CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Aula 14: Cálculo dos Predicados

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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Aula 14: Cálculo dos Predicados 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Cálculo dos Predicados 
AULA 14: Cálculo dos Predicados 
Negação de Fórmulas Quantificadas 
 
Da definição de fórmula dada podemos perceber que um quantificador universal ou 
existencial pode ser precedido de uma negação. 
 
 
Regra da Negação do Quantificador Universal (~ ∀) 
 
 
Uma fórmula do tipo ~( ∀x)b gera uma linha na qual escrevemos a fórmula ( ∀x)~b. 
 
 
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Cálculo dos Predicados 
AULA 14: Cálculo dos Predicados 
Teorema: A negação de uma proposição da forma ∀x ∊ D, Q(x) é equivalente 
logicamente a proposição da forma  x ∊ D | ~Q(x). 
 
Temos: ~( ∀x ∊ D, Q(x))   x ∊ D | ~Q(x). 
 
Exemplo: 
 
P: ∀ número primo p, p é impar 
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Cálculo dos Predicados 
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Teorema: A negação de uma proposição da forma ∀x ∊ D, Q(x) é equivalente 
logicamente a proposição da forma  x ∊ D | ~Q(x). 
 
Simbolicamente temos: ~( ∀x ∊ D, Q(x))   x ∊ D | ~Q(x). 
 
Exemplo: 
 
P: ∀ número primo p, p é impar 
 
~P:  um número primo p| p não é impar 
 
 
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Cálculo dos Predicados 
AULA 14: Cálculo dos Predicados 
Teorema: A negação de uma proposição da forma ∀x ∊ D, Q(x) é equivalente 
logicamente a proposição da forma  x ∊ D | ~Q(x). 
 
Simbolicamente temos: ~( ∀x ∊ D, Q(x))   x ∊ D | ~Q(x). 
 
Exemplo: 
 
P: ∀ número primo p, p é impar 
 
~P:  um número primo p| p não é impar 
 
Exemplo: 
 
P: Alguns peixes respiram ar. 
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Cálculo dos Predicados 
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Teorema: A negação de uma proposição da forma ∀x ∊ D, Q(x) é equivalente 
logicamente a proposição da forma  x ∊ D | ~Q(x). 
 
Simbolicamente temos: ~( ∀x ∊ D, Q(x))   x ∊ D | ~Q(x). 
 
Exemplo: 
 
P: ∀ número primo p, p é impar 
 
~P:  um número primo p| p não é impar 
 
Exemplo: 
 
P: Alguns peixes respiram ar. 
 
~P: Nenhum peixe respira ar. 
 
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Cálculo dos Predicados 
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Teorema: A negação de uma proposição da forma ∀x ∊ D, Q(x) é equivalente logicamente a 
proposição da forma  x ∊ D | ~Q(x). Simbolicamente temos: ~( ∀x ∊ D, Q(x))   x ∊ D | ~Q(x). 
 
Exemplo: 
 
P: ∀ número primo p, p é impar 
~P:  um número primo p| p não é impar 
 
Exemplo: 
 
P: Alguns peixes respiram ar. 
~P: Nenhum peixe respira ar. 
 
Observação: é errado dizer alguns peixes não respiram ar. 
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 Regra da Negação do Quantificador Existencial (~  ) 
 
 
 Uma fórmula do tipo ~( x)b gera uma linha na qual escrevemos a fórmula (∀ x)~b. 
 
 
 
Teorema: A negação de uma proposição da forma x ∊ D,Q(x) é equivalente 
logicamente a proposição da forma ∀ x ∊ D | ~Q(x). 
 
Temos: ~( x ∊D, Q(x))  ∀ x ∊ D | ~Q(x). 
 
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 Regra da Negação do Quantificador Existencial (~  ) 
 
 
 Uma fórmula do tipo ~( x)b gera uma linha na qual escrevemos a fórmula (∀ x)~b. 
 
 
Teorema: A negação de uma proposição da forma x ∊ D,Q(x) é equivalente logicamente a 
proposição da forma ∀ x ∊ D | ~Q(x). 
 
Simbolicamente temos: ~( x ∊D, Q(x))  ∀ x ∊ D | ~Q(x). 
 
Exemplo: 
 
P:  um triangulo tal que a soma dos ângulos de T é igual a 100 graus. 
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 Regra da Negação do Quantificador Existencial (~  ) 
 
 
 Uma fórmula do tipo ~( x)b gera uma linha na qual escrevemos a fórmula (∀ x)~b. 
 
 
Teorema: A negação de uma proposição da forma x ∊ D,Q(x) é equivalente logicamente a 
proposição da forma ∀ x ∊ D | ~Q(x). 
 
