371501-determinantes

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A´lgebra Linear - Determinantes
Profa. C´ıcera Carla do Nascimento Oliveira
IFCE
13 de dezembro de 2013
Profa. C´ıcera Carla do Nascimento Oliveira A´lgebra Linear - Determinantes
Determinantes
Definic¸a˜o: Chama-se determinante de uma matriz quadrada a`
soma alge´brica dos produtos que se obte´m efetuando todas as
permutac¸o˜es dos segundos ı´ndices do termo principal, fixados os
primeiros ı´ndices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou
-, conforme permutac¸a˜o dos segundos ı´ndices seja de classe par ou
ı´mpar.
Notac¸a˜o: det A =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
. . .
. . .
. . .
am1 am2 ... amn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Profa. C´ıcera Carla do Nascimento Oliveira A´lgebra Linear - Determinantes
Permutac¸a˜o
Definic¸a˜o. Dados n objetos distintos a1, a2, ..., an uma permutac¸a˜o
destes objetos consiste em dispoˆ-los em uma determinada ordem.
A quantidade de permutac¸o˜es e´ expressa por n!.
Definic¸a˜o. Dada uma permutac¸a˜o dos inteiros 1, 2, 3, ..., n existe
uma inversa˜o quando um inteiro precede outro menor que ele.
Consideremos as permutac¸o˜es de 1, 2 e 3 e vejamos em cada
permutac¸a˜o o nu´mero de inverso˜es. Uma permutac¸a˜o e´ de classe
par ou de classe ı´mpar, conforme apresente um nu´mero par ou
impar de inverso˜es.
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Permutac¸a˜o Permutac¸a˜o No de Classe da Sinal do
principal inverso˜es permutac¸a˜o produto
1 2 3 1 2 3 0 par +
1 2 3 1 3 2 1 ı´mpar -
1 2 3 3 1 2 2 par +
1 2 3 3 2 1 3 ı´mpar -
1 2 3 2 3 1 2 par +
1 2 3 2 1 3 1 ı´mpar -
Como um outro exemplo, podemos tomar duas das 4! = 24
permutac¸o˜es de 1, 2, 3, 4. Assim,
3 2 1 4 tem 3 inverso˜es
4 3 2 1 tem 6 inverso˜es
Profa. C´ıcera Carla do Nascimento Oliveira A´lgebra Linear - Determinantes
Ca´lculo do determinante de 2a ordem
Dada a matriz
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
Calcular det A.
det A = a11a22 − a21a12
Por comodidade costuma-se dizer que o determinante de 2a ordem
e´ igual ao termo principal menos o termo secunda´rio.
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Ca´lculo do determinante de 3a ordem
Dada a matriz de ordem treˆs como sendo
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

Calcular det A.
det A =
a11a22a33−a11a23a32 +a13a21a32−a13a22a31 +a12a23a31−a12a21a33
Essa fo´rmula pode ser transformada na seguinte:
det A =
a11(a22a33 − a23a32) + a12(a23a31 − a21a33) + a13(a21a32 − a22a31)
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Ou ainda,
det A =
a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31)
det A = a11
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣
det A = a11|A11| − a12|A12|+ a13|A13|,
onde Aij e´ a submatriz da inicial, de onde a i-e´sima linha e a
j-e´sima coluna foram retiradas. Ale´m disso, se chamarmos
∆ij = (−1)i+j |Aij |
det A = a11∆11 + a12∆12 + a13∆13
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Essa propriedade continua sendo va´lida para matrizes de ordem n,
e assim podemos expressar:
det An×n = ai1∆i1 + ... + ain∆in =
n∑
j=i
aij∆ij
Essa maneira de escrever a fo´rmula para calcular o determinante
de uma matriz de 3a ordem e´ chamada de desenvolvimento de
Laplace.
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Propriedades
i) O determinante de uma matriz A na˜o se altera quando trocam
as linhas pelas colunas, ou seja, det A = det At .∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣
ii) Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constitu´ıda de
elementos todos nulos, o determinate e´ nulo.∣∣∣∣∣∣
0 0 0
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ = 0
iii) Se a matriz A tem duas linhas (ou colunas) iguais, o
determinante e´ nulo.∣∣∣∣∣∣
b1 b2 b3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ = 0
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iv) Se na matriz A duas linhas (ou colunas) teˆm seus elementos
correspondentes proporcionais, o determinante e´ nulo.∣∣∣∣∣∣
k.b1 k.b2 k.b3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ = 0
v) Se na matriz A cada elemento de uma linha (ou coluna) e´ uma
soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser expresso sob
a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes, a saber:∣∣∣∣ a1 b1 + c1a2 b2 + c2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a1 b1a2 b2
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a1 c1a2 c2
∣∣∣∣
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vi) O determinante de uma matriz diagonal A e´ igual ao produto
dos elementos da diagonal principal, isto e´, det A = a11.a22...ann.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 0 ... 0
0 a22 ... 0
. . .
. . .
. . .
0 0 ... amm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= a11.a22...ann
vii) Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz A, o
determinante muda de sinal.∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
b1 b2 b3
a1 a2 a3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣
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viii) Quando se multiplicam por um nu´mero real todos os
elementos de uma linha (ou uma coluna) da matriz A, o
determinante fica multipicado por esse nu´mero.∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
k.b1 k.b2 k.b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ = k .
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣
ix) Um determinante na˜o se altera quando se somam aos
elementos de uma linha (coluna) da matriz A aos elementos
correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados
por um nu´mero real diferente de zero.∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 + k .a1 b2 + k .a2 b3 + k .a3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣
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Exemplos
Resolver os determinantes das matrizes abaixo.
1. A =
[
7 5
2 4
]
2. A =
[
-3 -8
-5 -2
]
3. A =
[
1 0
0 1
]
4. A =
[
6 3
0 5
]
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5. A =
 2 5 73 1 4
6 8 2

