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Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 118 Parte 2 DINÂMICA z x y T1 T2 2m 1,5m G 1979 Mecânica B A G V a b c Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 119 Neste Capítulo os assuntos principais são: (1) Principio Impulso-Momentum cujo caso particular é o Princípio de Conservação de Momentum; (2) Colisões, onde se utiliza o Principio de Conservação de Momentum e o conceito de coeficiente de restituição de dois materiais; (3) Princípio Impulso-Momento Angular que possui como especial caso o Princípio de Conservação de Momento Angular . 7.1 – Princípio Impulso-Momentum 7.1.1 - Definição de Momentum ou Momento Linear ou Quantidade de Movimento 1) É o produto da massa do corpo pelo seu vetor velocidade de seu centro de massa (CM ou G). MCvmp rr = (kg.m/s) Gvmp rr = (kg.m/s) kvmjvmivmp GzGyGx rrrr ++= kpjpipp zyx rrrr ++= 2) O momentum é uma medida da quantidade de inercía e quantidade de movimento que um corpo possui em relação a um Sistema de Referencia Inercial. O momentum, no entanto, depende do Sistema de Referencia Inercial (SRI) escolhido, pois dependendo da velocidade constante do SRI a partícula possui outra velocidade em relação a este outro SRI. Um cometa que vem se chocar contra a terra, tem momentum zero em relação a um SRI ligado a ele e momentum enorme em um SRI ligado à terra. O mesmo ocorre com a energia de um corpo, que depende do SRI escolhido. 3) A sua variação caracteriza o impulso resultante que pode ser compartilhado com outro corpo no caso de uma colisão. 4) O momentum carrega as informações da quantidade de inércia do corpo, junto com a energia do movimento na sua velocidade apresentado no valor do produto de sua massa pela sua velocidade. É caracterizado por dois aspectos: (a) o primeiro é devido à massa, que é uma medida da dificuldade de se tirar o corpo do estado em que se encontra, ou seja, uma medida da sua inércia; (b) o segundo seria o valor de sua velocidade que também caracteriza, uma vez que se for grande a velocidade em relação a um sistema de referência em questão, precisará de uma grande força agindo durante um intervalo de tempo, para diminuir ou aumentar ainda mais a sua velocidade. 5) O produto da massa pela velocidade dá características dinâmicas ao corpo na qual ele pode transferir este momentum a outro corpo, total ou parcialmente, produzindo transferência de energia durante a produção de troca ou mistura de momentos lineares nos impulsos de um corpo ao outro nos intercâmbios da dinâmica. a) Momentum de um Sistema de Partículas ___________________________________________________________ Capítulo 7 Impulso e Momento ___________________________________________________________ CM MCv rm2 2v r 1v r m n nv r MCp r m1 Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 120 O momentum total de um conjunto de partículas é dado pela somatória do produto da massa de cada partícula pela sua velocidade. No entanto, este momentum total pode ser expresso pelo produto massa total pela velocidade do Centro de Massa, ou seja o momentum como se todo ele estivesse concentrado no Centro de Massa do corpo: MM CCiitotal pvmvmp rrrr === ∑ uma vez que a posição do Centro de Massa é i ii C m mr r M ∑ ∑= r r derivando, im imiv) im imir( dt d dt MCrd MCv ∑ ∑ ∑ ∑ === rrrr Assim podemos definir a velocidade do centro de massa do sistema de partículas como: i ii C m mv v M ∑ ∑= rr b) Momentum de um Corpo Rígido MM CCtotal pvmdmvp rrrr === ∫ Assim podemos definir velocidade do centro de massa de um Corpo Rígido: m dmv v MC ∫= rr c) Momentum de um Sistema de Corpos Rígidos No caso de um Sistema de Corpos Rígidos, podemos separá-los em partes de Centros de Massa conhecidos e calcular pelo Somatório como se em cada centro estivesse concentrado toda a parte do corpo rígido e calcular: MCiMCiCM vmvmp rrr == ∑ Podemos observar que o Centro de Massa do conjunto de partes do corpo, condensa toda uma representatividade do corpo, em uma dimensão zero, um ponto, o Centro de Massa, não só da distribuição de Massa, mas também da distribuição de Velocidades, de momentos lineares, de Acelerações e Forças. No que se refere ao movimento de rotação do corpo rígido, podemos complementar o movimento do corpo, mas que é válido para todos os pontos do corpo com a velocidade angular, aceleração angular, momento angular orbital e spin e o torque resultante, complementando a descrição do corpo de forma mais completa sob o aspecto mecânico. 7.1.2 – Definição de Impulso Def.: Impulso ou Impulso linear ou Impulso de uma força: É o efeito produzido, resultante da ação de uma Força que atua sobre o corpo durante um certo intervalo de tempo: ∫= 2 1 t t dtFI rr (N.s) kIjIiII zyx rrrr ++= Impulso de uma força: Um jogador de tênis ao bater com sua raquete sobre uma bolinha de tênis, aplica sobre ela uma força durante um intervalo de tempo bem pequeno, comunicando-lhe uma variação no seu momentum, ou seja, dando-lhe um impulso para o lado desejado. a) Impulso de uma força constante tFttF tFdtFdtFI tt t t t t ∆=−= ==== ∫∫ .)