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EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II COMPRIMENTO DE ARCO E ÁREA DE SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO Comprimento de Arco de uma Curva y = f(x). Teorema 1. Se uma função f e sua derivada forem contínuas no intervalo fechado [a, b], então o comprimento L do arco da curva y = f(x) do ponto (a, f(a)) ao ponto (b, f(b)) será dado por Teorema 2. Se uma função g e sua derivada forem contínuas no intervalo fechado [c, d], então o comprimento L do arco da curva x = g(y) do ponto (g(c), c) ao ponto (g(d), d) será dado por Comprimento de Arco de uma Curva Paramétrica. Teorema. Se uma curva C for definida parametricamente por x = f(t) e y = g(t) para t em [a, b], onde são contínuas e não simultaneamente nulas em [a, b] e C é percorrida exatamente uma vez quando t varia de a até b, então o comprimento L de C será dado por Área de Superfície de Revolução em torno do eixo x. Teorema. Se uma função f e sua derivada forem contínuas no intervalo fechado [a, b], com f(x) 0 para todo x em [a, b], então a área S da superfície de revolução gerada pela rotação da curva y = f(x), em torno do eixo x, será dada por Área de Superfície de Revolução em torno do eixo y. Teorema. Se uma função g e sua derivada forem contínuas no intervalo fechado [c, d], com g(y) 0 para todo y em [c, d], então a área S da superfície de revolução gerada pela rotação da curva x = g(y), em torno do eixo y, será dada por Área de Superfície de Revolução para Curva Parametrizada Teorema. Se uma curva C for definida parametricamente por x = f(t) e y = g(t) para t em [a, b], onde são contínuas e não simultaneamente nulas em [a, b] e C é percorrida exatamente uma vez quando t varia de a até b, então a área das superfícies de revolução geradas pela rotação da curva C em torno dos eixos coordenados será calculada como segue: 1. Rotação em torno do eixo x (y ). 2. Rotação em torno do eixo y (x 0). EXERCÍCIOS 01. Calcular o comprimento do arco de cada curva dada, no intervalo indicado. f) 6xy = y4 + 3, de y = 1 a y = 2 3 g) y = , de x = 1 a x = 4 h) no 1º quadrante de x = a x = 1 i) y = dt, de x = 0 a x = j) 9y² = x(x – 3)², no 1º quadrante de x = 1 a x = 3 02. Calcular o comprimento do arco de cada curva paramétrica, no intervalo indicado, sem eliminar o parâmetro. a) x = (1 + t)², y = (1 + t)³; 0 f) x = at – a , y = a – a ; 0 b) x = 1 – t, y = 2 + 3t ; g) x = t³, y = 0 h) x = 8 + 8t , y = 8 - 8t ; 0 i) x = 2sen³t, y = 2cos³t; 0 0 j) x = 2(1 – sent), y = 2(1 – cost); 0 03. Encontrar a área de superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo indicado, no intervalo dado. a) y = 7x, 0 ; eixo x h) y = 4 , 4; eixo x. b) y = , 1 ; eixo x i) x = , 1 , eixo y. c) y = , -1 ; eixo x j) y² = 8x, 1 eixo x. d) x = 1 ; eixo x k) x = , 0 ; eixo y. e) x = 9y + 1, 0 ; eixo y l) x = 2 , 0 , eixo y. f) x = y³, 0 ; eixo y m) y = 1 ; eixo x g) x = , -2 ; eixo y n) x = , -1 ; eixo y 04. Calcular a área da superfície gerada quando a curva paramétrica dada gira em torno do eixo indicado, no intervalo dado, sem eliminar o parâmetro. a) x = , y = r ; 0 ; eixo x b) x = r(t - ), y = r(1 - ); 0 ; eixo x c) x = , y =2 + ; 0 ; eixo x d) x = , y = 2 ; 0 ; eixo y e) x = t + y = - ; eixo y RESPOSTAS c) d) e) f) g) h) i) 2 j) 02. a) b) c) d) 4 e) f) 8ª g) 7 h) i) 3 j) 4 03. a) b) c) 8 d) e) f) g) h) h) i) j) k) l) m) n) 04. a) 4 b) c) 8 d) e)
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