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Ca´lculo Diferencial e Integral III - 2013.2 Prof. Israel Galva˜o 2a PROVA DA 1a UNIDADE ALUNO: DATA: 06/12/2013 Obs.: Procure expressar suas ideias com clareza e organizac¸a˜o. Esta avaliac¸a˜o tem durac¸a˜o ma´xima de 1h:40m (UMA HORA E QUARENTA MINUTOS). 1. Considere a regia˜o entre o cilindro z = y2 e o plano xy que e´ delimitada pelos planos x = 0, x = 1, y = −1 e y = 1. Esboce o gra´fico da regia˜o e calcule seu volume. 2. Use integrac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas para calcular o volume da esfera x2 + y2 + (z − 1)2. 3. Encontre o volume da regia˜o cortada do cilindro so´lido x2 + y2 ≤ 1 pela esfera x2 + y2 + z2 = 4. 4. Em coordenadas esfe´ricas, temos uma transformac¸a˜o do espac¸o cartesiano ρϕθ no espac¸o cartesiano xyz. Mostre que∫∫∫ D F (x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ G H(ρ, ϕ, θ)|ρ2senϕ| dρ dϕ dθ. 5. Calcule a integral ∫ 4 0 ∫ (y/2)+1 y/2 2x− y 2 dx dy. Dica: Aplique a transformac¸a˜o u = (2x− y)/2 e v = y/2. Cada questa˜o vale 2,0 pontos. VAI DAR TUDO CERTO! 1
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