Queda livre

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INTRODUÇÃO
A queda livre é o movimento de um corpo que, partindo do repouso e desprezando a resistência do ar, está sujeito, apenas à interacção gravítica. Foi Galileu quem observou que, desprezando a resistência do ar, todos os corpos soltos num mesmo local caem com uma mesma aceleração, quaisquer que sejam suas massas. Essa aceleração é denominada aceleração gravítica, sendo que a única força que atua sobre o corpo é a força gravítica, considerando que os corpos apenas sujeitos à força gravítica chamam-se graves e dizem-se em queda livre, independentemente do fato de estarem a cair ou a subir (MAZALI, 2008).
“Galileu pode mostrar que o deslocamento de um corpo, que partia do repouso, era proporcional ao quadrado do tempo do movimento do corpo”. Esta informação explica uma das equações para deduzirmos a o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV): (SERWAY, 2005).
Todos os corpos, abandonados ou lançados para cima, são atraídos pela Terra por uma aceleração chamada aceleração da gravidade ou aceleração gravitacional (g). Para a aceleração gravitacional, utilizamos g = (9,787 + 1) mm/s2.
Considerando g constante, temos o movimento de queda livre um exemplo de movimento uniformemente variado. Para resolver os exercícios de queda livre podemos utilizar as seguintes equações:
S = S0 + V0.t + a. t2 / 2 (equação horária dos espaços)
V = V0 + a. t (equação horária da velocidade)
V2 = V02 + 2.a.∆S (equação de Torricelli)
Foi Galileu quem observou que, desprezando a resistência do ar, todos os corpos soltos num mesmo local caem com uma mesma aceleração, quaisquer que sejam suas massas. Essa aceleração é denominada aceleração gravitacional (), sendo que a única força que atua sobre o corpo é a força gravitacional ().
Os corpos apenas sujeitos à força gravitacional chamam-se graves e dizem-se em queda livre, independentemente do fato de estarem a cair ou a subir.
Características do vetor ():
Direção: vertical
Sentido: de cima para baixo
Valor: depende da latitude, da altitude e do planeta.
Dedução do valor ():
Deduzir o valor da aceleração da gravidade, a partir da Lei da Gravitação Universal, para uma distância da ordem de grandeza do raio da Terra e comparar com o valor determinado experimentalmente.
A Lei da Gravitação Universal permite escrever, para um corpo próximo a superfície da Terra:
	 
	Fg = G.
	Mt.m
	 
	
	d2
Sendo que d é dado pela expressão:
	 
	d= RT+h
	 
	 
	
	 
 	Como h é bem menor do que o RT, podemos usar a expressão aproximada:
	 
	Fg= G.
	Mt.m
	 
	
	RT2
 
Aplicando a 2º Lei de Newton (Fr = m.a), podemos escrever:
	 
	G.
	Mt.m
	= m.a
	Em que a=g
	 
	
	RT2
	
	
Simplificando, podemos escrever a expressão para a aceleração da gravidade:
	 
	g=
	G.Mt
	 
	
	RT2
Substituindo, obtêm-se:
g = (6,67 x 10-11) x (5,98 x 1024)
(6,37 x 106)²
g ≈ 9,8 m/s²
Assim temos que todos os objetos em queda livre, próximo da superfície da Terra e não sujeitos à resistência do ar caem com a mesma aceleração porque o valor de g não depende da massa do corpo. 
OBJETIVOS
De acordo com o presente relatório têm-se como objetivos a determinação da aceleração da gravidade, das equações que regem o movimento de um corpo em queda livre e a observação da influência da massa no processo de queda.
Objetivos Específicos
Determinar os valores médios dos tempos das esferas, com seus respectivos desvios padrões experimentais e desvios padrões experimentais médios;
Determinar as velocidades em cada espaço de tempo;
Montar tabelas da posição (S) e da velocidade instantânea (V) em função do tempo (t).
Construir dois gráficos, um de posição (S) em função de tempo (t) e outro de velocidade (V) em função de tempo (t).
Determinar o valor experimental da aceleração da gravidade.
MATERIAIS UTILIZADOS
- Conjunto para Queda de Corpos Klein, sensor com erro de 0,001 s.
- Duas esferas de aço com massas diferentes.
- Uma esfera de isopor.
- Calculadora.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
	 
