Mecânica de solos

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A Dinâmica é à parte da Mecânica que 
estuda o movimento dos corpos e as causas que o 
provocaram. Seus pilares são as três leis de Newton 
para o movimento (Lei da Inércia (Primeira Lei de 
Newton), Princípio fundamental da dinâmica 
(Segunda Lei de Newton) e a Lei da ação e reação 
(Terceira Lei de Newton)). 
Para o estudo da dinâmica é de fundamental 
importância conhecer o conceito de Força, o que 
uma força pode causar a um objeto ou corpo, e as 
suas formas de ação. 
Todos nós temos uma noção intuitiva de 
força, ligada ao esforço muscular exercido pra 
efetuar uma tarefa qualquer, por exemplo, para 
chutar uma bola, ou para levantar uma caixa do 
chão, etc. 
Porém, em Física, os corpos ou partículas 
não possuem força, pois, 
 
Para facilitar a compreensão do que uma 
força pode causar, analisemos os seguintes 
exemplos: 
1) Ao chutar uma bola, o pé faz sobre ela uma 
força que além de deformá-la inicia-lhe o 
movimento. É possível notar aqui que a 
força produz o movimento da bola e 
também que a deforma. 
2) Quando um objeto é abandonado de uma 
certa altura, cai com movimento acelerado 
devido à força de atração da Terra. É 
possível notar aqui que a força produz o 
movimento do objeto. 
3) Uma pessoa sentada em uma cadeira não 
produz movimento, mas nem por isso deixa 
de ser exercida uma força sobre o conjunto 
(cadeira e pessoa) pela força gravitacional 
da Terra. É possível notar aqui que a força 
produz o equilíbrio do conjunto (cadeira + 
pessoa). 
4) Uma mola ao ser esticada deforma suas 
espirais e aumenta o seu tamanho. É 
possível notar aqui que a força produz 
deformação e também o movimento da 
mola, pois ela aumenta o tamanho. 
5) Um goleiro, ao encaixar a bola em seu peito 
e prendê-la em seus braços, evitando um 
gol, cessa o movimento da bola. É possível 
notar aqui que a força produz o equilíbrio 
na bola. 
 
Mediante os exemplos acima, conclui-se 
que uma força pode causar variações na velocidade 
de um corpo, deformações, equilíbrio, ou ainda, 
todos os três fenômenos. 
 
Quanto à forma de ação, as forças são 
classificadas em: 
(a) Forças de Contato: quando as superfícies 
dos corpos que interagem se tocam, isto é, 
há um contato físico entre os corpos ou 
partículas para que haja força. Nesta 
categoria teremos: força normal (N); força 
de tração (T); força de atrito (Fat). 
Exemplos: um livro sobre uma mesa, 
produz uma força normal devido à força de 
compressão que o livro produz na mesa ao 
ser atraído pela Terra (vale ressaltar que a 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁUNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁUNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁUNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ 
CAMPUS REGIONAL DE UMUARAMACAMPUS REGIONAL DE UMUARAMACAMPUS REGIONAL DE UMUARAMACAMPUS REGIONAL DE UMUARAMA 
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA 
DDDDDDDDIIIIIIIINNNNNNNNÂÂÂÂÂÂÂÂMMMMMMMMIIIIIIIICCCCCCCCAAAAAAAA DDDDDDDDEEEEEEEE UUUUUUUUMMMMMMMMAAAAAAAA PPPPPPPPAAAAAAAARRRRRRRRTTTTTTTTÍÍÍÍÍÍÍÍCCCCCCCCUUUUUUUULLLLLLLLAAAAAAAA 
Força é o resultado da interação entre 
dois ou mais corpos. 
Professor: Fábio Costa 
força normal não é o par de forças ação-
reação da força peso para o livro, ela surge 
devido à compressão que o livro produz na 
mesa); um carro sendo rebocado por um 
outro carro, através de uma corda atada a 
ambos; etc. 
(b) Força de campo ou de ação à distância: 
ocorre quando os corpos estão separados 
por uma distância determinada, não 
havendo a necessidade do contato físico. 
Nesta categoria teremos: força 
gravitacional; força eletromagnética e força 
elástica. Exemplos: um prego ao ser atraído 
por um imã; uma fruta que se desprende do 
galho e cai devido à força de atração da 
Terra; etc. 
 
A força é uma grandeza vetorial, portanto, 
possui módulo, direção e sentido. Assim, em um 
mesmo corpo ou partícula podem agir inúmeras 
forças, com módulos, direções e sentidos diferentes, 
logo, o sistema de forças que atuam no corpo, 
poderá ser representado por uma única força, 
chamada de Força Resultante (FR), cujo módulo 
corresponde à soma de todas as forças que atuam 
na partícula, a direção e o sentido da força 
resultante corresponderá exatamente à direção e ao 
sentido que a partícula terá sob a ação de todas as 
forças que nela estão agindo. Sua unidade de 
medida será definida posteriormente, mas para fins 
de conhecimento, é o newton, simbolizado por N. 
Na figura abaixo estão representados cinco 
forças de diferentes intensidades, direções e 
sentidos, atuando em um corpo de massa m, esta 
ilustração representa o sistema de forças que atuam 
em um corpo. 
 
 A partir do sistema de forças que atuam em 
um corpo é possível obter a força resultante FR que 
representa a soma de todas as forças que atuam no 
corpo, obtendo assim, uma força com módulo 
único, direção e sentido que a partícula terá sob a 
ação de todas as forças nela aplicadas. 
Observe a figura da representação da força 
resultante do sistema de forças que atua em um 
corpo 
 
 
 
 
Observe que ao escrever a equação, as letras F 
que representam as forças estão em negrito, indicando 
que são grandezas vetoriais, porém, ao se substituir os 
números que representam as forças F1 e F2, ou seja, os 
módulos de F1 e F2, a força resultante também perde o 
negrito, pois será o módulo desta força. O negrito é o 
mesmo que a seta em cima da letra que representa o 
vetor força. 
 
a) Se as forças atuantes no corpo tiverem mesma 
direção e mesmo sentido (o ângulo entre elas será 
de 0º) 
 
É suficiente somar as forças F1 e F2, logo, 
FR = F1 + F2 
Exemplo: seja F1 = 5N e F2 = 12N, então, o módulo 
da força resultante será, 
FR = F1 + F2 
FR = 5 + 12 
FR = 17N 
 
b) Se as forças atuantes no corpo tiverem mesma 
direção, porém sentidos opostos (o ângulo entre 
elas é de 180º) 
 É suficiente somar as forças F1 e F2, logo, 
FR = F1 + F2 
Exemplo: seja F1 = 10N e F2 = 3N, então, o módulo 
da força resultante será, 
FR = F1 + F2 
FR = 10 + (– 3) 
FR = 10 – 3 
FR = 7N 
 
É importante notar que estaremos utilizando um 
sistema de eixos ortogonais x e y com origem no corpo, 
assim, no item b acima, a força F2 está localizada na 
parte negativa do eixo x, por isso que ao somar adquire 
o sinal negativo, pois é dado o módulo da força F2. 
 