( . 12 2 1 2 1 2 1 rr rrrr = Área do “retângulo” t1 t2 F t I = ∫ F dt = Área sob a curva até o eixo dos tempos t1 t2 F t F CM MCv r Cv r Av r Bv r MCp r A B C dm Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 121 Def.: Valor médio de uma função contínua f qualquer em um intervalo ∆x: A área abaixo da curva se iguala com a área de um retângulo. A altura do retângulo é o valor da função média neste intervalo. b) Força Média em um Impulso A Força a média aplicada a um corpo em um Impulso. Será dada pela integral da força neste intervalo de tempo, dividida pelo mesmo intervalo de tempo ∆t. ∫2 1 t t dtF = Área sob a curva = = tF ∆. = Área do retângulo = Impulso ∫=∆=− 2 1 t t 12 dtFt.F)tt(.F = Impulso t IdtF t 1F 2 1 t t ∆ =∆= ∫ A Força Média é a força em que a área A sob curva Força vs. tempo é substituída por uma Força constante neste intervalo de tempo, cuja área do seu retângulo, seja igual à área sob a curva, caracterizando a Força Média da função contínua acima. 7.1.3 - Princípio Impulso- Momentum (PIM) Chamamos de Princípio Impulso-Momentum ou Teorema do Impulso ou Impulso da Força Resultante: a seguinte dedução ou demonstração a seguir: ∫ ∑∫ == 2 1 2 1 t t i t t RR dtFdtFI rrr ==== ∫∫∫ vdmdtdt vdmdtamI t t t t R rrrr 2 1 2 1 1212 )( 2 1 ppvvmvdmI v v R rrrrrr r r −=−== ∫ pIR rr ∆= ou como a definição de força dada por Newton em1660: vm dt d dt pdFR rrr == onde am dt vdm)vm( dt d dt pdFR rrrrr ==== que a força resultante é a variação do momento linear no tempo. Também podemos fazer: ∫ ∫∫ ∆=−===== 2 1 2 1 2 1 2 1 12 t t t t t t t t RR pppppddtdt pddtFI rrrrrrrr Desta forma: pIR rr ∆= “O impulso da força resultante é igual à variação do momentum do corpo.” Que caracteriza o chamado Princípio Impulso- Momento a seguir. Partindo do Impulso da força resultante temos: 12R ppI rrr −= 2R1 pIp rrr =+ ∫ =+ 2 1 t t 2R1 vmdtFvm rrr x2 f x f x2 x1 ∫=∆ dxfxf ∫∆= 2 1 x x dxf x 1f t1 t2 F t F Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 122 Considerando a velocidade inicial 1v r como v r representando a velocidade do corpo em um tempo t, antes das interação e fazendo a velocidade final 2v r como 'v r em um tempo t’, depois da interação, e a velocidade inicial como v r , antes da interação, temos : ∫ =+ 't t GRG 'vmdt.Fvm rrr Podemos enunciar: Podemos escrever esta equação vetorial em três equações escalares independentes, uma vez que são LI e ortogonais: ( )∫ ∑ =+ 't t xxx 'vmdt.Fvm ( )∫ ∑ =+ 't t yyy 'vmdtFvm ( )∫ ∑ =+ 't t zzz 'vmdt.Fvm Princípio Impulso-Momentum para um Sistema de Partículas: ∫ ∑∑∑ =+ 't t iiiii 'vmdt.Fvm rrr Para um Sistema de Corpos Rígidos interligados vale: ∫∑ =+ 't t CMiRCM 'vmdt.Fvm rrr 7.1.4 - Princípio de Conservação de Momentum (PCM) Def.: Sistema Isolado: Um sistema é denominado Isolado quando: (a) a Força Resultante é nula ou (b) o Impulso Resultante é nulo. Princípio de Conservação de Momentum: “Um Sistema Isolado, sempre conserva o seu momentum.” Do Princípio Impulso Momentum para um Sistema isolado obtemos: .const'pp == rr .' constvmvm == rr Para um Sistema de duas Partículas: .const'p'ppp 2121 =+=+ rrrr onde para um sistema de Partículas: .constvm'vmvm CMiiii === ∑∑ rrr Para um corpo rígido: Para um Sistema de Partículas: .' constpp ii == ∑∑ rr onde para um sistema de Partículas: .constvm'vmvm CMiiii === ∑∑ rrr Para um corpo rígido: .' constvmvm CMCM == rr ou ∫∫ === .' constvmdmvdmv CMrrr A conservação de momentum ocorrerá para um instante de tempo qualquer em que o sistema permaneça isolado. Para um Sistema de 2 partículas, cte'p'ppp 2121 =+=+ rrrr Debate sobre: 1) Quando um astronauta se movimenta no espaço interplanetário, no vácuo, falta-lhe ponto de apoio, portanto mantém-se com velocidade constante. Considere uma arma de jatos de combustível emitido em altas velocidades. Como haverá conservação de momentum entre dois corpos isolados. A manutenção da velocidade constante do centro de massa do Sistema se mantém? .const'vmvmvm ccAA ==+ rrr 2) Avião à hélice, apoio na atmosfera de ar. 3) Avião à jato. “O momentum inicial de um corpo somado ao impulso da força resultante que atua sobre o corpo, num certo intervalo de tempo, resulta no momentum final do corpo.” “Um sistem Isolado, livre da ação de forças e torques, sempre conserva seu momentum ao longo do tempo.” Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 123 4) Avião de turbina, mistura intermediária entre ar e combustível. 5) Foguete. Como um foguete se movimenta no espaço vazio e sai da ação do campo gravitacional da Terra com a velocidade de escape de 11,2 km/s. Os vários estágios de combustível do foguete. 6) Nave espacial ou cápsula do foguete. Reentrada na atmosfera. 