6. A =
 3 1 -2-5 4 -6
0 2 7

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Matriz Adjunta
Dada uma matriz quadrada A, chamaremos de matriz adjunta de
A a` transposta da matriz dos cofatores de A.
Adj A = A¯t
Definimos matriz dos cofatores de A como sendo a matriz
formada pelos elementos ∆ij = (−1)i+j |Aij |, onde Aij e´ a submatriz
de A, obtida extraindo-se a i-e´sima linha e j-e´sima coluna.
Denotamos por A¯ = [∆ij ].
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Exemplo
Seja a matriz
A =
 2 1 0-3 1 4
1 6 5

Encontrar a matriz adjunta de A.
Temos que
A¯ =
 -19 19 -19-5 10 -11
4 -8 5

Logo,
adj A = A¯t =
 -19 -5 419 10 -8
-19 -11 5

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TEOREMA: A.adj A = (det A).In
DEFINIC¸A˜O. Dada uma matriz quadrada A de ordem n,
chamamos de inversa de A a uma matriz B tal que
A.B = B.A = In, onde In e´ a matriz identidade de ordem n.
Denotamos A−1 com sendo a inversa de A.
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Exemplo
1. Seja A =
[
2 3
1 4
]
. Encontre A−1.
Temos que A−1 =
[
4
5
−3
5−1
5
2
5
]
2. Seja A =
[
6 2
11 4
]
. Encontre A−1.
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Propriedades
i) Se A e B sa˜o matrizes quadradas de mesma ordem, ambas
invers´ıveis, enta˜o A.B e´ invers´ıvel e (A.B)−1 = B−1.A−1.
ii) Se A e´ uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal que
B.A = I , enta˜o A e´ invers´ıvel, ou seja, A−1 existe e nesse caso
B = A−1.
iii) Nem toda matriz tem inversa.
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Observac¸a˜o
Se A tem inversa enta˜o,
i) det A 6= 0
ii) det A−1 = 1det A
Logo, uma matriz admite inversa se seu determinante e´ diferente
de zero.
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TEOREMA. Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente
se, det A 6= 0. Neste caso,
A−1 =
adj A
det A
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Operac¸o˜es elementares
Denomina-se operac¸o˜es elementares de uma matriz as seguintes:
i) permutac¸a˜o de duas linhas (colunas).
ii) multiplicac¸a˜o de todos os elementos de um alinha (ou coluna)
por um nu´mero real diferente de zero.
iii) substituic¸a˜o dos elementos de uma linha (coluna) pela soma
deles com os elementos correspondentes de outra linha (coluna)
previamente multiplicados por um nu´mero real diferente de zero.
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Inversa˜o de uma matriz por meio de operac¸o˜es elementares
Para determinar a matriz inversa de A:
i) coloca-se ao lado da matriz A a matriz I, separada por um trac¸o
vertical;
ii) transforma-se, por meio de operac¸o˜es elementares, a matriz A
na matriz I, aplicando-se simultaneamente, a` matriz I, colocada ao
lado da matriz A, as mesmas opreac¸o˜es elementares.
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Exemplo
Determinar a matriz inversa da matriz
A =
 2 1 34 2 2
2 5 3

Soluc¸a˜o 2 1 34 2 2
2 5 3
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⇒
 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
−1
8
3
8
−1
8−1
4 0
1
4
1
2
−1
4 0

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Exercitar 1
Dadas as matrizes:
A =
 3 4 1-5 -2 -9
7 8 6
 , B =
 4 -1 33 0 1
7 2 4
 e
C =
 2 6 83 9 12
-1 -2 -3
 calcular:
a) det A
b) det B
c) det C
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2. Resolver a equac¸a˜o:
a)
∣∣∣∣∣∣
4 6 x
5 2 -x
7 4 2x
∣∣∣∣∣∣ = −128
3. Calcular a matriz inversa da matriz dada.
a)
[
3 5
1 2
]
b)
 1 0 -20 1 2
3 -5 4

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