FR = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 
Como obter o módulo da Força resultante (FR) 
c) Se as forças atuantes no corpo forem 
perpendiculares, isto é formarem um ângulo de 90º 
entre si 
 
É suficiente aplicar o Teorema de Pitágoras às 
forças F1 e F2, logo, FR2 = F12 + F22 
Exemplo: seja F1 = 8N e F2 = 6N, então, o módulo 
da força resultante será, 
FR2 = F12 + F22 
FR2 = 82 + 62 
FR2 = 64 + 36 
FR2 = 100 
FR = 100 
FR = 10N 
 
d) Se as forças atuantes no corpo formarem um 
ângulo θ qualquer compreendido entre 0 e 90º, 
mas diferente de 0 e de 90º 
 
É suficiente aplicar a Lei dos Co-senos às forças F1 
e F2, logo, FR2 = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos θ 
Exemplo: seja F1 = 5N, F2 = 3N e θ = 60º, então, o 
módulo da força resultante será, 
FR2 = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos θ 
FR2 = 52 + 32 + 2 . 5 . 3 . cos 60º 
FR2 = 25 + 9 + 30 . 0,5 
FR2 = 34 + 15 
FR2 = 49 
FR = 49 
FR = 7N 
 
 
 
 
Muitas situações exigem que a força seja 
decomposta nos eixos x e y para se obter a força 
resultante, em geral, estas situações ocorrem quando 
existe uma força F que forma um ângulo θ 
qualquer com a horizontal (ou com a vertical), 
sendo que nesta direção (horizontal ou vertical) não 
existem outras forças atuando, conforme ilustra a 
figura ao lado. 
Para resolver este tipo de problema devem-
se escrever os eixos x e y com origem no corpo onde 
a força está atuando e decompora força F nos eixos 
x e y. 
 
Construção dos eixos x e y sobre a partícula que 
atua a força F. 
 
Utilizando a trigonometria no triângulo 
retângulo formado na figura é possível observar que 
a hipotenusa do triângulo é a força F, o cateto 
oposto ao ângulo θ é a força Fy e o cateto adjacente 
ao ângulo θ é a força Fx, assim, teremos: 
 
Triângulo retângulo formado após a decomposição 
da força F nos eixos x e y. 
 
Do triângulo retângulo podemos escrever: 
F
FY
=θsen e 
F
FX
=θcos 
 
Isolando FY e FX, obteremos as forças em 
cada um dos respectivos eixos, y e x, logo 
 
 
 
 
Decomposição de Forças 
Em x: Fx = F cos θ 
Em y: Fy = F sen θ 
Exemplo: Uma força F = 5N atua em um corpo 
formando um ângulo de 30º, com a horizontal, 
conforme a figura abaixo, encontre suas 
componentes nos eixo x e y. 
 
 
Solução: com base nas figuras de construção dos 
eixos e do triângulo retângulo, temos que a 
componente da força F serão: 
Em x Em y 
Fx = F cos θ Fy = F sen θ 
Fx = 5 cos 30º Fy = 5 sen 30º 
Fx = 5 . 0,8 Fy = 5 . 0,5 
Fx = 4N Fy = 2,5N 
 
Exercícios 
Encontre o módulo da força resultante nos seguintes 
casos 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
 
f) 
 
 
g) 
 
 
h) 
 
 
 
 
Com base no conceito de força resultante, 
como sendo uma única força que é capaz de 
produzir na partícula o mesmo efeito que todas as 
forças aplicadas a ela, é possível introduzir o 
conceito de equilíbrio. 
Uma partícula está em equilíbrio quando a 
resultante das forças que agem sobre ela é nula, isto 
é, FR = 0. 
Assim, teremos duas situações de 
equilíbrio: 
a) Equilíbrio estático – ocorre quando a 
partícula estiver em repouso, ou seja, 
quando a força resultante sobre a partícula é 
nula e a velocidade da partícula também é 
nula. 
FR = 0 e v = 0 
b) Equilíbrio dinâmico – ocorre quando a 
partícula se movimenta em linha reta e com 
velocidade constante e diferente de zero 
(MRU) e quando a força resultante sobre a 
partícula é nula. 
FR = 0 e v = constante ≠ 0 
 
 
 
 
Equilíbrio de um corpo 
 
 
Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia) 
Consideremos um corpo não submetido à 
ação de nenhuma força; nesta condição esse corpo 
não sofre variação de velocidade. Isto significa que, 
se ele está parado, permanece parado, e se está em 
movimento, permanece em movimento e sua 
velocidade se mantém constante. 
Tal princípio, formulado pela primeira vez 
por Galileu Galilei e depois confirmado por Isaac 
Newton, é conhecido como primeiro princípio ou 
primeira lei da Dinâmica (primeira lei de Newton) 
ou princípio da inércia. Podemos interpretar se 
enunciado da seguinte maneira: todos os corpos são 
“preguiçosos” e não desejam modificar seu estado 
de movimento: se estão em movimento, querem 
continuar em movimento; se estão parados, não 
desejam mover-se. 
Essa “preguiça” é chamada de inércia e é 
característica de todos os corpos dotados de massa. 
O princípio da inércia pode ser observado 
no movimento de um ônibus. Quando o ônibus 
“arranca” a partir do repouso, os passageiros 
tendem a deslocar-se para trás, resistindo ao 
movimento. 
Da mesma forma, quando o ônibus já em 
movimento freia, os passageiros deslocam-se para 
frente, tendendo a continuar com a velocidade que 
possuíam. 
Para Galileu, o natural era o movimento e 
não o repouso como afirmava Aristóteles. Ao 
observar o movimento de um corpo, sua questão era 
“por que pára” e não “por que se move”. 
A afirmação de que um corpo parado 
permanece parado se sobre ele não agir nenhuma 
força pode facilmente ser compreendida em nossa 
vida prática (um corpo não se move por si só, é 
necessário aplicar-lhe uma força). 
Já a afirmação de que um corpo em 
movimento mantém velocidade constante se não 
atuarem forças sobre ele é menos intuitiva. Com 
efeito, um corpo em movimento não permanece 
sempre em movimento: depois de certo tempo mais 
ou menos longo o corpo pára. Uma bolinha jogada 
sobre um plano horizontal pára após percorrer 
poucos metros, mesmo que aparentemente sobre ela 
não aja nenhuma força. 
Na realidade existe uma força de freamento 
indicada genericamente com o nome de atrito, que 
estudaremos mais adiante. Porém, no caso de essas 
forças freantes ao existirem ou serem reduzidas ao 
mínimo, o princípio da inércia é verificado 
plenamente. 
Por exemplo, uma nave espacial que se 
move no espaço interplanetário não encontra atrito; 
por isso não tem necessidade de motor e, pelo 
princípio da inércia, continua a mover-se em linha 
reta com a velocidade com a qual foi lançada 
inicialmente. 
Os referenciais em que o princípio da 
inércia se verifica são chamados de referenciais 
inerciais. Tais referenciais são fixos em relação às 
estrelas distantes ou se movem com velocidade 
constante em relação a elas, isto é, possuem 
aceleração vetorial nula. 
Para movimentos de pequena duração 
(menor que 24 horas), podemos desprezar os efeitos 
de rotação da Terra e considerar sua velocidade 
como constante durante o movimento de translação. 
Nessas condições a Terra pode ser considerada um 
referencial inercial. 
 
