ga conicas

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

*
*
*
Clique para editar o estilo do título mestre
Clique para editar o estilo do subtítulo mestre
Cônicas
*
*
*
Porque Cônicas?
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Parábola
Considere uma reta d e um ponto f não pertencente a d
Parábola é o conjunto dos pontos cuja distância ao ponto f é igual a distância deste ponto à reta d
*
*
*
Graficamente
F
P
P’
v
A
d
*
*
*
Seja P’ o pé da reta perpendicular a d que passa por P
Assim P pertence à parábola se e somente se
d(F,P)=d(P,P’) -> |FP|=|P’P|
*
*
*
Notações
F-> foco 
d-> reta diretriz
Eixo -> reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz
Vértice (v) -> Ponto de interseção entre a parábola e o eixo
A-> interseção do eixo com a diretriz
*
*
*
Por definição de parábola, se P = v então
d(v,f)=d(v,a)=p/2, p-> parâmetro da parábola
*
*
*
Encontrar a equação da parábola
Eixo da parábola = eixo y
V(0,0)
|FP|=|PP’|
PP’ = (x-x,y+p/2)=(0,y+p/2)
FP = (x-0,y-p/2) =(x,y-p/2)
*
*
*
|(x,y-p/2) |=|(0,y+p/2)|
X2=2py ou y = X2/2p
*
*
*
Estudo da Parábola
Se 2py=x2 -> 2py >=0 -> p e y tem sinais iguais
Caso 1: p>=0 -> y>=0 -> concavidade para cima
Caso 2: p<=0 -> y<=0 -> concavidade para baixo
*
*
*
Eixo da parábola = eixo x
V(0,0)
|FP|=|P’P|
P’P = (x+p/2,y-y)=(x+p/2,0)
FP = (x-p/2,y-0) =(x-p/2,y)
y2=2px
*
*
*
Estudo da Parábola
Como y2 >=0 então 2px>=0. Logo p e x tem sinais iguais
Caso 1: p >= 0 -> x >= 0 -> concavidade para direita
Caso 2: p <= 0 -> x <= 0 -> concavidade para esquerda
*
*
*
Exercício
Determinar a equação da parábola v(0,0) e diretriz d:y=-2
*
*
*
Exercicio
Determinar a equação da parábola com foco F(2,0), diretriz d:x+2=0
*
*
*
Determinar a equação da parábola com foco F(0,-3), e v(0,0)
*
*
*
Determinar a equação da parábola com foco V(0,0), simétrica em relação ao eixo dos y e passando pelo ponto P(2,-3)
*
*
*
Determinar Vértice, foco, equações da reta diretriz e eixo
X2=-12y
*
*
*
Determinar Vértice, foco, equações da reta diretriz e eixo
y2-x=0
*
*
*
Vértices fora da origem
V(a,b)
Eixo paralelo ao eixo y
(x-a)2=2p(y-b)
Eixo paralelo ao eixo x
(y-b)2=2p(x-a)
*
*
*
Exercício
Determine a equação da parábola V(-2,3), F(-2,1)
*
*
*
Determine a equação da parábola F(2,3) e diretriz y=-1
*
*
*
Determine a equação da parábola V(1,3), eixo paralelo ao eixo x passando pelo ponto P(-1,-1)
*
*
*
Equação explícita da parábola
A equação da parábola de vértice V(a,b) e eixo paralelo ao eixo y tem a forma (x-a)2=2p(y-b)
x2-2ax+a2=2py-2pb
y=(x2-2ax+a2+2pb)/2p
Esta última é a forma explícita da parábola
*
*
*
Exercício
Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola x2+4x+8y+12
*
*
*
Exercício
Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola y2+4y+16x-44
*
*
*
Exemplo
Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola y2-12x-12=0
*
*
*
Exemplo
Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de simetria da parábola 8x=y2-6y+10