	 Fig. 1 Fig.2 Fig.3 Fig.4 Fig.5
	
Primeiramente, ajustar os sensores do cronômetro digital nas seguintes posições: 0 mm, 150 mm, 300 mm, 500 mm e 600 mm; com cuidado para que o primeiro sensor fique o mais próximo possível da posição inicial do corpo (S0). Anotar as medidas dos ∆S com seus respectivos erros ou precisão instrumental.
	Executar o processo de queda de um corpo, no caso das esferas.
	No processo de queda medir os ∆t relacionados com os ∆S, repetir as medidas do ∆t pelo menos 5 vezes.
	Repetir o processo de queda com as três esferas cinco vezes.
	Após executar a queda dos corpos, calcular o valor médio com seus respectivos desvios do tempo. 
	Através da fórmula S = a.t²/2 determinar a aceleração de cada esfera e assim, determinar as velocidades nos tempos: t1, t2, t3 e t4 nas posições S1, S2, S3 e S4, utilizando a fórmula v = a.t
	Com os resultados obtidos de cada cálculo, montar tabelas de velocidade (v) x tempo (t) e deslocamento (S) x tempo (t) de cada esfera.
	Com a aplicação do Método dos Mínimos Quadrados, construir dois gráficos para cada esfera, um de velocidade (v) x tempo (t) e outro de deslocamento (S) x tempo (t). Analisar os gráficos e determinar o valor experimental da aceleração da gravidade local com o valor teórico g = (9787 ± 1) mm/s².
RESULTADOS E DISCUSSÕES
	Ao executar a queda dos corpos obtiveram-se os determinados valores, com suas respectivas médias e desvios padrões experimentais e desvios padrões experimentais médios, calculados com o auxílio de uma calculadora:
	Esfera de Aço Maior
	Posições:
	0-150 mm
	150-300 mm
	300-500 mm
	500-600 mm
	
	00,163 s
	00,073 s
	00,072 s
	00,030 s
	
	00,163 s
	00,074 s
	00,072 s
	00,030 s
	
	00,163 s
	00,074 s
	00,072 s
	00,030 s
	
	00,163 s
	00,074 s
	00,072 s
	00,030 s
	
	00,164 s
	00,073 s
	00,072 s
	00,031 s
	Média:
	0,163 s
	0,074 s
	0,072 s
	0,030 s
	Desvio Padrão Experimental:
	4,5 x 10-4
	5,5 x 10-4
	0
	4,5 x 10-4
	Desvio P. Exp. Médio:
	2 x 10-4
	2,449489743 x 10-4
	0
	2 x 10-4
	Bola de Chumbo Pequena:
ΔS(mm)
	t1 (s)
	t2(s)
	t3 (s)
	t4 (s)
	Média de t(s)
	D.P experimental
	D.P da média
	Erro do tempo (s)
	0-150
150-300
300-500
500-600
	00,159
	00,074
	00,072
	00,030
	00,084
	0,054113307
	0,027056653
	(0,08 ± 0,03)
	0-150
150-300
300-500
500-600
	00,159
	00,073
	00,072
	00,031
	00,084
	0,053847779
	0,026923889
	(0,08 ± 0,03)
	0-150
150-300
300-500
500-600
	00,159
	00,073
	00,072
	00,031
	00,084
	0,053847779
	0,026923889
	(0,08 ± 0,03)
	0-150
150-300
300-500
500-600
	00,159
	00,074
	00,072
	00,031
	00,084
	0,053783516
	0,026891758
	(0,08 ± 0,03)
	0-150
150-300
300-500
500-600
	00,159
	00,074
	00,072
	00,030
	00,084
	0,054113307
	0,027056653
	(0,08 ± 0,03)
	Bola de Isopor:
ΔS(mm)
	t1 (s)
	t2(s)
	t3 (s)
	t4 (s)
	Média de t(s)
	D.P experimental
	D.P da média
	Erro do tempo (s)
	0-150
150-300
300-500
500-600
	00,167
	00,077
	00,079
	00,035
	00,090
	0,055506756
	0,027753378
	(0,09 ± 0,03)
	0-150
150-300
300-500
500-600
	00,165
	00,080
	00,080
	00,035
	00,090
	0,054313902
	0,027156951
	(0,09 ± 0,03)
	0-150
150-300
300-500
500-600
	00,162
	00,078
	00,081
	00,035
	00,089
	0,053009433
	0,026504716
	(0,09 ± 0,03)
	0-150
150-300
300-500
500-600
	00,161
	00,078
	00,081
	00,034
	00,088
	0,052892973
	0,026446486
	(0,09 ± 0,03)
	0-150
150-300
300-500
500-600
	00,161
	00,080
	00,079
	00,036
	00,089
	0,052198339
	0,026099169
	(0,09 ± 0,03)7. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Com auxílio de cálculos e elaboração de tabelas e gráficos, foram obtidos os seguintes resultados:
Bola de Chumbo Grande:
S4 = gt4 2 /2 V1 = g t1				V2 = g t2
0,6 = g ( 0,338)2/ 2 V1 = 10,5. 0,163			V2 = 10,5. 0,236
g = 10,5038339 m/s2 V1 = 1,71 m/s			V2 = 2,48 m/s
g = 10,5 m/s2 
 V3 = g t3				V4 = g t4
 		 V3 = 10,5. 0,308			V4 = 10,5. 0,338
 	 V3 = 3,23 m/s			V4 = 3,55 m/s
Considerando, o erro do espaço (S) = 0,0005 m e o erro do tempo t4 como sendo o erro do instrumento (0,001 s), pelo fato de que o erro obtido para desvio padrão médio de t4 ser quase nulo, temos:
S2g = ( )2.s2s4 + ()2.s2t4
S2g = ( )2.s2s4 + 2.s2 t4
S2g = (2/0,3382)2.(0,0005)2 + (4.0,6/0,3383)2.(0,001)2
S2g = (17,50638983)2.(0,0005)2 + (62,15286331)2.(0,0001)2
S2g = 7,661842122.10-5 + 3,862978418.10-5
S2g = 1,152482054.10-4
Sg = 0,010735371
g = (10,5 0,01) m/s2
Aplicando o método dos mínimos quadrados para a velocidade em função do tempo temos o seguinte gráfico:
	S
	g
	t2/2
	