 
Segunda Lei de Newton (Princípio Fundamental 
da Dinâmica) 
Para enunciar a segunda lei de Newton 
devemos ter em mente o conceito de massa de um 
corpo. 
A massa é a medida da matéria que compõe 
o corpo, obtida por comparação com um objeto 
padrão através da balança de braços iguais. 
Podemos associar a massa de um corpo à sua 
inércia, assim, a massa de um corpo será a medida 
numérica da inércia deste corpo, pois por 
experiência própria, sabemos que os corpos que 
apresentam maior inércia são aqueles que 
apresentam maior massa, por exemplo, é mais fácil 
empurrar um carrinho de supermercado vazio do 
que um cheio de compras. 
No sistema internacional de unidades (SI) a 
unidade de massa é o quilograma (kg), o qual possui 
múltiplos (tonelada (t) = 1000 kg; etc) e 
submúltiplos (grama (g) = 0,001 kg; etc). 
O princípio fundamental da Dinâmica ou 
segunda lei de Newton estabelece uma 
proporcionalidade entre a força aplicada a um corpo 
(causa) e variação de velocidade produzida no 
corpo (efeito). 
Para enunciar este princípio, Isaac Newton 
partiu da definição de quantidade de movimento de 
um corpo. De modo simples, a quantidade de 
movimento de um corpo (Q) pode ser expressa 
Leis de Newton 
matematicamente como sendo o produto da massa 
do corpo (m) pela velocidade do corpo (v): 
Q = m . v 
É através dela que se explica o porquê é 
mais fácil parar uma bicicleta em movimento do 
que um caminhão, também movimento, se ambos 
tiverem a mesma velocidade. 
Assim, partindo da equação da quantidade 
de movimento e fazendo essa quantidade de 
movimento ser tão pequena quanto se queira, isto é, 
derivando ela em relação ao tempo, Isaac Newton 
chegou a uma relação entre a força aplicada a um 
corpo e a variação de velocidade produzida neste 
corpo, observe: 
 
Partindo da equação Q = m . v 
Aplicando a derivada temporal ).()( vQ m
dt
d
dt
d
= 
O segundo membro da equação anterior é resolvido aplicando a 
regra da cadeia ao produto m . v 
 
dt
d
m
dt
md
dt
d v
v
Q
+= 
Como a massa se mantém constante, e derivada de constante é 
nula 
 
dt
d
m
dt
d v
v
Q
+= 0. 
Finalmente, obtemos a segunda lei de Newton 
dt
d
m
dt
d vQ
= 
Lembrando que 
dt
d v
a = , podemos escrever 
 
a
Q
.m
dt
d
= 
 
 
A segunda Lei de Newton foi enunciada da 
forma 
dt
d
m
dt
d vQ
= , a equação muito conhecida(F = m . a), não pertence a Isaac Newton, mas sim 
ao matemático e físico suíço Leonhard Paul Euler, o 
qual introduziu o conceito de que a derivada de 
temporal da quantidade de movimento é a força 
aplicada no corpo 





=
dt
d QF . 
Para um corpo no qual autuam várias 
forças, utilizamos a notação da força resultante (FR), 
onde m é a massa do corpo e a é a aceleração 
adquirida pelo corpo ao lhe ser aplicado forças 
eternas, assim, matematicamente, teremos: 
 
Exemplo: Em um corpo de massa igual a 
10 kg, estão aplicadas três forças, conforme a 
figura, onde F1 = 2N, F2 = 3N e F3 = 7N. Encontre a 
aceleração desenvolvida pelo corpo. 
 
 
Solução: basta aplicar a equação 
FR = m . a, assim 
FR = m . a 
F1 + F2 + F3 = 10 a 
– 2 – 3 + 7 = 10 a 
– 5 + 7 = 10 a 
2 = 10 a 
2
10
=a 
a = 5 m/s2 
 
 
Terceira Lei de Newton (Ação e reação) 
Quando dois corpos interagem aparece um 
par de forças como resultado da ação que um corpo 
exerce sobre o outro. Essas forças são comumente 
chamadas de ação e reação. 
As forças sempre agirão em pares, uma 
destas forças corresponderá à força de ação e atuará 
em um dos corpos que está interagindo, e a outra 
força, chamada de reação, atuará no segundo corpo 
que participa da interação, portanto, as forças de 
ação-reação atuarão em corpos diferentes e jamais 
se cancelarão. 
A terceira lei de Newton pode ser enunciada 
da seguinte maneira: 
Quando um corpo A aplica uma força em 
um corpo B, o corpo B também aplicará no corpo 
FR = m . a 
F3 F1 F2 
P 
m 
–P 
A, uma força de igual intensidade e direção, porém 
de sentido contrário. 
De modo simples, a toda ação corresponde 
uma reação, com a mesma intensidade, mesma 
direção e sentidos contrários. 
Considere dois patinadores, A e B. Se A 
exercer uma força FA em B, este, simultaneamente, 
reage e exercerá uma força FB em A. 
Assim teremos, pela terceira lei de Newton 
que a intensidade é a mesma ( | FA | = | FB | ), a 
direção é a mesma (horizontal) e o sentido é oposto 
(FA = – FB) (O sinal negativo apenas indica que as 
forças têm sentidos opostos). 
Como conseqüência dessa interação, A e B vão se 
movimentar em sentidos contrários. 
Apesar de as forças de ação e reação 
apresentarem a mesma intensidade, os efeitos 
produzidos por elas dependerão da massa e das 
características de cada corpo. 
Outro fator importante, é quando não ocorre 
movimento em uma direção específica, porém, 
existem forças atuando nesta direção, como muitas 
vezes, ocorrem com as forças peso e normal, na 
direção vertical, e o movimento do corpo se dá na 
horizontal, as forças apenas se equilibram, jamais se 
cancelam. 
Os principais pares de forças são: força 
peso; força normal; força de tração. 
 
