Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
F´ısica para a Mecatroˆnica Volume 2 – Equil´ıbrio, Fluidos, Ondas e Termodinaˆmica Fernando C. Guesser fernando.guesser@ifsc.edu.br 16 de junho de 2014 versa˜o atualizada dispon´ıvel em www.joinville.ifsc.edu.br/∼fernando.guesser Suma´rio 1 Equil´ıbrio e Elasticidade 1 2 Gravitac¸a˜o 6 3 Fluidos 8 4 Oscilac¸o˜es 12 5 Temperatura e Calor 25 6 Teoria Cine´tica dos Gases 30 7 Leis da Termodinaˆmica 33 i Por que estudar F´ısica na Mecatroˆnica? Muita gente diz que na˜o gosta de f´ısica, mas voceˆ ja´ parou para pensar o quanto esta cieˆncia colabora para o desenvolvimento tecnolo´gico e cientifico, ale´m e´ claro, de tornar muitos processos mecatroˆnicos poss´ıveis de serem reali- zados. A f´ısica esta´ presente em todo campo da mecatroˆnica, pois todos os princ´ıpios de funcionamento dos diversos componentes eletroˆnicos e mecaˆnicos sa˜o regidos por fenoˆmenos f´ısicos apresentados em experieˆncias laboratoriais. E´ de extrema importaˆncia o conhecimento de muitos conceitos f´ısicos para que o profissional possa entender como funcionam os diversos componentes pre- sentes na mecatroˆnica e projetar novos dispositivos. A f´ısica pode ser considerada como o bastidor da mecatroˆnica e das diversas a´reas da engenharia, pois muitas tecnologias e componentes empregados no cha˜o de fa´brica tais como, motores, soleno´ides, sensores, resistores, prensas e etc, utilizam princ´ıpios f´ısicos. - Por que quando desligamos um motor ele ainda continua o seu movimento? - O que e´ corrente ele´trica? - Como funciona o termoˆmetro? - Como funciona um sensor? - Como e´ formado um campo magne´tico? ... -Como as coisas funcionam? Vire a pa´gina e comece a desvendar as respostas ao longo do segundo volume deste livro. Nesse volume iniciamos o estudo da ondulato´ria e termodinaˆmica. ii Cap´ıtulo 1 Equil´ıbrio e Elasticidade Condic¸o˜es de equil´ıbrio: Para um corpo r´ıgido estar em equil´ıbrio, duas condic¸o˜es devem ser obedecidas. ∑ ~F = 0 ∑ ~τ = 0 Tensa˜o, deformac¸a˜o e lei de Hooke: A lei de Hooke afirma que em deformac¸o˜es ela´sticas, a tensa˜o (forc¸a por unidade de a´rea) e´ proporcional a` deformac¸a˜o (frac¸a˜o da deformac¸a˜o). A constante de proporcionalidade e´ deno- minada mo´dulo de elasticidade. Tensao Deformacao =Modulo de Elasticidade Sua unidade de medida no SI e´ o Pascal, 1Pa = 1N/m2. Tensa˜o de dilatac¸a˜o e de compressa˜o: O mo´dulo de elasticidade conhe- cido como mo´dulo de Young e´ dado por Y = tensao de dilatacao deformacao de dilatacao = F⊥/A ∆l/l0 Tensa˜o volume´trica: O mo´dulo de elasticidade conhecido como mo´dulo de compressa˜o e´ dado por B = tensao volumetrica deformacao volumetrica = F⊥/A ∆V/V0 O inverso do mo´dulo de compressa˜o denomina-se compressibilidade: k = 1/B Tensa˜o de cisalhamento: Omo´dulo de elasticidade conhecido como mo´dulo de cisalhamento e´ dado por S = tensao de cisalhamento deformacao de cisalhamento = F⊥/A x/h Os limites da lei de Hooke: O limite de proporcionalidade corresponde a` tensa˜o ma´xima para a qual a tensa˜o e a deformac¸a˜o sa˜o proporcionais. Acima 1 2 CAPI´TULO 1. EQUILI´BRIO E ELASTICIDADE Material Y (Pa) B (Pa) S (Pa) Alumı´nio 7,0×1010 7,5×1010 2,5×1010 Bronze 9,0×1010 6,0×1010 3,5×1010 Cobre 11×1010 14×1010 4,4×1010 Ferro 21×1010 16×1010 7,7×1010 Chumbo 1,6×1010 4,1×1010 0,6×1010 Ac¸o 20×1010 16×1010 7,5×1010 Tabela 1.1: Mo´dulos de elasticidade aproximados disto a lei de Hooke na˜o e´ mais va´lida. O limite de elasticidade e´ a tensa˜o acima da qual ocorre deformac¸a˜o irrevers´ıvel. A tensa˜o de fratura ou limite de rigidez e´ a tensa˜o acima da qual ocorre fratura do material. Material Tensa˜o de ruptura (Pa ou N/m2) Alumı´nio 2,2×108 Bronze 4,7×108 Ferro 3,0×108 Ac¸o 5-20×108 Tabela 1.2: Tensa˜o de ruptura aproximada de alguns materiais 3 Exerc´ıcios Aplicados 1. Uma barra vertical esta´ presa a` uma dobradic¸a na extremidade inferior e a um cabo na extremidade superior. Uma forc¸a horizontal ~Fa e´ aplicada a` haste, como mostra a figura. Se o ponto de aplicac¸a˜o da forc¸a e´ deslo- cado para cima ao longo da haste, a tensa˜o do cabo aumenta, diminui ou permanece a mesma? 2. A distaˆncia entre os eixos dianteiro e traseiro de um automo´vel Saveiro e´ de 2,598 m. A massa do automo´vel e´ 1005 kg e seu centro de gravidade esta´ situado 1,78 m a` frente do eixo traseiro. Com o automo´vel em terreno plano, determine o mo´dulo da forc¸a exercida pelo solo: (a) Sobre cada roda dianteira (supondo que a forc¸a exercida sobre as rodas dianteiras sa˜o iguais). (b) Sobre cada roda traseira (supondo que a forc¸a exercida sobre as rodas traseiras sa˜o iguais). 3. Na figura abaixo o comprimento da viga e´ 8,00m e seu peso e´ de 1000N . Um homem de 80, 0kg esta´ a uma distaˆncia de 2,00m da parede e o aˆngulo do cabo com a viga e´ de 53,0◦. (a) Determine a trac¸a˜o no cabo. (b) Determine a forc¸a ~F da parede sobre a viga. 4 CAPI´TULO 1. EQUILI´BRIO E ELASTICIDADE 4. Na figura abaixo, para um peso P = 1000N atuando numa barra de 40kg com 3m de comprimento: (a) Determine a trac¸a˜o no tirante. (b) Determine as forc¸as Fx e Fy de reac¸a˜o no apoio. [Obs: Na˜o esquec¸a de considerar o peso da barra.] 5. Uma viga uniforme de peso 700 N e 5,0 m de comprimento esta´ suspensa horizontalmente. No lado esquerdo esta´ presa a uma parede por uma dobradic¸a; no lado direito e´ sustentada por um cabo fixado na parede a uma distaˆncia D acima da viga. A tensa˜o de ruptura do cabo e´ 1200 N . (a) Que valor de D corresponde a essa tensa˜o? (b) Para que o cabo na˜o se rompa, D deve aumentar ou diminuir em relac¸a˜o a esse valor? 6. Um eixo de ac¸o de 2,0m de comprimento possui um diaˆmetro de 0,62cm. O eixo esta´ suspenso por uma das extremidades em uma estrutura de suporte, e uma fresadora de 550kg e´ suspensa na extremidade inferior do eixo. Determine: (a) A tensa˜o. (b) A deformac¸a˜o. (c) A dilatac¸a˜o do eixo. 7. Um arame circular de ac¸o de comprimento igual a 2,0m na˜o pode se dilatar mais do que 0,25cm quando uma tensa˜o de 400N e´ aplicada a cada uma de suas extremidades. Qual e´ o diaˆmetro mı´nimo necessa´rio para esse arame? 8. Uma prensa hidra´ulica conte´m 0,25m3 (250L) de o´leo. Calcule a di- minuic¸a˜o de volume do o´leo quando ele e´ submetido a um aumento de pressa˜o ∆p = 1,6×107Pa (cerca de 5,0×104atm) e sua compressibilidade e´ k = 1/B = 20× 10−6atm−1. 5 9. Um rebite (pino cil´ındrico) de ac¸o possui 0,500cm de diaˆmetro. (a) Ache a tensa˜o de cisalhamento resultante quando uma forc¸a de mo´dulo 9,0×105N e´ aplicada paralelamente a` duas chapas unidas pelo rebite. (b) Ache o deslocamento x em cent´ımetros. 