7.1.5 - Princípio de Conservação de Energia Mecânica “Se um corpo não tiver perdas de energia, em um determinado intervalo de tempo, então sua energia mecânica se conserva.” E M = K1 + UP1 = K 2 + UP2 = const. onde: E M = Energia Mecânica = K + UP K = Energia Cinética (K = kinesis) UP = Energia Potencial EC translação = k = Energia cinética de translação = m v 2 / 2 EC rotação = k R = Energia cinética de rotação = I ω2 / 2 Def.: As Perdas ou dissipações de energia de um corpo pode ocorrer nas interações com outros corpos em que há transformações de energia de um tipo em outro (exceto de cinética para potencial e vice-versa): (a) Atrito – dissipação de energia por fricção entre corpos (b) Resistência do ar (energia dissipada por atrito do ar com o corpo) (c) Colisões parcialmente elásticas - (energia de deformação dos materiais) (d) Irradiação de ondas eletromagnéticas (e) Trocas de Energia Térmica (esfriamento do corpo) (f) Emissão de ruído (energia acústica ou sonora), etc. 7.2 – Corpos em Colisão Como definição a linha de colisão entre dois corpos é aquela que liga os centros de massa dos corpos. As velocidades na direção de colisão sofrem variação, após a colisão de acordo com o coeficiente de restituição dos corpos de antes para após a colisão. A figura abaixo mostra uma colisão genérica não central em que se define a direção de colisão e a direção perpendicular à colisão. Na direção de colisão (y): As velocidades variam, na direção de colisão (y), no entanto, (a) mantém-se invariante, a soma dos momentos lineares (momentum), antes e após a colisão: a) Princípio de Conservação de Momentum antes e após a colisão: yyyy BABA pppp '' rrrr +=+ UP gravitacional = m g h UP = Energia Potencial UP elástica = k x 2 / 2 UP elétrica = q ∆V Av ' r y x Projeção das velocidades dos corpos, após a colisão. v’Ay v’By vBx vAx Y ’ X ’ Av r Bv r A'v r B'v r y x Direção de colisão (y) Direção perpendicular à direção de colisão (x ) θ θ Av r Bv r y x Projeção das velocidades dos corpos, antes da colisão nas direções de colisão y e perpendicular a ela x . vBy vAy vAx vBx θ θ Bv ' r Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 124 yyyy BBAABBAA vmvmvmvm '' rrrrr +=+ (b) faz valer a relação existente entre os materiais que colidem entre si que é a relação do coeficiente de restituição: Coeficiente de restituição: oaproximaçãderelativa oafastamentderelativa v v e = yy yy BA AB vv vv e − − = '' Na direção perpendicular à colisão (x): Na direção perpendicular à direção de colisão, ou seja, a direção x da figura, também haverá conservação de momentum e mais do que isto, as velocidades nesta direção se mantém invariantes antes e após a colisão. xxxx BBAABBAA vmvmvmvm '' rrrrr +=+ Se as partículas se separam após a colisão, as velocidades na direção normal â colisão se mantém invariantes: xxxx BBAA vvvv ';' rrrr == ou seja mantém-se as mesmas, nesta direção, antes e após a colisão. b) Coeficiente de Restituição em uma Colisão Central Consideremos por simplicidade,uma colisão central entre dois corpos. Vamos deduzir neste caso o cálculo da expressão do coeficiente de restituição, entre os dois corpos. Coeficiente de Restituição: ∫ ∫= dtD dtR e Se e = 1 ⇒ choque perfeitamente elástico ⇒ não houve perdas de energia e houve restituição dos corpos. Se e = 0 ⇒ choque perfeitamente inelástico ⇒ chocaram-se os corpos e permanecem juntos após a colisão, houve deformação e um carrega o outro junto de si após a colisão, fazendo a velocidade relativa de afastamento igual a zero. Se 0 < e < 1 ⇒ choque parcialmente elástico ⇒ houve restituição parcial de (e.100 ) % e deformação parcial de [(e-1).100 ] % dos corpos na direção do choque Demonstração do valor do coeficiente de restituição: Considerando que no momento de deformação máxima dos corpos a velocidade dos dois corpos é v, e sendo vA e vB as velocidades dos dois corpos antes da colisão na direção de colisão e vA ‘ e vB ‘ as velocidades depois da colisão também na direção da linha de colisão, então: Deformação para o corpo A: mA vA + ∫ D dt = mA v ⇒ ∫ D dt = mA (v – v A) restituição para A: mA v + ∫ R dt = mA vA’ ⇒ ∫ R dt = mA (vA’ – v) assim: A A vv vve − −= ' da mesma forma para o corpo B: deformação: m B v B + ∫ D dt = m B v ⇒ ∫ D dt = mB (v – vB) restituição: m B v + ∫ R dt = m B v B’ ⇒ ∫ R dt = mB (vB’ – v) assim: e = B B vv vv − −' = A A vv vv − −' sendo (v B’ – v) = e . (v -vB) ⇒ v (e +1) = v B’ + e v B -ID ID ID = ∫ dtD = Impuso de defomação -IR IR IR = ∫ dtR = Impuso de restituição Av' r B'v r Av r Bv r Linha de colisão e = 1 ⇒ colisão perfeitamente elástica 0 > e >1 ⇒ colisão parcialmente elástica e = 0 ⇒ colisão perfeitamente inelástica Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 125 (vA’ – v) = e . (v - vA) ⇒ v (e +1) = vA’ + e vA igualando as duas expressões: AABB vevvev +=+ '' ⇒ BAAB vevevv −=− '' BA AB vv vv e − −= '' Nesta expressão tanto faz se no numerador, se comece com o corpo B ou o corpo A, desde que no denominador se comece com o outro corpo. Portanto em toda colisão de um Sistema de Corpos isolados de forças externas: 1) A energia se conserva, para uma colisão elástica (e = 1 ), ou não se conserva para todos os outros casos ( 0 ≤ e < 1 ) 2) O momentum sempre se conserva em todos os casos, independentemente se a energia se conserva ou não. 3) O coeficiente de restituição e somente é valido para as velocidades na direção de colisão. As velocidades na direção perpendicular à direção de colisão não variam, antes e após a colisão, ou seja, há conservação das mesmas. 