*
*
*
Elipse
Uma elipse de focos F e F’ é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a F e F’ é igual a uma constante que indica-se por 2a
Portanto, P є Elipse se, e somente se, 
d(P,F)+d(P,F’)=2a
*
*
*
Equação
Caso 1: F(-c,0) e F’(c,0), c>=0
Olhando para o triângulo PFF’ vemos que o lado F’F mede 2c e é menor que a soma dos outros dois lados, medindo 2a
a
a
c
c
F
F’
P
*
*
*
Logo, c<a
Nota: quanto mais a se aproxima de c, mais achatada fica a elipse, logo a excentricidade (e) cresce
e=c/a, 0<e<1
*
*
*
Elementos
Focos: são os pontos F e F’
Distância Focal = 2c
Centro = ponto médio do segmento FF’
Eixo Maior: segmento A1A2 medindo 2a
Eixo Menor é o segmento B1B2 de comprimento 2b onde b2=a2-c2
*
*
*
De acordo com a definição, P(x,y) є elipse se, e somente se, |PF’|+|PF|=2a
*
*
*
Equação
Desenvolvendo a equação anterior obtem-se
x2/a2+y2/b2=1
Eixo maior sobre o eixo x focos sobre o eixo x
*
*
*
Equação
Caso 2: Focos F(0,c) e F’(0,-c)
Analogamente
x2/b2+y2/a2=1
*
*
*
Equação
Caso 3: centro fora da origem C(x0,y0)
Eixo maior//eixo x: (x-x0)2/a2 +(y-y0)2/b2=1
Eixo maior//eixo y: (x-x0)2/b2 +(y-y0)2/a2=1
*
*
*
Exercício
Determinar os vértices A1 e A2, focos e excentricidade
X2/100+y2/36=1
x2+25y2=25
4x2+25y2=1
*
*
*
Exercício
Determinar a equação da elipse
Eixo maior mede 10, focos (4,0) e (-4,0)
*
*
*
Exercício
Determinar a equação da elipse
Centro C(0,0) um foco F(3/4,0) e um vértice A(1,0)
*
*
*
Exercício
Determinar a equação da elipse
Centro C(0,0), F(c,0), F’(-c,0), P(-2(5)1/2,2)
*
*
*
Exercício
Determinar a equação da elipse
Centro C(0,0), focos no eixo x, e=2/3 e P(2,-5/3)
*
*
*
Exercício
Determinar a equação da elipse
Centro C(2,4), um foco F(5,4) e=3/4
*
*
*
Exercício
Determinar a equação da elipse
Centro C(-3,0), um foco F(-1,0), a elipse é tangente ao eixo y
*
*
*
Exercício
Determinar a equação da elipse
Centro C(-3,4), semi-eixos de comprimento 4 e 3, eixo maior // ao eixo y
*
*
*
Exercício
Determinar a equação da elipse
Centro C(2,-1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria (eixo maior e eixo menor) paralelos aos eixos coordenados
*
*
*
Exercício
Determinar centro, vértices A1 e A2 e excentricidade 
4x2+9y2-8x-36y+4=0
*
*
*
Hipérbole
Sejam dois pontos fixo F1 e F2 com d(F1,F2)=2c
A hipérbole é o conjunto dos pontos P(x,y) do plano tais |d(F1,P)-d(F2,p)|=2ª
Com 2ª<2c
*
*
*
F2
F1
P
*
*
*
Da equação anterior tem-se
d(F1,P)-d(F2,p)= ±2a
Quando P estiver no ramo da direita, d(F1,P)>d(F2,p) -> d(F1,P)-d(F2,p)= 2a
Quando P estiver no ramo da esquerda, d(F1,P)<d(F2,p) -> d(F1,P)-d(F2,p)=-2a
*
*
*
Seja o segmento de reta F1F2 e chame de A1 e A2 a interseção de F1F2 com a hipérbole
Considere outra reta perpendicular a esta passando pelo ponto médio C de F1F2
*
*
*
C
A2
F2
A1
F1
*
*
*
A hipérbole é simétrica em relação a:
Segmento F1F2
Eixo vertical
Ponto C
Ainda pela simetria, d(A1,F1)=d(A2,F2)
*
*
*
Qual é o valor de d(A1,A2)?
