CONDGIT4

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121 
6. TÉCNICAS DE MODULAÇÃO DIGITAL 
 
 A necessidade de se modular a informação digital vem do fato que o sinal 
resultante fica mais imune ao ruído aditivo e dessa forma, o sinal digital que chega na 
estação receptora é mais confiável, ou seja, tem um probabilidade menor de erro. Dessa 
forma o sinal digital pode ser transmitido como pulso retangular ou cossenoidal ou 
gaussiano, etc., todos são chamados de transmissão em banda básica. Quando esses pulsos 
são modulados em FM ou PM ou etc., eles são chamados de transmissão por modulação. 
Fica claro que qualquer das duas formas anteriores (banda básica ou modulação digital) os 
pulsos são posteriormente modulados em frequência muito mais alta, em FM, para serem 
transmitidos, por exemplo, espaço livre. 
 
Alguns tipo de modulação: 
 
Amplitude-Shift Keying – ASK 
Frequency-Shift Keying – FSK 
Phase-Shift Keying – PSK 
 
Dígitos binários: 0 1 1 0 1 0 0 1 
 
 122 
 
 
 Metas a serem atingidas: 
 
1. Máxima taxa de dados (data rate) 
2. Mínima probabilidade de erro dos símbolos 
3. Mínima potência de transmissão 
4. Mínima banda passante ocupada no canal 
5. Máxima resistência a sinais de interferência 
6. Mínima complexidade nos circuitos 
 
 Algumas dessas metas são conflitantes. Por exemplo (1) e (2) estão em conflito 
com (3) e (4). 
 
 
 123 
6.2 – Modulação e Demodulação em Sincronismo (“coherent”) ou Coerente 
 
(1) PSK binário coerente 
 
 Transmite-se s1(t) representando o dígito 1 e s2(t) representando o dígito 0 
 
t)fcos(2
T
E2
(t)s c
b
b
1 pi= 
 
 
tfcos2
T
E2
-)tfcos(2
T
E2
(t)s c
b
b
c
b
b
2 pipipi =+= 
 
 
Obs.: Colocou-se as amplitudes de s1(t) e s2(t) como funções de Tb para que a 
probabilidade de erro só dependa da relação energia Eb versus potência de ruído. 
 
onde 0 ≤ t < Tb; Eb – energia/bit 
 
 Neste caso a função base de energia unitária será 
e b
1b2
1b1 T t 0 
(t) E - (t)s
(t) E (t)s
<≤



=
=
φ
φ
 
 
 O espaço de sinais é unidimensional (só tem φ1) e tem dois pontos de sinais 
(s1 e s2): N = 1 e M = 2. 
 
∫ +==
bT
0 b1111
E dt (t) (t)s s φ 
 
bc 
b
1 T t 0 tf2 cos
T 
2
(t) < ≤ = pi φ 
 124 
∫ ==
bT
0 b1221
E - dt (t) (t)s s φ 
 
 No receptor, faz-se ∫=
bT
0 11
dt (t) x(t) x φ onde x(t) é o sinal que chega ao 
receptor. 
 
 
 
 
 Caso x1 esteja em Z1, decide-se que o bit 1 foi enviado; caso x1 ∈ Z2, decide-se 
pelo bit 0. Z1: x1 > 0 Z2: x1 < 0. 
 
 125 
Probabilidade de erro: 
 
 Supondo um ruído aditivo n(t) AWGN de média zero e densidade espectral de 
potência igual a 
2
N0 , x1 será uma v.a. de média igual a + bE ou - bE e variância 
2
N0 . 
 
 Caso o bit 0 tenha sido enviado, teremos 
 
( ) 





=
2
211
00
11 s - x N
1
 -exp 
N
1
 /0)(xfx
pi
 
 
( ) 





=
2
b1
00
E - x 
N
1
 -exp 
N
1
 
pi
 
 
 Logo: 
 








== ∫
∞
0
b
0 111e N
E
erfc 
2
1
 dx /0)(xfx (0)P 
 
 Similarmente obtem-se Pe(1) que é igual a Pe(0). Logo a probabilidade total de erro 
será 







=
0
b
e N
E
erfc 
2
1
 P . 
 
 Geração e deteção coerente de PSK: 
 
 126 
 
 
 
 
 A maneira de se demodular s1 ou s2 acima mostrada é chamada de demodulação 
coerente (ou sincronizada) por correlação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 127 
(2) FSK coerente: 
 
 Neste caso o bit 1 é representado por: 
 
b
b
c
b
b
1 T t 0 tT
1n
2cos 
T
E 2
 (t)s ≤≤










 +
= pi 
 
e o bit 0 por: 
 
b
b
c
b
b
2 T t 0 tT
2n
2cos 
T
E 2
 (t)s ≤≤










 +
= pi 
 
ou seja: 
 
[ ] bi
b
b
i T t 0 tf2cos T
E 2
 (t)s ≤≤= pi 
 
0bit para 2 i
1bit para 1 i
 
T
in
 f
b
c
i
=
=+
= 
Obs.: s1 (t) e s2 (t) iniciam e terminam com a mesma voltagem, pois o tempo de duração 
do bit é um múltiplo de ambos os períodos das duas cossenoides. 
Tem-se que Eb é a energia do sinal por bit. Neste caso a função base unitária será: 
 
[ ] bi
b
i T t 0 tf2cos T
2
 (t) ≤≤= piφ 
 
 O espaço de sinais é bidimensional (permitem-se φ1 e φ2) e com dois pontos de 
mensagens (s1 e s2) N = 2 e M = 2 
 
 
 128 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫= b
T
0 jiij
dt (t) (t)s s φ 
 
 



≠
=
=
j i 0
j i E
 b 
 
2
1
b~
2
b
~
1 
 
 
E
0
 s 
0
E
 s φ
φ
←
←






=





= 
 
φ1 e φ2 são ortonormais 
Z1: região que se decide pela transmissão do bit 1 
Z2: idem pelo bit 0 
 
 Na demodulação, calculam-se dois valores x1 e x2: ∫= b
T
0 11
dt (t) x(t) x φ e 
∫= b
T
0 22
dt (t) x(t) x φ , onde x(t) é o sinal que chega ao receptor (s1 ou s2 mais ruído 
AWGN). 
 
b T
2 cos(2pi fj t) dt t)f(2cos
T
E 2 
i
T 
0 
b 
b b pi ∫ =
Z2 
Z1 
φ2 
φ1 
 129 
 A decisão será feita a favor do bit 1 se x1 > x2 e a favor do bit 0 caso x1 < x2. 
 