4) O coeficiente de restituição relaciona a razão entre a velocidade relativa de afastamento e a velocidade relativa inversa de aproximação entre os corpos. cc cc BA AB oaproximaçãderelativa oafastamentderelativa vv 'v'v v v e − −== 7.3 – Princípio Impulso-Momento Angular 7.3.1 - Definição de Momento Angular Momento Angular ou Quantidade de Movimento Angular é a soma do produto vetorial entre o vetor posição r r e o momentum p r de todos os pontos com massa do corpo rígido girando em torno o eixo considerado. Se for apenas uma partícula, girando em torno do eixo e, o momento angular em torno desse eixo é prL rrr ∧= E seu módulo: θω=θ= senrmsenvrmL 2r uma vez que θ = ∠ vr rr , = ângulo entre r e v ; rr = 0/Pr r = P – O = vetor posição do ponto P de aplicação do vetor p r em relação a um pólo O ou eixo de giro escolhido = vetor com origem em O, pólo de giro que se escolhe, e com extremidade na posição em que se avalia o ponto P de momentum p r p r = vetor momentum do ponto P do corpo ou se °=θ 90 : ω== 2rmvrmL o momento angular é uma grandeza vetorial: kLjLiLL zyx rrrr ++= (kg m2/s) a) Momento Angular Orbital Corpo girando em torno de outro: prL rrr ∧= b) Momento Angular Spin Momento Angular Spin de um Corpo Rígido girando em torno de si mesmo é dado por: v r m r r tˆ bˆ nˆ normal binormal O tangente orbitalL r spinL r Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 126 O Momento Angular de um corpo Rígido é o momento Angular Spin pdrS rrr ∧=∫ kSjSiSS zyx rrrr ++= [ ] ω=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∧=∧= ∫∫ r rrrrr I r vrrmdvdmrS 2 2 Uma vez que para um eixo fixo: 2)( ˆ r vr vr vr r vb r v rrrrv ∧=∧==ω Pois, considerando o movimento em torno de um eixo fixo, a trajetória de qualquer ponto é circular, e assim r e v são perpendiculares, então, vrsenvrvr =°=∧ 90rrrr Vejamos como se pode escolher a origem do Sistema de Referência em qualquer ponto do eixo de giro “e”. Do desenho tem-se que =∧= prS OP rr r prpr POOO rrrr ∧+∧ '' O momento angular L r total do corpo rígido é também definido como sendo o produto do momento de inércia I do corpo rígido pela velocidade angular ωr : ω= rr IS Momento angular total para um Sistema de Partículas: ω=∧= ∑ rrrr IprL ii ω=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∧=∧= ∑∑ r rrrrr I r vrrmvrmL i ii iiiii 2 2)( momento angular de um Corpo Rígido: ω=∧= ∫ rrrr IdmvrS [ ] [ ]( ) ω=ω=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ ∧= ∫∫ rr rrr Idmr r vrdmrS 22 2 c) Momento Angular total O Momento Angular total J r é a soma vetorial do Momento Angular Orbital orbitalLL rr = e o Momento Angular Spin spinLS rr = : SLJ rrr += 7.3.4 - Definição de Torque a partir do momento angular Torque é a causa que produz o efeito do aumento ou diminuição da velocidade angular de um corpo em seu movimento de rotação em torno de um eixo. O Torque é dado pela derivada do Momento Angular no tempo: dt Ld r r =τ dm dt vdrdmv dt rd)dmvr( dt d rrrrrrr ∧+∧=∧=τ ∫∫∫ Sendo: v dt rd rr = ; vmp rr = ; F dt pd rr = : Frvmv rrrrr ∧+∧=τ Como 0=∧ vv rr , então: Fr rrr ∧=τ O O’ P prrr Pr r tˆ bˆ = nˆ tangente normal binormal P e ω= rr IS ω I r pdrS rrr ∧= ∫ vdmpd rr ∫= Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 127 7.3.5 - Impulso Angular Impulso Angular ou Impulso de um Torque é o efeito produzido, resultante da ação de um Torque que atua sobre um corpo rígido durante um certo intervalo de tempo. É represetado a integral do vetor Torque no tempo. )s.m.N(dtI 't t ∫ τ=θ rr kIjIiII zyx rrrr θθθθ ++= a) Impulso de um torque constante t.)tt(t.dtdtI 12 t t t t t t 2 1 2 1 2 1 ∆τ=−τ=τ=τ=τ= ∫∫θ r b) Torque Médio em um Impulso Angular: Será dada pela integral do Torque neste intervalo de tempo, dividida pelo mesmo intervalo de tempo ∆t. Àreasob a curva = ∫ τ2 1 tt dt Àrea retângulo = t. ∆τ = Impulso Angular = Iθ Impulso Angular médio: ∫ τ=∆τ 2 1 t t dtt. ∫ τ∆=τ 2 1 t t dt t 1 = t I ∆ θ O Torque Médio é a torque em que a área A sob curva (curva Torque vs. Tempo) é substituída por um Torque constante neste intervalo de tempo cuja área do retângulo, seja a mesma área debaixo da curva do torque variável naquele intervalo de tempo. 