Lista_de_Exercicios_Resolvida_Convolucao

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Lista de Exercício 
 
 
 
 Docente: Fabiano Poderoso 
 Disciplina: Análise de sinais e Sistemas 
 Alunos: Guilherme, 
 Mabelle C. Marinho da Rocha, 
 Ronaldo Nascimento dos Santos. 
 Vinícius Marinho Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
Vitória da Conquista, Janeiro 2013. 
Problemas 
2.2 Avalie as somas de convolução de tempo discreto dadas abaixo: 
a) 
]3[][][  nununy
 
b) 
]3[*]2[.2][  nununy n
 
 
Letra a: 







k
knhkxny
nukh
nukx
nununy
][].[][
]3[][
][][
]3[][][
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
0][
,3
03



ny
n
n
]2[).2(][
2][



nunny
xxy
xn
31.111]5[;5
21.1.1]4[;4
11.1]3[;3



yn
yn
yn
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
 
Letra b : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







k
n
n
knhkxny
nkh
nukx
nununy
][].[][
]3[][
]2[2][
]3[*]2[.2][
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
2.5 ) Avalie as de integrais de convolução de tempo contínuo apresentadas abaixo: 
a) 
)2(*)1()(  tututy
 
b) 
)2(*)()( 2   tutuety t
 
 
 
 
 
nb
la
nl
nk
l
k
kl







3
3
3
2
1
2
1
][
2
1
2][
1
1
2][
][].[][
5
1;2
2;1
3;0
5
23
3
3
3
3
n
ln
l n
l
ba
a
a
n
k
k
k
ny
ny
ny
knhkxny
n
kn
kn
kn
para
n
n





































 







nn
ny
21
4
1
2
1
2
1
8
1
][ 

























Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
Letra a: 
   
 













dtuuty
dthxty
txthty
tuth
tutx
tututy
2).1()(
.)(
)(*)()(
)2()(
)1()(
)2(*)1()(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
1
12
2



t
t
t
1,1)(  ttty












2
1
121)(
1,00)0(
)2().1()(
t
tdty
tdy
duuty



Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
Letra b: 
 dtuxdthxty
thtxty
tuth
etx
tutuety
t
t
)2()()(.)()(
)(*)()(
)2()(
)(
)2(*)()(
2´
2












 
 
 
 
 
 
 
2
02


t
t
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
  1
2
1
/
2
1
)(
1.)(
2,00)0(
)(.)()(
222
0
2
2
0
2














ttt
t
t
eety
dety
tdy
dthxty



2
02
2



t
t
t
   2,1
2
1
)( 22   tety t
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
 
2.11Uma interconexão de sistemas LTI é descrita na figura P2.11. As respostas ao impulso 
são 
].1[][],[][]),3[]2[(
2
1
321 





 nunhnnhnunuh
n Admitamos que a reposta ao 
impulso do sistema global de 
][nx
até 
][ny
seja denotada como 
][nh
. 
a) Expresse 
][nh
em termos de 
][1 nh
, 
][2 nh
, 
][3 nh
. 
b) Avalie 
][nh
usando os resultados de (a). 
Nas parteas (c)-(e) determine se o sistema corresponde a cada resposta ao impulso é (i) estável, (ii) 
causal, e (iii)sem memória. 
c) 
][1 nh
 
d) 
][2 nh
 
e) 
][3 nh
 
 
 
Letra a: 
 
 
Logo: 
 
 
 
Letra b: 
 
 





















k
n
n
kngnfnz
ngnfnz
nung
nununf
nunununhnhnh
nununhnhnh
][].[][
][*][][
][][
]3[]2[
2
1
][
][*]3[]2[
2
1
][*][][
][]1[][])3[*][(][
41
324 
 
])[][(*][][ 311 nhnhnhnh 
][*][][ nhnxny 
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
 
 
 
 
 
,32
0][
,2



n
nh
n
 Logo: 
Letra c: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Letra d: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
kn
k
nh 