Para se calcular a Probabilidade de erro mais facilmente, defina-se então a variável 
aleatória d = x1 – x2 
Caso o bit 1 tenha sido transmitido, tem-se b1 E /1)E(x += E(x2/1) = 0. 
Caso o bit 0 tenha sido transmitido, tem-se: E(x1/0) = 0 E(x2/0) = bE . 
 
 Logo, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 Como as v.as. x1 e x2 são independentes (porque o ruído somado ao bit 0 e ao bit 1 
são independentes, não há nenhum relacionamento entre os dois), a variância será: 
 
VAR(d/0) = VAR((x1-x2)/0) = VAR(x1/0) + VAR(x2/0) 
 
VAR(d/1) = VAR[(x1-x2)/1] = VAR(x1/1) + VAR(x2/1) 
 
 Como VAR(x1/0) = VAR(x1/1) = VAR(x2/0) = VAR(x2/1) = 
2
N0 tem-se que 
VAR(d) = VAR(d/1) = VAR(d/0) = N0. 
 
 Prova-se também que se x(t) é uma v.a. normal então x1 e x2 também o serão e 
neste caso também d será. 
 
 Então a decisão x1 > x2 ou x1 < x2 é equivalente a d > 0 ou d < 0 e como d é 
gaussiana, tem-se: 
b2 1 E - /0)E(x )0 /E(x E(d/0) = −= 
b 2 1 E /1)E(x )1 /E(x E(d/1) + = − = 
 130 
 
( )







 +
=
0
2
b
0
L N 2
E l
 -exp 
N2
1
 (l/0)f
pi
 
 
( )







 +
=
0
2
b
0
L N 2
E l
 -exp 
N2
1
 (l/1)f
pi
 
 
 Daí, Pe(0) = P(d > 0/símbolo 0 foi transmitido) e Pe(1) = P(d < 0/símbolo 1 foi 
transmitido) 
b
e e e
0
E1P (0) P (1) P erfc
2 2N
 
 
 
 
 
= = = 
 
Modulação FSK: 
 
Demodulação coerente 
 
 131 
 
 
 Na modulação FSK coerente, a fase varia continuamente mesmo com a variação do 
pulso do bit 0 para o bit 1 ou vice-versa. Por esse motivo a modulação FSK também é 
chamada de modulação FSK de fase contínua (CPFSK – Continuous Phase FSK). Pelo 
fato de estarmos usando um múltiplo de período, muda-se a frequência mas a fase fica 
contínua. 
 
6.3 – Técnicas de Modulação Coerente em Quadratura 
 
 Por quadratura significa dizer que estamos enviando dois ou mais sinais ortogonais, 
defasados de 90º ou seja, um cosseno e um seno de mesma freqüência e fase. 
 
 A onda s(t) = sI(t) cos2pifct – sQ(t) sen 2pifct é umamodulação em quadratura onde 
sI(t) é a componente em fase e sQ(t), a componente em quadratura. 
 
(1) QPSK – Quadriphase Shift Keying 
 
Neste caso, a onda modulada será 
 
 
 
para 0 ≤ t ≤ T, i = 1, 2, 3 e 4 → quatro possíveis pulsos 
 
( ) 

  
 
+= 
4 
1 - 2itf2 cos
T 
2E 
(t)s c i 
pi 
pi 
 132 
 A cada i existe um dibit (dois bits) associado 
 
i 1 2 3 4 
dibit 10 00 01 11 
 
Codificação segundo o código de Gray 
 
 si(t) acima pode ser escrito como: 
 
( ) tf2 cos 
4
 1-2icos 
T
2E
 (t)s ci pi
pi




= 
 
( ) tf2sen 
4
 1-2isen 
T
2E
 - cpi
pi




 
 
para 0 ≤ t ≤ T i = 1, 2, 3, e 4 
 
 Dessa última equação para si(t), observa-se que: 
 
1. A base de vetores ortogonais é bidimensional (φ1(t) e φ2(t)) pois temos duas funções 
cos 2pifct e sen 2pifct ortogonais. 
 
2. As amplitudes nestes dois vetores φ1 e φ2 são representadas pelas coordenadas do vetor: 










=





=
4
 1)-sen(2i E -
4
 1)-cos(2i E
 
s
s
 s
i2
i1
i pi
pi
 i = 1, 2, 3 e 4 
 
0 ≤ t ≤ T 
t) fsen(2
T 
2 
(t) t); fcos(2
T 
2 
(t) c 2 c 1 pi φ pi φ = = 
 133 
i Dibit de entrada 
0≤t≤T 
Fase do sinal QPSK Coordenadas dos pontos 
de mensagem 
1 10 /4pi E/2 + 
 
2 00 /4 3pi E/2 − 
 
3 01 /4 5pi E/2 − 
 
4 11 /4 7pi E/2 + 
 
Obs.: a ordem dos dibits foi arbitrária mas, seguindo o código de Gray. 
 Da tabela acima vê-se que os dibits são formados da seguinte maneira: se o 10. bit é 
1 o cos é positivo (se for 0, o cosseno é negativo); se o 20. bit é 0 o sen é positivo (se for 
1, o seno é negativo), ou seja, o cos está representado por si1 e o sen por si2. 
 
 
E/2 − 
E/2 − 
E/2 + 
E/2 + 
10
) 
01) 11) 
00) 
 134 
Exemplo 1: Como gerar o sinal QPSK. Suponha que se deseja transmitir a seguinte 
sequência binária: 1 0 1 0 0 0 1 1. Divide-se em duas sequências de pares e ímpares. 
 
Posição ímpar = 1 cos é positivo 
 
 
Posição ímpar = 0 cos é negativo 
 
 
Posição par = 0 sen é negativo 
 
Posição par = 1 sen é positivo 
 
 
 
 
 
0 1 2
-0.05
0
0.05
0 1 2
-0.05
0
0.05
0 1 2
-0.05
0
0.05
0 1 2
-0.05
0
0.05
 135 
Critério de decisão do sistema QPSK: 
 
 Se o sinal de mensagem que chega ao receptor está na região Z4, diz-se que o dibit 
10 foi enviado; se cai na região Z3, escolhe-se o dibit 00 ; e assim por diante. 
 
O sinal recebido será da seguinte forma x(t) = si(t) + w(t) 0 ≤ t ≤ T i = 1, 2, 3, 4. 
 
