Integral de superfície Trabalho 3 Rogério

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INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
Parametrização De Uma Superfície
Seja ( uma porção limitada da superfície que tem equação cartesiana z = f (x,y).
Associado às equações paramétricas, podemos definir o Vetor Produto Fundamental (VPF) como o produto vetorial das derivadas parciais de 
: 
VPF = 
 . 
Esse vetor tem a propriedade de ser normal à superfície (, pois é ortogonal aos vetores 
que estão no plano tangente.
Exemplo 1: Encontrar as equações paramétricas e a equação vetorial da superfície (, que tem equação cartesiana 3y + 2z = 6, com 0 < x < 1, no 1º octante.
O VPF será calculado pelo produto vetorial entre 
:
�� EMBED Equation.3 =
.
Exemplo 2: Parametrizar a superfície de equação cartesiana z = 1 – x2 – y2 , com z > 0.
�� EMBED Equation.3 =
.
Outra parametrização pode ser feita, inspirada nas coordenadas polares, usando coordenadas cilíndricas:
, que gera a equação vetorial: 
O VPF nesse caso será:
�� EMBED Equation.3 =
.
Há casos em que a melhor forma de parametrizar uma superfície não é usando uma projeção, mas usando coordenadas cilíndricas ou esféricas. Alguns exemplos dessas parametrizações estão a seguir:
�
Coordenadas Esféricas:
Parametrização da esfera: x2+y2 + z2 = a2
(u,v) ( [0,2(] x [-(/2,(/2]
Coordenadas Cilíndricas:
Parametrização do cone: x2+y2 = z2, 0 ( z ( a
, (u,v)([0,2(]x[0,a]
Parametrização do parabolóide:
x2+y2 = z, 0 ( z ( a
,
(u,v)([0,2(]x[0,a1/2]
Parametrização do cilindro: x2+y2 = a2, 
0 ( z ( b
, (u,v)([0,2(]x[0,b]
�
CÁLCULO DA ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE
A área da superfície (, de equação vetorial 
, é dada pela integral:
A = 
 =
,
onde 
 é o Vetor Produto Fundamental (VPF) e 
 é a Integral de Superfície da função constante 1, sobre a superfície (.
Exemplo 3: A área da superfície do exemplo 1 pode ser calculada por geometria básica, pois é um retângulo. Mas também é dada por
A = 
= 
= 
= 
= 
= 
 = 
Exemplo 4: Para calcular a área da superfície do exemplo 2, precisamos do módulo do VPF. Pela primeira parametrização, T: 
 = 
 e 
VPF = 
. Então 
. 
Assim:
A = 
= 
= 
 = 
 = 
 = 
Pela segunda parametrização, T: [0, 2(] X [0, 1] e VPF = 
.
Então 
 = 
 = 
.
Assim:
A = 
= 
= 
 = 
= 
 = 
 = 
INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE DE FUNÇÃO ESCALAR
Este limite é, por definição, a integral de superfície, sobre (, da função escalar ( (x, y, z), e é representada por:
 = 
Para calcular a integral de superfície, fazemos:
 
 = 
.
Exemplo 5: Determinar a massa da esfera x2 + y2 + z2 = 1, com densidade ( = x2, em cada ponto (x, y, z). Temos:
Equação da esfera: 
, (u,v) ( T : [0,2(] x [-(/2,(/2]
VPF = 
 = 
|VPF| = 
 
 = 
 = 
 = 
Portanto:
 m = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
= 
 = 
.
Exemplo 6: Calcular 
 na parte do plano x + y + z = 1, no 1º octante.
 
INTEGRAL DE SUPERFÍCIE DE FUNÇÃO VETORIAL – FLUXO 
Consideremos uma membrana ( representada pela superfície suave, orientada, de equação vetorial 
, imersa em um fluido cuja velocidade das partículas é representada pelo campo vetorial 
. Seja, ainda, 
o vetor unitário normal à superfície, na sentido de sua orientação.
O FLUXO (quantidade de partículas que atravessam a membrana por unidade de área e por unidade de tempo) de 
 através de ( é uma quantidade (, definida por:
 = 
Obs.: Se – ( é a superfície com orientação contrária a (, então 
.
Exemplo 7: Determine o fluxo de 
através da esfera x2 + y2 + z2 = a2, orientada para fora.
 