2 2
1
][
  
dinâmico
nknh
iii
causalnão
nnh
ii
estável
nununh
i
n
k
][][
)
_
0,0][
)
,]3[]2[.
2
1
][
)
1
1
1











instâneo
nknh
iii
causal
nnh
ii
estável
nh
i
nnh
k
][][
)
0,0][
)
1][
)
][][
2
2
2
2









Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
 
 
Letra e: 
 
 
 
 
 
 
2.12 Para cada resposta ao impulso listada abaixo, determine se o sistema correspondente é (i) sem 
memória, (ii) causal, (iii) estável. 
a)
t
eth
2
)(


 g) 
]1[][ 2  nuenh n
 
b)
)1()( 2  tueth t
 h) 
]}10[][){.
8
1cos(  nunun
 
c) 
)1(2)1()(  tututh
 i) 
]1[2][2][  nununh
 
d) 
)(3)( tth 
 j) 
).
2
1(][ nsennh 
 
e) 
)().cos()( tutth 
 k) 
).(][][ nsennnh  
 
f) 
][2][ nunh n 
 
 
Letra a: 
estável
dtthth
iii
causalnão
tth
ii
dinâmico
tkthi
eth
t








)()(
)
_
0,0)(
)
)()()
)(
2

 
Letra b: 
estávelnão
nh
i
nunh
k
_
,][
)
]1[][
3
3





dinâmico
nknh
iii
causal
nnh
ii
][][
)
0,0][
)
3
3


Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
 
causal
tth
iii
estávelnão
dtth
ii
dinâmico
i
tueth t
0,0][
)
_
)
)
)1()( 2






 
 
Letra c: 
 
causalnão
th
iii
estávelnão
dtth
ii
dinâmico
i
tututh
_
0][
)
_
)
)
)1(2)1()(






 
 
Letra d: 
estável
dtth
iii
causal
tth
ii
ioinstân
tth
i
tth







)(1)(
)
0,0)(
)
tan
0,0)(
)
)(3)( 
 
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
Letra f: 
dinâmico
nnh
iii
nh
ii
causalnão
nnhi
nunh
k
k
n
0,0][
)
22][
)
_
0,0][
)
][2][









 
 
 
Letra h: 
causal
nnh
iii
estável
nh
ii
dinãmico
n
nh
i
nununnh
0,0][
)
][
)
100
,0][
)
]}10[][){.
8
1cos(][









 
Letra i: 
ioinstâ
iii
estável
nh
ii
causal
nnh
i
nununh
tan
)
][
)
0,0][
)
]1[2][2][






 
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
Letra j: 
dinâmico
nnh
iii
estávelnão
nh
ii
causalnão
nnhi
nsennh
0,0][
)
_
][
)
_
0,0][)
).
2
1(][








 
 
 
Letra k: 
ioinstân
iii
estável
nh
ii
causal
nnh
i
nsennnh
tan
)
][
)
0,0][
)
).(][][





 
 
 
2.21)Determine a saída do sistma descrita pelas seguintes equações diferenciais com entrada e 
condições iniciais conforme especificado: 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
),(2)(10)( txtyty
dt
d

,1)0( y )()( tutx 
),()(4)(5)(
2
2
tx
dt
d
tyty
dt
d
ty
dt
d
 ,0)0( y ,1/)( 0 tty
dt
d )()( 2 tuetx t
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
Letra a: 
 
 
 
Solução homogênea: Solução particular: 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na equação: 
 
 
 
 
Solução geral: 
 
 
 
 
),(2)(2)(3)(
2
2
txtyty
dt
d
ty
dt
d

,1)0( y ,1/)( 0 tty
dt
d )()cos()( tuttx 
),(2)()(
2
2
tx
dt
d
tyty
dt
d
 ,1)0( y ,1/)( 0 tty
dt
d )(2)( tuetx t
),(2)(10)( txtyty
dt
d

t
h eAty
r
r
tyty
dt
d
10.)(
10
010
0)(10)(




0
)(.)(
)(2)(
' 


p
p
y
tukty
tutx
5
1
)(10
)(2
)(2)](.[100


tu
tu
k
tutuk
5
4
5
11)0(
5
1.)( 10


 
A
Ay
eAty t
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
 
 
Logo: 
 