Onde si é o sinal transmitido e w(t) é o ruído AWGN de média zero e densidade espectral 
de potência igual a 
2
N0 . 
 
 Definam-se: 
 
∫=
T
0 11
dt (t) x(t) x φ , 
 
 [( ) 1 1 w 4 
 1 - 2i cos E x + ] 
 
= 
pi 
 
 
( ) 2T0 22 w 4 1-2isen E - d (t) x(t) x +



== ∫
piφ 
 
que serão as coordenadas em φ1 e φ2, sendo w1 e w2 ruído AWGN de média zero e 
variância 
2
N0 . 
 
 Calculando-se a probabilidade de erro para a região Z4 e todas as outras serão 
iguais, já que existe uma simetria geral. 
 
 Com base nos valores das coordenadas de φ1 e φ2, isto é, x1 e x2 podemos saber se o 
sinal recebido (sinal transmitido + ruído) está dentro da região Z4 ou não, claro que, se o 
dibit 10 foi transmitido. Então, caso o dibit 10 tenha sido transmitido e o sinal recebido 
tem coordenadas fora de Z4, teremos um erro. 
 136 
 x2 
 Região de 
 decisão correta 
 
 
 
 
 x1 
 
 Região de 
 decisão errada 
 
 
 
 
 
Calculemos a probabilidade de acerto Pc que é mais fácil. 
 
 [( ) 1 1 w 4 
 1 - 2i cos E x + ] 
 
= 
pi 
 
Logo, a probabilidade de erro será 1 – Pc. 
 Para i = 1 média [ x1 ] = 1 1
π 2 E
média [ E cos( ) + w ] = E + w = 
4 2 2
 
Onde 1w = 0 x1 será normal de média 
2
E
 + e variância 
2
N0 , 
x2 será normal de média 
2
E
 + e variância 
2
N0 . 
 
 Logo: 
 
( ) ( )
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
c dx N
E/2 - x
 -exp 
N
1
 dx 
N
E/2 - x
 -exp 
N
1
 P 











= ∫∫
∞∞
pipi
 
 137 
 Daí, 
 
































=
00
c 2N
E
erfc
2
1
-1
2N
E
erfc
2
1
-1P 
 
2
02N
E
 erfc 
2
1
 - 1 P 





=
c
 
 
 
 
 
 
A probabilidade de erro será: Pe = 1 – Pc 
 
















=
0
2
0
e 2N
E
erfc 
4
1
 - 
2N
E
erfc P 
 
 Como 







02N
E
ercf é da ordem de 10-4 (probabilidade de erro alta) ou menos, 
como por exemplo 10-10 (probabilidade de erro baixa, dependendo da aplicação) temos que 
( ) 4-24-4-2 10 10 
4
1
 - 10 erfc 
4
1
 - erfc ≈= . Ou seja, podemos aproximar Pe por 
A energia E carrega informação sobre dois bits (dibit). Fazendo a 
energia por bit igual a Eb, temos Eb = E/2. Então: 
 . 




 
 
 
 
≈ 
0 
e 
 N 
Eberfc P 




 
 
 
 
≈ 
0 
e 
2N 
E 
erfc P 








+







=
0
2
0
c 2N
E
erfc 
4
1
 
2N
E
erfc - 1 P 
 138 
Geração de QPSK: 
 b(t) é a onda binária NRZ polar representada por bE + para o bit 1 e bE − 
para o bit 0 b(t) é dividida em bits ímpares (b1(t) para o cos) e 
pares (b2(t) para o seno). 
 
 
 
Demodulação 
 
 
 
 139 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 140 
 
 
 
 
 
Figura 6.7 - geração do sinal QPSK, dada a sequência 01101000 
 141 
 
 
 142 
 
 
 
 143 
Modulação em quadratura: Minimum Shift Keying – MSK 
 
 Considere na modulaçõ FSK ou também chamada de CPFSK, os sinais de 
informação 
 
[ ]
[ ]







+
+
=
0 símbolo (0) t f2cos 
T
2E
1 símbolo (0) t f2cos 
T
2E
 s(t)
2
b
b
1
b
b
θpi
θpi
 
0 ≤ t ≤ Tb. 
 θ(0) é a fase no instante t = 0. 
 
 Na forma geral de modulação por frequência, tem-se: 
 
[ ] Tb t0(t)tf2cos
T
2E
s(t) c
b
b ≤≤+= θpi 
 
( ) t
T
h
 (0) (t) f f 
2
1
 f
b
21c
piθθ ±=+= 
 
onde h = Tb(f1 – f2). 
 
( )



=
0 símbolo parah -
1 símbolo parah 
 0 - )(Tb pi
piθθ 
 
 Logo, transmitindo-se o 1 aumenta-se a fase de pih radianos e se for o 0, a fase 
decresce de pih rad. 
 
 144 
 
 
• Valores ímpares de múltiplos de Tb [(2n+1) Tb] tem fase em valores ímpares de 
múltiplos de pih; 
• Valores pares de múltiplosde Tb levam a fase em valores pares de múltiplos de pih. 
 
Se fizermos 
2
1
 h = , a fase só assume 0, 
2
 
pi± ou ± pi, ou seja, valores ± 2 kpi. Então 
com 
2
1
 h = a árvore de fase se reduz a: 
 
 145 
 
 
 Se para 
2
1
 h = enviarmos a sequência 1 1 0 1 0 0 0, e sendo θ(0) = 0, a fase se 
comportará como mostrado na figura acima por traço em negrito, isto é, sai-se de 0 rad 
2
-
 0 
2
 
2
 
2
 0
pipi
pi
pi
pi
pi
→→→→→→→ 
e chega-se a 0 rad em 7 Tb (para esta específica sequência). 
 
 Neste caso, s(t) pode ser colocado da seguinte forma: 
 
[ ] antes estava como (t) t f2cos 
T
2E
 s(t) c
b
b →+= θpi 
 
logo 
 
tfsen2 (t)sen 
T
2E
 -t fcos2 (t) cos 
T
2E
 s(t) c
b
b
c
b
b piθpiθ= 
 146 
onde b
b
T t 0 t 
2T
 (0) (t) ≤≤±= piθθ 
 positivo (+) para o bit 1 e negativo (-) para o símbolo 0, ou ainda 
 
quadraturaemcomponente
cQ
faseemcomponente
cID tfsen2(t)s-tfcos2(t)s(t)s
↑↑
= pipi 
 
 Considere a componente em fase: 
 
 Como t 
2T
 (0) (t)
b
piθθ ±=
 
para 0 ≤ t ≤ Tb 
se fizemos - Tb ≤ t ≤ 0, teremos a fase com resultado similar, isto é, 
 
 t
2T
 (t) (t)
b
piθθ m= 
 
 A fase θ(0) será 0 ou ± pi radianos. 
 