7.3.6 - Princípio Impulso- Momento Angular (PIMA) Impulso angular do torque resultante: ∫ ∑∫ τ=τ=θ 2 1 2 1 t t i t t RR dtdtI rrr ∫∫∫ ω=ω=α=θ r rrr dIdt dt dIdt)I(I 2 1 2 1 t t t t R 1212 v v R LL)(IdII 2 1 rrrrrr r r −=ω−ω=ω= ∫θ LI R rr ∆=θ Desta forma: “ O impulso angular do torque resultante é igual à variação do momento angular.” O que caracteriza o Princípio Impulso-Momento Angular ? O Princípio Impulso-Momento Angular pode deduzido por simplicidade por : dt Ld R r r =τ ⇒ LddtR rr =τ ⇒ LL'LLddtI 'L L 't t RR rrrrrr r r ∆=−==τ= ∫∫θ LI angularR rr ∆=θ (PIMA) “O impulso angular resultante é igual à variação do momento angular” ou 'LdtL 't t R rrr =τ+ ∫ (PIMA) t1 t2 τ t τ t1 t2 τ t τ Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 128 'IdtI 't t R ω=τ+ω ∫ vrr “O momento angular somado ao Impulso angular resultante é igual ao momento angular final” Para um Sistema de Partículas: 'Ldt.L i 't t ii ∑∫∑∑ =τ+ rrr Podemos escrever, portanto, os dois Princípios Impulso-Momento válidos para um corpo rígido (6 equações): ∫ =+ 't t R 'vmdt.Fvm rrr 'LdtL 't t R rrr =τ+ ∫ No caso do corpo mover-se no plano x-y (movimento plano) (3 equações): ∫ ∑ =+ ' '. t t xxx vmdtFvm ∫ ∑ =+ ' '. t t yyy vmdtFvm 'Ldt.L z 't t zz =τ+ ∫∑ 7.3.7 – Impulso linear e Impulso angular A relação entre o impulso linear e o impulso angular está que o impulso angular é o impulso linear vezes o braço até o eixo que passa pelo centro de massa G. IrI rrr ∧=θ bxII =θ Isto ocorre da mesma forma que no caso da força angular ou torque ela se mostra igual à força linear vezes o braço: Fr rr ∧=τ bxF r=τ 7.3.8 - Princípio de Conservação de Momento Angular (PCMA) “Se a soma dos impulsos angulares for nula, ou o torque resultante for zero, então há conservação do momento angular.” .' constLL ii == ∑∑ rr (PCMA) Analogia Força-Momentum e Torque-Momento Angular: Da mesma forma que: a Força resultante em um corpo é dada pela derivada do momentum ou o produto da massa m, inércia de translação, pela aceleração a r ; o torque resultante é dado pela derivada do momento angular ou o produto do momento de inércia I, inércia de rotação, pela aceleração angular αr . 7.4 – Resumo do Capítulo 7 Definição de Momentum ou Quantidade de Movimento ou Momento linear: vmp rr = (kg.m/s) kpjpipp zyx rrrr ++= Momentum de um Sistema de Partículas ou Sistema de Corpos Rígidos: MM CiiC vmvmp rrr == ∑ Momentum de um Corpo Rígido: MM CCtotal pvmdmvp rrrr === ∫ Definição de Impulso ou Impulso linear ou Impulso de uma força: ∫= 2 1 t t dtFI rr (N.s) kIjIiII zyx rrrr ++= Impulso de uma força constante: tFttFtFdtFdtFI tt t t t t ∆=−==== ∫∫ rrrrrr )( 1221 2 1 2 1 Força Média em um Impulso: t IdtF t F t t ∆ =∆= ∫ 2 1 1 Impulso da força resultante: ∫ ∑∫ == 2 1 2 1 t t i t t RR dtFdtFI rrr ⇒ Força Resultante: am dt vdmvm dt dp dt dpFR rrrr&rr ===== Torque Resultante: ==τ L&rr α=ω=ω= r rrr I dt dII dt dL dt d )( Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 129 ∫∫∫ === vdmdtdt vdmdtamI t t t t R rrrr 2 1 2 1 1212 )( 2 1 ppvvmvdm v v rrrrr r r −=−== ∫ ⇒ pIR rr ∆= “ O impulso da força resultante é igual à variação do momentum de um corpo.” Princípio Impulso-Momentum (PIM): ∫ =+ 't t R 'vmdt.Fvm rrr ou pI R rr ∆= “ O momentum inicial de um corpo somado ao impulso da força resultante que atua sobre o corpo, num certo intervalo de tempo, resulta no momentum final do corpo.” ( )∫ ∑ =+ 't t xxx 'vmdt.Fvm ( )∫ ∑ =+ 't t yyy 'vmdtFvm ( )∫ ∑ =+ 't t zzz 'vmdt.Fvm Princípio Impulso-Momentum para um Sistema de Partículas: ∫ ∑∑∑ =+ 't t iiiii 'vmdt.Fvm rrr Princípio Impulso Momentum para um Corpo Rígido: ∫ =+ 't t CMRCM 'vmdt.Fvm rrr pois: dt pd FR rr = ⇒ pddtFR r r = ⇒ ppppddtFI p p t t RR rrrrrr r r ∆=−=== ∫∫ ' '' Princípio de Conservação de Momentum (PCM) “Um Sistema Isolado, sempre conserva o seu momentum.” .const'pp == rr ⇒ '∑∑ = ii pp rr = const. ⇒ .constvm'vmvm CMiiii === ∑∑ rrr Princípio de Conservação de Energia Mecânica “Se um corpo não tiver perdas de energia, em um determinado intervalo de tempo, então sua energia mecânica se conserva.” E M = K1 + UP1 = K 2 + UP2 = constante E M = Energia Mecânica = Energia Cinética + Energia Potencia l K = Energia cinética = m v 2 / 2 UPgravitacional = m g h UPelástica = k x 2 / 2 UPelétrica = q V Colisões entre corpos Conservação de momentum na direção do colisão : 'pp ii ∑∑ = rr Conservação de velocidades na direção perpendicular à colisão : zouy,xqonde'vv qq == rr Coeficiente de Restituição: e= oaproximaçãderelativa oafastamentderelativa v v = BA AB vv 'v'v − − Se e = 1 ⇒ choque perfeitamente elástico - não houve perdas de energia houve restituição completa dos corpos Se e = 0 ⇒ choque perfeitamente inelástico - chocaram-se os corpos e permanecem juntos houve deformação completa dos corpos Se 0 < e < 1 ⇒ choque parcialmente elástico - houve restituição de (e x 100 % ) dos corpos na direção do choque Definição de Momento Angular vmrprL rrrrr ∧=∧= kLjLiLL zyx rrrr ++= ω= rr IL ; ω=∧= ∑ rrrr IprL ii ω=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=∧= ∑∑ rrrrr Ib r v rmvrmL i i iiiii )( 2 Momento Angular Orbital e Momento Angular Spin: vrmprL rrrrr ∧=∧= ; θ= senvrmL se °=θ 90 : ω== 2rmvrmL ω= rr ILS Definição de Torque a partir do momento angular dt Ld r r=τ Fr rrr ∧=τ ω= rr IL ⇒ α=τ rr I Impulso Angular ou Impulso de um Torque : ∫ τ= 't t dtI rr (N.m.s) kIjIiII zyx rrrr θθθθ ++= Torque Médio em um Impulso Angular: t Idt t 1 2 1 t t ∆ =τ∆=τ θ ∫ Princípio Impulso-Momento Angulares (PIMA) LI R rr ∆=θ “ O impulso angular do torque resultante é igual à variação do momento angular.” “O impulso angular resultante é igual à variação do momento angular” Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza- Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 130 'LdtL 't t R rrr =τ+ ∫ (PIMA) “O momento angular somado ao Impulso angular resultante é igual ao momento angular final” Sistema de Partículas : 'pdt.Fp i 't t ii ∑∫∑∑ =+ rr 'Ldt.L i 't t ii ∑∫∑∑ =τ+ rrr ∫ ∑ =+ ' '. t t xxx vmdtFvm ∫ ∑ =+ ' '. t t yyy vmdtFvm 'Ldt.L z 't t zz =τ+ ∫∑ Princípio de Conservação de Momento Angular (PCMA) “Se a soma dos impulsos angulares for nula, ou o torque resultante for zero, então há conservação do momento angular.” .' constLL ii == ∑∑ rr (PCMA) Analogia Força-Momentum e Torque-Momento Angular: am)vm( dt dp dt dFR rrrr === α=ω==τ rrrr I)I( dt dL dt d R 7.5 - Exercícios Resolvidos 7.1*) O avião com propulsão a jato de combustível, possui uma massa de 7.350 kg e precisa de 9 segundos a partir do repouso para que sua velocidade atinja 300 km/h, velocidade necessária para sua decolagem. Seu jato promove uma propulsão F = (3 t2 + 1,5) kN. Calcule os fatores médios contrários ao movimento, R, como resistência do ar, atrito com o chão, inércia de rotação das rodas, que promovem uma força de resistência ao seu movimento. 7.2*) (Colisão) As bolas A e B tem massas mA =12 kg e mB = 3 kg. A bola A está com velocidade inicial vA = 6 m/s e e na mesma linha de colisão, mas em sentido contrário, vem a bola B com velocidade vB= 2 m/s, ambas fazem um ângulo de 45° com a horizontal. Sabendo que o coeficiente de restituição na colisão é e=0,8, e que a colisão é central, determine (a) os módulos das velocidade de A e B após a colisão e (b) os vetores velocidade das duas bolinhas após a colisão de acordo com o referencial dado. Resp.:;(a) vA’= 3,12 m/s ; vB’= 9,52 m/s ; (b) )s/m(j21,2i21,2'Av rrr += ; )s/m(j73,6i73,6'Bv rrr += 7.3*) Quatro bolas de 2 kg giram em torno do eixo indicado, inicialmente com velocidade oωr = 6 k r rad/s. Se um torque )m.N(k)2t4t6( 2 rr +−=τ atua durante 4 segundos neste sistema. Determine a nova velocidade angular do sistema. 7.6 – Exercícios Propostos: Princípio Impulso-Momentum 7.4) O jato propulsor que decola na vertical, possui massa de 15000 kg. Subindo na vertical Solução: v = ω r = 18 m/s ⇒ 4 r m v + ∫ τ dt = 4 r m v’ ⇒ 4 x 3 x 2 x 18 + [ 2 t3 – 2 t2 + 2 t ] 40 = 4 x 3 x 2 x v’ 432 + [2 x 64 – 2 x 16 + 8] = 4,8 v’ ⇒ v’ = 111 m/s ⇒ )s/rad(k0,37 rv =ω ou 'IdtI 't t R ω=τ+ω ∫ vrr Solução: (a) Cons. de mom.: mAvA + mBvB = mAvA ‘+ mBvB ‘ 12 x 6 + 3 x (-2) = 12 vA’+ 3 vB’ = 66 ⇒ 4 vA’+ vB’ = 22⇒ vB’ = 22- 4 vA’ ; 8,0 26 'Av'Bv BvAv 'Av'Bve =+ −=− −= ⇒ vB’- vA’ = 6,4 ⇒ 22-5vA’=6,4 ; vA’= 3,12 m/s ; vB’= 9,52 m/s ; )s/m(j21,2i21,2'Av rrr += ; )s/m(j73,6i73,6'Bv rrr += y xz VA 45º VB A B 3 m 3 m 2 kg 2 kg 2 kg 2 kg 3 m 3 m z τr ωr F R Engenharia Solução: mv + ∫ (F-R) dt = m v’ ⇒ 0 + [1.000 t3 + 1500 t – R t ] 90 = 7.350 kg x 83,33 m/s 1.000 x 93 + 1500 x 9 – R x 9 = 612.476 ⇒ R = 14,4 kN Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 131 do repouso, a partir no piso, sendo que os jatos exercem uma força propulsora F = (50 t + 20) kN, determine a velocidade vertical do jato após 7 segundos. Resp.: v’ = 22,4 m/s 7.5) Lança-se um bloco de peso 20 lb em um plano horizontal com uma velocidade inicial de 10 ft/s. O bloco está sujeito a uma Força a favor do movimento dada por F = 6 t 2 + 2 t. Determine a velocidade do bloco após 7s do lançamento. Resp.: v’ = 1193 ft/s 7.6) Um carro turbo de massa 1500 kg produz um empuxo de saída dado por T = 600 t + 4000 ( N ). Partindo de uma velocidade de 20 m / s qual deve ser sua nova velocidade após 10 s? Resp.: v ‘ = 66,7 m/s Colisões ( Princípio de Conservação de Momentum e Coeficiente de Restituição ) : 7.7) As bolas de bilhar de massas mA = 0,2 kg e mB = 0,6 kg de massa, estão com velocidades vA = 4 m/s e vB = 3 m/s. Determine as velocidades vA’ e vB’ e os seus sentidos de A e B após a colisão, uma vez que o coeficiente de restituição na colisão tem valor e = 0,7. Resp.: )s/m(i93,4'v A rr −= ; )s/m(i03,0'v B rr −= 7.8) Duas esferas A e B, de massas mA = 6 kg e mB = 15 kg se colidem com as velocidades vA = 15 m/s e vB = 3 m/s, fazendo ângulos com a horizontal de 20° e 40°, respectivamente, como mostra a figura. Determine as velocidades vetoriais das esferas A e B, no instante imediatamente posterior ao impacto, sabendo-se que o coeficiente de restituição é e = 0,80 e que o impacto ocorreu em alinhamento com a direção do eixo x da figura. Resp.: )s/m(j13,5i99.6'vA rrr +−= ; )s/m(j93,1i13,6'vB rrr −= 7.9) As esferas de massas mA = 0,1 kg e mB = 0,5 kg de massa, estão com velocidades vA = 10 m/s e vB =1 m/s como indicadas na figura. Determine as velocidades vA’ e vB’ e seus sentidos logo após a colisão, uma vez que o coeficiente de restituição na colisão é de e = 0,7. Resp.: )s/m(i58,5'vA r−= ; )s/m(i12,2'vB rr = 7.10) As esferas de massas mA = 