Matemática Aplicada Unidade II

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Unidade II
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Unidade II
Funções
É muito comum, no nosso cotidiano, estabelecermos relações entre duas ou mais grandezas. 
Por exemplo, quando vamos abastecer o carro, o preço que pagamos pelo combustível depende da 
quantidade de litros colocada no tanque.
Podemos aplicar o conceito de função em diversas áreas e, de acordo com as grandezas estudadas e 
os tipos de funções, é possível analisar como uma grandeza varia em função de outra. E com o gráfico 
de uma função, podemos interpretar as informações e tomar decisões importantes.
3 DeFinição De Função
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação f de A x B recebe o nome de aplicação de 
A em B ou função definida em A com imagem em B se, e somente se, para todo x ∈ A existe um 
só y ∈ B, tal que (x,y) ∈ f.
 observação
A sentença “f é função de A em B” pode ser indicada por f: A → B.
Com o auxílio do diagrama de flechas, vamos analisar as condições para que uma relação f seja uma 
função:
a) É necessário que todo elemento x ∈ A participe de pelo menos um par (x,y) ∈ f, isto é, todo 
elemento de A deve servir como ponto de partida da flecha.
f é função
• •
A B
• •
• •
• •
•
•
•
•
Figura 25
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 Lembrete
Se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma, então f 
não é função.
f não é função
• •
A B
• •
• •
• •
•
•
•
Figura 26
b) É necessário que cada elemento x ∈ A participe de um só par (x,y) ∈ f, isto é, de cada elemento 
de A parte uma única flecha.
f é função
• •
A B
• •
• •
• •
•
•
•
•
 Figura 27
 Lembrete
Se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas, então 
f não é função.
f não é função
• •
A B
• •
• •
• •
•
•
•
•
Figura 28
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 Lembrete
Toda função é uma relação binária de AxB, portanto, toda função é um 
conjunto de pares ordenados. 
Dados os conjuntos A e B, a função f é definida pela lei y = f(x) mediante a qual, dado x ∈ A, 
determina-se y ∈ B, tal que (x,y) ∈ f, então:
f = {(x,y) | x ∈ A, y ∈ B e y = f(x)}
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A = {-2, 0, 4} e B = {0, 1, 2, 3} e a relação de A em B dada por y = 
x
2
, 
com x ∈ A e y ∈ B, verifique, por meio de diagramas, se a relação é uma função.
f não é função
A B-2 •
• 0
• 1
• 2
• 34 •
0 •
Figura 29
Pois existe um elemento em A que não está associado a elemento em B.
2) Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4} e a relação de A em B dada por 
y = x², sendo que x ∈ A e y ∈ B. Verifique, por meio de diagramas, se a relação é uma função.
f é função
A B
-2 •
-1 •
2 •
• 1
• 4
• 3
• 2
1 •
Figura 30
Pois todos os elementos de A estão associados a elementos em B. Cada elemento de A está associado 
a um único elemento de B.
3) Dados os conjuntos A = {4, 16} e B = {-4, -2, 2, 4} e a relação de A em B dada por 
x = y², x ∈ A e y ∈ B, verifique se a relação dada é uma função.
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MateMática aplicada
f não é função
A B
• -4
• -2
• 2
• 4
4 •
16 •
Figura 31
Existe elemento em A que está associado a mais de um elemento em B.
3.1 Domínio – contradomínio – imagem de uma função
 Toda função f é uma relação binária de AxB, portanto, tem um domínio e uma imagem. 
 