 Logo a polaridade do cos θ(t) só depende de θ(0) no intervalo – Tb ≤ t ≤ Tb. 
 
 Dessa forma, 
 
 t
2T
 cos (0)cos 
T
2E
 (t)cos 
T
2E
 (t)s
bb
b
b
b
I
piθθ == 
 
ou seja 
 
 
 
sendo que o sinal (+) corresponde a θ(0) = 0 e o (-) corresponde a θ(0) = pi. 
bb
bb
b
I T t T - t 2T
 cos 
T
2E
 (t)s ≤≤±= pi 
 147 
 De forma similar, tem-se: 
 t
2T
sen(Tb)senT
2E
(t)sen
T
2E
(t)s
bb
b
b
b
Q
piθθ ==
 
 
b
bb
b
Q 2T t 0 t 2T
sen 
T
2E
 (t)s ≤≤±= pi 
 
sendo que o sinal (+) corresponde a 
2
 )(Tb
piθ = e o (-) a 
2
 - )(Tb
piθ = . 
 
 Na equação h = Tb(f1 – f2), com 
2
1
 h = tem-se 
b
21 2T
1
 f - f = . A diferença de 
frequências é metade da taxa de bits. Isto é o mínimo espaçamento entre as frequências 
no FSK para que s1(t) seja ortogonal a s2(t). 
 
Da discussão anterior, vê-se que θ(0) = θ(Tb) podem assumir os seguintes 
valores: 
 
1. Se θ(0) = 0 e θ(Tb) = 
2
pi
; isto corresponde a transmissão do símbolo 1. 
 
2. Se θ(0) = pi e θ(Tb) = 
2
pi
; isto corresponde a transmissão do bit 0. 
 
3. Se θ(0) = pi e θ(Tb) = - 
2
pi
 (ou 
2
3pi
 módulo 2pi); temos a transmissão do bit 1. 
 
4. Se θ(0) = 0 e θ(Tb) = - 
2
pi
; corresponde a transmissão do bit 0. 
 148 
 Funções ortogonais correspondentes: φ1 e φ2 
 
T t T-t fcos2 t
2T
cos 
T
2
 (t) bc
bb
1 ≤≤





= pi
piφ 
 
bc
bb
2 2T t 0t fsen2 t2T
sen 
T
2
 (t) ≤≤





= pi
piφ 
 
s(t) = s1 φ1(t) + s2 φ2(t) 0 ≤ t ≤ Tb 
onde: 
(0) cos E dt (t) s(t) s b
b
T
T- b11
θφ∫ == 
 
)(TsenE-dt(t)s(t)s b
T-
0 b22
b θφ∫ == 
 Como θ(0) = 0 ou pi, s1 = bE ± e como 2
 )(Tb
piθ ±= , 
b2 E s m= . 
 Temos então quatro possibilidades para (s1, s2) 
( )bb E - ,E ; ( )bb E - ,E− ; ( )bb E ,E e ( )bb E ,E− . 
 
Tabela – Caracterização do espaço de sinais de MSK 
Símbolo binário transmitido 
bT t 0 ≤≤ 
Estado de fases 
)(T (0) bθθ 
Coordenadas dos pontos 
mensagens s1 s2 
1 /2 0 pi+ 
bb E - E + 
0 /2 pipi + 
bb E - E − 
1 /2 - pipi 
bb E E +− 
0 /2 - 0 pi 
bb E E ++ 
 149 
 
Exemplo – Geração do MSK 
 
 150 
Critério de decisão 
 
 Chega o sinal x(t) na entrada do demodulador e calcula-se x1 e x2. 
 
∫ +== b
b
T
T- 1111
 w s dt (t) x(t) x φ 
 
∫ +==
b2T
0 2222
 w s dt (t) x(t) x φ 
 
 w1 e w2 são ruídos independentes, aditivos de média zero e variância 
2
N0 
 
se x1 > 0 escolhe-se θ(0) = 0 
se x1 < 0 escolhe-se θ(0) = pi 
se x2 > 0 escolhe-se θ(Tb) = - pi/2 
se x2 < 0 escolhe-se θ(Tb) = pi/2 
 
 Combinando-se o par (s1, s2) decide-se que o bit transmitido foi o 0 ou o 1, de 
acordo com a Tabela 
• Probabilidade de erro 
 A modulação MSK é muito parecida com a modulação QPSK. A diferença está nas 
funções ortonormais φ1 e φ2 e além disso no MSK, há necessidade de se usar memória já 
que s1 é calculado de – Tb a Tb. Então a probabilidade de erro do MSK é idêntica ao do 
QPSK, ou seja, 
 
















=
0
b2
0
b
e N
E
erfc 
4
1
 - 
N
E
erfc P 
 
 
N
E
erfc P
0
b
e 







≈ 
 151 
Geração e demodulação síncrona do MSK 
 
Gaussian minimum-shift keying 
In digital communication, Gaussian minimum shift keying or GMSK is a continuous-
phase frequency-shift keying modulation scheme. It is similar to standard minimum-shift 
keying (MSK); however the digital data stream is first shaped with a Gaussian filter before 
being applied to a frequency modulator. This has the advantage of reducing sideband 
power, which in turn reduces out-of-band interference between signal carriers in adjacent 
frequency channels. However, the Gaussian filter increases the modulation memory in the 
system and causes intersymbol interference, making it more difficult to discriminate 
between different transmitted data values and requiring more complex channel equalization 
algorithms such as an adaptive equalizer at the receiver. GMSK has high spectral 
efficiency, but it needs a higher power level than QPSK, for instance, in order to reliably 
transmit the same amount of data. 
GMSK is most notably used in the Global System for Mobile Communications (GSM). 
 152 
6.4 – Técnicas de Modulação Binária não Coerente (não Síncrona) 
 
 O Demodulação ortogonal não coerente 
 
 Suponha que após termos modulado a onda binária, obtemos dois sinais ortogonais 
s1(t) e s2(t) no intervalo 0 ≤ t ≤ T. Estes dois sinais são afetados por um deslocamento de 
fase (ruido que atua alterando a fase), onde o valor desse deslocamento é aleatório. Sejam 
g1(t) e g2(t) os sinais deslocados em fase provenientes respectivamente de s1(t) e s2(t). 
Supomos que g1(t) e g2(t) também são ortogonais, ou seja, as alterações de fase nos dois 
sinais ortogonais são iguais. 
 
