Ficha 4.1 Funções Reais de Variável Real

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1 
 
 
FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÓMICAS & EMPRESARIAIS 
CURSOS DE: GESTÃO FINANCEIRA E BANCÁRIA, GESTÃO EMPRESARIAL, ECONOMIA, CONTABILIDADE/AUDITORIA E 
AGRICULTURA DISCIPLINA: MATEMÁTICA I ANO: 1º/1º Semestre TIPO: Semestral 
ANO ACADÉMICO: 2023 
 
FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 
 
Definição: Uma função é uma regra que associa a cada elemento x de um conjunto A um único 
elemento y de um conjunto B. 
O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B que compreende todos os valores 
assumidos por y = f(x), quando x toma todos os possíveis valores no seu domínio é chamado de 
imagem ou contradomínio da função. 
Um exemplo de função é dado pela relação entre a área de um quadrado e o comprimento do seu 
lado.Denotando y a área do quadrado e x, comprimento do seu lado, teremos: 
2xy 
A equação dada define y como função de x. A regra que define a função área pode ser escrita por 
2)( xxf  
Exemplo: Considere a função f(x) = 2x + 3. Calcule: 
a) f(-3) b) f(x+1) c) f(a-b) 
Solução: a) f(-3) = 2 (-3) + 3 = -6 + 3 = -3 b)f(x + 1) = 2 (x+1) + 3 = 2x + 2 + 3 = 2x + 
5 c) f(a-b) = 2(a-b) + 3 = 2a – 2b + 3 
 
Domínio da Função: É o conjunto de valores da variável independente x para os quais a função está 
definida. 
Em muitas aplicações práticas, o domínio da função é ditado pela natureza do problema. Por exemplo, 
se considerarmos a função y = x
2
 como uma regra que define a função área de um quadrado, onde x 
denota o comprimento do seu lado, ela não terá sentido para os números negativos. Neste caso, x 
assumirá valores não negativos ( x  0). 
2 
 
 
Determinando o Domínio de Funções Reais de Variável Real 
1. Funções Polinomiais: Neste tipo de funções a variável não figura no denominador e não faz parte do 
radicando. 
Exemplos: 1.f(x) = 3x
4
 – 2x
3
 + x – 4 2. f(x) = 5
2
3 23  xx 3. F(x) = 
7
35 x
 
Neste caso, cada função do exemplo está definida para qualquer número real, isto é Rx . 
 
2. Funções Racionais Fracionárias: A variável x figura também no denominador, mas não faz parte do 
radicando. 
Exemplos: 
1.f(x) = 
   533
1
)(.3
12
32
)(.2
13
2
2 






 x
x
x
xf
xx
x
xf
x
 
Neste caso, cada função tem sentido para todos os números reais que não anulam o denominador. Se 
considerarmos a primeira função do exemplo, podemos substituir x por qualquer número real excepto 
por 1/3, pois este número anula o denominador desta função. 
A condição a impor para estas funções é que o denominador deve ser diferente de zero. 
Assim, 
1. 3x - 1 0  3/1\:3/113 RxDfouxx  
2.    120102012 22  xxxxxx 
3. 3/5305303  xxxx 
3. Funções Irracionais: A variável figura no radicando. 
Exemplos: 
   
  43 31
4
)(.3
84
.213)(




xx
xf
x
x
xfxxxf 
Neste caso temos que considerar dois casos: quando o índice do radical é um número par ou um número 
ímpar. 
a) Para índice par 
3 
 
Por exemplo, se tivermos n a , sendo n par a expressão terá sentido se a 0, isto significa que só se 
extrai raíz de índice par de números positivos e de zero. 
Ex: f(x) =   101:13  xxDfxx 
Se tivermos 
n a
1
 tem sentido se a > 0. A condição maior ou igual a zero não é válida, pois o radical de 
dice par está no denominador. Recorde-se que o denominador não pode ser nulo, pois dividir por zero é 
impossível. 
Ex: f(x) = 
   











 31
31
0301
0301
0)3)(1(:
31
4
4 xx
xx
xx
xx
xxDf
xx
 






1
3
x
x
 significa que o domínio é o conjunto de números reais menores que -1 e maiores que 3, pois 
satisfazem a condição    031  xx . 
b) Para índice ímpar 
Se tivermos n a tem sentido para todo número real, isto é Ra  . Significa que quando o índice do 
radical é um número ímpar, o radicando pode ser um número negativo, positivo ou zero. 
Ex: f(x) = RxDfxx  :23
5 3
 
Se tivermos 
n a
1
 tem sentido se 0a . O radical de índice ímpar figura no denominador, por isso o 
número a não pode ser nulo. 
Ex: f(x) = 24404:
4
3 22
3 2



xxxxDf
x
x
 
Veja outros exemplos: 
  3209042:
9
42
.1 2
2



 xxxxDf
x
x
xf
 
Veja que o domínio é constituido por todos os valores de x maiores ou iguais a 2, excepto o número 3, 
pois -3 não faz parte do intervalo. 
4 
 
3320302:
3
2
)(.2 


 xxxxxDf
x
x
xf
 
O domínio é o conjunto de números reais maiores que 3, pois satisfazem simultâneamente as condições 
.0302  xex 
3.























