Resolução - Raizes da Função

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Blog Matemática Nua & Crua 
Professor Luiz Francisco 
 
" F e l i z a q u e l e q u e t ra n s f e re o q u e sa b e e a p ren d e o q u e en s in a " . 
C o r a C o r a l i n a ( 1 . 8 8 9 + 9 6 = 1 . 9 8 5 ) 
 
 
 
 
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Encontre as raízes da função: 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Seja 
 
 
 
 
 
Inicialmente vamos observar o gráfico de , para ver quantas raízes reais vamos ter 
que determinar: 
 
 
Figura 1: Gráfico de . 
 
Observe que temos duas raízes reais (racionais ou irracionais). 
 
Iniciando o trabalho investigativo: 
 
 
 
 
 
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Temos que determinar as raízes reais desta equação. 
(I) Método: 
 
Agora temos que fatorar, este passo é o mais difícil e complicado, existem diversas forma 
de se realizar e somente com a resolução de diversos exercícios pode-se dominar as 
técnicas. Costumo realizar um agrupamento: 
 
 
 
 
 
 
 
O produto de dois números é nulo somente quando, um dos fatores é nulo: 
 
 
 
Ou 
 
 
 
Resolvendo: 
 
(i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(ii) 
 
 
 
 
 
Temos uma equação do terceiro grau. Este tipo de equação exige a utilização de diversas 
técnicas para sua resolução. 
 
 
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Vamos olhar para o gráfico de , para obter um valor aproximado da raiz da 
equação: 
 
 
Figura 2: Gráfico de 
 
A função passa no eixo próximo a . 
 
 
 
 
 
Um valor bem próximo de 0. Podemos ir testando diversos valores para que a 
aproximação seja cada vez mais próxima a 0. 
 
Temos um ponto de partida, pelo Método de Newton–Raphson, determinamos um valor 
mais próximo desta raiz. 
 
 
 
Derivando a função : 
 
 
 
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Para : 
 
 
 
 
 
Para 
 
 
 
 
 
Então podemos considerar como sendo uma raiz de . O mais 
provável é que esta raiz seja uma raiz irracional sendo mais complicado e trabalho determina-
la, então o método de aproximação auxilia muito neste caso. 
 
(II) Método: 
 
Podemos aplicar Teorema das Raízes Racionais na equação: 
 
 
 
Neste processo temos que determinar os divisores do termo independente (aquele que não tem 
variável) e os divisores do termo de maior grau (aquele que tem a variável elevada ao maior 
valor). 
 
Termo independente: 29 
Divisores de 29: – 1, 1, – 29, 29 
Termo de maior grau: 4 
 
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Divisores de 4: 1, 2, 4 (vamos utilizar apenas os valores 
positivos para evitar cálculos desnecessários). 
 
Agora temos que formar frações cujo numerador são os divisores do termo independente e os 
numeradores são os divisores do termo de maior grau: 
 
 
 
 
 
 
O Teorema das Raízes Racionais diz que uma (ou mais) das frações é uma possível raiz(es) 
racional(is) da equação, então temos que testa-las uma a uma. Se é raiz de uma equação 
então esta equação é divisível por . 
 
Então temos que testar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Realizando os testes, por meio de algum método de divisão de polinômio vamos notar que 
apenas para temos uma divisão sem resto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 
 
Então é uma raiz da equação. Podemos escrever a equação da seguinte maneira: 
 
 
 
Agora temos que encontrar as raízes da equação do terceiro grau: 
 
 
 
Como analisado inicialmente sabemos pelo gráfico que a função tem duas raízes reais e o 
Teorema das Raízes Racionais só forneceu uma, então é possível que a outra raiz seja 
irracional. 
 
Aplicando o Método de Newton–Raphson, para determinamos um valor mais próximo 
desta raiz. 
 
 
 
Derivando : 
 
 
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Para : 
 
 
 
 
 
Para : 
 
 
 
 
 
Então podemos considerar como sendo uma raiz de . O mais 
provável é que esta raiz seja uma raiz irracional sendo mais complicado e trabalho determina-
la, então o método de aproximação auxilia muito neste caso. 
 
 
 
Na maioria das aplicações, utilizamos apenas os valores reais das raízes de uma função. Para 
uma resolução mais detalhada só mesmo com o auxilio de um software matemático. 
 
No Maple temos a seguinte solução para as raízes de : 
 
 
 
 
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