 Supondo que não haja ruido na fase, no receptor chega o sinal x(t) 
 
T t0
 w(t)(t)s
 w(t)(t)s
x(t)
2
1 ≤≤



+
+
= 
 
 A demodulação é feita segundo a figura abaixo caso não exista o ruido de fase: 
 
 
 
 
 
 153 
Supondo agora o ruido de fase, pode-se obter l1 e l2 segundo suas componentes em φ1 e φ2 
e também suas componentes defasadas de 900, isto é, 21
ˆ e ˆ φφ , para tentarmos retirar o 
ruido de fase (veja item 4.8 desta apostila). Estas componentes 21
ˆ e ˆ φφ são as 
transformadas de Hilbert de φ1 e φ2. Caso φi seja da forma φi = m(t) cos2pifit, sua 
transformada de Hilbert será tf2en m(t) ˆ ii piφ = , desde que o espectro de m(t) não se 
superponha ao do cos2pifit. 
 
 
 
 
 
Diagrama de bloco equivalente, na suposição que si(t) tenha sido transmitido: a figura a 
seguir refere-se a deteção de si(t). O mesmo se aplica para todas as outras funções da 
base. 
 154 
 
 
 
 
 Se s1(t) foi enviado, e se não houvesse ruído de fase, 
1I
x seria provenientede s1(t) 
e nesse caso xQ1,= xI1 = xQ2 =0. Como existe ruído de fase, esses valores serão variáveis 
aleatórias. 
 
 Então: 
 






2
N
 ,EN será x 0I1 , 




2
N
 0,N será x 0Q1 , 






2
N
0,Nseráx 0I 2 , 
 






2
N
0,Nseráx 0Q2 , 
 
 xxl 2Q
2
2 22
+= I 
 155 
 
 Demonstra-se que sendo 1
Ix
e 1
Q x
v.a.s normais idênticas de média zero 
e 
2
N
 02 =σ , l2 será uma v.a. de Rayleigh dada por 
 
( ) 0l
N
l
-exp
N
2l
lf 2
0
2
2
0
2
2L2
≥






= 
 
 
 
 
Desejamos achar a probabilidade de erro: 
 
( ) ( ) 122l L12 l dl lf l lP Perro 1 2 ∀=>= ∫∞ 
 
1
0
2
1 l 
N
l
 -exp Perro ∀






= 
 
 156 
 Porém l1 também é v.a. Logo teremos que tirar a média com relação a l1 
 
2
Q
2
I
2
1 11
 x x l += 
 
1
0
2
Q
2
I l 
 x x
 -exp Perro 11 ∀







 +
=
N
 
 
( ) ( )
1111Q11I
11
QIQXIX-
0
2
Q
2
I dx dx xf xf 
N
 x x
 -exp Perro ∫ ∫
∞+
∞−
∞+
∞ 






 +
= 
 
( )( )
111111 QI
2
Q
2
I
2
Q
2
I
0
-
0
dx dx x E - x x x 
N
1
 -exp 
N
1
 Perro 





+++= ∫ ∫
∞+
∞ pi
 
 
 Argumento da exponencial: 
 
( )
2
E
2x
2
E
-x2 xE-x xx 2Q
2
I
2
Q
2
I
2
Q
2
I 111111
++





=+++ 
 
=
















++





2
E
2x
2
E
-x2
N
1
-exp 2Q
2
I
0
11
 
 


































=
00
2
Q
0
2
I
2N
E
 -exp . 
2/N
x
 -exp . 
2/N
2
E
 - x
 -exp 1
1
 
 
 157 
 Logo, 
 
1
1
I
0
2
I
-
00
e dx2/N
2
E
-x
-exp
N
1
.
2N
E
-expP


























= ∫
∞+
∞ pi
 
 multiplicado por 
1
1
Q
0
2
Q
-
0
dx
/2N
x
-exp
N
1








∫
∞+
∞ pi
 
 






=





=
00
e 2N
E
 -exp 
2
1
 
2
1
 . 
2
1
 . 
2N
E -
exp P 
 
 Então a probabilidade de erro na demodulação não síncrona (não coerente) é dada 
por 
 






=
0
e 2N
E
 -exp 
2
1
 P 
 
(1) Demodulação não coerente para o sistema binário FSK: 
 
bi
b
b
i T t 0t fcos2 T
2E
 (t)S ≤≤= pi 
 
 
 
 
 
 
 158 
 
 
Esquema da demodulação não coerente: 
 
 
 
Probabilidade de erro Pe: 
 






=
0
b
e 2N
E
 -exp 
2
1
 P 
 
(2) Modulação DPSK – Differencial Phase Shift Keying 
 
 Na demodulação DPSK, duas operações básicas são feitas: codificação diferencial 
seguida da modulação PSK. Isto é feito da seguinte forma: Toda vez que o bit 1 vai ser 
transmitido, deixa-se a senoide do bit anterior com a mesma fase, ou seja, transmite-se o 
mesmo sinal. Caso seja desejado transmitir-se o bit 0, avança-se a fase da senoide anterior, 
ou seja, transmite-se a senoide anterior com polaridade trocada. 
 
Exemplo: Deseja-se transmitir 0 1 1 1 0 0 1, então 
 
 
 159 
 
 
 
 
 DPSK é um exemplo de modulação não coerente quando é considerado num 
intervalo de dois bits. Consideremos o intervalo de dois bits 0 ≤ t ≤ 2Tb. No primeiro 
intervalo estamos transmitindo a forma de onda tf2 cos /2TE cbb pi em 0 ≤ t ≤ Tb. 
 
Transmissão do bit 1: 
 



≤≤
≤≤
=
bbcbb
bcbb
1 2T t Tt fcos2 /2TE
T t 0t fcos2 2T/E
 (t)s
pi
pi
 
 
Transmissão do bit 0: 
 



≤≤+
≤≤
=
bbcbb
bcbb
2 2T t T )tfcos(2 /2TE
T t 0 t fcos2 2T/E
 (t)s
pipi
pi
 
 
 Vê-se que no intervalo 0 ≤ t ≤ 2Tb, s1(t) e s2(t) são ortogonais. 
 