10. Um fio de bronze deve sustentar uma forc¸a de tensa˜o de 350N sem se romper. Qual deveria ser seu diaˆmetro mı´nimo? Cap´ıtulo 2 Gravitac¸a˜o Lei de Newton da Gravitac¸a˜o: Cada part´ıcula do universo atrai qual- quer outra part´ıcula com uma forc¸a diretamente proporcional ao produto das respectivas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia entre elas. FG = Gm1m2 r2 Onde a constante gravitacional G = 6,67× 10−11N ·m2/kg2 Velocidade de escape: E´ a velocidade na qual a energia cine´tica de um corpo e´ igual em magnitude a` sua energia potencial em um campo gravitacional. Na superf´ıcie da Terra, a velocidade de escape e´ cerca de 11,2km/s, o equiva- lente a 40320Km/h, cerca de 111 vezes mais ra´pido do que um carro de fo´rmula 1 em reta livre, ou cerca de 30 vezes mais ra´pido do que a velocidade do som a 25◦C. ve = √ 2Gm R = √ 2gR Leis de Kepler: Sa˜o as treˆs leis do movimento planeta´rio: 1. Os planetas descrevem o´rbitas el´ıpticas, com o sol num dos focos. 2. O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve a´reas iguaisem tempos iguais. (lei das a´reas) 3. Os quadrados dos per´ıodos de revoluca˜o (T ) sa˜o proporcionais aos cubos das distaˆncias me´dias (a) do Sol aos planetas. T 2 = ka3 Onde k e´ uma constante de proporcionalidade. 6 7 Exerc´ıcios Aplicados 1. Qual e´ a forc¸a gravitacional entre dois objetos de 100kg separados por uma distaˆncia de 2m? 2. A que altitude acima da superf´ıcie da Terra voceˆ teria a metade de seu peso? Ou seja, determine a altitude em que a acelerac¸a˜o da gravidade seria de 5,0m/s2. 3. Calcule a forc¸a gravitacional entre a Terra e a Lua. 4. A que distaˆncia da Terra deve estar uma sonda espacial ao longo da reta que liga nosso planeta a` Lua para que a atrac¸a˜o gravitacional da Lua seja igual a` atrac¸a˜o da Terra? Dados: Massa da Terra 5, 98× 1024 kg Massa da Lua 7, 36× 1022 kg Distaˆncia Terra-Lua 3, 82× 108 m Constante gravitacional 6,673×10−11 Nm2/kg2 Cap´ıtulo 3 Fluidos Fluido: e´ uma substaˆncia que se deforma continuamente quando submetida a uma tensa˜o de cisalhamento, na˜o importando o qua˜o pequena possa ser essa tensa˜o. Os fluidos incluem os l´ıquidos e os gases. Hidrosta´tica: e´ a parte da f´ısica que estuda as forc¸as exercidas por e sobre fluidos em repouso. Pressa˜o: e´ a relac¸a˜o entre uma determinada forc¸a e sua a´rea de distribuic¸a˜o. p = F A Sua unidade no SI e´ o Pascal: 1Pa = 1N/m2. Outras unidades: 1atm = 1bar = 1,01× 105Pa = 760mmHg = 1kgf/cm2 = 14,7psi Obs: 1psi = 1lbf/pol2 Pressa˜o atmosfe´rica: e´ a pressa˜o hidrosta´tica causada pelo peso do ar acima do ponto de medic¸a˜o. Pressa˜o hidrosta´tica: e´ a pressa˜o devida a` coluna de fluido. p = ρgh Onde ρ e´ a densidade do fluido, g a acelerac¸a˜o da gravidade e h a altura do fluido. Princ´ıpio de Arquimedes: Um corpo so´lido imerso num fluido sofre a ac¸a˜o de uma forc¸a dirigida para cima igual ao peso do fluido deslocado. Fempuxo = ρfluidoVdeslocadog Princ´ıpio de Pascal: Uma variac¸a˜o de pressa˜o provocada num ponto de um fluido em equil´ıbrio transmite-se a todos os pontos do fluido e a`s paredes que o conteˆm. Hidrodinaˆmica: e´ a parte da f´ısica que estuda as forc¸as exercidas por e sobre fluidos em movimento. Equac¸a˜o da continuidade: Para fluido incompress´ıvel: A1v1 = A2v2 Para fluido compress´ıvel: ρ1A1v1 = ρ2A2v2 8 9 Equac¸a˜o de Bernoulli: descreve o comportamento de um fluido movendo- se ao longo de uma linha de corrente e traduz para os fluidos o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia. v2ρ 2 + p+ ρgz = constante Exerc´ıcios Aplicados 1. Numa prensa hidra´ulica o cilindro menor tem diaˆmetro de 6,0 cm e o cilindro maior tem diaˆmetro de 30 cm. (a) Determine a forc¸a necessa´ria no cilindro menor para elevar um carro popular de 1000kg com velocidade constante. (b) Se o deslocamento do cilindro menor e´ de 20 cm, determine o deslo- camento do cilindro maior. (c) Quantas “bombadas” devemos dar no cilindro menor para elevar o carro em 1 m? 2. Um eˆmbolo com uma sec¸a˜o reta a e´ usado em uma prensa hidra´ulica para exercer uma pequena forc¸a de mo´dulo f sobre um l´ıquido que esta´ em contato, atrave´s de um tubo de ligac¸a˜o, com um eˆmbolo maior de sec¸a˜o reta A. (a) Qual e´ o mo´dulo F da forc¸a que deve ser aplicada ao eˆmbolo maior para que o sistema fique em equil´ıbrio? 10 CAPI´TULO 3. FLUIDOS (b) Se os diaˆmetros dos eˆmbolos sa˜o 3, 80cm e 53, 0cm, qual e´ o mo´dulo da forc¸a que deve ser aplicada ao eˆmbolo menor para equilibrar uma forc¸a de 10, 0kN aplicada ao eˆmbolo maior? 3. Um lingote de alumı´nio so´lido pesa 89N no ar. Dado: ρaluminio = 2700kg/m3. (a) Qual e´ o seu volume? (b) O lingote e´ suspenso por uma corda leve e totalmente imerso na a´gua. Qual e´ a tensa˜o na corda (o peso aparente do lingote na a´gua)? 4. Uma rocha e´ suspensa por uma corda leve. Quando a rocha esta´ no ar, a tensa˜o na corda e´ 39,2N . Quando a rocha esta´ totalmente imersa na a´gua, a tensa˜o e´ 28,4N . Quando a rocha esta´ totalmente imersa em um l´ıquido desconhecido, a tensa˜o e´ 18,6N . Qual e´ a densidade do l´ıquido desconhecido? 5. Na figura a a´gua atravessa um cano horizontal e sai para a atmosfera com uma velocidade v1 = 20 m/s. Os diaˆmetros dos segmentos esquerdo e direito do cano sa˜o 5,0 cm e 3,0 cm. (a) Que volume de a´gua escoa para a atmosfera em um per´ıodo de 10 min? (b) Qual e´ a velocidade v2? (c) Qual e´ a pressa˜o manome´trica no segmento esquerdo do tubo? 6. Como parte de um sistema de lubrificac¸a˜o para ma´quinas pesadas, um o´leo de densidade igual a 850 kg/m3 e´ bombeado atrave´s de um tubo cil´ındrico de 8,0 cm de diaˆmetro a uma vaza˜o de 9,5 litros/s. (a) Qual e´ a velocidade do o´leo? (b) Se o diaˆmetro do tubo for reduzido a 4,0 cm, qual sera´ o novo valor para a velocidade? 