Simbolicamente temos: ~( x ∊D, Q(x))  ∀ x ∊ D | ~Q(x). 
 
Exemplo: 
 
P:  um triangulo tal que a soma dos ângulos de T é igual a 100 graus. 
~P: ∀ triângulos T, a soma dos ângulos de T não é igual a 200 graus. 
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Temos: ~(∀ x,P(x)  Q(x))   x | ~(P(x)  Q(x)); 
 
Podemos decompor em uma sentença conjuntiva: ~(P(x)  Q(x))  P(x)^ ~Q(x). 
 
substituindo temos: ~(∀ x,P(x)  Q(x))   x | (P(x) ^ ~Q(x)); 
 
 Exemplo: 
 
P: ∀ pessoas p, se p é loura então p tem olhos azuis. 
 
~P:  uma pessoa p tal que p é loura e p não tem olhos azuis. 
 
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Verdade por " default" 
 
Uma proposição da forma ∀x ∊D, se P(x) então Q(x) é chamada de verdade 
por “default" se P(x) é falso para cada x em D. 
 
Exemplo: Sejam cinco bolas azuis, cinco brancas e um prato. 
 
1- três bolas azuis e uma branca são colocadas no prato. 
 
P: todas as bolas no prato são azuis. 
 
P é falso já que é possível identificar uma bola branca no prato. 
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A Proposição é falsa se sua negação for verdadeira. 
 
A negação é: 
 ~P: Existe pelo menos uma bola no prato que não é azul. 
 
~P só é verdadeira se houver (existir) no prato uma bola que não seja azul. 
 
Como não existe, a negação é falsa e assim a proposição é verdadeira por default. 
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A Proposição é falsa se sua negação for verdadeira. 
 
A negação é: 
 ~P: Existe pelo menos uma bola no prato que não é azul. 
 
~P só é verdadeira se houver (existir) no prato uma bola que não seja azul. Como não 
existe, a negação é falsa e assim a proposição é verdadeira por default. 
 Exemplo: Qual a negação de P. 
 
P: ∀ pessoas x ,  uma pessoa y tal que x ama y. 
 
Para a sentença ser falsa temos que ter que a propriedade não será valida para todas as pessoas. 
 
 
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A Proposição é falsa se sua negação for verdadeira. 
 
A negação é: 
 ~P: Existe pelo menos uma bola no prato que não é azul. 
 
~P só é verdadeira se houver (existir) no prato uma bola que não seja azul. Como não 
existe, a negação é falsa e assim a proposição é verdadeira por default. 
 Exemplo: Qual a negação de P. 
 
P: ∀ pessoas x ,  uma pessoa y tal que x ama y. 
Para a sentença ser falsa temos que ter que a propriedade não será valida para todas as pessoas. 
 
~P:  uma pessoa x tal que ~( uma pessoa y tal que x ama y)   uma pessoa x tal que ∀ pessoas y, x 
não ama y. 
 
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Regra geral: 
 
P: ∀ x  y tal que C(x,y) 
 
~P:  x tal que ∀ y, ~C(x,y) 
 
Exemplo: 
 
P: ∀ inteiro n,  um inteiro k tal que n = 2k 
 
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Regra geral: 
 
P: ∀ x  y tal que C(x,y) 
 
~P:  x tal que ∀ y, ~C(x,y) 
 
Exemplo: 
 
P: ∀ inteiro n,  um inteiro k tal que n = 2k 
 
~P:  um inteiro n tal que ∀ inteiro k, n  2k. 
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Regra geral: 
 
P: x ∀y tal que ∀y,C(x,y) 
 
~P: ∀ x,  y tal que ~C(x,y) 
 
Exemplo: 
 
P:  uma pessoa x tal que ∀ pessoas y, x ama y 
 
~P: ∀ pessoas x,  uma pessoa y tal que x não ama y. 
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Proposição universal é uma generalização da conjunção (^) 
 
∀x ∊ D, Q(x)  Q(x1)^Q(x2)^...^Q(xn) 
 
Exemplo: Q(x) : x.x, D = {0,1} 
 
∀ x ∊D, Q(x)  Q(0) ^Q(1) 
 
 
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Proposição universal é uma generalização da conjunção (): 
 
 x ∊ D tal que Q(x)  Q(x1)  Q(x2)  ...  Q(xn) 
 
Exemplo: Q(x) : x+x, D = {0,1} 
 
 x ∊ D tal que Q(x)  Q(0)  Q(1) 
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Seja a proposição condicional universal (PCU): 
 
Exemplo: ∀ x ∊ R, se x > 2 então x2 > 4. 
 
