1 Prova de Sinais e Sistemas

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Uberlândia 
Engenharia de Controle e Automação 
Sinais e Sistemas 
Professora: Gabriela Vieira Lima - gabriela.lima@ufu.br 
 
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
1 
 
 
1ª Prova de Sinais e Sistemas 
 
Uberlândia, 03 de fevereiro de 2022. 
Aluno: ___________________________________ Matrícula: ______________ Valor: 35 pontos 
 
Instruções: 
 
▪ A prova deverá ser enviada somente pelo sistema Microsoft Teams. Um arquivo contendo a 
resolução da prova feita à mão livre, no formato .pdf (sugestão, utilizar o app CamScanner, ou 
equivalente). O documento deve ser legível e estar organizado de forma intuitiva. 
 
▪ Haverá questões a serem simuladas em Matlab/Octave. O aluno deve entregar todos os arquivos 
das simulações. O código deve estar organizado. 
 
▪ Cada aluno resolverá 4 questões, sendo que a primeira valerá 8,00 pontos, e as demais 9,00 
pontos, totalizando 35,00 pontos. A tabela com a numeração das questões a serem resolvidas se 
encontra no final deste arquivo. 
 
1. Para cada resposta ao impulso apresentada abaixo, determine se o sistema possui memória, e se é 
causal e estável. Justifique as suas respostas. 
 
a) 2( ) ( 1)th t e u t−= − 
b) 
6
( )
t
h t e
−
= 
c) Utilizando uma ferramenta computacional, plote o gráfico das duas funções apresentadas nos 
itens anteriores. 
 
2. Para cada resposta ao impulso apresentada abaixo, determine se o sistema possui memória, e se é 
causal e estável. Justifique as suas respostas. 
 
a) [ ] 2 [ ]nh n u n= − 
b) 
1
[ ]
2
n
h n
 
=  
 
 
c) Utilizando uma ferramenta computacional, plote o gráfico das duas funções apresentadas nos 
itens anteriores. 
mailto:gabriela.lima@ufu.br
 
Universidade Federal de Uberlândia 
Engenharia de Controle e Automação 
Sinais e Sistemas 
Professora: Gabriela Vieira Lima - gabriela.lima@ufu.br 
 
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
2 
 
 
3. Verifique as propriedades de invariância no tempo e linearidade para os seguintes sistemas de 
tempo contínuo. Justifique as suas respostas. 
 
a) 
( )( ) tx ty t e= 
b) 
( )
( )
( )
x t
y t
R t
= 
 
4. Verifique as propriedades de memória, causalidade e estabilidade BIBO para os seguintes sistemas 
de tempo discreto. Justifique as suas respostas. 
 
a) [ ] 3 [ ]ny n x n= 
b) 
[ ] 1
[ ] 0 0
[ 1] 1
x n n
y n n
x n n


= =
 +  −
 
c) [ ] cos(2 [ 1]) [ ]y n x n x n= + + 
 
5. Verifique as propriedades de invariância no tempo e linearidade para os seguintes sistemas. Justi-
fique as suas respostas. 
 
a) 10[ ] log ( [ ])y n x n= 
b) ( )
3
t
y t x
 
=  
 
 
 
6. Considere um determinado sistema LIT, cujo o sinal de entrada é definido por ( )x t e a resposta ao 
impulso é representada por ( )h t : 
 
( )
( ) ( )
( ) ( 2) ( )
tx t e u t
h t u t u t
−=
= + −
 
 
Calcule a integral de convolução ( ) ( ) ( )y t x t h t=  . 
 
7. Considere um determinado sistema LIT, cujo o sinal de entrada é definido por ( )x t e a resposta ao 
impulso é representada por ( )h t : 
 
 
 
 
mailto:gabriela.lima@ufu.br
 
Universidade Federal de Uberlândia 
Engenharia de Controle e Automação 
Sinais e Sistemas 
Professora: Gabriela Vieira Lima - gabriela.lima@ufu.br 
 
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
3 
 
 
( )2( ) 2 ( 1) ( 1)
( ) 2 ( 2)
x t t u t u t
h t u t
= + − −
= +
 
 
Calcule a integral de convolução ( ) ( ) ( )y t x t h t=  . 
 
8. Considere um determinado sistema LIT, cujo o sinal de entrada é definido por ( )x t e a resposta ao 
impulso é representada por ( )h t : 
 
( )( ) cos( ) ( 1) ( 1)
( ) ( )
x t t u t u t
h t u t
= + − −
=
 
 
Calcule a integral de convolução ( ) ( ) ( )y t x t h t=  . 
 
9. Considere um determinado sistema LIT, cujo o sinal de entrada é definido por ( )x t e a resposta ao 
impulso é representada por ( )h t : 
 
( )( ) sen( ) ( ) ( 2 )
( ) ( ) ( 2 )
x t t u t u t
h t u t u t


= − −
= − −
 
 
Calcule a integral de convolução ( ) ( ) ( )y t x t h t=  . 
 
10. Considere um determinado sistema LIT, cujo o sinal de entrada é definido por ( )x t e a resposta 
ao impulso é representada por ( )h t : 
 
( )
( )
( ) ( 1) ( 1)
1
( ) ( ) ( 3)
3
x t u t u t
h t t u t u t
= + − −
= − −
 
 
Calcule a integral de convolução ( ) ( ) ( )y t x t h t=  . 
 
11. Considere um determinado sistema cujo o sinal de entrada é definido por [ ]x n , e a resposta ao 
impulso é representada por [ ]h n : 
 
 
 
 
 
 
mailto:gabriela.lima@ufu.br
 
Universidade Federal de Uberlândia 
Engenharia de Controle e Automação 
Sinais e Sistemas 
Professora: Gabriela Vieira Lima - gabriela.lima@ufu.br 
 
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
4 
 
 
[ ] 3 [ 3]
[ ] [ 2]
nx n u n
h n u n
= − +
= −
 
 
Calcule o sinal de saída [ ] [ ] [ ]y n x n h n=  através da soma de convolução. 
 
12. Considere a interconexão em cascata de dois sistemas LIT, conforme apresentado na Fig. 1, e os 
seguintes sinais em tempo discreto: 
 
1
2
[ ] [ ]
1
[ ] [ ]
2
1
[ ] [ ] [ 1]
2
n
x n u n
h n u n
h n u n u n
=
− 
=  
 
= + −
 
 
a) Através da propriedade associativa, e utilizando o método da fita (ou método da tabela), 
determine o sinal de saída ( )1 2[ ] [ ] [ ] [ ]y n x n h n h n=   . 
b) Apresente um esboço gráfico do sinal de saída [ ]y n . 
 
13. Considere um determinado sistema LIT em tempo discreto, cujo o sinal de entrada é definido por 
[ ]x n e a resposta ao impulso é representada por [ ]h n , conforme a Fig. 2: 
 
 
Figura 2: Sinal de entrada e resposta ao impulso. 
 
Utilizando o método da fita (ou método da tabela), determine o sinal de saída [ ] [ ] [ ]y n x n h n=  . 
Apresente um esboço gráfico do sinal de saída [ ]y n . 
 
14. Considere um determinado sistema LIT em tempo discreto, cujo o sinal de entrada é definido por 
[ ]x n e o sinal de saída é representado por [ ]y n , ambos descritos a seguir: 
 
 
 
 
Figura 1: Interconexão de sistemas LIT. 
 
mailto:gabriela.lima@ufu.br
 
Universidade Federal de Uberlândia 
Engenharia de Controle e Automação 
Sinais e Sistemas 
Professora: Gabriela Vieira Lima - gabriela.lima@ufu.br 
 
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
5 
 
 
[ ] 0,5 [ ] 1 [ 1] 0,5 [ 2] 0,5 [ 3]
[ ] 0,5 [ 1] 0,75 [ ] 1,5 [ 1] 0,75 [ 3] 0,75 [ 4] 0,25 [ 5]
x n n n n n
y n n n n n n n
   
     
= + − − − + −
= − + − + − − − + − − −
 
 
a) O sinal de saída foi obtido através da convolução [ ] [ ] [ ]y n x n h n=  . Utilizando o método da 
fita (ou método da tabela), determine a resposta ao impulso [ ]h n . 
 
b) Através de uma ferramenta computacional, calcule a convolução [ ] [ ] [ ]y n x n h n=  e verifique 
se o resultado obtido é idêntico à função [ ]y n que foi fornecida no exercício. Plote o gráfico do 
sinal de saída [ ]y n . 
 
