Exercícios de Derivadas Eng Mecânica

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS 
Campus em Contagem 
Curso de Engenharia Mecânica 
 
1ªLista de Exercícios 
 
Calcule as derivadas e simplifique o resultado até obter a resposta indicada. 
 
1) 2
32
x
y ax c
b
  
 Resp: 
2 2' 6
x
y ax
b
 
 
2) 
3 2 2 5y x x  
 Resp: 
3
2 1 1
'
3
y
x x
 
 
3) 4
2 2
2x
y
b x


 Resp:  
 
3 2 2
2
2 2
4 2
'
x b x
y
b x



 
4) 3
2
( )
1
t
f t
t


 Resp:  
 
2 2
2
2
3
'( )
1
t t
f t
t



 
5)  24
( )
3
s
f s
s



 Resp:   
 
2
2 4
'( )
3
s s
f s
s
 


 
6) 
2 2y x a 
 Resp:
2 2
'
x
y
x a


 
7) 2
2
2 1
1
x
y
x x



 Resp:
 
2
3
2 2
1 4
'
1
x
y
x x



 
8)  
 
sen
1 cos
x
y
x


 Resp:
1
'
1 cos
y
x


 
9) 
 cos 2y a x
 Resp:
sen(2 )
'
cos(2 )
a x
y
x
 
 
10)    2 2tg cotgx x
y
x


 Resp:
    2 2 2
2 2
2 cos sen tg cotg
'
sen
x xx x x
y
x x
 
 
 
11) 
ln tg y x
 Resp:
 
2
'
sen 2
y
x

 
12) 
 2lnseny x
 Resp: 
' 2 ( )y coyg x
 
13) 
tg 1
sec 
x
y
x


 Resp: 
' sen cosy x x 
 
14)  
 
1 sen
ln
1 sen
x
y
x



 Resp:
 
1
'
cos
y
x

 
15) 
 4 2ln tg xy  
 Resp:
 
1
'
cos
y
x

 
16) 
31
3
r tg tg    
 Resp:
4tg
dr
d



 
17) 
 
2
( ) cotg f x x x
 Resp:
        2' 2 cotg cotg cossecf x x x x x x 
 
18) 
1
ln
1
x
y
x



 Resp:
2
2
'
1
y
x


 
19) 2
2
1
ln
1
x
y
x



 Resp: 
4
4
'
1
x
y
x


 
 
 
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20) 
 2ln 1y x x  
 Resp: 
2
1
'
1
y
x


 
21) 
1
ln
1
x
y
x



 Resp: 
2
1
'
1
y
x


 
22) 
ln xy x
 Resp: 
   ln 1 2' lnxy x x
 
23) 
xxy e
 Resp: 
 ' 1 ln
xx xy x e x 
 
24) nxx
y
n
 
  
 
 Resp: 
' 1 ln
nx
x x
y n
n n
    
     
    
 
25) 
sen xy x
 Resp: 
   sen
sen
' ln cosx
x
y x x x
x
 
  
 
 
26) 
 sen
x
y x
 Resp: 
   ' sen lnsen cotg
x
y x x x x 
 
27) 
 
tg
sen
x
y x
 Resp: 
 
tg 2' sen 1 sec lnsen
x
y x x x   
 
 
Ache o logaritmo de cada função e só então determine sua derivada 
 
28)  
 
2
3
2
1
1
x x
y
x



 Resp:  
 
2
3
2 2
11 1 2 2
'
3 1 11
x x x
y
x x xx
  
   
  
 
29)    
 
3 3
4
2
5
1 2
3
x x
y
x
 


 Resp: 
   
     
3 3
4
2
5
1 2 3 3 2
'
1 4 2 5 33
x x
y
x x xx
   
        
 
30)  
   
2
3 4
1
2 3
x
y
x x


 
 Resp: 
  
   
4 5
1 5 14 5
'
2 3
x x x
y
x x
  
 
 
 
 
Achar 
dy
dx
 da funções implícitas 
 
31) 
2 4y px
 Resp: 
2dy p
dx y

 
32) 
2 2 2x y a 
 Resp: 
dy x
dx y
 
 
33) 
3 3 3 0x y axy  
 Resp: 
2
2
dy ay x
dx y ax



 
34) 
 cosy x y 
 Resp: 
 
 
sen
1 sen
x ydy
dx x y

 
 
 
35) 
cos( )xy x
 Resp: 
 
 
1 sen
sen
y xydy
dx x xy

 