 
Letra b: 
 
 
 
Solução homogênea: Solução Particular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,
5
1
5
4
)( 10   tety t
)()(4)(5)(
2
2
tx
dt
d
tyty
dt
d
ty
dt
d

tt
h ececty
r
r
rr
tyty
dt
d
ty
dt
d
 









2
4
1
2
1
2
2
2
)(
4
2
35
1
2
35
91625
045
0)(4)(5)(
1
2
2
2)4104(.
24104
24)2.(54
4)(
2)(
)(
2)(
2
2
22
2222
2222
2''
2'
2
2




















t
t
tt
tttt
tttt
t
p
t
p
t
p
t
ke
ke
k
keek
kekekeke
kekekeke
kety
kety
kety
tx
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
Solução geral: 
3
2
3
1
421
1)0(
42)(
1
10
0)0(
)(
)()()(
1
2
21
'
2
4
1
2'
21
21
2
4
1
2












c
c
cc
y
ececety
cc
cc
y
ececety
tytyty
ttt
ttt
hp
 
 
Logo: 
 
Letra c: 
 
 
 
Solução homogênea: Solução Particular (I): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,
3
1
3
2)( 42 

 teety
t
tt
)(2)(2)(3)(
2
2
txtyty
dt
d
ty
dt
d

tt
h ececty
r
r
rr
tyty
dt
d
ty
dt
d
2
21
2
1
2
2
2
)(
2
2
13
1
2
13
189
023
0)(2)(3)(
 









)()cos()(
)cos()()(
)()cos()(
)().cos(2)(
''
'
tBsentAty
tBtAsenty
tBsentAty
tuttx
p
p
p




Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
Solução particular: 
5
3
5
1
29
3
03
23
)cos(2)()23()cos().23(
)cos(2)(2)cos()cot(3)(3)()cos(








B
A
AA
AB
BA
BA
ttsenBABtABA
ttBsentAtBtAsentBsentA
 
 
Solução geral: 
21
2
21
5
11
1)0(
)(
5
3)cos(
5
1)(
cc
y
ecectsentty tt


 
 
2
5
4
5
6
2
5
2
2
5
2
12
5
3
)0('
2)cos(
5
3
)(
5
1
)('
1)0('
5
6
1
2
22
21
21
2
21
21











c
c
cc
cc
ccy
ececttsentty
y
cc
tt
 
 
Logo: 
 
 
Letra d: 
0,
5
42)(
5
3)cos(
5
1)( 2   teetsentty tt
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
 
 
 
Solução homogênea: Solução particular: 
 
 
 
Solução geral: 
2
31)0'
2
31)0(
3)cos()()('
3)()cos()(
)()()(
2
2
1
1
21
21









c
cy
c
cy
etctsencty
etsenctcty
tytyty
t
t
ph
 
 
Logo: 
 
2.22 Determine a saída dos sistemas descritos pelas seguintes equações de diferenças com entrada e 
condições iniciais conforme especificado: 
 
a) 
 
 
0)(2)()(
2
2
 tx
dt
d
tyty
dt
d
)()cos()(
1
01
21
2
tsenctcty
r
r
h 


t
p
t
t
tt
ttt
t
p
t
t
p
t
ety
ke
e
k
eke
ekeke
kety
kety
kety
etx



















3)(
3
2
6
6)(2
6
)(''
)('
)(
6)(
0,3)(2)cos(2   tetsent t
,3]1[ y ],[2]1[
2
1
][ nxnyny 
][
2
1
2][ nunx
n







Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
Letra a: 
 
 
Solução homogênea: Solução particular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
],1[]2[
9
1
][  nxnyny ,1]1[ y ,0]2[ y ][][ nunx 
],1[][]2[
8
1
]1[
4
1
][  nxnxnynyny ,2]1[ y ,1]2[ y ][2][ nunx n
][2]1[
2
1
][ nxnyny 
nAny
r
r
nyny
n
h 