7. A entrada da tubulac¸a˜o da figura abaixo tem uma sec¸a˜o reta de 0,74 m2 e a velocidade da a´gua e´ 0,40m/s. Na sa´ıda, a uma distaˆncia de D = 180m abaixo da entrada, a sec¸a˜o reta e´ menor que a da entrada e a velocidade da a´gua e´ 9,5m/s. 11 (a) Qual e´ a diferenc¸a de pressa˜o entre a entrada e a sa´ıda? 8. Em um ponto de um encanamento a velocidade da a´gua e´ 3,0m/s e a pressa˜o manome´trica e´ igual a 5,0×104Pa. Calcule a pressa˜o manome´trica em um segundo ponto do encanamento, 11,0m abaixo do primeiro, sa- bendo que o diaˆmetro do cano no segundo pontoe´ igual ao dobro do diaˆmetro do primeiro. Cap´ıtulo 4 Oscilac¸o˜es Frequeˆncia: A f requeˆncia f de um movimento perio´dico, ou oscilato´rio, e´ o nu´mero de oscilac¸o˜es por tempo. No SI ela e´ medida em hertz: 1hertz = 1Hz = 1s−1 Per´ıodo: O per´ıodo T e´ o tempo necessa´rio para uma oscilac¸a˜o completa, ou ciclo. Ele esta´ relacionado a` frequeˆncia atrave´s da equac¸a˜o: T = 1 f Movimento Harmoˆnico Simples: Nomovimento harmoˆnico simples (MHS) o deslocamento x(t) de uma part´ıcula a partir da posic¸a˜o de equil´ıbrio e´ descrito pela equac¸a˜o: x = xm cos (ωt+ φ) (4.1) onde xm e´ a amplitude do deslocamento, a grandeza (ωt+ φ) e´ a fase do movi- mento e φ e´ a constante de fase. A frequeˆncia angular ω esta´ relacionada ao per´ıodo e a` frequeˆncia do movimento atrave´s da equac¸a˜o: ω = 2π T = 2πf Derivando a equac¸a˜o (4.1) chega-se a`s equac¸o˜es da velocidade e acelerac¸a˜o de uma part´ıcula em MHS em func¸a˜o do tempo: v = −ωxmsen(ωt+ φ) (4.2) a = ω2xm cos (ωt+ φ) (4.3) Na equac¸a˜o (4.2) a grandeza ωxm e´ a amplitude da velocidade, vm. Na equac¸a˜o (4.3) a grandeza ω2xm e´ a amplitude da acelerac¸a˜o, am. O Oscilador Linear: Uma part´ıcula de massam que se move sob influeˆncia de uma forc¸a restauradora dada pela Lei de Hooke F = −kx exibe um MHS com frequeˆncia angular e per´ıodo dados por: 12 13 ω = √ k m T = 2π √ m k Um sistema desse tipo e´ chamada de oscilador harmoˆnico simples linear. Energia: Uma part´ıcula em MHS possui, em qualquer instante, uma energia cine´tica K = 1 2 mv2 e uma energia potencial U = 1 2 kx2. Se na˜o ha´ atrito, a energia mecaˆnica E = K + U permanece constante mesmo que K e U variem. Peˆndulos: Sa˜o exemplos de dispositivos que executam um MHS. Para pe- quenas oscilac¸o˜es, os per´ıodos de oscilac¸a˜o do peˆndulo simples, do peˆndulo f´ısico e do peˆndulo de torc¸a˜o sa˜o respectivamente: T = 2π √ L g T = 2π √ I mgh T = 2π √ I κ MHS e movimento circular uniforme: O MHS e´ a projec¸a˜o do movi- mento circular uniforme. Movimento Harmoˆnico Amortecido: A energia mecaˆnica E de sistemas oscilato´rios reais diminui durante as oscilac¸o˜es porque forc¸as externas, como as forc¸as de arrasto, inibem as oscilac¸o˜es e transferem energia mecaˆnica para energia te´rmica. Nesse caso, dizemos que o oscilador real e o seu movimento sa˜o amortecidos. Se a forc¸a de amortecimento e´ dadapor ~Fa = −b~v, onde ~v e´ a velocidade do oscilador e b e´ uma constante de amortecimento, o deslocamento do oscilador e´ dado por: x(t) = xme −bt/2m cos (ω′t+ φ) onde ω′, a frequeˆncia angular do oscilador amortecido, e´ dada por: ω′ = √ k m − b 2 4m2 Se a constante de amortecimento e´ pequena (b ≪ √ km), ω′ ≈ ω, onde ω e´ a frequeˆncia angular do oscilador angular na˜o-amortecido. Para pequenos valores de b, a energia mecaˆnica E do oscilador e´ dada por: E(t) ≈ 1 2 kx2me −bt/m Oscilac¸o˜es Forc¸adas e Ressonaˆncia: Se uma forc¸a externa de frequeˆncia angular ωe age sobre um sistema oscilato´rio de frequeˆncia angular natural ω, 14 CAPI´TULO 4. OSCILAC¸O˜ES o sistema oscila com frequeˆncia angular ωe. A amplitude da velocidade vm do sistema e´ ma´xima para ωe = ω uma situac¸a˜o conhecida como ressonaˆncia. A amplitude xm do sistema e´ (aproximadamente) ma´xima na mesma situac¸a˜o. Ondas Transversais e Longitudinais: As ondas mecaˆnicas podem existir apenas em meios materiais, e sa˜o governadas pelas leis de Newton. As ondas mecaˆnicas transversais, como as que existem em uma corda esticada, sa˜o on- das nas quais as part´ıculas do meio oscilam perpendicularmente a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o da onda. As ondas em que as part´ıculas do meio oscilam na direc¸a˜o de propagac¸a˜o da onda sa˜o chamadas de ondas longitudinais. Ondas Senoidais: Uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de um eixo x pode ser representada pela func¸a˜o y(x, t) = ym sen(kx− ωt) onde ym e´ a amplitude da onda, k e´ o nu´mero de onda, ω e´ a frequeˆncia angular e (kx− ωt) e´ a fase. O comprimento de onda λ esta´ relacionado a k atrave´s da equac¸a˜o k = 2π λ O per´ıodo T e a frequeˆncia f da onda esta˜o relacionados a ω atrave´s da equac¸a˜o ω 2π = f = 1 T Finalmente, a velocidade v da onda esta´ relacionada a esses outros paraˆmetros atrave´s das equac¸o˜es v = ω k = λ T = λf Equac¸a˜o de uma Onda Progressiva: Qualquer func¸a˜o da forma y(x, t) = h(kx± ωt) pode representar uma onda progressiva com uma forma matema´tica dada pela func¸a˜o h. O sinal positivo mostra que a onda se propaga no sentido negativo do eixo x, e o sinal negativo mostra que a onda se propaga no sentido positivo. Velocidade de Onda em uma Corda Esticada: A velocidade de uma onda em uma corda esticada e´ determinada pela propriedades da corda. A velocidade em uma corda com tensa˜o τ e massa espec´ıfica linear µ e´ dada por v = √ τ µ Poteˆncia: A poteˆncia me´dia, ou taxa me´dia, com a qual a energia e´ trans- mitida por uma onda senoidal em uma corda esticada e´ dada por Pme´d = 1 2 µvω2y2m 15 Superposic¸a˜o de Ondas: Quando duas ou mais ondas se propagam no mesmo meio o deslocamento de qualquer part´ıcula do meio e´ a soma dos deslo- camentos que seriam provocados pelas ondas agindo separadamente. Interfereˆncia de Ondas: Duas ondas senoidais em uma mesma corda sofrem interfereˆncia, somando-se ou cancelando-se de acordo com o princ´ıpio da superposic¸a˜o. Se as duas ondas se propagam no mesmo sentido e teˆm a mesma amplitude ym e a mesma frequeˆncia angular ω (e, portanto, o mesmo comprimento de onda λ), mas teˆm uma diferenc¸a de fase φ, o resultado e´ uma u´nica onda com esta mesma frequeˆncia: y′(x, t) = [ 2ym cos 1 2 φ ] sen ( kx− ωt+ 1 2 φ ) Se φ = 0, as ondas teˆm fases iguais e a interfereˆncia e´ totalmente construtiva; se φ = πrad, as ondas teˆm fases opostas e a interfereˆncia e´ totalmente destrutiva. Fasores: Uma onda y(x, t) pode ser representada por um fasor, um vetor de mo´dulo igual a` amplitude ym da onda que gira em torno da origem com uma velocidade angular igual a` frequeˆncia angular ω da onda. A projec¸a˜o do fasor em um eixo vertical fornece o deslocamento y de um ponto situado no trajeto da onda. Ondas Estaciona´rias: A interfereˆncia de duas ondas senoidais iguais que se propagam em sentidos opostos produz ondas estaciona´rias. No caso de uma corda com as extremidades fixas, a onda estaciona´ria e´ dada por y′(x, t) = [2ymsen(kx)] cos (ωt) As ondas estaciona´rias possuem pontos em que o deslocamento e´ nulo, chamados no´s, e pontos em que o deslocamento e´ ma´ximo, chamados antino´s. Ressonaˆncia: Ondas estaciona´rias