Chama-se domínio de f o conjunto D dos elementos x ∈ A para os quais existe y ∈ B, tal que (x,y) 
∈ f. Pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade. Portanto, nas funções, temos: 
domínio = conjunto de partida
D = A
 Chama-se imagem de f o conjunto Im dos elementos y ∈ B para os quais existe x ∈ A, tais que 
(x,y) ∈ f, portanto: 
Imagem é subconjunto do contradomínio:
Im ⊂ B
ContradomínioDomínio
Imagem
• •
A B
• •
• •
•
•
•
•
•
•
Figura 32
 Lembrete
O domínio de uma função é, também, chamado campo de definição 
ou campo de existência de uma função.
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 observação
Feita a representação gráfica da função f, temos que Domínio (D) é o 
conjunto das abscissas, e Imagem (Im) é o conjunto das ordenadas.
Importante: ao estudarmos uma função definida em conjuntos numéricos e com lei de formação 
algébrica sem domínio indicado, devemos considerar como domínio todos os valores reais de x que 
tornam possíveis as operações indicadas na lei de formação no conjunto dos números reais. 
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2) e B = {1, 3, 5, 7}, determine o domínio, contradomínio e imagem 
da função f: A → B definida pela lei f(x) = 2x + 1.
Solução:
Usando o esquema de diagramas, temos:
•
A B0 •
1 •
2 •
• 3
• 1
• 5
• 7
Figura 33
Domínio: D(f) = A = {0, 1, 2}
Contradomínio: CD(f) = B = {1, 3, 5, 7} e Imagem: Im(f) = {1, 3, 5}
2) Dada a função y = x² - 5x +2, função f: ℝ → ℝ, calcule os valores de x,
tal que f(x) = -4.
Solução:
Substituindo f(x) = -4 em f(x) = x² - 5x + 2, obtemos: 
-4 = x² - 5x + 2 
x² - 5x + 6 = 0 
∆ = b² -4ac = 25 – 24 = 1 
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MateMática aplicada
Então,
 x’ = 5 + 1 = 3 ou x’ = 5 – 1 = 2
 2 2 
Portanto, x = 2 ou x = 3 são os valores procurados.
3) Sejam as funções f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 2x – 1 e g: ℝ → ℝ definida 
por g(x) = x + m. Determinar o valor de m para que se tenha f(2) + g(-1) = 7.
Solução:
f(x) = 2x -1 ⇒ f(2) = 2(2) – 1 = 3
g(x) = x + m ⇒ g(-1) = - 1 + m
f(2) + g(-1) = 7 ⇒ 3 + (-1 + m) = 7 
Resolvendo a equação, temos: 
3 – 1 + m = 7 ⇒ m = 7 – 3 + 1 = 5
Logo, m = 5.
3.2 Gráfico de uma função
 A representação do gráfico de uma função se faz assinalando alguns de seus principais pontos no 
plano cartesiano. 
2º quadrante 1º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
y
b
0 a
P(a.b)
x
Figura 34
Importante: o domínio da função representado no plano cartesiano é o conjunto de valores 
representados no eixo das abscissas (eixo x), enquanto os valores do conjunto imagem são representados 
no eixo das ordenadas (eixo y).
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 observação
Para que exista a função de A em B, cada elemento x do conjunto A 
deve estar associado a um único elemento y de B.
 Lembrete
Para descobrir se um gráfico representa uma função, faça o seguinte: trace 
retas perpendiculares ao eixo x. Se qualquer dessas retas cortar o gráfico em um 
único ponto do domínio, então o gráfico representará uma função.
Exemplos:
1) A relação f, representada no diagrama a seguir, tem domínio:
D = {x ∈ ℝ | - 1 ≤ x ≤ 2} e é função pois toda reta perpendicular ao eixo x encontra o gráfico da 
função f num só ponto.
y
x2
-1
Figura 35
2) A relação f, representada no diagrama a seguir tem domínio D = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 2} e não é 
função pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pontos:
y
x0 2
Figura 36
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MateMática aplicada
 observaçãoDuas funções f e g são iguais quando, e somente quando, têm o mesmo 
domínio D e f(x) = g(x), para todo x ∈ D.
Exemplo:
1) As funções f(x) = √x4⁴ e g(x) = x², de ℝ em ℝ, são iguais, pois √x⁴ = x², ∀ x ∈ ℝ.
2) As funções f(x) = x e g(x) x² = ____ x
são iguais somente se tomarmos como
 