	y
	a
	x
	b
Aplicando o método de mínimos quadrados:
	X (t2/2)
	0,013
	0,028
	0,047
	0,057
	Σ Xi (t) = 0,145
	Y(s)
	0,15
	0,15
	0,20
	0,10
	Σ Yi (s) = 0,60
	X (t) Y (s)
	0,0020
	0,0042
	0,0094
	0,0057
	Σ Xi (t) Yi (s) = 0,0213
	X 2 (t)
	0,000169
	0,000784
	0,00221
	0,00325
	Σ Xi2 (t) = 0,00641
a = n(Σ Xi (t) Yi (s)) – (Σ Xi)( Σ Yi)/ n Σ Xi2 – (Σ Xi)2
a = 4.(0,0213) – (0,145).(0,60)/4. 0,00641 – (0,145)2
a = -0,39
b = ( Σ Yi) (Σ Xi2) – (Σ Xi (t) Yi (s)).(Σ Xi)/ n Σ Xi2 – (Σ Xi)2
b = (0,60).( 0,292) – (0,15525).(1,045)/ 4. 0,292 – (1,045)2
b = 7,90
Chegando em: a ≠ g e a b ≠ 0, assim como no caso anterior, podemos concluir que o corpo de prova em questão não saiu do repouso, logo ΔS ≠ 0 e t ≠ 0, devido a possíveis erros do experimentador ao manusear o instrumento de medida de forma incorreta.
y = ax + b
y = -0,08x + 7,90
y = -0,08x + 7,90
Desta maneira, temos:
	X (t)
	Y (s)
	0
	7,90
	1
	7,82
	2
	7,74
	3
	7,66
 
A partir dos valores obtidos, chegou-se ao seguinte gráfico, correspondente ao espaço (ΔS) em relação ao tempo (t):
Bola de chumbo grande:
S4 = gt4 2 /2 V1 = g t1 V2 = g t2
0,6 = g ( 0,304)2/ 2 V1 = 12,98. 0,131 V2 = 12,98. 0,203
g = 12,98 m/s2 V1 = 1,70 m/s V2 = 2,63m/s
 