podem ser produzidas em uma corda atrave´s da reflexa˜o de ondas progressivas nas extremidades da corda. Se uma extremidade e´ fixa, deve ser a posic¸a˜o de um no´. Isso limita as frequeˆncias poss´ıveis para as ondas estaciona´rias em uma corda. Cada frequeˆncia poss´ıvel e´ uma frequeˆncia de ressonaˆncia, e a onda estaciona´ria correspondente e´ um modo de oscilac¸a˜o. Para uma corda esticada de comprimento L com as extremidades fixas as frequeˆncias de ressonaˆncia sa˜o dadas por f = v λ = n v 2L para n = 1, 2, 3 . . . O modo de oscilac¸a˜o correspondente a n = 1 e´ chamado de modo fundamental ou primeiro harmoˆnico; o modo correspondente a n = 2 e´ o segundo harmoˆnico e assim por diante. Ondas Sonoras: Ondas sonoras sa˜o ondas mecaˆnicas longitudinais que podem se propagar em so´lidos, l´ıquidos e gases. A velocidade v de uma onda sonora em um meio de mo´dulo de elasticidade volume´trico B e massa espec´ıfica ρ e´ v = √ B ρ No ar a 20◦C, a velocidade do som e´ igual a 343m/s. 16 CAPI´TULO 4. OSCILAC¸O˜ES Uma onda sonora provoca um deslocamento longitudinal s de um elemento de massa em um meio que e´ dado por s = sm cos (kx− ωt) onde sm e´ a amplitude do deslocamento (deslocamento ma´ximo) em relac¸a˜o ao equil´ıbrio, k = 2π/λ e ω = 2πf , onde λ e f sa˜o o comprimento de onda e a frequeˆncia da onda sonora. A onda sonora tambe´m provoca uma variac¸a˜o ∆p da pressa˜o do meio em relac¸a˜o a` pressa˜o de equil´ıbrio: ∆p = ∆pmsen(kx− ωt) com ∆pm = (vρω)sm Intensidade Sonora: A intensidade I de uma onda sonora em uma su- perf´ıcie e´ a taxa me´dia por unidade de a´rea com a qual a energia contida na onda atravessa a superf´ıcie ou e´ absorvida por ela: I = P A onde P e´ a poteˆncia da onda sonora e A e´ a a´rea da superf´ıcie que intercepta o som. A intensidade I esta´ relacionada a` amplitude sm do deslocamento da onda sonora atrave´s da equac¸a˜o I = 1 2 ρvω2s2m A intensidade a uma distaˆncia r da fonte pontual que emite ondas sonoras de poteˆncia Ps e´ I = Ps 4πr2 Nı´vel Sonoro em Decibe´is: O n´ıvel sonoro β em decibe´is (dB) e´ definido como β = (10dB) log I I0 onde I0 = 10 −12W/m2 e´ um n´ıvel de intensidade de refereˆncia com o qual todas as intensidades sa˜o comparadas e corresponde aproximadamente ao limiar da audic¸a˜o humana. O Efeito Doppler: O efeito Doppler e´ a mudanc¸a da frequeˆncia observada de uma onda quando a fonte ou o seu detector esta´ se movendo em relac¸a˜o ao meio onde a onda esta´ se propagando. No caso do som, a frequeˆncia observada f ′ esta´ relacionada a` frequeˆncia f da fonte atrave´s da equac¸a˜o f ′ = f v ± vD v ± vS onde vD e´ a velocidade do detector, vS e´ a velocidade da fonte e v e´ a velocidade do som no meio. Os sinais sa˜o escolhidos para que f ′ tenda a ser maior para os movimentos de aproximac¸a˜o e menor para os movimentos de afastamento. Ondas de Choque: Se a velocidade de uma fonte em relac¸a˜o ao meio e´ maior que a velocidade do som no meio, a equac¸a˜o para o efeito Doppler deixa de ser va´lida. Nesse caso, surgem ondas de choque. O semi-aˆngulo θ do cone de Mach e´ dado por senθ = v vs 17 Exerc´ıcios Aplicados 1. Um transdutor ultrasoˆnico (uma espe´cie de alto-falante), usado para di- agno´stico me´dico, oscila com uma frequeˆncia igual a 6,7MHz. (a) Quanto dura uma oscilac¸a˜o? (b) Qual e´ a frequeˆncia angular? 2. Os amortecedores de um carro velho de 1000kg esta˜o completamente gas- tos. Quando uma pessoa de 100kg sobe lentamente no centrode gravidade do carro, ele se abaixa 2,8cm. Quando essa pessoa esta´ dentro do carro durante uma colisa˜o com um obsta´culo, o carro oscila verticalmente com MHS. Considerando o carro e a pessoa uma u´nica massa apoiada sobre uma u´nica mola, calcule: (a) O per´ıodo. (b) A frequeˆncia da oscilac¸a˜o. 3. Ondas sonoras sa˜o ondas longitudinais que se propagam no ar. A veloci- dade do som depende da temperatura e a 20◦C e´ 343m/s. (a) Qual e´ o comprimento de onda de uma onda sonora no ar a 20◦C sabendo que a frequeˆncia e´ f = 262Hz (uma frequeˆncia aproxima- damente igual a` nota Do´)? (b) Ao projetar uma sirene de alarme com esta frequeˆncia qual deve ser a poteˆncia mı´nima para que uma pessoa ainda possa ouvir a` 100m de distaˆncia? 4. Um navio usa um sistema de sonar para detectar objetos submersos. O sistema emite ondas sonoras embaixo da a´gua e mede o intervalo de tempo que a onda refletida (eco) leva para retornar ao detector. (a) Determine a velocidade das ondas sonoras na a´gua. (b) Ache o comprimento de onda na a´gua de uma onda com frequeˆncia igual a 262Hz [Ba´gua = 2,2× 109kg/(m · s2)] 18 CAPI´TULO 4. OSCILAC¸O˜ES Alguns roboˆs usam este tipo de sonar para localizar obsta´culos e evitar coliso˜es quando se locomovem. 5. Todos os animais que caminham, inclusive roboˆs, possuem um ritmo na- tural de caminhada, ou seja, um nu´mero de passos por minuto mais con- forta´vel do que um ritmo mais lento ou veloz. Suponha que esse ritmo natural seja igual ao per´ıodo da perna, encarada como um peˆndulo em forma de barra com um pivoˆ na junta do quadril. (a) Como o ritmo de uma caminhada natural depende do comprimento L da perna, medido desde o quadril ate´ o pe´? [Ao projetar um roboˆ ele deve ter essa frequeˆncia de passos para ter maior estabilidade.] (b) Evideˆncias de fo´sseis mostram que o Tyrannosaurus rex, um dinos- sauro com duas pernas que viveu ha´ 65 milho˜es de anos no final do per´ıodo creta´ceo, tinha pernas de comprimento L = 3,1m e uma pas- sada (distaˆncia entre uma pegada e a pegada seguinte do mesmo pe´) S = 4,0m. Estime a velocidade da caminhada do Tyrannosaurus rex. A velocidade da caminhada do Tyrannosaurus rex pode ser estimada a partir do com- primento de sua perna L e do comprimento de sua passada S. [Sugesta˜o: Considere a perna um peˆndulo f´ısico.] [Momento de ine´rcia do centro de massa de uma barra uniforme: ICM = 1 12 ML2] [Teorema dos eixos paralelos para o momento de ine´rcia: I = ICM +Mh 2] 6. Um bloco de 0,10kg oscila em linha reta em uma superf´ıcie horizontal com atrito desprez´ıvel. O deslocamento em relac¸a˜o a` origem e´ dado por x = (10cm) cos[(10rad/s)t+ π/2rad] (a) Qual e´ a frequeˆncia de oscilac¸a˜o? (b) Qual e´ a velocidade ma´xima do bloco? 19 (c) Para que valor de x a velocidade e´ ma´xima? (d) Que forc¸a, aplicada ao bloco pela mola, produz uma oscilac¸a˜o como esta? 7. Uma bola de demolic¸a˜o de 2500kg balanc¸a na ponta de um guindaste. O comprimento do segmento de cabo que se move com a bola e´ 17m. Determine o per´ıodo do balanc¸o, supondo que o sistema pode ser tratado como um peˆndulo simples. 