domínio de ambas um conjunto D, tal que 0 ∉ D.
3.3 Função constante
Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função constante quando, a cada elemento x ∈ R, 
associa sempre o mesmo elemento c ∈ ℝ.
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x e passando pelo ponto (0,c).
Sua imagem é o conjunto Im = {c}
f: x → c
y
x
c
0
Figura 37
Exemplo:
1) Construa o gráfico da função f(x) = 3, se 0 ≤ x ≤ 2 e f(x) = 1, se 2 ≤ x ≤ 3.
Solução:
y
x
1
3
0 2 3
Figura 38
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3.4 Função linear
Considere a função y = ax + b com (a ≠ 0). Quando b = 0, a função recebe o nome de função 
linear e é indicada por y = ax com (a ≠ 0).
O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem (0,0) do sistema cartesiano.
y
x(0,0)
Figura 39
Como o ponto (0,0) pertence à reta, para construir o gráfico da função linear basta conhecer mais 
um ponto (x,y) do plano cartesiano.
Exemplo:
f X
x
( ) =
2
Tabela 1
x y = 
x
2 (x,y)
0 0 (0,0)
4 2 (4,2)
y
x0
2
4
Figura 40
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MateMática aplicada
3.5 Função linear afim
Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função linear afim quando associa, a cada x ∈ ℝ, o 
elemento (ax + b) ∈ ℝ, onde a ≠ 0. Isto significa que: 
(x, ax + b) ∈ f, ∀ x ∈ ℝ
 
A função linear afim é indicada por f: x → ax + b com (a ≠ 0).
 
O gráfico da função afim é uma reta. A imagem da função afim é o conjunto Im = ℝ.
 
A função afim é crescente se, e somente se, a > 0. E decrescente, se e somente se, a < 0.
Exemplo:
f:x → 2x + 1
Tabela 2
x y = 2x - 1
0 -1
1 1
y
x0 1
-1
1
Figura 41
3.6 Função quadrática
Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função quadrática ou função do 2º grau quando 
associa, a cada x ∈ ℝ, o elemento (ax² + bx + c) ∈ ℝ, a ≠ 0. Isto significa que: (x, ax² + bx +c) ∈ f, 
∀ x ∈ ℝ.
 O gráfico da função quadrática é uma parábola cujo eixo de simetria é perpendicular ao eixo x. 
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x’x”
Eixo de simetria
Vértice
Figura 42
Se a > 0, a parábola representativa da função quadrática tem a concavidade voltada para cima.
 
Se a < 0, a parábola representativa da função quadrática tem a concavidade voltada para baixo.
a < 0 a > 0
Figura 43 Figura 44
3.7 Raízes da função
 
As raízes (ou zeros) da função quadrática são os valores de x para os quais se tem f(x) = 0. 
Determinam-se as raízes da função resolvendo-se a equação do 2º grau ax² + bx + c.
 
A fórmula para resolução das equações do 2º grau é dada por:
x
b
a
onde b ac=
− ±
= −
∆ ∆
2
42
Importante:
1) Quando ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e distintas:
x xx’’ x’ x’’ x’ 
x
b b ac
a
=
− ± −2 4
2
Figura 45 Figura 46 
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MateMática aplicada
2) Quando ∆ = 0, a função tem duas raízes reais e iguais:
x xx’ = x’’
x’ = x’’
Figura 47 Figura 48
x x
b
a
’ ’’= =
−
2
3) Quando ∆ < 0, a função não admite raízes reais:
x x
Figura 49 Figura 50
3.8 Vértices da parábola
 
O vértice da parábola é o ponto da curva correspondente à ordenada máxima ou mínima de uma 
função f(x) = ax² + bx + c, (a ≠ 0).
 
As coordenadas do vértice V(Xv,Yv) de uma função são obtidas da seguinte forma:
Ordenada (Yv):
 
 Temos ax² + bx + c = y 
 ax² + bx + (c – y) = 0
Existem valores reais de x quando ∆ ≥ 0, isto é,
b² - 4a(c – y) ≥ 0
b² - 4ac + 4ay ≥ 0
∆ + 4ay ≥ 0
4ay ≥ -∆
y
a
≥
−∆
4 
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Portanto, Yv
a
=
−∆
4
Abscissa (Xv):
Na função y = ax² + bx + c, vamos substituir y por YV =Yv
a
=
−∆
4
Temos: Yv = ax² + bx + c 
 