 
 
Portanto:
 = 
=
 = 
= 
= 
=
 = a32( .
 = 
Exemplo 8: Seja ( a porção da superfície z = 1 – x2 – y2 , acima do plano xy, orientada para cima. Determine o fluxo do campo vetorial 
 através de (.
Se escolhermos a parametrização (: 
, então o VPF será:
.
Traçando-se o VPF em um ponto da superfície, vê-se que ele aponta para cima, de acordo com a orientação do parabolóide.
Determinando T em coordenadas polares, temos:
T: 
Portanto:
= 
 = 
 = 
.
Obs.: Se a superfície é fechada, como a esfera, o elipsóide, etc, e a normal unitária 
 é externa, o fluxo mede o escoamento líquido para fora, por unidade de tempo. Assim, podemos dizer que, no interior da superfície, existem FONTES se o fluxo é positivo, POÇOS se o fluxo é negativo e, se o fluxo é nulo, fontes e poços estão em equilíbrio.
( > 0					 ( < 0					( = 0
VPF
(
Para obter as equações paramétricas de (, usamos sua projeção T sobre um dos planos ordenados, por exemplo, o plano xy.
Neste caso, x será o parâmetro u e y, o parâmetro v. Assim, as equações paramétricas de ( serão: 	
x = u y = v z = f (u,v)
onde (u,v) ( T.
Se T for um retângulo, teremos: a < u < b e c < v < d.
A equação vetorial correspondente será:
� EMBED Equation.3 ���
T
A superfície ( está grafada ao lado e pode ser parametrizada utilizando sua projeção no plano xy, que é a região retangular T, igual ao produto cartesiano dos intervalos fechados [0,1] X [0,2]. Assim:
� EMBED Equation.3 ���.
E sua equação vetorial correspondente será: � EMBED Equation.3 ���.
VPF
VPF2
VPF1
� EMBED Equation.3 ���.
E sua equação vetorial correspondente será: � EMBED Equation.3 ���.
O VPF será calculado pelo produto vetorial entre � EMBED Equation.3 ���:
A superfície está grafada abaixo e pode ser parametrizada utilizando-se sua projeção sobre o plano xy, que é a região T, correspondente ao disco de centro na origem e raio 1. Assim:
Seja ( uma superfície de equação � EMBED Equation.3 ���, com densidade variável, dada pela função escalar ( (x, y, z). Para obter um valor aproximado da massa m dessa superfície, podemos dividi-la em porções (1 , (2 , ... ,(n, com áreas (S1, (S2, ..., (Sn, e calcular a massa mk de cada porção fazendo o produto ( (xk, yk, zk) . (Sk , onde (xk, yk, zk) é um ponto da porção (k.
Assim: m ( � EMBED Equation.3 ���.Portanto:
 m = � EMBED Equation.3 ���
(
(k
(xk, yk, zk)
1
1
1
(
 Equação de (: � EMBED Equation.3 ��� , (u, v) ( T
		 T: 0 < u < 1 , 0 < v < 1 – u 
 VPF = � EMBED Equation.3 ��� , � EMBED Equation.3 ���
 Então:
 � EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ���= � EMBED Equation.3 ��� = 
 � EMBED Equation.3 ���= � EMBED Equation.3 ���= � EMBED Equation.3 ���
A equação vetorial da esfera é:
(: � EMBED Equation.3 ���
 (u,v) ( T: [0,2(] x [-(/2,(/2]
e o VPF é:
 � EMBED Equation.3 ���.
Traçando-se o VPF em um ponto da superfície, vê-se que ele aponta para fora, de acordo com a orientação da esfera.
 Além disso, temos: � EMBED Equation.3 ���
 Assim:
 � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
 Ainda, � EMBED Equation.3 ��� e 
� EMBED Equation.3 ���
 = u2 + v2 + 1
 Assim:
� EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ���
 = � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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