2
3
32
32
0302
0302
0
3
2
:
3
2
)(
x
x
xx
xx
xx
xx
x
x
Df
x
x
xf 
O domínio é o conjunto de números reais menores ou iguais a 2 e maiores que 3, pois satisfazem a 
condição 0
3
2



x
x
. 
 
EXERCÍCIOS 
Determine o domínio das funções que se seguem: 
1.  
x
x
xfxxxf
xx
xf
x
x
xf




2
3
)(.42)(.35
3
4
2
)(.2
1
)( 4
3
2
 
5.  
  xxx
x
xfxxxf
x
xf
43
42
)(.7162.6
3
1
)(
2
2
3 



 
 
Gráfico de Funções 
O gráfico de uma função f(x) é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano cartesiano tal que x 
pertence ao domínio da função e y = f(x). 
 
5 
 
 
 
Monotonia de Funções 
Uma função f(x) é momótona se for crescente ou decrescente. 
Função Crescente: Uma função f(x) diz-se crescente num intervalo  ba, , contido no domínio da 
função, se e somente se, para todo x1 e x2 que pertencem ao intervalo  ba, , sendo x1 < x2 segue que 
f(x1) < f(x2). 
 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
0
y=f(x)
y
x
(2, 4)
Dominio sao valores de x que pertencem 
Imagem
O contradoninio (conjunto das imagens) sao valores de y 
que pertencem ao intervalo [1/4, 4]
ao intervalo [-2, 2]
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
0
y = f(x)
-2 < 0 entao f(-2) < f(0)
Funcao crescente
x
y
6 
 
Função Decrescente: Uma função f(x) diz-se crescente num intervalo  ba, , contido no domínio da 
função, se e somente se, para todo x1 e x2 que pertencem ao intervalo  ba, , sendo x1 < x2 segue que 
f(x1) > f(x2). 
 
 
Paridade de Funções 
Quanto à paridade as funções podem ser pares ou ímpares. 
Funções Pares: São funções cujo gráficos são simétricas em relação ao eixo das ordenadas. Neste caso, 
valores simétricos de x possuem a mesma imagem, isto é f(-x) = f(x). 
Veja o gráfico da função y = x
2
. 
 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = f(x)
y
0
x
0 < 3 entao f(0) > f(3)
Temos funcao decrescente
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
y = x^2
0
x
y
f(-2) = f(2)
A partir do gráfico verificamos que o valor 
da função para x = -2 é igual ao valor da 
função para x = 2 por isso, o eixo das 
ordenadas é o eixo de simetria do gráfico. 
Do gráfico, f(-2) = f(2) = 4. 
Se a função é par, teremos f(-x) = f(x). 
Como f(x) = x2, vem: 
f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x). 
7 
 
Funções Ímpares: São funções cujo gráficos são simétricas em relação ao eixo das abcissas. Neste caso, 
valores simétricos de x possuem imagens simétricas, isto é f(-x) = -f(x). 
 
 
Assimptotas 
Definição: Se um ponto (x, y) se desloca continuamente por uma curva y = f(x) de tal forma que pelo 
menos uma das suas coordenadas tenda a infinito, enquanto a distância entre este ponto e uma recta 
determinada tenda a zero, esta recta recebe o nome de assimptota da curva. 
Existem assimptotas verticais e oblíquas. Um caso particular da assimptota oblíqua é a assimptota 
horizontal. 
Assimptota Vertical: É uma recta paralela ao eixo das ordenadas. 
Se existir um número real a tal que 

)(lim xf
ax
, a recta x = a representa a equação da assimptota 
vertical. 
Assimptota Oblíqua: Esta é representada pela equação y = mx + b, onde : 
  .lim,)(lim
)(
lim existiremitesestessebmxxfem
xxf
xx


 
Obs.: Na equação y = mx + b, se m = 0 teremos y = b que é a equação da assimptota horizontal. Esta é 
paralela ao eixo das abcissas. 
Esta também pode ser calculada pelo bxf
x