−
= + +
=
−
=
∆
∆
4
4
0
4
4
0
2
2
a
ax bx c
a
b ac
a
M
ax + bx + c +
ax + bx + c +
2
2 ( .. . )MC a= 4
Então,
4 4 4
4 4 0
4
2 2 2
2 2 2
2
a x abx ac
a x abx b
Temos b ac
+ +
+ + =
= −
+b - 4ac = 0
: ∆
Então,
∆ = (4ab)² - 4(4a²)(b²)
∆ = 16a²b² - 16a²b²
∆ = 0, ou seja, Xv
ab
a
b
a
porta to Xv
b
a
=
−
=
−
=
−4
2 4 2 22( )
n
Conclusão: a coordenada do vértice da parábola é V
b
a a
( , )
− −
2 4
∆
.
Importante:
1) Quando a > 0, dizemos que a função tem seu valor mínimo dado por V
b
a a
( , )
− −
2 4
∆
 e temos que 
o conjunto imagem é dado por Im(f) = {y ∈ R | y ≥ V
b
a a
( , )
− −
2 4
∆ }
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y
x0
lm(f)
V
1
−∆
4a
Figura 51
2) Quando a < 0, dizemos que a função tem seu valor máximo dado por V
b
a a
( , )
− −
2 4
∆ e temos que 
o conjunto imagem é dado por Im(f) = {y ∈ R | y ≤ −∆
4a
}
y
x
lm(fx)
V−∆
4a
Figura 52
Exemplos:
1) Construa o gráfico cartesiano da função y = 2x² - 5x + 2.
Solução:
1º passo: verificar o sinal de a, para saber o sentido da concavidade.
Temos a = 2, como a > 0, então a concavidade está voltada para cima.
2º passo: calcular as raízes da função para sabermos em quais pontos a parábola corta o eixo x.
Devemos fazer y = 0, isto é, 2x² - 5x + 2 = 0
∆ = b² - 4ac = (-5)² - 4(2)(2) = 25 – 16 = 9, como ∆ > 0, temos duas raízes distintas:
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x
b
a
Por to x e x
=
− ±
=
− − ±
=
±
= =
∆
2
5 9
2 2
5 3
4
2
1
2
( )
( )
tan , ’ ’’
3º passo: determinar o ponto onde a parábola corta o eixo y.
Devemos fazer x = 0, isto é, y = 2(0)² - 5(0) +2 ⇨ y = 2
4º passo: determinar as coordenadas do vértice.
Então, Xv
b
a
=
−
=
− −
2
5
2 2
( )
( )
 ⇨ Xv =
5
4
Yv
a
=
−
=
−∆
4
9
4 2( )
 ⇨ Yv =
−9
8
 
Temos, então, o seguinte esboço do gráfico:
y
x
2
2
9
8
5
4
1
2
Figura 53
2) Determine a e b na função y = ax² + bx + 3, de forma que o vértice da parábola seja V(2,-1).
Solução:
São dados: Xv = 2 e Yv = -1
Sendo Xv = −b
a2
 ⇨ 2
2
=
−b
a
 ⇨ 4a = - b ou b = - 4a
Substituindo b = - 4a e y = - 1 na função dada, temos:
- 1 = a2² + (- 4a)(2) + 3 ⇨ - 1 = 4a – 8a + 3 ⇨ - 1 = - 4a + 3 ⇨ a = 1
Como b = - 4a, então b = - 4
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MateMática aplicada
3) Determine m, de modo que o valor mínimo da função y = x² - 4x + m seja – 1.
Solução:
Temos ∆ = b² - 4ac ⇨ ∆ = 16 – 4m
Fazendo 
−
= −
− −
= −
∆
4
1
16 4
4
1
a
vem
m
,
( )
 ⇨- 16 + 4m = - 4 ⇨ m = 3
 saiba mais
Para mais informações sobre a teoria dos conjuntos e das funções, você 
pode consultar o livro Teoria elementar das funções, do professor Mauricio 
Zahn, pela Editora Ciência Moderna.
4 ApLicAções 
4.1 Demanda e oferta de mercado
Mercado é um conjunto de dispositivos que permitem que compradores e vendedores de um bem 
ou serviço entrem em contato para comercializá-lo. 
 