 
 
 
 
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Seja a proposição condicional universal (PCU): 
 
Exemplo: ∀ x ∊ R, se x > 2 então x2 > 4. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
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Seja a proposição condicional universal (PCU): 
 
Exemplo: ∀ x ∊ R, se x > 2 então x2 > 4. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Exemplo : 
 
 
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Exemplo: a fórmula ( ∀x)P(x) e o conjunto universo U={a,b,c}. É evidente que nesse 
caso temos: (∀ x)P(x)  P(a) ^ P(b) ^ P(c). 
 
Podemos considerar então que: 
 
 
~(∀ x)P(x)  ~(P(a) ^ P(b) ^ P(c))  ~P(a)  ~P(b)  ~P(c) 
 
 
o qual significa que existe no mínimo um objeto em U tal que ~P(x), ou seja, ~(∀ x)P(x)  ( x) 
~P(x) ou ainda, de modo geral, para uma fórmula a qualquer temos: 
 
(1) ~(∀ x) a  ( x) ~a 
 
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Da equivalência anterior segue imediatamente que: 
 
(2). ~( ∀x)~P(x)  ( x)P(x) 
 
(3). ~( x)P(x)  (∀ x)~P(x) 
 
(4). ~( x)~P(x)  (∀ x)P(x) 
 
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Relações Lógicas 
 
Os elementos básicos da sintaxe do cálculo de predicados são símbolos que se referem a: 
 
• objetos 
• relações 
• funções 
 
Termos: são expressões lógicas que se referem a um objeto. 
 
Uma sentença atômica será composta por um predicado, aplicado a um ou mais termos. 
 
Fórmulas serão compostas por predicados ligados através de conectivos lógicos. 
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Quantificador Universal (∀x P(x) ) 
 
Lê-se para todo x, P(x) ou para qualquer x, P(x). 
 
Quantificador Existencial (x P(x)) 
 
Lê-se para algum x, P(x) ou existe x, P(x). 
 
Exemplos: Todo homem é mortal : ∀x (Homem(x)  Mortal(x)) 
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Teorema: 
 
Generalização da Lei de De Morgan para os quantificadores: 
 
~ ∀x P(x)   x ~P(x) 
 
~  x P(x)  ∀ x ~P(x) 
 
Exemplo: 
 
 “Não é todo homem que é egoísta” 
 
 equivale a 
 
“Existe pelo menos um homem que não é egoísta” 
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Argumento e Regras de Inferência Adicionais 
 
Procedimento de inferência em lógica de predicados é semelhante ao visto em lógica 
proposicional, porém mais complex. 
 
1- presença dos quantificadores 
2- presença de variáveis 
 
Este procedimento leva em conta duas noções fundamentais: 
 
a) Substituição 
b) Unificação 
 
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Argumento e Regras de Inferência Adicionais. 
 
Uma substituição é um conjunto finito de associações entre variáveis e expressões tais que: 
 
1- cada variável é associada no máximo com uma única expressão. 
2- nenhuma variável com uma expressão associada ocorre no escopo de qualquer outra expressão. 
 
Cada variável é associada no máximo com uma única expressão: 
 
a) nenhuma variável com uma expressão 
b) associada ocorre no escopo de qualquer outra expressão 
 
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Unificação 
 
Trata-se do processo que determina se duas expressões podem se tornar idênticas 
se suas variáveis forem substituídas de modo apropriado. 
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Regras de Inferência 
 
A primeira regra de inferência: Instanciação Universal (IU) 
 
Se todos os objetos de um dado universo possuem uma dada propriedade, 
então um objeto particular desse universo também possui essa propriedade. 
 
Podemos escrever: 
 
onde  é uma fórmula que resulta de  pela substituição de cada ocorrência da variável 
livre u por um termo t, é uma regra de inferência, ou seja, é uma implicação tautológica. 
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Regras de Inferência 
 
Exemplo: 
 
Todos os homens são mortais. 
Sócrates é um homem. 
Logo, Sócrates é mortal. 
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Regras de Inferência 
 
Exemplo: 
 
Todos os homens são mortais. 
Sócrates é um homem. 
Logo, Sócrates é mortal. 
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No passo 3, a Instanciação Universal consistiu em substituir, a premissa 1, x por Sócrates. 
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 A segunda regra de inferência: Generalização Universal (GU) 
 
 
Se um objeto, arbitrariamente escolhido dentre um universo, tiver uma certa propriedade, 
todos os objetos desse universo terão essa propriedade 
 
 
 
onde  é uma fórmula e w um objeto arbitrariamente escolhido, é uma regra de inferência. 
 