)(lim , se o limite existir. 
Exemplo: Observe o gráfico das funções que se seguem: 
1. 
4
)(
2
2


x
x
xf Df: 2x 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y = x/2
y 
x0
f(4)
f(-4) = -f(4)
A partir do gráfico verificamos que o 
valor da função para x = -4 é 
simétrico ao valor da função para x 
= 4 por isso, o eixo das abcissas é o 
eixo de simetria do gráfico. 
Do gráfico, f(-4) = - f(4) = -2. 
Sendo a função é ímpar, teremos 
f(-x) = -f(x). 
Como f(x) = x/2, vem: 
f(-x) = (-x)/2 = -x/2= -f(x). 
8 
 
 
 
 
 
2. 
1
22
)(
2



x
xx
xf Df: 1x 
 
 
 
 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
x
y
y = 1
x = -2
x = 2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
0
x
y
y = x - 1
x = 1
Ao observar o gráfico podemos verificar que 
as rectas x = -2 e x = 2 representam as 
equações das assimptotas verticais, pois: 
1. 
3. 
A recta y = 1 representa a equação da 
assimptota horizontal, pois: 
 Esta também pode ser 
obtida, determinando o quociente da divisão 
de x2 por x2-4 (divisão de polinómios). 
Ao observar o gráfico podemos verificar que a 
recta x = 1 representa a equação da 
assimptota vertical, pois: 
 
A recta y = x – 1 representa a equação da 
assimptota oblíqua, pois: 
 e 
 
9 
 
A assimptota oblíqua também pode ser determinada pelo processo de divisão de polinómios. O 
quociente dessa divisão dá-nos a equação da assimptota oblíqua. 
 
ALGUNS MODELOS ECONÓMICOS 
Numa economia de livre mercado, a demanda de consumo de um certo bem depende do preço unitário 
desse bem. A equação de demanda expressa a relação entre o preço por unidade e a quantidade 
demandada. Em geral, a quantidade demandada de um bem decresce a medida que o preço por unidade 
desse bem cresce. Por isso, o gráfico da equação de demanda (ou curva de demanda) é uma função 
decrescente. Esta função é definida por p = f(x), onde p denota o preço unitário de um certo bem e x a 
quantidade demandada. Veja o gráfico a seguir. 
 
 
Num mercado competitivo existe também a relação entre o preço por unidade de um bem e sua 
disponibilidade no mercado. Em geral, um aumento no preço unitário do bem leva o produtor a 
aumentar a oferta. De modo contrário, uma diminuição no preço unitário geralmente leva a diminuição 
da oferta. A equação que expressa a relação entre o preço por unidade de um bem e a quantidade 
oferecida é a equação de oferta. Seu gráfico é uma função crescente e é chamado de curva de oferta. 
Esta função é definida por p = f(x), onde p é o preço unitário e x a quantidade em oferta. Veja o gráfico 
a seguir. 
 
p 
x 
10 
 
 
 
Sob pura competição, o preço de um bem estabilizar-se-á eventualmente e verificar-se-á que a oferta do 
bem será igual à demanda pelo mesmo. Se o preço é muito alto, o consumidor não compra, e se o preço 
é muito baixo, o fornecedor não produz. 
Quando a quantidade produzida é igual à quantidade demandada temos o equilíbrio de mercado. A 
quantidade produzida num equilíbrio de mercado é chamada de quantidade de equilíbrio, e o preço 
correspondente é o preço de equilíbrio. Veja o gráfico a seguir. 
 
 
Existem outros modelos, tais como: 
Função custo: C(q) 
Função receita: R(q) = p . q, onde p é o preço unitário e q, a quantidade vendida. 
Função custo médio: C (q) = Cme= C(q) / q é o custo unitário. 
Função lucro: L(q) = R(q) - C(q) 
Etc. 
 
 
 
x 
p 
x 
p 
P 
 
 
 
O ponto P é o 
ponto de 
equilíbrio 
entre a 
demanda e a 
oferta. 
11 
 
EXERCÍCIOS 
1. A empresa Apollo fabrica agendas electrónicas a um custo variável de V(x) = 0,000003x3 – 
0,03x
2
 + 200x dólares, onde x denota o nº de unidades fabricadas por mês. O custo fixo 
mensal da divisão que produz essas agendas é de $100.000. Determine a função C(x) (custo 
total) da fabricação de x agendas electrónicas. Qual é o custo total da produção de 2000 
unidades/mês? 
 