2 kg e mB = 5 kg de massa, estão com velocidades vA = 8 m/s e vB = - 6 m/s como indicadas na figura. Determine as velocidades vA’ e vB’ , respectivamente e seus sentidos logo após a colisão, uma vez que o coeficiente de restituição na colisão é e = 0,8. Resp.: )/(0,10' smivA rr −= ; )s/m(i20,1'vB rr = 7.11) As esferas de massas mA = 6 kg e mB = 18 kg de massa, estão com velocidades vA = 20 14 Universo B A T y x vA = 8 m/s vB = - 6 m/s A B mA = 2 kg mB = 5 kg x A B x y 40º 20º vB=3 m/s vA = 15 m/s t = 0 s Vo = 10 ft / s v t = 7 s F’ F’ vA = 10 m/s A B mA = 0,1 kg mB = 0,5 kg x vB =1 m/s vA = 4 m/s vB = 3 m/s A B mA = 0,2 kg mB = 0,6 kg x F G V Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 132 m/s e vB = 7 m/s como indicadas na figura. Determine as velocidades vA’ e vB’ e seus sentidos logo após a colisão, uma vez que o coeficiente de restituição na colisão é de e = 0,8. Resp.: )s/m(i45,16'vA rr −= ; )s/m(i15,5'vB r= 7.12) (2,0 pto) (Colisão) Uma malha A de massa 4 kg é atirada com uma velocidade de 2 m/s contra uma outra malha B de massa de 20 kg e que caminha em sentido inverso com velocidade de 0,5 m/s. Sabendo-se que o coeficiente de restituição é 0,6 determine as suas velocidades finais. Resp.: )s/m(i33,1'vA rr −= ; )s/m(i167,0'vB rr = 7.13) As esferas de massas mA = 1 kg e mB = 2,5 kg de massa, estão com módulos de velocidades: vA = 16 m/s e vB = 6 m/s nas direções indicadas na figura. A linha de colisão é na direção do eixo y e o coeficiente de restituição na direção de colisão é e = 0,8. Determine as componentes de velocidade vA’ e vB’ e suas direções e sentidos logo após a colisão. Resp.: )s/m(j,i,'v Ax rrr 256815 +−= ; )s/m(j,i,'v Bx rrr 6280244 += 7.14) Uma bola de tênis de massa 0,20 Kg atinge o solo do outro lado da rede. Um instante antes de batersobre o solo, faz com a horizontal um ângulo de 30° e possui uma velocidade de 15 m/s. Após a colisão com o solo ela avança com uma velocidade de 14 m/s e um ângulo β com a horizontal. Determine: a) o vetor velocidade v r e momentum p r da bola antes da colisão como o solo. b) O ângulo β que a bola forma com a horizontal após a colisão e o vetor velocidade 'v r e momentum p r ’ depois da colisão com o solo. c) O coeficiente de restituição “e ” na colisão com o solo. d) A força rresultante média sobre a bola uma vez que o tempo de interação com o solo foi de 0,025 s. Resp.:(a) ;)s/m(j5,7i13v rrr −= )s/mkg(j5,1i6,2p rrr −= ; (b)β=21,8°; ;)s/m(j20,5i13v rrr += )s/mkg(j04,1i6,2'p rrr += ; (c) e = 0,693; (d) )N(j102F r= 7.15) Uma colisão somente na direção y ocorre na figura abaixo, para este caso, determine: os vetores velocidades finais da bola A e B uma vez que o coeficiente de restituição e = 0,6. Resp.: )s/m(j33i26'vA rrr +−= ; )s/m(j12'vB rr −= 7.16) Uma colisão entre dois corpos ocorre somente na direção do eixo y. Sabendo-se que o coeficiente de restituição entre os materiais é e =0,8 , determine: (a) o vetor velocidade das bolas A e B antes da colisão e (b) o vetor velocidade das bolas A e B após a colisão. Resp.: )s/m(j6v;)s/m(j83,2i83,2v BA rrrrr =+= ; )s/m(j37,4v;)s/m(j90,6i83,2v BA rrrrr =+= vA = 20 m/s vB = 7 m/s A B mA = 6 kg mB = 18 kg x vA = 2 m/s mB = 20 Kg mA = 4 Kg x vB = 0,5 m/s 30° β V = 15 m/s V ’ = 14 m/s y VA = 30 m/s VB = 60 m/s mB = 2 kg mA = 3 kg x 60° A B x 80° y 45° 6 m / s 16 m / s Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 133 Momento Angular e Torque: 7.17) Um barra fina de 5 kg e 3 m de comprimento gira em torno de um eixo z que passa por uma de suas extremidades. Sabendo- se que o momento de inércia de uma barra delgada girando em torno de uma extremidade é I = m l 2 / 3 e que a velocidade angular da barra é k)6t4t2( 23 rr +−=ω (rad/s). Determine para o instante t = 2 s o vetor momento angular L r da barra e o vetor torque τr sobre o eixo para manter o movimento. Resp.: )s/m.kg(k90L 2 rr = ; )s/m.kg(k120 22rr =τ Princípio Impulso-Momento Angular: 7.18) Um barra fina de 4 m e massa desprezível segura em sua extremidade um corpo de 5 kg girando em torno de um eixo z que passa por uma de suas extremidades. A velocidade angular inicial da barra é k8o rr =ω (rad/s). Determine para um instante t qualquer (variável em função do tempo), e para o instante t = 4 s (a) o vetor momento angular L r ’ da barra e (b) o vetor velocidade angular 'ωr , sabendo-se que o torque resultante aplicado ao eixo para manter o movimento é τr R = (8 t + 10) k r (N.m). Resp.: )s/mkg(k)640t10t4('L 22 rr ++= ; )s/mkg(k744L 24 rr = ; )s/rad(k)8t125,0t05.0(' 2 rr ++=ω ; )s/rad(k3,9' rr =ω 7.19) A esfera de massa 3 kg, na extremidade D da haste CD, gira em torno da haste AB. As hastes AB e CD têm massas desprezíveis e a haste CD tem 1,5 m, gira em um movimento circular em torno do eixo AB. Sabendo-se que o eixo AB está sujeito a um torque resultante τ = (9t2 -6t + 3) (N.m), e parte em t = 0 com velocidade inicial vo = 5 m/s, determinar o módulo da velocidade da esfera quando o cronômetro marca t = 4 s. Resp.: em