 Fazendo-se a demodulação não síncrona, tem-se que a probabilidade de erro será 
dada por 





=
o
b
e N
E
 -exp 
2
1
 P , conforme deduzido anteriormente. 
 
Modulação e demodulação DPSK 
 
Modulação: 
 
 
 
 160 
 
 
 
 
Demodulação não síncrona: 
 
 
 
 
 
 
Geração de DPSK: Equação lógica: k1-kk1-kk b d b d d ⊕= aritmética módulo2 
 
bk 1 0 0 1 0 0 1 1 
kb 
 0 1 1 0 1 1 0 0 
dk-1 1 1 0 1 1 0 1 1 
1-kd 
 0 0 1 0 0 1 0 0 
1-kk d b 1 0 0 1 0 0 1 1 
1-kk d b 
 0 0 1 0 0 1 0 0 
dk 1 1 0 1 1 0 1 1 1 
Fase transmitida 0 0 pi 0 0 pi 0 0 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 161 
6.5 – Comparação entre as Técnicas de Modulação Binária e Quartenária 
 Estabelecendo-se que Eb é a energia para se transmitir um bit e que o ruído entrante 
no sistema é aditivo, branco, de média zero e autocorrelação igual a N0/2, a probabilidade 
de erro Pe é dada em função da relação energia de um bit por densidade de ruído: Eb/N0. 
 
Tabela 6.4 
Sinalização binária coerente Probabilidade de erro - Pe 
a PDK cerente 
 
b deteção coerente de DPSK 
 
c FSK coerente 
( )0b/NEerfc 21 
( )





0b
2
0b /NEerfc 4
1
 - /NEerfc
 
( )0b/2NEerfc 21 
Sinalização binária não coerente 
a DPSK 
 
b FSK não coerente 
 
( )0b/NE -exp 2
1
 
( )0b 2N/E -exp 2
1
 
Sinalização em quadratura coerente 
a QPSK 
 
b MSK 
 
)N/E(erfc
4
1
)N/E(erf 0b
2
0b −
 
 
)N/E(erfc
4
1
)N/E(erfc 0b
2
0b −
 
 
 
 
 
 
 
 162 
 
 
Exemplo: Com uma relação Eb/N0 igual a 7,5 dB, teremos as seguintes probabilidades de 
erro Pe: 
 
FSK não coerente: Pe = 
FSK coerente: Pe = 
DPSK: Pe = 
QPSK ou MSK ou DPSK coerentes: Pe = 
PSK coerente: Pe = 1,25 10
-3 
 163 
6.6 – Técnicas de Modulação M-ária 
 
(1) PSK M-ário 
1-M, 2, 1, 0, i 
M
i2
 t f2cos 
T
2E
 (t)s ci L=




 +=
pi
pi 
T
n
 f 
M
i2
 cci ==
piθ si(t) tem uma componente em cosseno e outra em seno. 
Funções bases: 
T t 0t fsen2 
T
2
 (t) t fcos2 
T
2
 (t) c2c1 ≤≤== piφpiφ 
 Para o caso de M = 8, teríamos a seguinte representação: 
 
 164 
 
 A região de decisão sobre um determinado si(t) é dada por cada região entre 
pontilhados. 
 
si(t) = 2 x I cos2pifct + 2 x Q sen2pifct 
 
Qc
T
0
T
0 iIci xdtfsen2(t)s xdttfcos2(t)s ==∫ ∫ pipi 






=
I
Q1-
x
x
 tg θˆ 
 
 Em presença de ruído, teremos: 
 
1-M , 2 1, 0, i w 
M
i2
cos E x II L=+





=
pi
 
 
 
 
wI e wQ são variáveis aleatórias guassianas de média zero e variância 
2
N
 02 =σ . Estas 
duas variáveis aleatórias são consideradas independentes. 
 
Demodulação de si(t) 
 
 w 
M
i2
cos E x QQ +





=
pi
 165 
 
 
Probabilidade de erro: 
 
 Como as regiões de decisões são simétricas, as probabilidades de erro em cada si(t) 
serão iguais. Então basta calcular apenas uma delas. O caso mais simples é obtido para 
tfcos2 
T
2E
 (t)s c0 pi= . As coordenadasem φ1 e φ2 serão E e zero. Observa-se 
que s0(t) será limitada entre 
M
 ˆ e 
M
 - ˆ
piθpiθ == , abaixo e acima do eixo φ1. A 
probabilidade de acerto é dada por 
 
( ) θθpi
pi
ˆd ˆf P /M
/M- 0c ∫= 
 
onde ( )θˆf é a função de distribuição de θˆ . 
 






+
=
I
Q1-
 w E
w
 tg θˆ 
 
 
( ) . ˆsen 
N
E
 -exp ˆcos 
N
E
 
N
E
 -exp 
2
1
 ˆf 2
00






+





= θθ
pipi
θ 
 166 
 vezes 










 θˆcos 
N
E
erfc 
2
1
 - 1 .
0
 
 
 
 
 
θθθ
pi
pi/Μ
pi
ˆdˆsen
N
E
-expˆcos
N
E
-1P-1P 2
0/M0
ee 





≈= ∫
−
 
 














≈
M
sen 
N
E
erfc P
0
e
pi
 
 
para PSK M-ário síncrono com M ≥ 4. 
 
 Afim de se eliminar a necessidade de sincronismo no demodulador, pode-se usar 
um sistema M-ário cujas fases sejam dados pelo deslocamento de fase em relação à forma 
de onda anterior como no DSPK, ou seja, é o sistema M-ário DPSK. 
 
 A probabilidade de erro para o caso de M-ário DPSK é dada por: 
 167 
 
4 M para 
2M
sen 
N
2E
erfc P
0
e ≥












≈
pi
 
 
(2) QAM M-ário 
 
Neste tipo de modulação, os sinais tem fase e amplitudes diferentes. No PSK M-ário, as 
fases são diferentes, mas as amplitudes são iguais. A figura 6.24 abaixo mostra a 
disposição de um QAM M-ário, com M = 16. 
 A disposição de sinais é chamada de constelação de sinais. A enumeração dos bits 
segue o código de Gray, isto é, para um determinado ponto, seu vizinho mais próximo só 
difere dele de um único bit. 
 