8. Use a equac¸a˜o de onda para determinar a velocidade de uma onda dada por y(x, t) = (3,00mm) sen[(4,00m−1)x− (7,00s−1)t] 9. A velocidade no va´cuo das ondas eletromagne´ticas (como as ondas de luz vis´ıvel, as ondas de ra´dio e os raios X) e´ 3,0× 108m/s. (a) Os comprimentos de onda da luz vis´ıvel va˜o de aproximadamente 400nm no violeta a 700nm no vermelho. Qual e´ o intervalo de frequeˆncias dessas ondas? (b) O intervalo de frequeˆncias das ondas curtas de ra´dio (como as ondas de ra´dio FM e de VHF da televisa˜o) e´ de 1,5 a 300MHz. Qual e´ o intervalo de comprimentos de onda correspondente? (c) Os comprimento de onda dos raios X va˜o de aproximadamente 5,0nm a 1,0× 10−2nm. Qual e´ o intervalo de frequeˆncias dos raios X? 10. Suponha que um altofalante esfe´rico emite sons isotropicamente com uma poteˆncia de 10W . (a) Qual e´ a intensidade do som a uma distaˆncia d = 3,0m da fonte? (b) Determine este n´ıvel sonoro em decibe´is. 11. Um detector de movimento estaciona´rio envia ondas de 0, 150MHz em direc¸a˜o a um caminha˜o que se aproxima com uma velocidade de 45,0m/s. Qual e´ a frequeˆncia das ondas refletidas de volta para o detector? 12. Um dispositivo executa um MHS linear com uma frequeˆncia de 0,25Hz em torno do ponto de equil´ıbrio x = 0. Em t = 0 ele tem um deslocamento x = 0, 37cm e velocidade nula. Determine os seguintes paraˆmetros: 20 CAPI´TULO 4. OSCILAC¸O˜ES (a) Per´ıodo. (b) Frequeˆncia angular. (c) Amplitude. (d) Deslocamento x(t). (e) Velocidade v(t). (f) Velocidade ma´xima. (g) Deslocamento em t = 3, 0s. (h) Velocidade em t = 3, 0s. 13. Para simular um relo´gio ou cronoˆmetro voceˆ pode construir um peˆndulo que tenha o per´ıodo de 1, 0s. Calcule qual deve ser o comprimento de um peˆndulo simples para que ele tenha um per´ıodo de 1, 0s. 14. Uma onda que se propaga em uma corda e´ descrita pela equac¸a˜o y(x, t) = 0, 00654 sen(144, 2 x− 5, 44 t) onde as constantes nume´ricas esta˜o em unidades do SI (0,00654m, 144,2rad/m e 5,44rad/s). Determine: (a) A amplitude da onda. (b) O comprimento de onda. (c) O per´ıodo. (d) A frequeˆncia da onda. (e) A velocidade da onda. (f) O deslocamento y para x = 45, 0cm e t = 37, 8s. 15. Duas ondas senoidais de mesma frequeˆncia se propagam no mesmo sentido em uma corda. Se ym1 = 6, 0cm, ym2 = 8, 0cm, φ1 = π/6 rad e φ2 = π/3 rad, qual e´ a amplitude da onda resultante? 16. A fonte de uma onda sonora, por exemplo um alto-falante, tem uma poteˆncia de 1, 00 µW . (a) Qual e´ a intensidade a 3, 00m de distaˆcia? (b) Qual e´ o n´ıvel sonoro em decibe´is a essa distaˆncia? 17. Uma ambulaˆncia cuja sirene emite um som com uma frequeˆncia de 1600 Hz se aproxima de um ciclista que esta´ a 10 km/h no mesmo sentido. Antes de ser ultrapassado, o ciclista escuta uma frequeˆncia de 1700 Hz. Qual e´ a velocidade da ambulaˆncia? 21 18. Um oscilador harmoˆnico simples e´ formado por um bloco de 1,00kg preso a uma mola. O bloco oscila em linha reta, de um lado para o outro, em uma superf´ıcie de atrito desprez´ıvel, com o ponto de equil´ıbrio em x = 0. Em t = 0, o bloco esta´ em x = 0 e se move no sentido positivo de x. A figura mostra o mo´dulo da forc¸a ~F aplicada em func¸a˜o da posic¸a˜o do bloco. A escala vertical e´ definida por Fs = 100N . Quais sa˜o: (a) A amplitude do movimento. (b) O per´ıodo do movimento. (c) O mo´dulo da acelerac¸a˜o ma´xima. (d) A energia cine´tica ma´xima. 19. Duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada. Para a onda 1, ym = 3, 0mm e φ = 0; para a onda 2, ym = 5, 0mm e φ = 70 ◦. Quais sa˜o: (a) A amplitude da onda resultante. (b) A constante de fase da onda resultante. 20. Suponha que um alto-falante esfe´rico emite sons isotropicamente com uma poteˆncia de 10 W em uma sala com paredes, piso e teto cobertos de material absorvente (uma caˆmara aneco´ica). Uma caˆmara anecoica (an- echoic, sem eco) e´ uma sala projetada para conter reflexo˜es, tanto de ondas sonoras quanto eletromagne´ticas. (a) Qual e´ a intensidade do som a uma distaˆncia d = 3, 0m da fonte? 22 CAPI´TULO 4. OSCILAC¸O˜ES (b) Qual e´ a raza˜o entre as amplitudes da onda em d = 4, 0m e em d = 3, 0m? 21. Um homem em repouso (em relac¸a˜o ao ar e ao cha˜o) ouve um sinal de frequeˆncia f1 produzido por uma fonte que se move em sua direc¸a˜o com velocidade de 10m/s. Se o homem se move em direc¸a˜o a` fonte com uma velocidade de 20m/s, ouve uma frequaˆncia f2 que difere de f1 por 30Hz. Qual e´ a frequeˆncia da fonte? 22. O movimento do pista˜o no interior do motor de um carro e´ aproximada- mente um MHS. (a) Sabendo que o percurso (o dobroda amplitude) e´ igual a 0,100 m e que o motor gira com 3500 rev/min, calcule a acelerac¸a˜o do pista˜o no ponto final do percurso. (b) Sabendo que a massa do pista˜o e´ igual a 0,450 kg, qual e´ a forc¸a resultante exercida sobre ele nesse ponto? (c) Calcule a velocidade e a energia cine´tica do pista˜o no ponto me´dio do percurso. (d) Qual e´ a poteˆncia me´dia necessa´ria para acelerar o pista˜o do repouso ate´ a velocidade calculada no item anterior? (e) Se o motor girar a 7000 rev/min (o dobro da anterior), quais sera˜o as novas respostas? 23. Duas ondas se propagam com as seguintes equac¸o˜es: y1(x, t) = (4, 50mm) sen(2πx− 400πt) y2(x, t) = (5, 50mm) sen(2πx− 400πt+ 1, 30π rad) Quais sa˜o a amplitude e o aˆngulo de fase da onda resultante? 24. A extremidade esquerda de uma mola horizontal e´ mantida fixa. Ligamos um dinamoˆmetro na extremidade livre da mola e puxamos para a direita. Verificamos que a forc¸a que estica a mola e´ proporcional ao deslocamento e que uma forc¸a de 6,0 N produz um deslocamento igual a 0,030m. A seguir removemos o dinamoˆmetro e amarramos a extremidade livre a um corpo de 0,50 kg, puxamos o corpo ate´ uma distaˆncia de 0,020 m, o libertamos e observamos o MHS resultante. (a) Calcule a constante da mola. (b) Calcule a frequeˆncia, a frequeˆncia angular e o per´ıodo da oscilac¸a˜o. (c) Escreva as equac¸o˜es para o deslocamento, a velocidade e a acelerac¸a˜o em func¸a˜o do tempo. (d) Ache a velocidade ma´xima. (e) Ache a acelerac¸a˜o ma´xima. (f) Calcule a velocidade e a acelerac¸a˜o quando o corpo esta´ na metade da distaˆncia entre o ponto de equil´ıbrio e seu afastamento ma´ximo. (g) Ache a energia mecaˆnica total, a energia potencial e a energia cine´tica nesse ponto. 23 25. Duas ondas senoidais de mesma frequeˆncia se propagam no mesmo sentido. Uma onda tem amplitude ym = 3,0 mm e constante de fase φ = 0; a outra tem ym = 5,0 mm e φ = 70 ◦. Quais sa˜o: (a) A amplitude da onda resultante. (b) A constante de fase da onda resultante. 