 
Força Peso (P) 
É uma força que surge da interação de um 
objeto com um grande corpo (por exemplos, os 
corpos celestes: planeta, satélite natural (lua), etc). 
Quando o grande corpo atrai o objeto de massa m 
para si, este objeto sofrerá uma aceleração constante 
e igual à aceleração da gravidade local, g, assim, 
baseado na equação fundamental da dinâmica 
(F = m a), é possível escrever uma equação para o 
cálculo da força peso 
 
Onde P é a força peso, m é a massa do 
objeto e g é a aceleração da gravidade do local onde 
se encontra o objeto. 
Por exemplo, na Terra, a aceleração da 
gravidade é de aproximadamente 9,8 m/s2, 
conhecida por g, se um corpo de massa igual a 
100 kg é atraído pela Terra, a força de atração será 
chamada de força peso e valerá: 
 
P = m . g 
P = 100 kg . 9,8 m/s2 
P = 980 kg . m/s2 
P = 980 N 
 
Se este mesmo corpo fosse levado para a 
Lua, onde a aceleração da gravidade é de 
aproximadamente 1,6 m/s2, a força peso (ou 
simplesmente, peso) do objeto mudaria, e valeria: 
P = m . g 
P = 100 kg . 1,6 m/s2 
P = 160 kg . m/s2 
P = 160 N 
 
Note que a massa não muda ao ser levada 
de um local para outro, mas o peso de um objeto 
sim, pois ele depende da aceleração da gravidade do 
local onde se encontra. 
 
Apenas para ilustrar os pares de força peso 
agindo, imagine uma laranja de 50 g (ou 0,05 kg) se 
desprender do galho e cair no solo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Terra, atrairá a laranja para si, e a força 
dessa atração dependerá da massa da laranja 
(m = 0,05 kg) e da aceleração da gravidade da 
Terra, naquele local (g = 9,8 m/s2), portanto, a força 
de atração será de 0,49N, observe 
P = m . g 
P = 0,05 . 9,8 
P = 0,49 N 
Essa força de atração P ao ser desenhada, 
terá por origem a laranja, e estará direcionada para o 
centro da Terra, com a seta (extremidade) voltada 
para o centro da Terra. 
P = m . g 
Porém, a laranja também atrairá a Terra 
para si, com uma força igual em módulo e direção, 
mas de sentido contrário, assim, 
–P = m . g 
–P = 0,05 . (– 9,8) 
–P = – 0,49 N 
P = 0,49 N 
Essa força de atração P, com sinal negativo, 
ao ser desenhado, terá por origem o centro da Terra, 
e estará direcionada para a laranja, com a seta (ou 
extremidade) voltada para a laranja. 
Observe que as duas forças peso descritas 
acima constituem o par de forças ação-reação, isto 
quer dizer que se a força de ação for uma força 
peso, seu par de forças de reação também será uma 
força peso, e a ação estará em um dos corpos 
(laranja), enquanto que a reação estará no outro 
(Terra), porém, essa força de ação e reação é devido 
ao referencial adotado. 
A laranja atinge o solo, porque sua massa ao 
ser comparada com a massa da Terra, é muito 
pequena, e é esse o motivo pelo qual a Terra não 
sobe ao encontro da laranja. 
 
Força Normal (N) 
Todo corpo em repouso, apoiado em uma 
superfície, aplica sobre esta superfície uma força de 
compressão, de intensidade igual ao peso do corpo, 
denotada por –N. A superfície de apoio exerce no 
corpo uma força, chamada de força de reação 
normal, denotada por N, cuja direção é 
perpendicular (forma ângulo de 90º) à linha que 
tangencia as superfícies no ponto de apoio. 
A força normal só ocorre entre superfícies 
sólidas que se comprimem, cessada a compressão, a 
força de reação normal também cessa. Por exemplo, 
ao segurar uma bola na mão, aparecerá uma força 
de compressão na mão (–N) causada pela bola, e na 
bola aparecerá uma força de reação normal N, 
causada pela mão. Se você atirar a bola para cima, 
no exato momento que a bola sair da sua mão, 
acabará a força de compressão, e por conseqüência, 
na bola também cessará a força de reação normal. 
Assim, para o nosso caso específico, os pares de 
força ação-reação, são N e –N. 
 
É de extrema importância compreender que 
se um objeto está apoiado em alguma superfície, às 
forças que atuam sobre o objeto na direção vertical 
(eixo y) serão: a força peso (do objeto) P e a força 
de reação normal N, porém, de forma alguma, estas 
duas forças constituem um par de forças ação-
reação, pois elas possuem seus pares atuando em 
outros corpos, no caso da força peso, seu par –P 
está na Terra e para a força normal, seu par –N está 
na superfície de apoio. 
Estas duas forças (P e N) não se anulam, o 
que ocorre é que não há movimento na vertical, 
portanto, a resultante das forças na direção vertical 
será nula (FR = 0), isso apenas indica, que as forças 
se equilibraram, fazendo com que a força normal 
tenha intensidade igual ao peso do objeto, observe: 
FR = P – N 
0 = P – N 
N = P 
 
O fato de as forças apenas se equilibrarem 
ao invés de se anularem pode ser percebido quando 
se trafega em uma estrada de terra bruta, se você 
estiver com um carro, poderá observar mais 
facilmente, que o carro deixa marcas das rodas no 
solo, essa marca, ocorre porque o carro possui 
massa e, é atraídopela Terra, surgindo assim a força 
peso para o carro, e ao mesmo tempo, suas rodas 
estão em contato com o solo, o que causa uma 
compressão no solo, fazendo surgir a força normal 
para o carro. Porém, o carro se movimenta somente 
na horizontal, por isso as forças que atuam na 
direção vertical se equilibram para que possa 
ocorrer o movimento do carro. 
Se as forças se anulassem, jamais seria 
possível perceber as marcas deixadas no solo 
durante o movimento do carro. 
 Na figura abaixo é possível observar o par 
de forças normal agindo sobre o corpo apoiado em 
uma mesa. 
 