 V3 = g t3 V4 = g t4
 V3 = 12,98. 0,289 V4 = 12,98. 0,304
 V3 = 3,75 m/s V4 = 3,95 m/s
Considerando, o erro do espaço (S) = 0,0005 m e para t4 , o erro do instrumento, sendo ele 0,001, (devido o erro obtido para desvio padrão médio de t4 ser quase nulo).Temos:
S2g = ( )2 s2s4 + ()2 s2t4
S2g = ( )2 s2s4 + 2 s2 t4
S2g = (2 (0,0005)2 + )2 (0,001)2 
Sg = 0,0281474
g = (12,98 0,03) m/s2
	Xi (t)
	0,131
	0,203
	0,289
	0,304
	Σ Xi (t) = 0,927
	Yi (v)
	1,70
	2,63
	3,75
	3,95
	Σ Yi (v) = 12,03
	Xi (t) Yi (v)
	0,223
	0,534
	1,084
	1,201
	Σ Xi (t) Yi (v) = 3,042
	Xi 2 (t)
	0,017
	0,041
	0,084
	0,092
	Σ Xi2 (t) = 0,234
a = n(Σ Xi (t) Yi (v)) – (Σ Xi)( Σ Yi)/ n Σ Xi2 – (Σ Xi)2
a = 4.(3,042) – (0,927).(12,03)/4. (0,234) – (0,927)2
a = 12,98
b = ( Σ Yi) (Σ Xi2) – (Σ Xi (t) Yi (v)) (Σ Xi)/ n Σ Xi2 – (Σ Xi)2
b = (12,03).( 0,234) – (3,042).(0,927)/ 4.(0,234) – (0,927)2
b = - 0,06
y = ax + b
y = 12,98x + (-0,06)
y = 12,98x - 0,06
Sendo assim temos:
	X
	Y
	0
	-0,06
	1
	12,92
	2
	25,90
 
A partir dos valores atribuídos obtivemos o seguinte gráfico da velocidade em função do tempo:
Seguindo a mesma analogia, empregada para a bola de chumbo pequena, temos os seguintes dados para o gráfico resultante do espaço em função do tempo para o segundo corpo de prova analisado, a bola de chumbo maior.
	X (t2/2)
	0,85805x10-2
	2,06045x10-2
	4,4402x10-2
	4,6208x10-2
	Σ Xi (t2/2) = 0,119795
	Y(S)
	0,15
	0,3
	0,55
	0,6
	Σ Yi (S) = 1,6
	X (t2/2) Y (S)
	1,287075x10-3
	6,18135x10-3
	0,2442x10-3
	0,277248x10-3
	Σ Xi (t2/2) Yi(S)=
7,989873x10-3
	X 2 (t2/2)
	8,5805x10-5
	0,206045x10-5
	0,44402x10-5
	0,46208x10-5
	Σ Xi2 (t2/2) = 9,692645x10-5
a = n(Σ Xi (t) Yi (v)) – (Σ Xi)( Σ Yi)/ n Σ Xi2 – (Σ Xi)2
a = 4.(7,989873x10-3) – (0,119795).(1,6)/4. (9,692645x10-5) – (0,119795)2
a = 11,44
b = ( Σ Yi) (Σ Xi2) – (Σ Xi (t) Yi (v)) (Σ Xi)/ n Σ Xi2 – (Σ Xi)2
b = (1,6).( 9,692645x10-5 ) – (7,989873x10-3).( 0,119795)/ 4. (9,692645x10-5) – (0,119795)2
b = -4,16
Chegando EM: a ≠ g e a b ≠ 0, podemos concluir, que o corpo de prova em questão não saiu do repouso, logo ΔS ≠ 0 e t ≠ 0, devido a possíveis erros atribuídos ao experimentador ao manusear o instrumento de medida de forma incorreta.
y = ax + b
y = 11,44x + (-4,16)
y = 11,44x – 4,16
Sendo assim temos:
	X (t2/2)
	Y (S)
	0
	-4,16
	1
	7,28
	2
	18,72
 
Bola de isopor:
S4 = gt4 2 /2 V1 = g t1 V2 = g t2
0,6 = g ( 0,312)2/ 2 V1 = 12,33. 0,127 V2 = 12,33. 0,202
g = 12,33 m/s2 V1 = 1,56 m/s V2 = 2,49m/s
 
 V3 = g t3 V4 = g t4
 V3 = 12,33. 0,296 V4 = 12,33. 0,312
 V3 = 3,65 m/s V4 = 3,85 m/s
Considerando, o erro do espaço (S) = 0,0005 m e para t4 , o erro do instrumento, sendo ele 0,001, (devido o erro obtido para desvio padrão médio de t4 ser quase nulo).Temos:
S2g = ( )2 s2s4 + ()2 s2t4
S2g = ( )2 s2s4 + 2 s2 t4
S2g = (2 (0,0005)2 + )2 (0,001)2 
Sg = 0,006350546625
g = (12,98 0,006) m/s2.
Aplicando o método dos mínimos quadrados pra obtenção da linearização da reta, temos:
	Xi (t)
	0,127
	0,202
	0,296
	0,312
	Σ Xi (t) = 0,937
	Yi (v)
	1,56
	2,49
	3,65
	3,85
	Σ Yi (v) = 11,55
	Xi (t) Yi (v)
	0,198
	0,503
	1,0804
	1,201
	Σ Xi (t) Yi (v) = 2,983
	Xi 2 (t)
	0,016
	0,041
	0,088
	0,097
	Σ Xi2 (t) = 0,242
a = n(Σ Xi (t) Yi (v)) – (Σ Xi)( Σ Yi)/ n Σ Xi2 – (Σ Xi)2
a = 4.(2,983) – (0,937).(11,55)/4. (0,242) – (0,937)2
a = 12,33
b = ( Σ Yi) (Σ Xi2) – (Σ Xi (t) Yi (v)) (Σ Xi)/ n Σ Xi2 – (Σ Xi)2
b = (11,55).( 0,242) – (2,983).(0,937)/ 4.(0,242) – (0,937)2
b = -0,0003
y = ax + b
y = 12,33x + (-0,0003)
y = 12,98x - 0,0003
Sendo assim temos:
	X
	Y
	0
	-0,0003
	1
	12,33
	2
	25,96
 