26. Uma fonte emite ondas sonoras cuja intensidade e´ de 60 decibe´is a 5,0 m da fonte. Determine a poteˆncia da fonte. 27. Suponha que um altofalante esfe´rico emite sons isotropicamente com uma poteˆncia de 2W . (a) Qual e´ a intensidade do som a uma distaˆncia d = 5,0m da fonte? (b) Determine este n´ıvel sonoro em decibe´is. (c) Ao projetar uma sirene de alarme com uma frequeˆncia de 500Hz qual deve ser a poteˆncia mı´nima para que uma pessoa ainda possa ouvir a` 100m de distaˆncia? 28. Um detector de movimento estaciona´rio envia ondas de 0, 150MHz em direc¸a˜o a um caminha˜o que se aproxima com uma velocidade de 45,0m/s. Qual e´ a frequeˆncia das ondas refletidas de volta para o detector? 29. Pisto˜es de automo´vel executam movimento harmoˆnico simples, pois sa˜o movidos por bielas que transformam movimento circular em movimento linear. O pista˜o de um automo´vel tem um curso (dobro da amplitude) de 0,20m. Quando a sua frequeˆncia angular for de 180rpm, qual e´ a velocidade ma´xima do pista˜o? 30. Como vimos no exerc´ıcio anterior o movimento do pista˜o no interior do motor de um carro e´ um MHS. Sabendo que o pista˜o tem 450g, seu curso (o dobro da amplitude) e´ igual a 0,100m e que o motor gira com 3500rpm. Em relac¸a˜o ao ponto me´dio do percurso calcule: (a) A energia cine´tica do pista˜o. (b) A poteˆncia me´dia necessa´ria para acelerar o pista˜o do repouso ate´ a velocidade neste ponto? (c) Se o motor girar a 7000rpm (o dobro da anterior), quais sera˜o as novas respostas? 31. Uma certa onda transversal e´ descrita por y(x, t) = (6,50mm) cos ( x 28,0cm − t 0,0360s ) Determine para esta onda: (a) A amplitude. (b) O comprimento de onda. (c) A frequeˆncia. (d) A velocidade de propagac¸a˜o. 24 CAPI´TULO 4. OSCILAC¸O˜ES 32. Quando um cilindro de ac¸o de 10kg e´ pendurado na extremidade inferior de uma mola vertical ela sofre uma distensa˜o de 10cm. (a) Qual e´ a constante ela´stica da mola? (b) A mesma mola e´ colocada horizontalmente em uma mesa com atrito desprez´ıvel. Uma das extremidades e´ mantida fixa e a outra e´ presa a um bloco de 0,5kg. O bloco e´ deslocado, esticando a mola, e liberado a partir do repouso. Qual e´ o per´ıodo da oscilac¸a˜o produzida? 33. Para cadenciar o funcionamento de um dispositivo mecaˆnico um enge- nheiro precisa projetar um peˆndulo que tenha um per´ıodo de 1, 000s para pequenas oscilac¸o˜es num local onde g = 9, 800m/s2. Ele dispo˜e de um disco de lata˜o de raio r = 5,0cm e massa 500g. Qual deve ser o compri- mento L de uma haste fina e massa desprez´ıvel para obter este per´ıodo? 34. Uma sirene de alarme de tornado instalada sobre um alto poste irradia ondas sonoras uniformemente em todas as direc¸o˜es. A uma distaˆncia de 15,0m a intensidade do som e´ 0,250W/m2. A que distaˆncia da sirene a intensidade e´ 0,010W/m2? 35. A figura mostra treˆs ondas que sa˜o produzidas separadamente em uma corda que esta´ esticada ao longo de um eixo x e submetida a uma certa tensa˜o. Ordene em ordem crescente as ondas de acordo com: (a) O comprimento de onda. (b) A velocidade. (c) A frequeˆncia. Cap´ıtulo 5 Temperatura e Calor Temperatura: e´ uma grandeza f´ısica que mensura a energia cine´tica me´dia das part´ıculas de um sistema em equil´ıbrio te´rmico. A rigor, a temperatura e´ definida apenas para sistemas em equil´ıbrio te´rmico. Escalas de temperatura: Abaixo, algumas fo´rmulas de conversa˜o das diferentes escalas de temperatura utilizadas entre Kelvin, Celsius e Fahrenheit: TK = TC + 273,15 TC = 5 9 (TF − 32) TF = 9 5 TC + 32 Dilatac¸a˜o te´rmica: e´ o nome que se da´ ao aumento do volume de um corpo ocasionado pelo aumento de sua temperatura, o que causa o aumento no grau de agitac¸a˜o de suas mole´culas e consequente aumento na distaˆncia me´dia entre as mesmas. A dilatac¸a˜o ocorre de forma mais significativa nos gases, de forma intermedia´ria nos l´ıquidos e de forma menos expl´ıcita nos so´lidos, podendo-se afirmar que: Dilatac¸a˜o nos gases > Dilatac¸a˜o nos l´ıquidos > Dilatac¸a˜o nos so´lidos. Nos materiais isotro´picos pode-se calcular a variac¸a˜o de comprimento, e consequentemente de a´rea e volume, em func¸a˜o da variac¸a˜o de temperatura: ∆L = α · L0 ·∆T onde ∆L, variac¸a˜o do comprimento; α, coeficiente de dilatac¸a˜o linear; L0, com- primento inicial; ∆T = T − T0, variac¸a˜o de temperatura. Nota: Visto que se utiliza uma variac¸a˜o, uma diferenc¸a, e´ indiferente que a unidade de medida da temperatura seja graus Celsius ou Kelvin pois ambas sa˜o cent´ıgradas. Se o coeficiente de dilatac¸a˜o for dado em Fahrenheit, a temperatura do ca´lculo deve ser tambe´m Fahrenheit. Para dilatac¸a˜o volume´trica: ∆V = γ · V0 ·∆T onde γ = 3α. 25 26 CAPI´TULO 5. TEMPERATURA E CALOR Calor: e´ o termo associado a` transfereˆncia de energia te´rmica de um sistema a outro - ou entre partes de um mesmo sistema - exclusivamente em virtude da diferenc¸a de temperaturas entre eles. Quantidade de calor sens´ıvel: A quantidade de calor sens´ıvel Q pode ser calculada a partir da massa da substaˆncia que sofre variac¸a˜o te´rmica m, do calor espec´ıfico dela c e da variac¸a˜o te´rmica que o corpo sofre ∆T . Q = m · c ·∆T Quantidade de calor latente: E´ a quantidade de calor que causa mudanc¸a de estado f´ısico, mas na˜o de temperatura. A quantidade de calor latente Q pode ser calculada pelo calor latente L e pela massa da substaˆncia. Q = L ·m Temos o calor latente de fusa˜o Lf e o de vaporizac¸a˜o Lv. Coeficientes de Dilatac¸a˜o Linear Material α ac¸o 11 ×10−6 K−1 ferro fundido 11 ×10−6 K−1 alumı´nio 23 ×10−6 K−1 vidro 4,0 ×10−6 lata˜o 19 ×10−6 mercu´rio 180 ×10−6 Calor Espec´ıfico Substaˆncia calg·K J kg·K a´gua 1,00 4180 alumı´nio 0,215 900 sil´ıcio 705 Calores LatentesSubstaˆncia Fusa˜o (K) Lf (kJ/kg) Ebulic¸a˜o (K) Lv (kJ/kg) a´gua 273 333 373 2256 chumbo 601 23,2 2017 858 prata 1235 105 2323 2326 cobre 1356 207 2868 4730 27 Exerc´ıcios Aplicados 1. Um torneiro mecaˆnico faz um furo com um diaˆmetro de 15,50 mm em uma placa de ac¸o a uma temperatura de 25◦C. Qual sera´ o diaˆmetro do furo a` 175◦C? 2. O comprimento de um fio a 20◦C e´ 1,50 m. A 420◦C seu comprimento aumenta em 1,7 cm. Calcule o coeficiente de dilatac¸a˜o linear me´dio nesse intervalo de temperatura. 