 
Força de tração (T) 
Ao se esticar um fio ideal (fio inextensível e 
de massa desprezível), em suas extremidades 
surgirão forças de mesma intensidade, chamadas de 
forças de tração, denotada por T. 
Na figura abaixo é possível observar o par 
de forças de tração agindo sobre o fio. 
 
Unidades de intensidade de força 
Em Dinâmica usaremos exclusivamente o 
Sistema Internacional de Unidade (SI), que tem, 
para unidade de intensidade de força, o newton, 
cujo símbolo é N. Observe que, de acordo com as 
regras de escrita do SI, a unidade "newton" se 
escreve com letra minúscula, embora venha do 
nome próprio "Newton". 
Um newton é definido a partir da equação 
aF m= , como sendo a intensidade de força 
necessária para produzir em um corpo de massa 
igual a um quilograma (1 kg) uma aceleração de um 
metro por segundo ao quadrado (1 m/s2): 
2
2 .1.11
s
mkgNsmkgN =⇔= . 
Para se ter uma noção do seu valor, saiba 
que um newton (1N) é aproximadamente a 
intensidade de força necessária para erguer um copo 
de café com 100ml (terá aproximadamente massa 
igual a 100g) e 100N é a intensidade de força 
necessária para erguer dois pacotes de arroz com 
5kg de massa cada um. 
 
Por razões históricas, às vezes aparece uma 
outra unidade de força, que não pertence ao SI: é o 
quilograma-força, cujo símbolo é kgf. Esta unidade 
de força é muito utilizada em engenharia, e é 
definida a partir da equação gP m= , da seguinte 
maneira: um quilograma-força (1kgf) é a 
intensidade da força-peso de um corpo de massa 
igual a 1 kg, próximo à superfície terrestre, assim, 
Nkgf 8,91 = . 
Para transformar de quilograma-forma para 
newton, ou vice versa, é suficiente utilizar uma 
regra de três simples, por exemplo, para se levantar 
dois pacotes de arroz de 5kg de massa cada um, é 
necessário aproximadamente 100N, quantos 
quilograma-força seriam necessários? 
Nx
Nkgf
100
8,91
→
→
 
NkgfxN 100.1.8,9 = 
kgfkgf
N
kgfN
x 10
10
100
10
.100
=== 
 
 
A seguir serão apresentados alguns casos de 
aplicações da Segunda Lei de Newton, considerados 
mais importantes para o estudo da Dinâmica. 
Nos desenhos abaixo, a linha reta com 
linhas em diagonais abaixo ou acima dela indica 
que é uma superfície qualquer de apoio para o corpo 
que se deve analisar o movimento. 
 
Primeiro caso: um corpo de massa m apoiado em 
uma superfície. 
 
O primeiro passo para resolver este tipo de questão 
é construir o diagrama de corpo livre, isso é, o 
desenho das forças que atuam no corpo que se deve 
analisar o movimento, neste caso, no corpo de 
massa m, traçamos os eixos x e y sobre o corpo e 
desenhamos as forças que atuam no corpo sobre os 
eixos traçados, assim, na direção horizontal, atuará 
a força F (no sentido positivo do eixo x), e na 
direção vertical atuarão as forças P (no sentido 
negativo do eixo y) e N (no sentido positivo do eixo 
y), a origem dos eixos x e y é exatamente o centro 
do corpo. 
 
De acordo com a figura acima, para o corpo de 
massa m teremos as seguintes forças: 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
A resultante das forças 
será dada por 
NPF −=R 
N a vertical não há 
movimento, portanto, 
o corpo está em 
equilíbrio, logo, 
0=RF 
NP −=0 
NP = 
Ng =.m 
 A resultante das forças 
será dada por 
FF =R 
portanto, 
aF .mR = 
Exemplo: Seja F = 12N a força que atua no sistema 
conforme a figura acima, e m = 10kg a massa do 
corpo. Encontre a aceleração adquirida pelo corpo, e 
a intensidade da força normal. 
Solução: 
Aplicações da Segunda Lei de Newton 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
A resultante das forças 
será dada por 
NPF −=R 
0=RF 
NP −=0 
NP = 
Ng =.m 
=8,9.10 N 
N = 98N 
 A resultante das forças 
será dada por 
FF =R 
portanto, 
aF .mR = 
a.1012 = 
10
12
=a 
2/2,1 sma = 
 
Segundo caso: dois corpos A e B, de massas, 
respectivamente, iguais à mA e mB, unidos por um 
fio ideal, e uma força horizontal aplicada ao corpo 
A. 
 
O diagrama de corpo livre deverá ser feito para cada 
um dos corpos A e B, logo 
 
Corpo A 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
É Análogo ao primeiro 
caso, 0=RF 
AAR NPF −= 
AA NP −=0 
AA NP = 
 A resultante das forças 
será dada por 
ABR TFF −= 
Porém, aF .AR m= , 
logo 
ABAm TFa −=. 
Corpo B 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
É Análogo ao primeiro 
caso, 0=RF 
BBR NPF −= 
BB NP −=0 
BB NP = 
 A resultante das forças 
será dada por 
BAR TF = 
Porém, aF .BR m= , 
logo 
BABm Ta =. 
Para obter a força resultante do sistema formado 
pelos corpos A e B devemos somar as equações 
encontradas para eles na direção horizontal, é 
importante notar que |||| BAAB TT = (módulo das 
forças tração é o mesmo), elas têm mesma direção e 
sentidos opostos, logo, ao somar o segundo membro 
do sistema de equações as forças de tração se 
equilibram 
BAABBA
BAB
ABA
mm
m
m
TTFaa
Ta
TFa
+−=+



=
−=
+
..
.
.
 