Desta forma, obtivemos o seguinte gráfico de velocidade em função do tempo:
O mesmo procedimento aplicado para os corpos de prova analisados anteriormente para a obtenção da reta linear, existente entre o espaço versus o tempo, será aplicado para este corpo de prova (bola de isopor).
	X (t2/2)
	0,0080645
	0,020402
	0,043808
	0,048672
	Σ Xi (t2/2) = 0.1209465
	Y(S)
	0,15
	0,3
	0,55
	0,6
	Σ Yi (S) = 1,6
	X (t2/2) Y (S)
	1,209675x10-3
	6,1206x10-3
	0,0240944
	0,0292032
	Σ Xi (t2/2) Yi(S)=
0,060627875
	X 2 (t2/2)
	6,503616x10-5
	41,62416x10-5
	191,9141x10-5
	236,8963x10-5
	Σ Xi2 (t2/2) = 476,9382x10-5
a = n(Σ Xi (t) Yi (v)) – (Σ Xi)( Σ Yi)/ n Σ Xi2 – (Σ Xi)2
a = 4.( 0,060627875 ) – (0.1209465).(1,6)/4. (476,9382x10-5) – (0.1209465)2
a = 11,01
b = ( Σ Yi) (ΣXi2) – (Σ Xi (t) Yi (v)).(Σ Xi)/ n Σ Xi2 – (Σ Xi)2
b = (1,6).( 476,9382x10-5 ) – (0,060627875).( 0.1209465)/ 4. (476,9382x10-5) – (0.1209465)2
b = 0,08
Chegando em: a ≠ g e a b ≠ 0, podemos concluir, que o corpo de prova em questão não saiu do repouso, logo ΔS ≠ 0 e t ≠ 0. Devido a possíveis erros atribuídos ao experimentador ao manusear o instrumento de medida de forma incorreta, não colocando o corpo de prova em ΔS = 0. Sendo assim, o corpo de prova em estudo teve S0 ≠ 0, t0 ≠ 0 e V0 ≠ 0. 
y = ax + b
y = 11,01x + (0,08)
y = 11,01x – 0,08
Desta forma, temos:
	X (t2/2)
	Y (S)
	0
	0,08
	1
	10,93
	2
	21,94
 
8. CONCLUSÕES
Foi possível concluir que todos os objetos em queda livre, próximos á superfície da Terra não sujeitos à resistência do ar, caem com a mesma aceleração porque o valor de “g” (aceleração da gravidade) não depende da massa.
Os valores encontrados para cada corpo analisado apresentaram uma variação considerável, quando comprados ao valor teórico apresentado de g = (9,787 ± 1)mm/s2, sendo eles: g = (13,78 0,0004) m/s2 para a bola de chumbo pequena, g = (12,98 0,0003) m/s2 para bola de chumbo grande e g = (12,98 0,001) m/s2 para a bola de isopor. Desta forma, podemos concluir que as variações encontradas se dão pela possível resistência do ar, atribuída ao local onde foi realizado o experimento.
Assim, pode-se concluir que os objetivos propostos no presente trabalho foram devidamente alcançados, graças aos conhecimentos adquiridos no decorrer das aulas laboratoriais.
 
	
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MAZALI, Italo Odoni. Queda Livre. Disponível em: < http://www.notapositiva.com/trab_estudantes/trab_estudantes/fisico_quimica/fisico_quimica_trabalhos/relatquedalivre.htm >. Acesso em: 09 junho 2011. Serway, Mecânica e Gravitação, 3ª Edição, física 1, J.C.
Serway. Mecânica e Gravitação. Acesso em: 09/06/11. Disponivel em: <http://www.mecanica.com/fisica/aceleracao.htm>.
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