3. Um agrimensor usa uma fita de ac¸o de 50,000 m de comprimento a uma temperatura de 20◦C. (a) Qual e´ o comprimento da fita em um dia de vera˜o quando a tempe- ratura e´ igual a 35◦C? (b) O agrimensor usa a fita para medir uma distaˆncia quando a tempe- ratura e´ igual a 35◦C; o valor lido na fita e´ igual a 35,794 m. Qual e´ a sua distaˆncia real? Suponha que a fita foi calibrada para uso a 20◦C. 4. Um frasco de vidro com volume igual a 200 cm3 a 20◦C esta´ cheio de mercu´rio ate´ a borda. Qual e´ a quantidade de mercu´rio que transborda quando a temperatura do sistema se eleva ate´ 100◦C? 5. Na temperatura de uma sala de metrologia, 20◦C, um conjunto mecaˆnico eixo-furo composto de um eixo de ferro fundido retificado de 9,97mm e uma bucha de alumı´nio de 10,00mm teˆm um ajuste deslizante com uma folga de 0,03mm. Dentro da ma´quina, nas condic¸o˜es de trabalho a tem- peratura chega a 90◦C. Determine a folga do conjunto em operac¸a˜o. 6. Em um motor de um Gol 1.8 o diaˆmetro dos cilindros de ferro fundido mede 81,00 mm e os pisto˜es medem 80,97 mm a` 20◦C. Se os pisto˜es fossem feitos de alumı´nio, ate´ que temperatura o motor pode aquecer? 7. Em determinado ajuste para conseguir introduzir um eixo de ac¸o em um rolamento de ac¸o o mecaˆnico de manutenc¸a˜o precisa resfriar o eixo com nitrogeˆnio l´ıquido. Sabendo-se que a temperatura do nitrogeˆnio l´ıquido e´ −196,0◦C e o eixo tem um diaˆmetro de 10,00mm e esta´ a` 20,00◦C. Qual deve ser o diaˆmetro mı´nimo do furo do rolamento para que ele consiga a montagem? 28 CAPI´TULO 5. TEMPERATURA E CALOR 8. Para obter uma junta firme, os rebites de alumı´nio usados na construc¸a˜o de avio˜es sa˜o feitos com um diaˆmetro ligeiramente maior do que o diaˆmetro do buraco, e resfriados com ‘gelo seco’ (CO2 so´lido) antes de serem colocados nos respectivos buracos. Sabendo que o diaˆmetro de um buraco e´ 4,5 mm, qual deve ser o diaˆmetro de um rebite a 23◦C para que seu diaˆmetro fique igual ao do buraco quando o rebite for esfriado ate´ −78◦C, a temperatura do gelo que sera´ usado? 9. Voceˆ e´ o novo engenheiro mecaˆnico da Motores Inc., e foi incubido de projetar pisto˜es de lata˜o para deslizarem dentro de cilindros de ac¸o. Os motores em que estes pisto˜es sera˜o usados ira˜o funcionar entre 20◦C e 150◦C. Se os pisto˜es cil´ındricos teˆm 25,0 cm de diaˆmetro a 20◦C, qual deveria ser o diaˆmetro mı´nimo dos cilindros nessa temperatura para que os pisto˜es funcionassem a 150◦C? 10. Um eixo feito de uma liga meta´lica desconhecida tem um comprimento de 10,000 mm a 20,000 ◦C e um comprimento de 10,025 mm no ponto de ebulic¸a˜o da a´gua. (a) Qual e´ o coeficiente de dilatac¸a˜o linear dessa liga meta´lica? (b) Qual e´ o comprimento da barra no ponto de congelamento da a´gua? (c) Qual e´ a temperatura para a qual o comprimento da barra e´ 10,010 mm? 11. Um pequeno aquecedor ele´trico de imersa˜o e´ usado para esquentar 200g de a´gua, com o objetivo de preparar cafe´ solu´vel. Trata-se de um aquecedor de 200watts (esta e´ a taxa de conversa˜o de energia ele´trica em energia te´rmica). Calcule o tempo necessa´rio para aquecer a a´gua de 25,0◦C para 100◦C, desprezando as perdas de calor. 29 12. Em um episo´dio de gripe, um homem de 80 kg tem 39◦C de febre (cerca de 2◦C acima da temperatura normal de 37◦C). Considerando que o corpo humano e´ constitu´ıdo essencialmente de a´gua, qual seria o calor necessa´rio para produzir essa variac¸a˜o de temperatura? 13. Uma chaleira de alumı´nio com massa igual a 1,50 kg e contendo 1,80 kg de a´gua e´ colocada para esquentar em um foga˜o. Supondo que na˜o haja nenhuma perda de calor para o ambiente, qual e´ a quantidade de calor que deve ser adicionada para elevar a temperatura de 20◦C ate´ 85◦C? 14. Voceˆ esta´ projetando um elemento para um circuito eletroˆnico constitu´ıdo por 27mg de sil´ıcio. A corrente ele´trica transfere energia para o elemento a uma taxa igual a 7,5mW . Se o seu projeto na˜o permite nenhuma trans- fereˆncia de calor a partir do elemento, qual e´ a taxa de aumento da tem- peratura do elemento? 15. Certa substaˆncia, cuja massa e´ 200g, inicialmente so´lida a` temperatura de −10◦C, passa pelas transformac¸o˜es de fase mostradas no gra´fico abaixo. Determine: (a) O calor espec´ıfico na fase so´lida. (b) O calor latente de fusa˜o. (c) A temperatura de vaporizac¸a˜o. 16. Uma quantidade de a´gua l´ıquida de massa 200g, a uma temperatura de 30◦C, e´ colocada em uma calor´ımetro junto a 50g de gelo a 0◦C. Apo´s atingir o equil´ıbrio, dado que o calor espec´ıfico da a´gua e´ c = 1cal/(g ·K) e o calor latente de fusa˜o do gelo e´ L = 80cal/g, calcule a temperatura final da mistura gelo + a´gua. Cap´ıtulo 6 Teoria Cine´tica dos Gases Ga´s: e´ um dos estados da mate´ria, na˜o tem forma e volume definidos, e consiste em uma colec¸a˜o de part´ıculas (mole´culas, a´tomos, ı´ons, ele´trons, etc.) cujos movimentos sa˜o aproximadamente aleato´rios. Ga´s ideal: e´ um modelo idealizado, para o comportamento de um ga´s. E´ um ga´s teo´rico composto de um conjunto de part´ıculas pontuais movendo- se aleatoriamente e na˜o interagindo. O conceito de ga´s ideal e´ u´til porque obedece a lei dos gases ideais, uma equac¸a˜o de estado simplificada, e e´ pass´ıvel de ana´lise pela mecaˆnica estat´ıstica. Em condic¸o˜es ambientais normais tais como as temperatura e pressa˜o padra˜o, a maioria dos gases reais comportam-se qualitativamente como um ga´s ideal. Lei dos gases ideais: e´ a equac¸a˜o de estado do ga´s ideal, um ga´s hipote´tico formado por part´ıculas pontuais, sem atracc¸a˜o nem repulsa˜o entre elas e cu- jos choques sa˜o perfeitamente ela´sticos (conservac¸a˜o do momento e da energia cine´tica). A equac¸a˜o que descreve normalmente a relac¸a˜o entre a pressa˜o, e volume, a temperatura e a quantidade (em mols) de um ga´s ideal e´: P · V = n ·R · T onde: P = Pressa˜o V = Volume n= Mols de ga´s. R= Constante universal dos gases perfeitos T = Temperatura em Kelvin. A constante R, determinada experimentalmente vale: R = 8,314472 J K ·mol = 0,08205746 L · atm K ·mol Para uma mesma massa gasosa (portanto, o nu´mero de moles (n) e´ constante; n = cte), podemos afirmar que existe uma constante directamente proporcional a` pressa˜o e volume do ga´s, e inversamente proporcional a` sua temperatura. p1 · V1 T1 · n1 = p2 · V2 T2 · n2 30 31 Devem ser observados os casos especiais onde algumas desta grandezas sa˜o constantes como em processos isote´rmicos, isovolume´tricos, isoba´ricos, etc. Uma variac¸a˜o da lei dos gases ideais pode ser obtida usando-se o nu´mero de part´ıculas N e a constante de Boltzmann k = 1,3806503 · 10−23 J/K: P · V = N · k · T 32 CAPI´TULO 6. TEORIA CINE´TICA DOS GASES Exerc´ıcios Aplicados 1. Um pneu de automo´vel tem um volume de 1,66 × 10−2m3 e conte´m ar a` pressa˜o manome´trica (pressa˜o acima da pressa˜o atmosfe´rica) de 165kPa quando a temperatura e´ 20,0◦C. Qual e´ a pressa˜o manome´trica do ar no pneu quando a temperatura aumenta para 50,0◦C e o volume aumenta para 1,70× 10−2m3? Suponha que a pressa˜o atmosfe´rica e´ 1,01× 105Pa. 2. No motor de um automo´vel, uma mistura de ar e gasolina e´ comprimida no interior do cilindro antes da ignic¸a˜o. Um motor t´ıpico possui uma raza˜o de compressa˜o de 9 para 1; isso significa que o ga´sno cilindro e´ comprimido ate´ um volume igual a 1/9 do seu volume original. A pressa˜o inicial e´ 1,0 atm e a temperatura inicial e´ 27◦C. Se a pressa˜o depois da compressa˜o for 21,7 atm, calcule a temperatura do ga´s comprimido. 