AP2 CL1 2017.1 Gabarito (2)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
RESPOSTAS – AP2 – CA´LCULO 1 – 04/06/2017
Questa˜o 1 [1 ponto]
Se f(x) = 2x arcsen(x2 + 4), calcule f ′(x).
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = (2x)′ · arcsen(x2 + 4) + 2x · (arcsen(x2 + 4))′ =
= 2 arcsen(x2 + 4) + 2x · 1√
1− (x2 + 4)2 · (2x) =
= 2 arcsen(x2 + 4) +
4x2√
1− (x2 + 4)2
Questa˜o 2 [2 pontos]
Se f(x) =
tg(x)− x
x3
, utilize a Regra de L’Hoˆpital para calcular lim
x→0
f(x).
Soluc¸a˜o:
Temos que lim
x→0
tg(x)− x = lim
x→0
x3 = 0. Logo, podemos aplicar a Regra de L’Hoˆpital :
lim
x→0
tg(x)− x
x3
= lim
x→0
sec2(x)− 1
3x2
.
Como lim
x→0
sec2(x) = 1, segue que lim
x→0
sec2(x)− 1 = lim
x→0
3x2 = 0. Logo, temos que aplicar a Regra
de L’Hoˆpital novamente:
lim
x→0
sec2(x)− 1
3x2
= lim
x→0
2 sec(x)(sec(x))′
6x
= lim
x→0
2 sec2(x) tg(x)
6x
=
1
3
lim
x→0
sec2(x) tg(x)
x
=
=
1
3
lim
x→0
sec2(x) lim
x→0
tg(x)
x
=
1
3
lim
x→0
tg(x)
x
.
Como lim
x→0
tg(x) = lim
x→0
x = 0, devemos aplicar a Regra de L’Hoˆpital novamente. Da´ı:
lim
x→0
sec2(x)− 1
3x2
=
1
3
lim
x→0
tg(x)
x
=
1
3
lim
x→0
sec2(x)
1
=
1
3
.
Portanto,
lim
x→0
tg(x)− x
x3
=
1
3
.
Questa˜o 3 [1 ponto]
Seja f(x) =
{
x2 − 1, se x > −1
−2x− 2, se x ≤ −1 . Verifique que f satisfaz as hipo´teses do Teorema do Valor
Me´dio no intervalo [−2, 0].
Soluc¸a˜o:
Temos que f ′(x) =
{
2x, se x > −1
−2, se x < −1 . Ainda, f
′
+(−1) = f ′−(−1) = f ′(−1) = −2. Logo, f e´
deriva´vel e cont´ınua em R. Em particular, f e´ deriva´vel em (−2, 0) e cont´ınua em [−2, 0]. Portanto,
as hipo´teses do Teorema do Valor Me´dio sa˜o satisfeitas.
CA´LCULO 1 AP2 2
Questa˜o 4 [1,5 pontos]
Seja f(x) =
{
x2 − 1, se x > −1
−2x− 2, se x ≤ −1 . Utilize o Teorema do Valor Me´dio para determinar um
ponto P = (c, f(c)), c ∈ (−2, 0), do gra´fico de f cuja reta tangente seja paralela a` reta que passa
pelos pontos A = (0,−1) e B = (−2, 2).
Soluc¸a˜o:
Pelo Teorema do Valor Me´dio, existe c ∈ (−2, 0) tal que:
f ′(c) =
f(0)− f(−2)
0− (−2) =
−1− 2
2
=
−3
2
, ou seja,
existe c ∈ (−2, 0) tal que a reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (c, f(c)) e´ paralela a` reta que
passa pelo pontos A = (0,−1) e B = (−2, 2). Como f ′(x) =
{
2x, se x > −1
2, se x < −1 e f
′(c) =
−3
2
,
segue que c > −1. Da´ı, 2c = −3
2
, donde c =
−3
4
∈ (−2, 0). Logo,
P =
(−3
4
, f
(−3
4
))
=
(−3
4
,
−7
16
)
.