Fa =+ .)( BA mm 
ou 
aF .)( BA mm += 
 
Exemplo: seja mA = 10Kg, mB = 5kg, a = 2m/s2, 
obter a força aplicada ao corpo A que desencadeia o 
movimento dos corpos A e B, dispostos conforme a 
figura anterior. Obter também a intensidade da força 
normal para A e B e da força de tração. 
Solução: 
Corpo A 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
0=RF 
AAR NPF −= 
AA NP −=0 
AA NP = 
mA . g = NA 
10 . 9,8 = NA 
NA = 98N 
 A resultante das forças 
será dada por 
ABR TFF −= 
Porém, aF .AR m= , 
logo 
ABAm TFa −=. 
10 . 2 = F – TAB 
20 = F – TAB 
Corpo B 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
0=RF 
BBR NPF −= 
BB NP −=0 
BB NP = 
mB . g = NB 
5 . 9,8 = NB 
NB = 49N 
 A resultante das forças 
será dada por 
BAR TF = 
Porém, aF .BR m= , 
logo 
BABm Ta =. 
5 . 2 = TBA 
10 = TBA 
A intensidade da força 
de tração é T = 10N. 
Para obter a força resultante do sistema formado 
pelos corpos A e B devemos somar as equações 
encontradas para eles na direção horizontal, é 
importante notar que |||| BAAB TT = (módulo das 
forças tração é o mesmo), elas têm mesma direção e 
sentidos opostos, logo, ao somar o segundo membro 
do sistema de equações as forças de tração se 
equilibram 
BAAB
BA
AB
TTF
T
TF
+−=



=
−=
+
30
10
20
 
F=30 
F = 30N 
 
Terceiro caso: O sistema é composto por dois 
corpos, A e B, de massas, respectivamente, iguais à 
mA e mB, sendo que o corpo A terá movimento na 
horizontal, e o corpo B, movimento na vertical. Os 
corpos estão presos a um fio ideal que passa por 
uma polia (roldana). 
 
Para resolver este caso é preciso observar em que 
sentido se dará o movimento do sistema. As forças 
aplicadas no corpo apoiado na superfície (corpo A) 
são as forças peso (PA), força normal (NA) e a força 
de tração (TAB), assim, a resolução para o corpo A é 
análoga a do segundo caso. O corpo B terá as forçaspeso (PB) e a força de tração (TBA) agindo sobre ele. 
Pelo fato das forças de tração TAB e TBA terem 
mesma intensidade, vou indicá-la apenas por T, na 
resolução. 
Considerando que a massa do corpo B é maior que a 
massa do corpo A, o sentido do movimento se dará 
da esquerda para a direita para o corpo A e de cima 
para baixo para o corpo B, conforme indica o 
sentido da aceleração do sistema, na figura abaixo. 
 
Corpo A 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
0=RF 
AAR NPF −= 
AA NP −=0 
AA NP = 
 aF .AR m= 
aT .Am= 
Corpo B 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
TPF −= BR 
TPa −= BBm . 
 0=RF 
 
Para o corpo A é possível obter a intensidade da 
força normal através de AA NP = ou gN .AA m= . 
A intensidade da força de tração, nesse caso, obtêm-
se imediatamente através da equação aT .Am= . 
Para obter a força resultante que atua no sistema 
aaTPT
aTP
aT
..
.
.
BAB
BB
A
mm
m
m
+=−+



=−
=
+
 
aP .)( BAB mm += 
 
Exemplo: Baseando na primeira figura do terceiro 
caso, e considerando que mA = 8 kg e mB = 20 kg, 
encontre a aceleração do sistema, a intensidade da 
força normal para o corpo A, e a força de tração no 
fio. 
Solução: 
Corpo A 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
0=RF 
AAR NPF −= 
AA NP −=0 
AA NP = 
NA = mA . g 
NA = 8 . 9,8 
NA = 78,4N 
 aF .AR m= 
aT .Am= 
T = 8 a 
A intensidade da força 
de tração, depois de 
encontrada a 
aceleração será 
T = 8 a 
T = 8 . 7 
T = 56N 
Corpo B 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
TPF −= BR 
TPa −= BBm . 
PB – T = 20 a 
 0=RF 
 
Para obter a força resultante que atua no sistema 
aaTPT
aTP
aT
B
B
208
20
8
+=−+



=−
=
+
 
aPB 28= 
mB . g = 28 a 
20 . 9,8 = 28 a 
196 = 28 a 
28
196
=a 
2/7 sma = 
 
Quarto caso: a Máquina de Atwood consiste de 
uma polia (roldana, carretilha, etc) fixa ao teto 
através de um fio e por ela passa um fio que liga 
dois ou mais corpos que se moverão na vertical, 
conforme figura abaixo. 
 
Neste caso, o diagrama do corpo livre deverá ser 
feito para os corpos A e B, e também para a polia, 
logo 
 
Corpo A 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
O movimento se dará 
em sentido do corpo B 
para baixo, como TA e 
TB possuem mesmo 
módulo, mesma 
direção e sentidos 
contrários, inçarei 
apenas por T, logo 
aF .AR m= 
aPT .AA m=− 
 0=RF 
pois não há 
movimento nessa 
direção 
Corpo B 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
O movimento se dará 
em sentido do corpo B 
para baixo, como TA e 
TB possuem mesmo 
módulo, mesma 
direção e sentidos 
contrários, inçarei 
apenas por T, logo 
aF .BR m= 
aTP .BB m=− 
 0=RF 
pois não há 
movimento nessa 
direção 
Para obter a força resultante que atua no sistema 
aaTPPT
aTP
aPT
..
.
.
BABA
BB
AA
mm
m
m
+=−+−



=−
=−
+
 
aPP .)( BAAB mm +=− 
 
Para a polia, podemos encontrar a força de tração T´ 
que a prende une com a superfície de apoio, usando 
a equação 
T´ = 2 T 
 
Exemplo: Baseando na primeira figura do quarto 
caso, e considerando que mA = 4 kg e mB = 10 kg, 
encontre a aceleração do sistema, a intensidade da 
força de tração no fio que une os corpos A e B e a 
intensidade da força de tração no fio que une a polia 
a superfície de apoio. 
Solução: 
Corpo A 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
aF .AR m= 
aPT .AA m=− 
agT .. AA mm =− 
aT .48,9.4 =− 
aT 42,39 =− 
 0=RF 
pois não há 
movimento nessa 
direção 
Corpo B 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
aF .BR m= 
aTP .BB m=− 
aTg .. BB mm =− 
aT .108,9.10 =− 
aT 1098 =− 
 0=RF 
pois não há 
movimento nessa 
direção 
 
Para obter a força resultante que atua no sistema 
aaTT
aT
aT
104982,39
1098
42,39
+=−+−



=−
=−
+
 
a148,58 = 
14
8,58
=a 
2/2,4 sma = 
Para a polia, podemos encontrar a força de tração T´ 
que a prende une com a superfície de apoio, usando 
a equação 
T´ = 2 T 
Assim, utilizando qualquer uma das equações 
abaixo, e o valor de aceleração obtido acima 
(a = 4,2 m/s2) poderemos obter a força de tração 
 
 
Corpo A Corpo B 
aT 42,39 =− 
2,4.42,39 =−T 
8,162,39 =−T 
2,398,16 +=T 
NT 56= 
 aT 1098 =− 
2,4.1098 =−T 
4298 =−T 
9842 −=−T 
4298 −=T 
NT 56= 
 Portanto, para a polia teremos 
T´ = 2 T 
T´ = 2 . 56 
T´ = 112N 
 
Quinto caso: dois corpos movendo-se juntos, 
apoiados em uma superfície horizontal e em contato 
um com o outro, conforme a figura abaixo. 
 
