APRESENTACAO DA AULA 4

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CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica
Aula 4: Prática de produto de vetores
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 4: Prática de Produto de Vetores
Conteúdo desta aula
Prática de 
Produto Escalar
1
Prática de
Produto Vetorial
2
Prática de 
Produto Misto
3
PRÓXIMOS 
PASSOS
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 4: Prática de Produto de Vetores
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos
Prática de Produto de Vetores
Como já foi visto, o produto escalar entre dois vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2), que 
formam entre eles um ângulo A, pode ser calculado de duas formas:
• u . v = x1.x2 + y1.y2
• u . v = |u| . |v| . cos A 
Como estamos calculando a mesma grandeza de formas diferentes, pode-se igualar as 
expressões
u . v = x1.x2 + y1.y2 = |u| . |v| . cos A 
cos A = x1.x2 + y1.y2 / |u| . |v|
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 4: Prática de Produto de Vetores
Prática de Produto de Vetores
Exercício: Mostrar que os vetores u=(1,-2,3) e v=(4,5,2) são ortogonais 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 4: Prática de Produto de Vetores
Prática de Produto de Vetores
o produto escalar de vetores ortogonais é nulo
Exercício: Mostrar que os vetores u=(1,-2,3) e v=(4,5,2) são ortogonais 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 4: Prática de Produto de Vetores
Prática de Produto de Vetores
Calculando o ângulo
cos A = 1 . 4 – 2 . 5 + 3 . 2 / |u| . |v|
cos A = 0 / |u| . |v|
cos A = 0
A = 900
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos
o produto escalar de vetores ortogonais é nulo
Exercício: Mostrar que os vetores u=(1,-2,3) e v=(4,5,2) são ortogonais 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 4: Prática de Produto de Vetores
Prática de Produto de Vetores
Verificando se o produto escalar é nulo (mais fácil e rápido)
u . v = 1 . 4 – 2 . 5 + 3 . 2 
u . v = 4 – 10 + 6
u . v = 0
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos
o produto escalar de vetores ortogonais é nulo
Exercício: Mostrar que os vetores u=(1,-2,3) e v=(4,5,2) são ortogonais 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 4: Prática de Produto de Vetores
Prática de Produto de Vetores
Exercício: Mostrar a forma geral de um vetor u=(x,y,z) que seja 
simultaneamente perpendicular aos vetores v=(1,-1,0) e w=(1,0,1) 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 4: Prática de Produto de Vetores
Prática de Produto de Vetores
u . v = 0 = x . 1 – y . 1 + z . 0 = x- y
x – y = 0 
y = x
u . w = 0 = x . 1 + y . 0 + z . 1 = x + z 
x + z = 0
z = -x
Portanto, para qualquer x, os vetores u são da forma (x, x. –x) ou x . 
(1, 1, -1)
Exercício: Mostrar a forma geral de um vetor u=(x,y,z) que seja 
simultaneamente perpendicular aos vetores v=(1,-1,0) e w=(1,0,1) 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 4: Prática de Produto de Vetores
Prática de Produto de Vetores
Exercício: Calcular o ângulo entre os vetores u=(1,1,4) e v=(-1,2,2) 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 4: Prática de Produto de Vetores
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Exercício: Calcular o ângulo entre os vetores u=(1,1,4) e v=(-1,2,2) 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 4: Prática de Produto de Vetores
Prática de Produto de Vetores
Exercício: Calcular o valor de m para que o vetor formado pelos pontos 
A(3, 1, -2) e B(4,0,m) forme um ângulo de 600 com o vetor v(2,1,-1) 
PRODUTO ESCALAR: associado ao cálculo de ângulos
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Prática de Produto de Vetores
Exercício: Considerando os vetores u=(1,-1,-4) e v=(3,2,-2), determinar um
vetor que seja ortogonal a u e v e tenha módulo 4 
PRODUTO VETORIAL: associado ao vetor normal e ao cálculo de áreas 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
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PRODUTO VETORIAL: associado ao vetor normal e ao cálculo de áreas 
Exercício: Considerando os vetores u=(1,-1,-4) e v=(3,2,-2), determinar um
vetor que seja ortogonal a u e v e tenha módulo 4 
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Prática de Produto de Vetores
PRODUTO VETORIAL: associado ao vetor normal e ao cálculo de áreas 
Exercício: Considerando os vetores u=(1,-1,-4) e v=(3,2,-2), determinar um
vetor que seja ortogonal a u e v e tenha módulo 4 
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Prática de Produto de Vetores
PRODUTO VETORIAL: associado ao vetor normal e ao cálculo de áreas 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
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Prática de Produto de Vetores
PRODUTO VETORIAL: associado ao vetor normal e ao cálculo de áreas 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
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PRODUTO MISTO: associado ao cálculo do volume
Prática de Produto de Vetores
Exercício: Verificar se os vetores u=(2, -1, 1), v=(1,0,-1) e w=(2,-1,4) são coplanares
Obs: vetores coplanares não geram volume, portanto o produto misto é nulo
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
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Prática de Produto de Vetores
PRODUTO MISTO: associado ao cálculo do volume
Exercício: Verificar se os vetores u=(2, -1, 1), v=(1,0,-1) e w=(2,-1,4) são coplanares
Obs: vetores coplanares não geram volume, portanto o produto misto é nulo
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 4: Prática de Produto de Vetores
Prática de Produto de Vetores
Exercício: Determine o valor de m para que o paralelepípedo formado pelos
vetores u=(3,m,-2), v=(1,-1,0) e w=(2,-1,2) possua volume de 16 u. v.
PRODUTO MISTO: associado ao cálculo do volume
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Prática de Produto de Vetores
Exercício: Determine o valor de m para que o paralelepípedo formado pelos
vetores u=(3,m,-2), v=(1,-1,0) e w=(2,-1,2) possua volume de 16 u. v.
PRODUTO MISTO: associado ao cálculo do volume
Assuntos da próxima aula:
1. Equação vetorial da reta;
2. Equações paramétricas da 
reta;
3. Equações simétricas da reta;
4. Equações reduzidas da reta.
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