15. Seja ( )X jw a transformada de Fourier do sinal [ ]x n representado na Fig. 3. Realize os seguintes 
cálculos, sem obter ( )X jw explicitamente. 
 
a) Obtenha ( 0)X j 
b) Encontre a ( )X jw 
c) Obtenha 3( ) j wX jw e dw

− 
 
 
 Figura 3: Sinal x[n]. 
 
16. Considere um determinado sistema que consiste na associaçãoem cascata de dois sistemas LIT, 
conforme representado na Fig. 4. 
 
 
Figura 4: Cascata de dois sistemas LIT. 
 
A resposta em frequência de cada sistema LIT é definida pelas seguintes equações: 
 
mailto:gabriela.lima@ufu.br
 
Universidade Federal de Uberlândia 
Engenharia de Controle e Automação 
Sinais e Sistemas 
Professora: Gabriela Vieira Lima - gabriela.lima@ufu.br 
 
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
6 
 
 
1
2
( )
1
1
2
jw
jw
e
H jw
e
−
−
−
=
+
 
2
2
1
( )
1 1
1
2 4
jw j w
H jw
e e− −
=
− +
 
 
Determine a equação de diferenças que descreve o sistema global, ou seja, a equação que 
relaciona a entrada [ ]x n com o sinal de saída [ ]y n . 
 
17. Considere um sistema LIT causal descrito pela equação de diferenças: 
 
3 1
[ ] [ 1] [ 2] [ ]
4 8
y n y n y n x n− − + − = 
 
a) Determine a resposta em frequência ( )H jw do sistema. 
b) Através da transformada inversa de Fourier, obtenha a resposta ao impulso deste sistema [ ]h n . 
c) Utilizando uma ferramenta computacional, plote o gráfico de módulo e fase de ( )H jw . O sinal 
é periódico? Podemos dizer que esse sinal é de baixa ou alta frequência? 
 
18. Determine quais dos seguintes sinais têm Transformadas de Fourier que satisfaçam a cada uma 
das seguintes condições. Justifique as suas respostas. 
 
I.  Re ( ) 0X jw = 
II.  Im ( ) 0X jw = 
III. ( ) 0X jw dw

−
= 
IV. ( 0) 0X j = 
 
Sinais 
a) 
1
[ ] [ ]
2
n
x n u n
 
=  
 
 
b) 
1
[ ]
2
n
x n
 
=  
 
 
 
c) [ ] [ 1] [ 3]x n n n = − + + 
 
d) [ ] [ 1] [ 1]x n n n = − − + 
 
mailto:gabriela.lima@ufu.br
 
Universidade Federal de Uberlândia 
Engenharia de Controle e Automação 
Sinais e Sistemas 
Professora: Gabriela Vieira Lima - gabriela.lima@ufu.br 
 
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
7 
 
 
19. Considere um sistema LIT de tempo discreto cuja a resposta ao impulso seja definida por: 
 
1
[ ] [ ]
2
n
h n u n
 
=  
 
 
 
a) Determine a resposta em frequência ( )H jw deste sistema. 
b) Considere o sinal de entrada 
3
[ ] [ ]
4
n
x n u n
 
=  
 
. Calcule o sinal de saída ( ) ( ) ( )Y jw X jw H jw= . 
Em seguida, obtenha a resposta no domínio do tempo discreto [ ]y n . 
c) Utilizando uma ferramenta computacional, plote o gráfico de módulo e fase de ( )Y jw . O sinal 
é periódico? Podemos dizer que esse sinal é de baixa ou alta frequência? 
 