A função demanda de um determinado consumidor por um bem X é aquela que mostra os preços 
de X referentes à quantidade que a pessoa deseja comprar. Em outras palavras, a demanda indica o 
preço máximo que esse consumidor está disposto a pagar por cada uma das unidades de X. É uma 
função de 1º grau decrescente, representada por:
Qd= - a(P) + b
Onde Qd é a quantidade de demanda por unidade de tempo, e P é o preço do bem.
O gráfico de P em função de x é conhecido como de curva de demanda.
 observação
A demanda se refere apenas ao desejo de adquirir um determinado 
bem, e não à consumação de tal desejo, senão seria caracterizado como 
consumo.
Normalmente, a declividade de uma curva de demanda é negativa, isto é, à medida que o preço aumenta, 
a quantidade procurada diminui e à medida que o preço diminui, a quantidade procurada aumenta. 
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 observação
Em certos casos, a declividade de uma curva de demanda pode ser nula, 
isto é, o preço é constante, independentemente da demanda. 
P
K
D
x(t)0
P1
X1
Figura 54
 
No eixo das abscissas, foi colocado x(t) fazendo referência à definição da demanda por unidade de 
tempo. Pode ser uma demanda mensal, semestral etc. 
Importante: a demanda descreve o comportamento do consumidor diante dos diferentes 
preços. É composta por um conjunto de pares de preços e quantidades demandadas. A quantidade 
demandada só faz sentido se referente a um determinado preço. Por exemplo: o gráfico mostra 
que o preço é P1, e o consumidor deseja comprar X1. Então, quando o preço for P1, a quantidade 
demandada será X1.
 
Portanto, quando se fala de aumento da demanda, toda a curva é movida para a direita. Uma 
variação na quantidade demandada faz referência a um movimento ao longo da curva de demanda. 
Se o desejo é determinar a demanda de mercado, as demandas individuais são somadas em forma 
horizontal. 
 
A curva de demanda de mercado mostra a relação entre a quantidade demandada de um bem por 
todos os indivíduos e seu preço, mantendo constantes outros fatores, tais como: gosto, renda, preço de 
bens relacionados etc. 
A função oferta de determinado produtor de um bem X é aquela que mostra cada um dos 
preços de X e a quantidade que se deseja vender. Em outras palavras, a oferta indica o preço 
mínimo que o produtor está disposto a receber por cada uma das unidades de X. É uma função 
de 1º grau crescente, que representa a relação entre o preço do bem P e a quantidade ofertada X, 
dada por:
P = g(x)
O gráfico de P em função de x é conhecido como de curva de oferta.
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MateMática aplicada
 observação
A oferta também é definida pela unidade de tempo e para um 
determinado lugar e data.
 Lembrete
É relevante fazer a distinção entre “oferta” e “quantidade oferecida”. Um 
aumento de oferta, por exemplo, se refere ao movimento da curva para a 
direita e para baixo. Na mudança, o aumento de preço provoca aumento da 
quantidade oferecida, ou seja, um movimento ao longo da curva de oferta.
P
L
S
x(t)0
P1
X1
Figura 55
Do mesmo modo que a demanda, a oferta de um bem real depende de um conjunto de fatores. São 
eles: a tecnologia, os preços de fatores produtivos e o preço do bem que se deseja oferecer. 
 observação
Se permanecerem constantes todos os fatores citados, menos o preço 
do bem que se oferece, obteremos a relação existente entre o preço de 
um bem e a quantidade que o produtor desejaria oferecer por preço, por 
unidade de tempo.
 Lembrete
A oferta não pode ser considerada uma quantidade fixa, mas 
apenas uma relação entre a quantidade oferecida e o preço, o qual 
dita a quantidade no mercado. A curva crescente de oferta mostra 
como a quantidade oferecida aumenta junto com o preço, refletindo o 
comportamento dos produtores.
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4.2 preço e quantidade de equilíbrio
O preço de equilíbrio e a quantidade oferecida e demandada (comprada e vendida) denomina-se 
quantidade de equilíbrio. Costuma-se também dizer que o preço de equilíbrio zera o mercado.
Na situação de equilíbrio, igualam-se as quantidades oferecidas e demandadas. No gráfico, é o 
ponto E de intersecção entre a curva de demanda e a curva de oferta:
P2 E
S
Q0
Pe
P1
P
Excesso de oferta S = oferta
D = demanda 
Excesso de demanda
Qs1 Qd2 Qe Qs2 Qd1
Figura 56
 
Quando o preço é maior que o de equilíbrio (P2 > Pe), a quantidade que os produtores desejam 
oferecer excede a quantidade que os demandantes desejam adquirir (Qs2 > Qd2), provocando um 
excesso de oferta.
 