O diagrama de corpo livre neste caso ficará com 
uma força f, que surge entre os corpos A e B, sendo 
fAB a força que o corpo A exerce sobre o corpo B e 
fBA a força que o corpo B exerce sobre o corpo A. 
As forças fAB e fBA possuem mesmo módulo, mesma 
direção e sentidos contrários, portanto serão 
denotadas apenas por f. 
 
Corpo A 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
0=RF 
AAR NPF −= 
AA NP −=0 
AA NP = 
 aF .AR m= 
afF .Am=− 
Corpo B 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
0=RF 
BBR NPF −= 
BB NP −=0 
BB NP = 
 aF .BR m= 
af .Bm= 
 
Para obter a força resultante que atua no sistema 
aaffF
af
afF
..
.
.
BA
B
A
mm
m
m
+=+−



=
=−
+
 
aF .)( BA mm += 
 
Exemplo: Baseando na primeira figura do quinto 
caso, e considerando que mA = 10 kg e mB = 5 kg, 
F = 30N, encontre a aceleração do sistema e a 
intensidade da força que o corpo A aplica no corpo 
B. 
Solução: 
Corpo A 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
0=RF 
AAR NPF −= 
AA NP −=0 
AA NP = 
gN .AA m= 
8,9.10=AN 
NN A 98= 
 aF .AR m= 
afF .Am=− 
af .1030 =− 
 
 
F
 A 
B 
Corpo B 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
0=RF 
BBR NPF −= 
BB NP −=0 
BB NP = 
gN .BB m= 
8,9.5=BN 
NNB 49= 
 aF .BR m= 
af .Bm= 
af .5= 
 
Para obter a força resultante que atua no sistema 
aaff
af
af
51030
5
1030
+=+−



=
=−
+
 
a1530 = 
15
30
=a 
2/2 sma = 
 Para obter a intensidade da força que o corpo A 
aplica em B ou vice-versa, temos 
Corpo A Corpo B 
af .1030 =− 
2.1030 =− f 
2030 =− f 
3020 −=− f 
10−=− f 
Nf 10= 
 af .5= 
2.5=f 
Nf 10= 
 
Sexto caso: Ao considerar um corpo de massa m, 
apoiado sobre um plano inclinado que forma um 
ângulo θ com a horizontal, 
 
surgirão duas forças no corpo: o peso P, vertical 
para baixo, e a normal N, perpendicular ao plano 
inclinado e para cima. Estas forças são desenhadas 
com origem no centro do corpo. 
 
Para se obter a resultante das forças que atuam no 
corpo é necessário traçar os eixos x e y sobre o 
centro do corpo apoiado, o eixo x deverá ser 
perpendicular à superfície de apoio e o eixo y estará 
exatamente na mesma linha que a força normal N. 
 
Finalmente decompõe-se a força peso P nos eixos x 
e y, logo,, teremos PX e PY, nos respectivos eixos, x 
e y. 
 
 
 
Para melhor visualização, podemos girar o sistema 
cartesiano (plano xy), de modo a tornar o eixo x 
coincidindo com a horizontal. 
 
O objetivo de decompor a força peso P nos eixos 
cartesianos x e y é justificado ao se compor um 
triângulo retângulo conforme a figuraabaixo, para 
expressar as matematicamente as forças PX e PY, em 
termos das relações trigonométricas do triângulo 
retângulo (seno, co-seno). 
 
 
hipotenusa
opostocateto
sen =θ 
P
PX
=θsen 
 
hipotenusa
adjacentecateto
=θcos 
P
PY
=θcos 
θsen.PPX = θcos.PPY = 
 
Para aplicar a equação de Euler para o Princípio 
Fundamental da Dinâmica (FR = m . a), no corpo 
que se move em plano inclinado é necessário 
decompor o movimento em horizontal e vertical, 
logo 
 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
Da figura acima, 
quando os eixos 
cartesianos foram 
girados, é possível 
notar que na vertical 
atuam as forças: PY e 
N, porém o corpo não 
terá movimento no 
eixo y, logo 
FR = 0 
PY – N = 0 
N = PY 
 Da figura acima, 
quando os eixos 
cartesianos foram 
girados, é possível 
notar que na horizontal 
só existe a força PX 
atuando, logo 
FR = m . a 
PX = m . a 
 
Exemplo: utilizando a primeira figura do sexto caso, 
considere º30=θ , g = 10m/s2 e m = 20 kg para 
obter a intensidade da força resultante que atua 
sobre o corpo durante seu movimento de descida no 
plano inclinado, e da força normal que atua no 
corpo. 
Solução: 
 
 
 
hipotenusa
opostocateto
sen =θ 
P
PX
=º30sen 
 
hipotenusa
adjacentecateto
=θcos 
P
PY
=º30cos 
º30. senPPX = 
º30.. senm gPX = 
5,0.10.20=XP 
NP 100=X 
 º30cos.PPY = 
º30cos..gPY m= 
87,0.10.20=YP 
NP 174=Y 
Na direção vertical 
(eixo y) 
 Na direção horizontal 
(eixo x) 
FR = 0 
PY – N = 0 
N = PY 
N = 174N 
 FR = m . a 
PX = m . a 
PX = 100N 
 
Sétimo caso: elevador em movimento, produz peso 
aparente. 
 