 
 
 
mailto:gabriela.lima@ufu.br
2021/1 Sinais e Sistemas
Biomédica Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4
11821EBI001 Alexandre Sued Silva Sena 1 7 13 15
11721EBI006 Aline Victória Machado Silva 5 6 14 18
11911EBI029 Ana Beatriz Thezolin 3 10 11 17
12011EBI031 Bruno William Miranda Silva 5 9 14 18
11911EBI020 Cayo Phellipe Ramalho de Oliveira 1 10 11 18
11821EBI003 Conrado da Silva e Oliveira Neto 4 9 12 19
11821EBI008 Diovanni Antonelli Alves de Souza 1 6 11 16
11811EBI003 Iasmin Martins Cintra 3 9 14 18
11821EBI016 Igor Miranda 1 10 13 16
11711EBI014 Isabela Soares dos Santos 5 9 14 15
11911EBI023 Larissa Lima Moraes Aguiar 3 8 13 17
11921EBI029 Luma Cosini Belluzzo 4 7 13 19
11921EBI025 Marcos Gabriel Barbosa dos Santos 1 6 12 15
11921EBI023 Maria Eduarda Oliveira da Silva 2 8 13 18
11811EBI012 Mariana Soares Carneiro 3 9 13 19
11921EBI006 Nathália Maria Sgadari Peña 4 8 14 16
11621EBI021 Paula Assunção 2 10 12 16
11921EBI008 Pedro Henrique de Miranda Nogueira 5 7 14 15
12011EBI030 Pedro Paulo Rodrigues Campisi 3 9 13 17
11811EBI010 Priscila Alves Nunes 4 8 12 19
12011EBI027 Raul Nicolini Rodrigues 2 9 13 16
11911EBI016 Samaria Gomes Oliveira 3 6 12 17
11921EBI030 Samuel de Oliveira Lino 4 10 14 15
11911EBI003 Thaís Barbosa Caetano Souza 3 6 12 19
11921EBI004 Vitória Bueno Guedes 4 10 13 17
Elétrica
11911EEL009 Daniel Braga Melo 5 7 14 16
11711EEL016 Ewerton Henrique Costa Calmon 2 6 12 15
11721EEL002 Felipe Rodrigues Santos 5 6 14 18
11921EEL015 Giordano Gardel dos Santos Almeida 5 7 11 19
11711EEL024 Heitor Henrique Vasconcelos Carneiro 3 8 14 15
11921EEL010 Ian Lindemberg Rosendo Dantas Braga 4 6 12 19
11821EEL007 Igor Paulino da Silva 5 9 11 19
11921EEL009 Jean Carlos Borges Filho 4 6 13 17
11911EEL031 Joao Vitor Sousa Dias 1 7 11 15
11721EEL022 Laila Carolina de Paula Miranda 2 8 13 18
11821EEL015 Laura Carvalho de Castro 1 8 12 16
11911EEL003 Luiz Fellipe Fernandes 2 6 11 18
11911EEL014 Mateus Flausino Conceicao 2 7 12 15
11811EEL019 Matheus Pedrosa Couto 5 10 14 16
11711EEL011 Mayranna Laizco Araújo Silva 3 7 12 19
11911EEL015 Pedro Araújo Tizzo 1 6 11 18
11911EEL028 Rodrigo Alves Martins Pinheiro 4 9 12 17
11811EEL018 Vinícius Carvalho Festozo 2 9 11 18
11921EEL008 Vinícius Martins Buiatti 1 7 13 18
11921EEL002 Wállisson Júnio Gonçalves Rosa 5 10 14 15
Automação
11911EAU001 Angellus Uriah de Freitas França 4 9 13 17
11821EAU001 Eliel Floriano Resende do Prado 5 10 14 15
11821EAU012 Guilherme Pires Corrêa 3 7 13 17
11511EAU014 Hermes Gustavo Fernandes Neri 2 10 11 16
11811EAU018 João Victor Pereira Delfino 1 6 12 16
11821EAU017 Leonardo Barbosa Caetano 5 8 11 19
11621ETE013 Luan Rodrigues Carvalho 1 9 11 16
11911EAU023 Lucas Sleyder Machado Dicencio 3 8 12 17
11911EAU020 Matheus Menezes Pedrosa 2 7 11 16
1211XPMV375 Nelson Ramon Timoteo dos Santos 1 8 13 15
11911EAU004 Pedro Cunha Garcia Lopes 4 10 11 19
11811EAU012 Pedro Henrique de Paula Barbosa 4 8 13 17
11911EAU003 Rafael Dias Pereira 2 7 11 18
11721EAU012 Rodrigo Faria Argondizo 1 8 11 16
1211XPMV005 Samuel Antonio Folgiarini Moreira 3 8 12 17
11911EAU016 Walisson Marcelo Dias Nogueira 2 10 12 15