t = 4 s : v ’ = 39,7 m/s 7.20) São aplicadas 2 vetores impulsos (Força x intervalo de tempo) sobre uma placa retangular de dimensões 4m x 3m x 0,005m e massa m = 50 kg, inicialmente em repouso e cujo momento de inércia, de placa retangular de lados a e b, é dado por )ba(m)12/1(I 22zG += . A superfície de deslizamento tem atrito desprezível e após estes impulsos a placa passa a girar e transladar )m.N()3t6t9( 2 +−=τ ω A B C D 1,5 m ωr τr z x y L r 3 m s/rad8o =ω )m.N(10t8 +=τ z x 4 m VA = 4 m/s VB = 6 m/s mB = 5 kg mA = 2 kg 45° y x Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 134 livremente sobre a superfície. Determinar após os impulsos aplicados: (a) a velocidade de translação de seu centro de massa, Gv r ; (b) a soma dos Impulsos angulares, ∑ θzI (impulso linear x braço); (c) a velocidade angular de rotação ωr da placa. Resp.:(a) )s/m(j254,0i144,0vG rr −−= ; (b) )m.s.N(k0,76I zG rr −=∑ θ ; (c) )s/rad(k730,0 rr −=ω Princípio de Conservação de Momento Angular: 7.21) Dado que o satélite da figura, de massa 2000 kg está a uma distância da superfície da Terra de 12.000 km, e uma velocidade de 30 km/s realizando uma trajetória elíptica. Qual seria sua velocidade ao se aproximar da Terra a uma distância de 8.000 km da sua superfície. Obs.: O Raio da Terra é de 6.370 km. As distâncias ao satélite nestes pontos referidos formam um ângulo de 90º com as velocidades. Resp.: v’ = 38,35 Km/s 7.22) Dado que o núcleo do cometa da figura, tem sua calda dirigida sempre contra o vento solar que a produz e sai do Sol em direção ao cometa aumentando a sua atuação a medida que se aproxima do Sol, tem no entanto este núcleo realizado sua trajetória elíptica (pontilhada) em torno do Sol. Sabe-se que a massa do cometa é 75000 kg. Quando ele se encontra na posição A, sua distância ao centro do Sol é de 350 000 000 km a uma velocidade de 6 km/s, fazendo nesta posição um ângulo β = 35°, entre vetor velocidade e raio o vetor negativo que liga o Sol ao cometa, como mostra a figura. Qual deverá ser o módulo de sua velocidade no ponto B, ponto de máxima aproximação do Sol, em que sua distância ao Sol é de 15 000 000 km, considerando que o ângulo nesta posição, entre sua velocidade e o seu vetor posição é de 90°. Resp.: vB = 80,3 km / s 7.23) O ônibus espacial tem massa 10 000 kg, raio de giração em torno de G para girar em torno do eixo x, kGx = 15 m e para girar em torno do eixo y, kGy = 11 m e velocidade vG = 1000 m/s viaja em linha reta no sentido )k( r− no espaço, em local com efeitos gravitacioanais desprezíveis e planeja sua penetração na orbe terrestre. Para isso liga dois jatos paralelos ao eixo z, com empuxos nos valores kN)k(e1960T t1 rr −= − e kN)k(e2420T t2 rr −= − , localizados: (a) T1 acima do eixo horizontal z, a distância y= 2m e (b) T2 na lateral direita do eixo z, a distância x = -1,5 m. Determine: (a) a velocidade linear após o intervalo de tempo de 10 s; (b) a velocidade angular do ônibus espacial na direção x, xω , após o intervalo de 10 s; e (d) a velocidade angular na direção y, yω , após o mesmo intervalo de tempo. Obs.: [ ]1e)b/a(e)b/a(dtea tbt0tbt0 bt −−=−= −−−∫ ; Resp.:(a) s/m1480'v G = ; (b) )s/rad(74,1'x =ω ; (c) )s/rad(3'y =ω 7.24) O jato da figura, de massa m = 8000 kg promove uma evolução em curva de fuga na horizontal, no momento em que é perseguido por um caça, e se encontra inicialmente em movimento de linha reta com uma velocidade vO = 230 m/s, de modo que aciona os motores traseiros do jato de combustível para um empuxo T1 = 21430 (N) e T2 = 90000 (N), durante 6 segundos, fazendo uma curva para a esquerda e amplificando ainda mais sua velocidade inicial. Sabendo que o raiode giração do jato para girar em torno do Centro de Massa G é kG = 12 m, calcule para o instante 6s: (a) o valor do módulo da nova velocidade linear 'vG ; (b) o valor do x y 4 m 25° 0,5 m )s.N(20I1 = )s.N(30I 2 = 2,5 m 3 mG 0,8 m z x y T1 T22m 1,5m G rA rB A B rA rB β B vA vB = ? A Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 135 módulo da velocidade angular 'ωr ; após o impulso sofrido e se está no sentido horário ou antihorário; e ainda (c) com a manutenção inercial de sua velocidades linear e angular finais, o raio R de sua trajetória final no espaço, após os 6 s. Resp.: (a) )s/m(314'v G = ; (b) )s/rad(500,0'=ω ; (c) R = 628 m 7.25) Uma cápsula de massa m = 1500 kg e raio de giração kG = 0,7 m em relação a um eixo que passa pelo centro de massa G , perpendicular à página. Se a cápsula se desloca para frente com velocidade vG = 1000 m/s, quando passam a atuar dois jatos laterais que fornecem uma força de empuxo T= 600 N cada um, durante 0,5 s. Sabendo que os jatos lançam combustível em sentidos opostos formando um binário, determine (a) a velocidade angular da cápsula depois da ação dos jatos A e B cessarem de atuar. Resp.:(a) )s/rad(k48,1 rr =ω 25° y G T=600 N T=600 N A B G 2 m 2 m VG = 1000 (m/s) x 25° y x z T1 T2 1,4 m 1,4 m G
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