Ao contrário, se o preço é menor que o de equilíbrio (P1 < Pe), a quantidade que o demandante 
deseja adquirir é maior que a oferecida pelos produtores (Qd1 > Qs1), provocando o excesso de 
demanda. 
 
Assim, podemos ver que quando há o aumento do preço de um produto, aumenta também o 
estímulo para a fabricação desse bem. Quando a quantidade desse bem se normaliza no mercado, 
há a redução de seu preço, estimulando a demanda e desestimulando a vontade dos fabricantes 
de produzi-lo.
 
Essas forças de mercado vivem em conflito, fazendo com que o preço dos produtos seja 
regido pela oferta, que oferecerá pouco para esse elevar-se, e pela demanda, que almejará muitos 
produtos para que esse chegue a preços mais acessíveis. Essa lei econômica serve para qualquer 
produto.
4.3 Receita total
 Considerando x a quantidade vendida de um produto e p(x) o preço do produto x, calcula-se a 
receita total ℝT multiplicando o preço de venda pela quantidade vendida.
 
A função da receita total é dada pela sentança ℝT(x) = p(x) • x
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MateMática aplicada
P
X0 q
p
RT
Figura 57
 observação
A receita total ℝT = p • q é traduzida pela área do retângulo entre a 
origem e o ponto de coordenadas (q,p).
4.4 custo total
Chamamos de custo o gasto relativo ao bem ou serviço utilizado na produção de outros bens ou 
serviços. Os custos fixos são aqueles custos que não variam em função das alterações dos níveis de 
produção da empresa. A classificação variável aplica-se ao custo que demonstra um comportamento 
dependente exclusivamente das variações do nível de produção. O custo total é a somatória dos vários 
custos incorridos pela empresa.
Em outras palavras, o Custo Total (CT) da produção de uma empresa tem dois componentes: o Custo 
Fixo (CF), que deve ser pago independentemente da quantidade produzida, e o Custo Variável (CV), que 
varia conforme o nível de produção. Sendo x a quantidade produzida, o custo variável depende de x.
A fórmula do custo total é, de forma simplificada, uma função linear:
CT = Cf + Cv(x)
 