 Quando o elevador estiver parado, 
ou quando estiver se 
movimentando em linha reta e com 
velocidade uniforme, não nula, 
teremos 
FR = 0 
P – N = 0 
N = P 
 
 
 Quando o elevador sobe com 
movimento retardado ou desce 
com movimento acelerado, a 
sensação é de estar um pouco mais 
leve, logo 
FR = m . a 
P – N = m . a 
 
 Quando o elevador sobe com 
movimento acelerado ou desce 
com movimento retardado, a 
sensação é de estar mais pesado, 
logo 
FR = m . a 
N – P = m . a 
 
 Quando o elevador desce sob a 
ação da gravidade, isto é, em 
queda livre devido ao rompimento 
do cabo, a aceleração é a própria 
aceleração da gravidade, a 
sensação é de ausência de peso, 
que é chamado de estado de 
imponderabilidade, logo 
FR = m . a 
P – N = m . g 
m . g – N = m . g 
– N = m . g – m . g 
– N = 0 
N = 0 
 
Exemplo: uma criança de massa igual a 40 kg 
encontra-se no interior de um elevador, que contém 
uma balança em seu piso. Use g = 10m/s2 para 
encontrar o valor da intensidade da força normal em 
cada um dos casos a seguir: (a) quando o elevador 
estiver parado ou em movimento retilíneo uniforme; 
(b) quando o elevador sobe com aceleração 
igual a 2m/s2; (c) quando o elevador desce com 
aceleração igual a 2m/s2; (d) quando o elevador 
sobre freando com aceleração igual a 2m/s2; (e) 
quando o elevador desce freando com aceleração 
igual a 2m/s2; (f) quando os cabos do acelerador se 
rompem. 
Solução: 
(a) quando o elevador estiver parado ou em 
movimento retilíneo uniforme; 
FR = 0 
P – N = 0 
N = P 
N = m . g 
N = 40 . 10 
N = 400N 
 
(b) quando o elevador sobe com aceleração 
igual a 2m/s2; 
FR = m . a 
N – P = m . a 
N – m . g = m . a 
N – 40 . 10 = 40 . 2 
N – 400 = 80 
N = 80 + 400 
N = 480N 
 
(c) quando o elevador desce com aceleração igual a 
2m/s2; 
FR = m . a 
P – N = m . a 
m . g – N = m . a 
40 . 10 – N = 40 . 2 
400 – N = 80 
– N = 80 – 400 
– N = –320 
N = 320N 
 
 (d) quando o elevador sobre freando com 
aceleração igual a 2m/s2; 
FR = m . a 
P – N = m . a 
m . g – N = m . a 
40 . 10 – N = 40 . 2 
400 – N = 80 
– N = 80 – 400 
– N = –320 
N = 320N 
 
(e) quando o elevador desce freando com aceleração 
igual a 2m/s2; 
FR = m . a 
N – P = m . a 
N – m . g = m . a 
N – 40 . 10 = 40 . 2 
N – 400 = 80 
N = 80 + 400 
N = 480N 
 
 
(f) quando os cabos do acelerador se rompem. 
FR = m . a 
P – N = m . g 
m . g – N = m . g 
40 . 10 – N = 40 . 10 
400 – N = 400 
– N = 400 – 400 
– N = 0 
N = 0 
 
Até agora, para calcularmos a força, ou 
aceleração de um corpo, consideramos que as 
superfícies por onde este se deslocava, não exercia 
nenhuma força contrária ao movimento, ou seja, 
quando aplicada uma força, este se deslocaria sem 
parar. Mas sabemos que este é um caso idealizado. 
Por mais lisa que uma superfície seja, ela nunca será 
totalmente livre de atrito. 
Sempre que aplicarmos uma força a um 
corpo, sobre uma superfície, este acabará parando, 
devido à força de atrito ( atF ) que se opõe ao 
movimento do corpo. 
Força de atrito (Fat) 
A força de atrito é caracterizada por: (a) se opor 
ao movimento; (b) depender da natureza e da rugosidade 
da superfície (coeficiente de atrito); (c) ser proporcional à 
força normal exercida sobre o corpo em estudo; (d) 
transformar a energia cinética do corpo em outro tipo de 
energia (energia térmica, energia sonora, energia 
luminosa, etc) que é liberada ao meio. 
Na expressão matemática para o cálculo da força 
de atrito aparecem os termos µ que é o coeficiente de 
atrito e é adimensional (não tem dimensões, 
conseqüentemente não tem unidade de medida) e N que é 
a Força normal, dada em newton, logo, a força de atrito 
também será dada em newton, portanto, podemos 
escrevê-la matematicamente como segue: 
Quando empurramos um carro, é fácil 
observar que até o carro entrar em movimento é 
necessário que se aplique uma força maior do que a 
força necessária quando o carro já está se 
movimentando. Isto acontece pois existem dois 
tipos de atrito: o estático e o dinâmico (ou cinético). 
 
Atrito Estático 
É aquele que atua enquanto não há 
movimento dos corpos. A força de atrito estático 
máxima é igual à força mínima necessária para 
iniciar o movimento de um corpo. 
Quando um corpo não está em movimento a 
força de atrito deve ser maior que a força aplicada, 
neste caso, é usado no cálculo um coeficiente de 
atrito estático: eµ . 
Então: 
 
 
 
Atrito Dinâmico ou Cinético 
É aquele que atua quando há movimento 
dos corpos. Quando a força de atrito estático for 
ultrapassada pela força aplicada ao corpo, este 
entrará em movimento, e passaremos a considerar 
sua força de atrito dinâmico. 
A força de atrito dinâmico é sempre menor 
que a força aplicada, no seu cálculo é utilizado o 
coeficiente de atrito cinético: dµ ou cµ . 
Então: 
Exemplo: Um corpo de peso igual a 200N está em 
repouso sobre uma superfície horizontal onde os 
coeficientes de atrito estático e dinâmico valem, 
respectivamente, 0,4 e 0,3. Calcular a intensidade da 
força paralela ao plano capaz de fazer o corpo entrar em 
movimento e manter-se em movimento retilíneo 
uniforme. 
Solução: Para que o corpo se mova será necessário 
aplicar uma força F, assim, se admitirmos a direção e o 
sentido da força F aplicada conforme ilustrado na figura 
ao lado, teremos 
 
 
Direção vertical 
 
 
Não há movimento, portanto, P e N se equilibram, 
logo: 
FR = 0 
P – N = 0 
N = P 
N = 200N 
 
 
 
Direção horizontal 
 
 
Enquanto a força F aplicada for menor que a força 
de atrito estático, o corpo não terá movimento 
horizontal, assim, para encontrar a intensidade da 
força paralela ao plano capaz de fazer o corpo 
entrar em movimento é suficiente calcular a força 
de atrito estático. 
NFat .ee µ= 
F 200.4,0=
eat 
F N
e
80=at 
Portanto N80>F . 
Quando a força aplicada for superior a 80N então 
o corpoentrará em movimento e a força de atrito 
atuante será à força de atrito dinâmico ou cinético, 
logo 
NFat .dd µ= 
F 200.3,0=dat 
F Nd 60=at 
Depois que o corpo adquire movimento, para 
manter-se em movimento retilíneo uniforme, isto 
é, com aceleração nula (a = 0), teremos: 
FR = m . a 
F – Fatd = m . a 
F – Fatd = m . 0 
F – Fatd = 0 
F = Fatd 
F = 60N 
 
 
 
NFat .µ= 
NFat .ee µ= 
NFat .dd µ=