3. Uma certa quantidade de um ga´s ideal a 20,0 ◦C e 100 kPa ocupa um volume de 1,00 m3. Suponha que na˜o ha´ vazamentos. (a) Quantos mols do ga´s esta˜o presentes? (b) Se o volume e´ mantido constante e a pressa˜o e´ aumentada para 300 kPa, qual e´ a temperatura do ga´s? 4. Em um cilindro vedado com um pista˜o, voceˆ comprime rapidamente 3,0L de ga´s N2 inicialmente a 1,0atm de pressa˜o e a 0 ◦C ate´ a metade de seu volume original. Suponha que o N2 se comporte como um ga´s ideal. (a) Calcule a temperatura final e a pressa˜o final do ga´s. Resposta: e (b) Se voceˆ agora resfriar o ga´s de volta a 0◦C sem variar a pressa˜o qual sera´ o volume final? Resposta: Cap´ıtulo 7 Leis da Termodinaˆmica Trabalho em processos termodinaˆmicos: A 1a lei da termodinaˆmica: Processos termodinaˆmicos: Ciclos termodinaˆmicos: Ma´quinas Te´rmicas: 33 34 CAPI´TULO 7. LEIS DA TERMODINAˆMICA Exerc´ıcios Aplicados 1. Um grama de a´gua (1cm3) se transforma em 1671cm3 quando ocorre o processo de ebulic¸a˜o a uma pressa˜o constante de 1atm (1,01×105Pa) con- forme figura. O calor de vaporizac¸a˜o para essa pressa˜o e´ LV = 2,256 × 106J/kg. (a) Qual e´ o trabalho realizado pelo sistema durante esse processo? (b) Qual e´ a variac¸a˜o da energia interna do sistema durante o processo? 2. Num dado recipiente contendo um l´ıquido, e´ imerso um cilindro contendo ga´s ideal, confinado por um eˆmbolo mo´vel, conforme as figuras abaixo: O recipiente esta´ sobre uma fonte te´rmica e a base do recipiente e´ diate´rmica, isto e´, permite trocas de calor entre a fonte e o recipiente. As demais pa- redes do recipiente sa˜o adiaba´ticas. E as paredes do cilindro que conte´m o ga´s sa˜o diate´rmicas. A fonte fornece 2000J para o sistema formado pelo l´ıquido e o ga´s, con- forme figura (I). Devido ao calor fornecido pela fonte te´rmica a tempera- tura do l´ıquido aumenta 3◦C, consumindo 1500J , fornecendo os 500J de energia restantes para o ga´s. Por outro lado o ga´s realiza uma expansa˜o com um aumento de volume de 8m3, a uma pressa˜o constante de 50N/m2, como representado na figura (II). (a) Calcule o trabalho realizado pelo ga´s. (b) Calcule a variac¸a˜o da energia interna do ga´s. 3. Um condicionador de ar e´ usado para resfriar uma sala. A temperatura externa e´ 32,0◦C e a temperatura no interior da sala deve ser mantida em 22,0◦C. O condicionador retira 10000Btu/h do edif´ıcio em forma de 35 calor. Se o condicionador de ar e´ uma ma´quina de Carnot trabalhando no sentido inverso, qual deve ser a poteˆncia de operac¸a˜o do condicionador? [Dado: 1Btu = 1055J ] 4. O motor a gasolina de um carro de grande porte consome 10000J de calor e realiza 2000J de trabalho mecaˆnico em cada ciclo. O calor e´ obtido pela queima de gasolina cujo calor de combusta˜o e´ de 5,0× 104J/g. (a) Qual e´ a eficieˆncia te´rmica dessa ma´quina? (b) Qual e´ a quantidade de calor rejeitada em cada ciclo? (c) Qual e´ a quantidade de gasolina queimada a cada ciclo? (d) Se o motor completa 25 ciclos por segundo, qual e´ a poteˆncia forne- cida em watts? (e) Qual e´ a quantidade de gasolina queimada por segundo? E por hora? 5. A eficieˆncia de um certo motor de automo´vel e´ de 25% quando o motor realiza um trabalho de 12,0kJ por ciclo. Suponha que o processo seja revers´ıvel. Quais sa˜o: 36 CAPI´TULO 7. LEIS DA TERMODINAˆMICA (a) A energia Qganho em forma de calor que o motor ganha por ciclo grac¸as a` queima do combust´ıvel? (b) A energia Qperdido em forma de calor que o motor perde por ciclo por causa do atrito? 6. Uma unidade de condicionador de ar em uma janela absorve 9,80 ×104J de calor por minuto de uma sala que esta´ sendo resfriada e, no mesmo intervalo de tempo, despeja 2,74 ×105J de calor no ar externo. (a) Calcule o trabalho realizado pelo condicionador de ar. (b) Qual e´ o consumo de poteˆncia dessa unidade em W e em Btu/h? (c) Qual e´ a eficieˆncia energe´tica (coeficiente de desempenho) dessa uni- dade? 7. O gra´fico abaixo ilustra uma transformac¸a˜o onde 100mols de ga´s ideal mo- noatoˆmico recebem do meio exterior uma quantidade de calor 1,8×106J . Dado: R = 8, 3J/(mol ·K). 37 Determine: (a) O trabalho realizado pelo ga´s; (b) A variac¸a˜o da energia interna do ga´s; (c) A temperatura do ga´s no estado A. 8. Em uma ma´quina te´rmica sa˜o fornecidos 3kJ de calor pela fonte quente para o in´ıcio do ciclo e 780J passam para a fonte fria. (a) Qual o trabalho realizado pela ma´quina, se considerarmos que toda a energia que na˜o e´ transformada em calor passa a realizar trabalho? (b) Qual o rendimento da ma´quina te´rmica? (c) Uma ma´quina que opera em ciclo de Carnot tem a temperatura de sua fonte quente igual a 330◦C e fonte fria a` 10◦C. Qual e´ o rendimento dessa ma´quina? 9. Uma usina ele´trica experimental no Laborato´rio de Energia Natural no Hava´ı gera energia ele´trica a partir do gradiente de temperatura do oceano. A a´gua da superf´ıcie esta´ a 27◦C e a a´gua em profundidades elevadas esta´ a 6,0◦C. (a) Qual e´ a eficieˆncia teo´rica ma´xima dessa usina? (b) Se a usina deve produzir 210kW de poteˆncia, com que taxa o calor deve ser extra´ıdo da a´gua quente? Com que taxa o calor deve ser absorvido da a´gua fria? Suponha a eficieˆncia ma´xima teo´rica. (c) A a´gua fria que sai da usina possui temperatura igual a 10◦C. Qual deve ser a vaza˜o da a´gua fria atrave´s do sistema? Deˆ a sua resposta em kg/h e em L/h. 10. A eficieˆncia de um certo motor de automo´vel e´ de 25% quando o motor realiza um trabalho de 12,0kJ por ciclo. Suponha que o processo seja irrevers´ıvel. Quais sa˜o: (a) A energia Qganho em forma de calor que o motor ganha por ciclo grac¸as a` queima do combust´ıvel? (b) A energia Qperdido em forma de calor que o motor perde por ciclo por causa do atrito?
Compartilhar