O custo unitário ou custo médio pode ser definido pela relação entre os custos totais e a quantidade 
de produto. Obtém-se o custo unitário de acordo com a fórmula a seguir:
Cm
CT
n
=
 Onde: 
• Cm = custo unitário ou custo médio;
• CT = custo total;
• n = número de unidades produzidas.
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A representação gráfica dos custos é a seguinte:
Volume de produção de venda
Custo total
Custo variável
Custo fixo
Figura 58
4.5 Break even point ou ponto de nivelamento ou ponto crítico
O Break Even Point (BEP) é o ponto de equilíbrio entre receitas e despesas, isto é, quando o total de 
receitas é igual ao total de custos e o lucro é nulo.
ℝT(x) = CT(x)
Em outras palavras, o ponto de equilíbrio representa a quantidade de venda que precisa ser realizada 
mensalmente para gerar receita suficiente para pagar todo o custo variável gerado, todas as despesas 
comerciais geradas e todas as despesas fixas que a empresa tiver no mês. Isto é, não ter lucro acumulado 
no mês, mas também não ter prejuízo.
 Lembrete
Para acumular lucro, é necessário vender acima do ponto de equilíbrio.
4.6 Lucro total
O Lucro Bruto (LB) é igual à diferença entre o Preço de Venda (PV) e o Preço de Compra (PC):
LB = PV – PC
A função Lucro Total (LT) é dada como sendo a diferença das funções de receita total (RT) e custo 
total (CT):
LT = ℝT - CT
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MateMática aplicada
4.7 Margem de contribuição
É a diferença entre a receita total (vendas) da empresa menos seus custos e despesas variáveis. 
Podemos entender ainda que a margem de contribuição é a parcela da receita total que ultrapassa os 
custos e despesas variáveis, e que contribuirá para cobrir as despesas fixas e ainda formar o lucro.
MC = ℝT - (C + DV)
Onde:
• MC = margem contribuição;
• RT = receita total;
• C = custos;
• DV = despesas variáveis.
 saiba mais
Os softwares a seguir são usados para o estudo das funções:
1. MathGV (free open source software): <http://www.mathgv.com/>.
2. WinPlot (gratuito): <http://www.baixaki.com.br/download/winplot.htm>.
3. Graphmatica (free trial): <http://www.graphmatica.com/>.
 Resumo
Nesta unidade, apresentamos o conceito de função e os tipos mais 
usados nas organizações de um modo geral, como excelentes ferramentas 
para os cálculos de custos, receitas e lucros. E particularmente, se você 
quer ter sucesso como gestor de TI em alguma organização, com certeza 
precisará saber lidar com essas funções, para saber calcular se o seu projeto 
é lucrativo, ou se os custos com o projeto se justificam diante da previsão 
de lucro. Nessa área altamente competitiva, quanto mais você fizer um 
bom uso das funções da matemática aplicada, melhor será a sua gestão.
Mostramos também uma das aplicações dos conceitos de funções para 
as análises de demanda e oferta de produtos, cálculo de receita, custos 
e lucro, e também a interpretação de gráficos no estudo dos preços e o 
equilíbrio entre oferta e demanda. 
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 exercícios
Questão 1 (ENADE - matemática/2008). Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta 
diretamente para o gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a 
trajetória da bola seja uma parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 
metros do chão, como ilustra a figura a seguir.
R
QGol
8
3
12
barreira
parábola posição da 
falta
x
y
Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
A) 3/2 m.
B) 4/3 m.
C) 1 m.
D) 2 m.
E) 5/3 m.
Resposta correta: alternativa E.
Análise das alternativas:
Para encontrarmos a alternativa correta, devemos utilizar a teoria de funções do 2º grau e desenvolver 
os cálculos de acordo com os dados do exercício.
A função do 2º grau tem a forma geral y ax bx c= + +2 , sendo a, b e c constantes reais e a ≠ 0.
A partir dos dados do enunciado, para x = 0, temos:
y ax bx c
a b I
a b II
= + +
= + +
= − + − +
2
2
2
0 12 12 3
0 12 12 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
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MateMática aplicada
Portanto, se x = 0, temos y = c. No caso, c = 3.
Considerando dois pontos conhecidos da parábola {(0, 12) e (0, -12)}, fazemos:
y ax bx c
a b I
a b II
= + +
= + + ( )
= − + − + ( )
2
2
2
0 12 12 3
0 12 12 3
( ) ( )
( ) ( )
Então:
144 12 3
144 12 3
a b I
a b II
+ = −
− = −
( )
( )
Somando as equações (I) e (II), temos:
288 6
6
288
3
144
a a a= − → =
−
→ =
−
Para calcularmos b, fazemos:
144 12 3
144
3
144
12 3 3 12 3 12 3 3 12 0 0
a b
b b b b b
+ = −
−
+ = − → − + = − → = − + → = → =( )
Conhecidos os valores de a, b e c, a função do 2º grau que representa a trajetória parabólica da bola 
é y x=
−
+
3
144
32 .
Para calcularmos a altura da bola quando x = -8, fazemos:
y x y y y
y y
=
−
+ → =
−
− + → =
−
+ → =
−
+
=
−
+ → =
3
144
3
3
144
8 3
3
144
64 3
64
48
3
4
3
3
2 2( )
−− +
→ =
4 9
3
5
3
y
Logo, a altura da bola quando ela atinge o gol é igual a 
5
3
 m.
Sendo assim,
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
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C) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
E) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
Questão 2 (ENEM/2007). O gráfico a seguir, obtido a partir de dados do Ministério do Meio 
Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. 
N
úm
er
o 
de
 e
sp
éc
ie
s a
m
ea
ça
da
s d
e 
ex
tin
çã
o
461
239
ano
1983 1987 1991 1995 1999 2003 2007
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de 
espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:
A) 465.
B) 493.
C) 498.
D) 838.
E) 899.
ℝesolução desta questão na plataforma.