 
O sinal QAM M-ário pode ser decomposto em duas componentes ASK L-árias (no 
exemplo anterior L = 4, L2 = M) corespondentes às componentes em fase (φ1) e em 
quadratura (φ2). 
 
 168 
 
 
O sinal QAM M-ário é definido pelo sinal transmitido: 
 
T t 0t fsen2 b 
T
2E
 t fcos2 a 
T
2E
 (t)s ci
0
ci
0
i ≤≤+= pipi 
 
onde E0 é a energia do sinal com a menor amplitude e ai e bi são inteiros independentes de 
acordo com sua posição no espaço de sinais. 
 
 As funções bases são φ1 e φ2 dadas por: 
 
T t 0t fsen2 
T
2
 (t) et fcos2 
T
2
 (t) c2c1 ≤≤== piφpiφ 
 
 As coordenadas na constelação de sinais são dadas por ( )oi0i E b ,E a , 
onde 
 
 169 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )











+++++
+++
++
=
1L1,-L1L-3,L-1L-1,L-
3L1,-L1-L,3L-3-L1,L-
1)-L1,-L1-L3,L-1-L1,L-
b,a ii
L
MMM
L
L
 
 
onde L M= 
 
 
 
 No caso do exemplo anterior com M = 16, tem-se 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )











=
3- 3,3- 1,3- 1,-3- 3,-
1- 3,1- 1,1- 1,-1- 3,-
1 3,1 1,1 1,-1 3,-
3 3,3 1,3 1,-3 3,-
 b ,a ii 
 
- Probabilidade de erro do QAM M-ário 
 
 Para se calcular a probabilidade de erro da modulação QAM M-ária segue-se os 
seguintes passos: 
 
1. A probabilidade de acerto pode ser calculada por 
( )( ) ( ) 2'e'e'ee P-1P-1.P-1P 21 == , 'e'e'e P P P 21 == 
 P 'e1 = probabilidade de erro em φ1, idem φ2 
onde 
'
eP é a probabilidade de erro numa das direções φ1 ou φ2. Isto pode ser feito 
porque as componentes em fase e em quadratura são independentes (na verdade, 
descorrelatadas) e por outro lado existe uma simetria total de modo que 
'
eP é o 
mesmo em relação a φ1 e φ2. 
 170 
2. Supondo que o sinal ASK L-ário em φ1 ou φ2 é afetado por um ruído aditivo de média 
zero e densidade espectral 
2
N0 , pode-se calcular a probabilidade de erro 'eP como 
sendo 
 
M L ond 
N
E
erfc 
L
1
 - 1 P
0
0'
e =













= 
 
3. A probabilidade de erro do QAM M-ário é dada por: 
 
( )2'ece P-1-1P-1P == 
 
 
 Logo a probabilidade de erro será: 
 














≈
0
0
e N
E
erfc 
M
1
 - 12 P 
 
 
 A probabilidade de erro Pe pode ser colocada em função da energia média EAV dos 
símbolos, ao invés da energia E0, já que essa última varia de acordo com a posição do 
símbolo na constelação de sinais. 
 
 ( ) ( ) 
3 
E 1 - 2 1 - 2i 
L 
2E 
2 E 0 
L/2 
1 i 
2 0 
AV 
Μ 
=   
 
  
 
= ∑ 
= 
 
Obs.: AV significa “average” (média). 
[ ] 22 2 ' e ' e 'e ' e ' e e 2P P - 2P P 2P - 1 - 1 P ≈ + = =
 171 
 Logo: 
 
( ) 











≈
0
AV
e N 1-M2
E 3
erfc 
M
1
 - 12 P 
 
para M = 4, 





=
0
AV
e 2N
E
erfc P , que é idêntica a calculada anteriormente (PSK 
quaternário), onde nesse caso EAV = E, energia/símbolo 
 
 
Figura – Constelação de sinais para o caso QAM quaternário (QPSK) 
 
Modulação QAM M-ária: 
 172 
 
Demodulação QAM M-ária: 
 
 
Figura – Diagrama de blocos da (a)’modulação e (b) demodulação QAM M-ária 
 
 
 
 
 
 
 173 
(3) FSK M-ário 
 
 Neste sistema o sinal transmitido é da forma 
( ) T t 0 tn 
T
cos 
T
2E
 (t)s ci ≤≤


 += i
pi
 i = 1, 2, …, M; 
2T
n
 f cc =
 
 e nc 
é um inteiro, E é a energia do sinal transmitido. 
 
 As funções bases são em número M, dadas por 
( ) T t 0 in 
T
cos 
T
2
 (t) ci ≤≤


 +=
piφ . 
 
 O receptor ótimo consiste de M filtros correlatores. Na saida desses filtros, 
amostra-se o sinal em t = kT e o receptor faz a decisão baseada no maior valor obtido. 
 
 A probabilidade de erro é dada por ( ) 






≤
0
e 2N
E
erfc 1-M 
2
1
 P para a 
demodulação síncrona. Na demodulação não-coerente (não-síncrona), a probabilidade de 
erro é dada por 
( )
( ) 




++
= ∑
=
+
o
k
1-M
1-M
1k
1k
e N1k
kE
-expC
1k
1-
P
. 
 
 Essa probabilidade de erro na demodulação não coerente pode ser aproximada por 






≤
0
e 2N
E
 -exp 
2
1-M
 P . 
 
 
 
 
 
 
 
 174 
(4) Comparação entre as técnicas de modulação M-ária 
 
 Na modulação M-ária, o que se ganha é banda-passante e em troca, deve-se 
aumentar a potência de transmissão para se ter o mesmo desempenho. A tabela 6.5 abaixo 
mostra a relação entre banda-passante para uma dada probabilidade de erro constante igual 
a 10-4. 
 Tabela – PSK M-ário 
Valor 
de M 
( )
( ) binária passante banda
ária-M passante banda
 
( )
( ) binário média potência
ário-M média potência
 
 4 0,5 0,34 dB 
 8 0,333 3,91 dB 
16 0,25 8,52 dB 
32 0,2 13,52 dB 
 
Obs.: A banda passante na 2ª coluna da tabela não diminui, na verdade é como se 
diminuísse caso se usasse várias faixas de freqüências, já que a portadora é única fc. 
 