Exemplo: 
Todos os humanos são mortais. 
Todos os gregos são humanos. 
Logo, todos os gregos são mortais. 
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Nos passos 3 e 4 a instanciação universal substitui x pelo mesmo elemento k, como as premissas 
são verdadeiras para todo x, são verdadeiras para x = k. 
No passo 5, diz que determinado k é grego, então k é mortal. k é qualquer objeto do universo. 
No passo 6 estamos afirmando se qualquer objeto do universo é grego, então esse objeto é mortal. 
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 Terceira regra de inferência: Generalização Existencial (GE) 
 
 
O que é verdadeiro para um dado objeto, é verdadeiro para algum objeto. 
onde w é constante ou variável, u é variável, e w resulta de  u pela substituição das ocorrências 
livres de u por w; se w for uma variável, deve ocorrer livre em  w nos locais em que u ocorrer livre 
em  u. 
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Exemplo: 
Todos os tigres são animais ferozes. 
Tita é um tigre. 
Logo, existem animais ferozes. 
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 Quarta regra de inferência: Instanciação Existencial(IE) 
 
O que é verdadeiro para algum objeto, é verdadeiro para um dado objeto, 
desde que esse objeto não tenha sido utilizado anteriormente na dedução. 
 
 
 
 
Exemplo: 
Todos os tigres são ferozes. 
Alguns animais são tigres. 
Logo, alguns animais são ferozes. 
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Exemplo: 
Todos os tigres são ferozes. 
Alguns animais são tigres. 
Logo, alguns animais são ferozes. 
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 Cuidados: 
 
• ao aplicar a Instanciação Existencial,certifique-se que o termo a ser utilizado não tenha sido 
utilizado anteriormente na dedução; 
 
• não aplicar Generalização Universal às variáveis introduzidas por Instanciação Existencial. 
 
Isso decorre do fato de que não se pode generalizar um fato verdadeiro apenas para algum 
elemento; isto é, de x Fx não podemos inferir ∀x Fx. 
 
Há muitos argumentos que não podem ser demonstrados, verificados ou testados com o 
uso exclusivo das Regras de Inferência, assim, torna-se necessário recorrer a um princípio da 
inferência adicional, a Regra da Substituição de proposições equivalentes. 
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 Exemplo: Demonstração de que é valido o argumento 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
1- Demonstre que a proposição é valida: p  q, r  ~q p  ~r 
Exercícios Propostos 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
Exercícios Propostos 
1- Demonstre que a proposição é valida: p  q, r  ~q p  ~r 
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2- Escreva os argumentos de forma adequada: 
 
1- Todos os gatos tem garras. 
2- Tom é um gato. 
3- Tom tem garras. 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
Exercícios Propostos 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
Exercícios Propostos 
2- Escreva os argumentos de forma adequada : 
 
1- Todos os gatos tem garras. 
2- Tom é um gato. 
3- Tom tem garras. 
 
 
Solução: 
 
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Demonstre formalmente: 
Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
Exercícios Propostos 
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Sugestão de resolução dos exercícios propostos. 
Exercícios Propostos 
Demonstre formalmente: 
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Indicação de Leitura Específica 
 
• Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático. 
• Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de 
Conjuntos disponíveis. 
 
 
Sugestão de material: 
http://www.otricolor.com/images/noticias/1278/Inicia%E7%E3o%20a%20L%F3gica%20Mate
m%E1tica.%20Edegard%20Filho.%20Editota%20Nobel%20(1).pdf 
 
https://www.google.com.br/?gfe_rd=cr&ei=TdqhVaOOEeGB8QeEu4DIDA&gws_rd=ssl#q=Pro
posi%C3%A7%C3%B5es+Simples 
 
http://www.feata.edu.br/downloads/revistas/avessodoavesso/v3_artigo04_logica.pdf 
 
http://uol.iesde.com.br/aprovaconcursos/demo_aprova_concursos/raciocinio_logico_01.pdf 
 
 
 
Indicação de Leitura 
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
AULA 14: Cálculo dos Predicados 
Indicação de Leitura Específica 
 
 
 Sugestão de leitura: 
 
https://docente.ifrn.edu.br/cleonelima/disciplinas/fundamentos-de-programacao-
2.8401.1m/fundamentos-de-logica-e-algoritmos-1.8401.1v/apostila-equivalencias-logicas 
 
 
Indicação de Leitura 
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Unidade 7 - Métodos de Demonstração 
 
7.1. Vacuidade. Trivial. Direta. Indireta; 
 
7.2. Contradição ou Redução ao Absurdo.