Questa˜o 5 [2 pontos]
Uma indu´stria deseja fabricar uma lata cil´ındrica (fechada - com fundo e tampa) para armazenar 1
litro de o´leo. Determine as dimenso˜es (em cm) que minimizara˜o o custo do metal utilizado para
produzir essa lata. Lembre-se: 1 litro = 1000 cm3.
Soluc¸a˜o:
Sejam h a altura da lata e r o raio de sua base, conforme a figura abaixo:
Se A denota a a´rea total da superf´ıcie da lata, enta˜o A = 2pir2+2pirh. Como a lata deve armazenar
1 litro de o´leo, temos que o volume V da lata e´ 1 litro = 1000 cm3. Logo,
1000 = pir2h ⇒ h = 1000
pir2
.
Da´ı,
A = 2pir2 + 2pirh = 2pir2 + 2pir
(1000
pir2
)
= 2pir2 +
2000
r
, ou seja,
A = A(r) = 2pir2 +
2000
r
, r > 0.
Segue que
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP2 3
A′(r) = 4pir − 2000
r
=
4(pir3 − 500)
r2
= 0 ⇒ r = 3
√
500
pi
.
Ainda,
A′′(r) = 4pi +
4000
r3
⇒ A′′
(
3
√
500
pi
)
> 0.
Logo, pelo Teste da Derivada Segunda, para minimizar o custo do metal utilizado na produc¸a˜o da
lata, o raio da base da lata deve ser r = 3
√
500
pi
. Como h =
1000
pir2
, segue que
h =
1000
pir2
=
1000
pi(500/pi)2/3
= 2 3
√
500
pi
= 2r.
Portanto, para minimizar o custo do metal utilizado na produc¸a˜o da lata, o raio da base da lata deve
medir 3
√
500
pi
cm e a altura da lata deve medir duas vezes o raio da sua base, isto e´, a altura da lata
deve medir o diaˆmetro da sua base.
Questa˜o 6 [1 ponto]
A relac¸a˜o entre a fertilidade f da espiga e a temperatura x, em graus Celsius, do dossel pode ser
aproximada pela func¸a˜o f(x) = 860, 01− 234, 53 lnx, x > 0. Determine, se existirem, os intervalos
de crescimento e decrescimento da fertilidade da espiga.
Soluc¸a˜o:
Temos que f ′(x) =
−234, 53
x
, ∀x > 0, ou seja, f ′(x) < 0, ∀x > 0. Assim, f e´ decrescente em
(0,+∞), ou seja, a fertilidade da espiga so´ diminui com o aumento da temperatura. Na˜o exitem
intervalos de crescimento da fertilidade da espiga.
Questa˜o 7 [1,5 pontos]
Considere a func¸a˜o f(x) =
x4
12
+
x3
6
− x2. Determine, se existirem, os intervalos onde o gra´fico de
f tem concavidade voltada para cima, onde o gra´fico de f tem concavidade voltada para baixo e, se
existirem, os pontos de inflexa˜o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o:
Temos que f ′(x) =
x3
3
+
x2
2
− 2x, para todo x ∈ R. Logo, f ′′(x) = x2 + x− 2 = (x+ 2)(x− 1),
para todo x ∈ R. Da´ı,
• f ′′(x) > 0 ⇔ x2 + x− 2 > 0 ⇔ x < −2 ou x > 1;
• f ′′(x) < 0 ⇔ x2 + x− 2 < 0 ⇔ −2 < x < 1.
Segue que o gra´fico de f tem concavidade voltada para cima nos intervalo (−∞,−2) e (1,+∞) e tem
concavidade voltada para baixo no intervalo (−2, 1). Como f ′(−2) = 10/3 e f ′(1) = −7/6, temos
que o gra´fico de f possui reta tangente nos pontos (−2, f(−2)) = (−2,−4) e (1, f(1)) = (1,−3/4).
Portanto, os pontos (−2,−4) e em (1,−3/4) sa˜o os pontos de inflexa˜o do gra´fico de f .
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