 
6.7 – Espectro de Potência dos Sinais Modulados 
 
 Os sinais modulados são da forma s(t) = s1(t) cos2pifct – sQ(t) sen2pifct onde sI(t) é a 
componente em fase e sQ(t), a componente em quadratura. sI(t) e sQ(t) são componentes de 
baixa frequência e s(t) é um sinal contido numa banda de frequências em torno de fc. 
Pode-se colocar s(t) na forma 
 
( )[ ]tfj2exp (t)s~Re s(t) cpi= 
 
onde (t)js (t)s (t)s~ QI+= . (t)s
~ é chamado de envoltória complexa. 
 
 Para se achar a densidade espectral de s(t), denominada de Ss(f), utilizamos a 
densidade espectral de (t)s~ , a qual denominamos SB(f). 
 175 
 
 SS(f) é dada em função de SB(f) como: 
 
[ ])f(fS+)f-(fS
4
1
(f)S cBcBS += 
 
ou seja, desloca-se a densidade de SB(f) que é de frequência baixa, para em torno das 
frequências fc e – fc, dividindo-se por 4. 
 
(1) Espectro de potência de sinais binários PSK e FSK 
 
 Para PSK, bc
b
b
i T t 0t fcos2 T
2E
 (t)s ≤≤±= pi 
 
 Então só temos a componente em fase igual a ± g(t), onde g(t) é igual a: 
 
b
b
b T t 0 
T
2E
 g(t) ≤≤= 
 
 Logo: 
 
( ) ( )2b
b
2
b
B
fT
)fT(sen2E
fS
pi
pi
= 
 
 Para FSK, podemos adotar s(t) usado para deduzir a modulação MSK: 
b
b
c
b
b T t 0 
T
t
 f2cos 
T
2E
 s(t) ≤≤





±= pipi 
ou 
 
 176 
tfsen2 
T
t
sen 
T
2E
 t fcos2 
T
t
cos 
T
2E
 s(t) c
bb
b
c
bb
b pi
pi
pi
pi












= m 
 
onde o sinal (-) refere-se ao envio do bit 0 e o sinal (+) ao do bit 1. 
 A componente em fase 
bb
b
T
t
 cos 
T
2E pi
 não depende do bit 0 ou 1 pois não leva 
em conta nenhum sinal. Logo não existe aleatoriedade nesta componente. O espectro de 
potência é então formulado por dois impulsos: 





+
bb
b
2T
1
 f 
2T
E δ e 






bb
b
2T
1
 - f 
2T
E δ . Já a componente em quadratura leva em conta a aleatoriedade dos 
bits transmitidos. Ou seja, temos a componente em quadratura como sendo 
bT t 0 g(t) ≤≤± , onde 
 
b
bb
b T t 0 
T
t
sen 
T
2E
 g(t) ≤≤= pi 
 
 A densidade espectral da componente em quadratura será: 
 
222
b
2
b
2
b
b
g
1) - f(4T
f)T(cos 8E
 
T
(f)
pi
piψ
= 
 
 Juntando-se as densidades espectrais das duas componentes achamos: 
 
( )
( )222b2
2
b
bbb
b
B
1-f4T
fcos8E
2T
1
f
2T
1
-f
T
E
(f)S
pi
piδδ bT+











++





= 
 
 177 
 Tendo-se SB(f) para o caso de PSK e FSK, podemos achar SS(f) para estas duas 
modulações. Note-se que em FSK temos dois impulsos em ± fc. Estas componentes são 
utilizadas como meio de sincronização do sistema FSK. 
 Calculando-se SS(f), temos o espectro de potência. A figura abaixo mostra tais 
espectros para o caso de PSK e FSK. 
 
(2) Espectro de potência dos sinais QPSK e MSK 
 
QPSK: 
 
 O sinal QPSK é da forma 
 
T t 0t fsen2 
T
E
 t fcos2 
T
2
 (t)s cci ≤≤±= pipi m 
 
 Então as componentes em fase e em quadratura são iguais a pulsos da forma ± g(t), 
onde 
b
b
2E E
2T T
 T t 0 
ET
 g(t)
=
=
≤≤= 
 
 Dessa forma o espectro SB(f) é dado por: 
 178 
 
( )
quadraturaemcomponenteda
2
faseemcomponenteda
2
B (Tf)sincETfsincE(f)S
↓↓
+=
 
onde 
2
fT
)fT(sen
)x(Sinc 



pi
pi
= 
 
 
 
 
MSK: 
 No MSK, dependendo de θ(0), a componente em quadratura é dada por ± g(t), onde 
 
bb
bb
b
1 T t T - 2T
t
 cos 
T
2E
 (t)g ≤≤= pi 
 Então o espectro de g1(t) será 
( ) 2
22
b
b
2
b
b
g
1 - f16T
fT2cos
 
E 16
 
2T
(f)
1






=
pi
pi
ψ
 
 Para a componente em quadratura, dependendo de θ(Tb), está será igual a ± g2(t), 
onde 
b
bb
b
2 2T t 0 2T
t
sen 
T
2E
 (t)g ≤≤= pi 
 Então a densidade espectral de g2(t) será 
( ) 2
22
b
b
2
b
b
g
1 - f T 16
fT2cos
 
E 16
 
2T
(f)
2






=
pi
pi
ψ
 
 Dessa forma SB(f) será a soma das duas componentes, dando então: 
( ) 2
22
b
b
2
b
B
1-fT16
fT2cosE32
(f)S 





=
pi
pi
 
2
b
b
b
2
B fT2
fT2sen
4E
fT
fTsen
2E(f)S 





=





=
pi
pi
pi
pi
 
 
 179 
 Os gráficos de SB(f) para o caso QPSK e MSK são mostrados abaixo: 
 
(3) Espectro de potência de sinais M-ários 
 
• PSK M-ário: 
 
 O sistema QPSK é um caso particular do PSK M-ário. Então procedendo-se como 
anteriormente, o espectro de potência SB(f) do PSK M-ário é dado por: 
 
2 b
2 b
2b
2
B
sen[ log (M) π T f ]
 [ log (M) π T f ]
2 E log MS (f ) 
 
 
 
 
=
 
 
• FSK M-ário 
 
A dedução de SB(f) para o sinal FSK M-ário é um pouco mais complicada. 
 É dada por: 
 
 180 
( )






















++





= ∑ ∑∑
= = =
M
1i
2
M
1i
M
1j j
j
2
i
i
ji2
2
i
i
bB
sensen
cos
M
1sen
2M
1
4E(f)S γ
γ
γ
γγγγ
γ
 
 onde γi = ( f Tb - 
4
iα
 ) pi αi = 2i- (M+1) i=1,2,...M 
 
 
 181 
 
 182