função pelas coordenadas correspondentes do vetor. Logo, também podemos expressá-la por Duf (x0, y0)  = fx (x0, y0)u1 + fy (x0, y0)u2.
É importante notar que o resultado da derivada direcional será um escalar e que o vetor deve ser unitário. Muitas vezes, nos é fornecido um vetor não unitário e, portanto, faz-se necessário normalizá-lo, ou seja, dividí-lo por sua norma, antes de começar a fazer os cálculos.
A derivada direcional é um valor escalar que representa a derivada de um campo
O gradiente pode ser usado para determinar a direção de máximo crescimento ou decrescimento de um fluxo em um campo escalar, pois nos mostra a alteração no valor de uma quantidade por unidade de tempo.
Gradiente em outras coordenadas: Coordenadas cilíndricas:
Coordenadas esféricas:
Física Matemática – Physics ACT
O divergente mede a magnitude de uma fonte ou um sorvedouro de um campo vetorial em um determinado ponto. Assim ele pode ser considerado um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto.
O divergente de um vetor % multiplicado por função escalar é dado por:
Efetuando as derivadas temos
Onde
Física Matemática – Physics ACT
Divergente em outras coordenadas: Coordenadas cilíndricas:
Coordenadas esféricas:
É um operador que calcula por uma superfície infinitesimal o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam do vetor normal a superfície. O rotacional de um campo vetorial é também um campo vetorial.
Existe uma relação entre rotacional e aspectos rotacionais do movimento. Imagine um campo vetorial % que representa o campo de velocidade de um fluido e consideramos uma partícula situada no ponto, As partículas situadas numa vizinhança deste ponto, tendem a rotacionar ao redor do eixo formado pelo vetor 5% ; o comprimento deste vetor é a velocidade com que as partículas se movem ao redor deste eixo. Se 5% 0, o fluido é chamado de irrotacional, ou seja, está livre de rotações na vizinhança do ponto *.
Física Matemática – Physics ACT
Rotacional em outras coordenadas: Coordenadas cilíndricas:
Coordenadas esféricas:
Ou seja
Laplaciano em outras coordenadas: Coordenadas cilíndricas:
Física Matemática – Physics ACT
Coordenadas esféricas:
A demonstração é um pouco longa, porém nada trabalhosa. EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES:
A equação de Navier-Stokes descreve o escoamento de um fluido newtoniano. Permite encontrar os campos de velocidade e de pressão em um escoamento.
Física Matemática – Physics ACT
* Campos conservativos escalar definida em R. Nesse caso, a função é chamada função potencial de % na região R e a imagem de um ponto de R pela é o potencial neste ponto.
Um campo vetorial % é conservativo se, e somente se, ele pode ser escrito como o gradiente de um campo escalar, ou seja:
Onde é o potencial desse campo % E para qualquer campo conservativo o rotacional é igual a zero.
Porém nem todo campo irrotacional é conservativo. Para um campo conservativo temos também que:
H φdx 0 Dessa forma temos definido um campo conservativo.
Aplicações na Física
Derivada direcional Segundo Thomas (2009), através do cálculo da derivada direcional podemos então encontrar a taxa de variação de uma função f em relação a uma direção a uma determinada direção, como por exemplo, o curso de um rio, onde a direção do curso do rio é perpendicular aos contornos ou margens do mesmo. Thomas (2009) descreve definição da derivada direcional de uma função de duas variáveis por uma questão de comodidade, mas essa definição se estende, de maneira natural, acrescentando mais coordenadas, para as funções de mais do que duas variáveis.