,
2
1
][
2
1
0
2
1
0]1[
2
1
][
0,
2
1
.2][
2
42
4
2
1
.4
2
1
.
2
1
2
1
2
1
2
1
.4
2
1
2
1
2
1
2
1
][
2
1
.4][
1
1






































































nny
k
k
kk
kk
kk
kny
nx
n
p
nnn
nnn
n
p
n
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
Solução geral: 
2
11
2
3
4][
43.
2
1
][
]0[2]1[
2
1
]0[
][2]1[
2
1
][
?][
mindet
3]1[
0,
2
1
2
2
1
][
][][][




















oy
oy
xyy
nxnyny
oy
arer
y
nAny
nynyny
nn
ph
 
 
Substitui na solução completa: 
27
2
11
2][


A
Aoy
 
 
Logo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,
2
1
2
2
1
2
7
][ 











 nny
nn
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
Letra b: 
 
 
 
Solução homogênea: Solução particular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução geral: 
 
 
 
 
 
 
Substitui na equação completa: 
]1[]2[
9
1
][  nxnyny
nBAny
r
r
nyny
nn
h 





















,
3
1
3
1
][
3
1
0
9
1
0]2[
9
1
][
2
8
9][
8
9
1
9
8
1
9
1
][
1][






ny
k
k
kk
kny
nx
p
p
0)0.(
9
1]0[
]1[]2[
9
1
]0[
]1[]2[
9
1
][
?]0[
mindet
0,
3
1
3
1
8
9
][
][][][


















y
xyy
nxnyny
y
arer
nBAny
nynyny
nn
ph
9
10
]1[
1
9
1]1[
]0[]1[
9
1]1[
1
mindet




y
y
xyy
n
arer
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
   
   
12
7
24
13
8
9
72
3
72
3
3
1
3
1
8
9
9
10
9
10
3
1
3
1
8
9
]1[
8
9
0
8
9
]0[








A
B
BB
BA
BA
BAy
AB
BAy
 
 
Logo: 
 
 
Letra c: 
 
 
 
Solução homogênea: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,
3
1
24
13
3
1
12
7
8
9
][ 











 nny
nn
4
1
2
4
3
4
1
2
1
2
4
3
4
1
16
9
2
1
16
1
0
8
1
4
1
0]2[
8
1
]1[
4
1
][
2
1
2









r
r
rr
nynyny
],1[][]2[
8
1
]1[
4
1
][  nxnxnynyny
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
Solução particular: 
 
 
 
n
p
nnnnn
nnnnn
n
p
n
y
k
kkk
kkk
nkny
nx
2
9
16
9
16
2
1
.22
4
1
.2.
8
1
2
1
.2.
4
1
2.
222.
8
1
2.
4
1
2.
2,2.][
2][
121







 
Solução geral: 
32
115
]1[
12)2.(
8
1
8
11
.
4
1
]1[
]0[]1[]1[
8
1
]0[
4
1
]1[
8
11
)1(
8
1
2
1
]0[
01)1(
8
1
)2(
4
1
]0[
]1[]0[]2[
8
1
]1[
4
1
]0[
?]1[
?]0[
mindet
2
9
16
4
1
2
1
][
][][][






















y
y
xxyyy
y
y
xxyyy
y
y
arer
BAny
nynyny
n
nn
ph
 
Substituindo na solução geral: 
nn
h BAny 












4
1
2
1
][
Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2. 
BA
BAy


72
29
8
11
9
16
]0[
 
12
1
32
115
2
9
16
4
1
72
23
2
1
]1[
32
115
2
9
16
4
1
2
1
]1[
72
23
2144
11
72
29





























A
Ay
BAy
B
B
B
 
 
Logo: 
 
 
 
 
0,2
9
16
4
1
72
23
2
1
12
1
][ 











 nny n