Se P=A2, da def de hipérbole |d(F1,A2)-d(F2,A2)|=2a
Como A2 está no ramo direito, (F1,A2)-d(F2,A2)=2a
*
*
*
Pela figura vemos que d(F1,A2)=d(F1,A1)+d(A1,A2)
*
*
*
C
A2
F2
A1
F1
M
N
P
Q
r
s
θ
*
*
*
Pela figura vemos que d(F1,A2)=d(F1,A1)+d(A1,A2)
Substituindo
 d(F1,A1)+d(A1,A2)- d(F2,A2)=2a
Logo d(A1,A2) =2a
*
*
*
Elementos da hipérbole
Focos F1 e F2
Distância Focal: d(F1,F2)=2c
Centro Ponto médio de F1F2
Vértices: A1,A2
Eixo Real: segmento A1A2 e |A1A2|=2ª
Eixo imaginário: Segmento B1B2 onde de comprimento 2b onde b vem da relação C2=a2+b2
*
*
*
MNPQ é um retângulo inserido no círculo de raio c
r e s são assíntotas da hipérbole
r passa pelo ponto C e tem inclinação b/a
*
*
*
s passa por ponto C e tem inclinação –b/a
\theta abertura da hipérbole
e=c/a excentricidade da hipérbole
Note que e está relacionado com a abertura \theta da hipérbole
*
*
*
*
*
*
Na figura anterior fixando c e aumentando a vemos que a abertura da hipérbole diminui
Menor a abertura menor a excentricidade e>1
Maior a abertura maior a excetrencidade
Quando a=b, dizemos que a hipérbole é equilátera
*
*
*
Equação
Caso 1: Eixo real sobre o eixo x e C(0,0)
Obs: determinaremos a equação do ramo direito: F1(-c,0),F2(c,0) e P(x,y)
d(F1,P)-d(F2,P)=2a
d(F1,P) =2a+d(F2,P)
|F1P| =2a+|F2P|
*
*
*
((x+c)2+y2)1/2=2a+((x-c)2+y2)1/2
x2+2xc+c2+y2=4a2 -4a((x-c)2+y2)1/2+x2-2xc+c2+y2
4xc- 4a2 = -4a((x-c)2+y2)1/2
xc- a2 =
-a((x-c)2+y2)1/2
x2c2-2xca2+a4=a2x2-2xca2+a2c2+a2y2
*
*
*
x2c2-a2x2-a2y2=a2c2-a4
x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)
x2b2-a2y2=a2b2
x2/a2-y2/b2=1
Centro C(0,0) eixo real sobre o eixo x
*
*
*
Observações
Se P(x,y) estivesse no ramo esquerdo, então Q(-x,y) estaria no ramo direito de modo que ainda valeria a igualdade anterior
Quando o eixo real estiver sobre o eixo y a equação será: y2/a2-x2/b2=1
*
*
*
Analogamente
Quando C(x0,y0) e o eixo real // eixo x
(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1
Quando C(x0,y0) e eixo real // eixo y
(y-y0)2/a2-(x-x0)2/b2=1
*
*
*
Equação das assíntotas
y-y0 = m(x-x0) m é a inclinação
r:m=b/a; s:m=-b/a
*
*
*
Exemplo
Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: x2-y2=1
*
*
*
Exemplo
Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: -4x2+y2=1
*
*
*
Exemplo
Determinar vértices, focos, excentricidade e esboçar o gráfico: -4x2+2y2=1
*
*
*
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:
Focos F(±5,0), Vértices (±3,0)
Eixo real = eixo x, centro C(0,0)
*
*
*
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:
a=4, Vértices (±4,0)
Passa por P(8,2), centro C(0,0)
*
*
*
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:
b=8, e=5/3
Eixo real =eixo y, centro C(0,0)
*
*
*
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:
Assintotas y=±2x, Vértices (±3,0)
*
*
*
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:
Um foco em (7,-2), Vértices (5,-2) e 3,-2
*
*
*
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:
C (5,1), um foco F(9,1) eixo imaginário méde 4(2)1/2
*
*
*
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições:
C (2,-3), eixo real // eixo y passando por (3,-1) e (-1,0) (conferir a solução)