2. Reporte-se ao exercício anterior. Suponha que o total arrecadado pela Apollo a partir da 
venda de x agendas electrónicas é dado pela função R(x) = 0,1x
2
 + 500x ( 0  x  5000), 
onde x é medido em dólares. 
a) Determine a função lucro. 
b) Qual é o lucro quando 1.500 unidades são produzidas e vendidas por mês? 
 
3. Espera-se que o nº de lares com televisores digitais cresça de acordo com a função f(t) = 
0,1714t
2
 + 0,6657t + 0,7143 ( 0 t 6), onde t é medido em anos com t = 0 correspondendo 
ao início do ano 2000 e f(t) é medida em milhões de lares. 
a) Quantos lares terão televisores digitais no início do ano 2000? 
b) Quantos lares terão televisores digitais no início do ano 2005? 
 
4. Um comerciante de roupas compra ternos e camisetes para revenda e tem um orçamento 
limitado para compra. A quantidade de ternos é representada por x, a de camisetes por y e a 
equação que dá a restrição orçamentária é 10x
2
 + 10y = 1000. 
a) Expresse a quantidade de camisetes em função da quantidade de ternos comprados. 
b) Esboce o gráfico da função anterior. 
c) Se forem comprados 8 ternos, quantas camisetes é possível comprar? 
d) Se forem compradas 19 camisetes, quantos ternos é possível comprar? 
e) Se não forem compradas camisetes, quantos ternos seriam comprados? E se não forem 
compradas camisetes quanto ternos seriam comprados? Indique estes pontos no gráfico 
b). 
f) Se forem comprados 7 ternos e 40 camisetes, tal compra ultrapassaria o orçamento? 
Represente esta possibilidade no gráfico. 
 
5. O valor inicial de um carro é de $20.000, e a cada ano esse valor é depreciado em $1.250. 
a) Determine uma expressão que relaciona o valor do carro em função do nº de anos 
passados, após a compra. 
b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial? 
c) Esboce o gráfico da função. 
 
6. Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo e receita dadas, 
respectivamente, por C(q) = 3q + 90 e R(q) = 5q, onde q é a quantidade comercializada que 
se supõe ser a mesma para o custo e para a receita. 
12 
 
a) Num sistema de eixos, esboce os gráficos das funções dadas. Indique no gráfico o break-
even point. 
b) Obtenha a função lucro L(q) e represente-a no mesmo sistema. Determine as quantidades 
para as quais o lucro é positivo, nulo e há prejuízo. 
 
7. Um comerciante compra objectos a um preço unitário de 4,00 Mt, gasta em sua condução 
diária 60,00 Mt e vende cada unidade a 7,00Mt. 
a) Expresse o custo e a receita em função das quantidades (q) compradas e vendidas, 
respectivamente, supondo que estas são iguais. 
b) Esboce, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das funções da a), determinando o 
break-even point. Qual é o significado desse ponto? 
c) Esboce, no mesmo sistema, a função lucro, indicando as quantidades para as quais existe 
lucro, prejuízo e lucro igual a zero. 
d) Determine as funções custo médio( Cme) e lucro médio (Lme). 
8. Para a seguinte equação de demanda 218 xp  , onde p é o preço por unidade em Mt e x 
representa a quantidade demandada em milhares: 
a) Esboce o gráfico. 
b) Determine a quantidade demandada quando o preço por unidade é estabelecido em 7Mt. 
 
9. As funções demanda e oferta semanais para uma certa marca de barracas para acampamento 
são dadas, respectivamente por: 
a) p =- 0,1x2 - x +40 e p = 0,1x2 +2x +20 
b) p =60 – 2x2 e p = x2 + 9x+ 30 onde p é medido em Mt e x é medido em centenas. 
Determine a quantidade e o preço de equilíbrio. 
 
10. O preço da garrafa de vinho varia de acordo com a relação p = -2q + 400, onde q representa a 
quantidade de garrafas comercializadas. 
a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico, indicando os principais pontos e o eixo de 
simetria. 
b) Quantas garrafas devem ser comercializadas para que a receita seja máxima?Qual é a 
receita maxima? 
c) Que quantidades proporcionam receita crescente? E receita decrescente? 
 
11. A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas, leva à 
função 
P = -2t
2
 + 24t + 128. 
a) Esboce o gráfico da função. 
b) Em que momento a produção é máxima? Qual a produção maxima? 
c) Em que momento a produção é igual à produção inicial? 
d) Em que momento o funcionário não consegue mais produzir? 
e) Quais os intervalos de crescimento e de decrescimento da produção? 
 
 
13