Método das Secantes em Cálculo Numérico

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Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Solução de equações:
Método das Secantes
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Relembrando o Método de Newton
Método iterativo:
Converge sempre que |x0 - x| for suficientemente pequeno!
Problema: temos que calcular f'(xk) a cada iteração.
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Alternativa
O método de Newton é conhecido como método das secantes 
quando a aproximação acima é usada!
Observe que são necessárias duas aproximações iniciais antes 
de podermos usar o método das secantes 
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Interpretação gráfica
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Exemplo
� Determinar a raiz positiva da equação
pelo método das secantes, com erro inferior a 10-2
próximo ao ponto x= 1.4
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Exemplo
x0 = 1.4 →f(x0) = -0.052 
x1 = 1.5 →f(x1) = 0.110
x2 = 1.432
Erro relativo: 
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Exemplo
x2 = 1.432 → f(x2) = 0.002 
x1 = 1.5 → f(x1) = 0.110
x3 = 1.431
Erro relativo: 
≤ 10-2
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Ordem de convergência
� A ordem de convergência do método das secantes é
de aproximadamente 1.618.
� A do método de Newton é 2.
Suli and Mayers - An introduction to numerical analysis
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Ordem de convergência
� A ordem de convergência do método das secantes é
de aproximadamente 1.618. 
� A do método de Newton é 2.
� Entretanto, não precisamos calcular derivadas! 
� Quantos cálculos por passo ? 
� Apenas a função f(xk)
� E o método de Newton ?
� f(xk) e f'(xk)
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Método das secantes e Método da posição 
falsa
� Lembrete do método da posição falsa:
a b
x
novo limite
Ou seja: 
o método da posição falsa é o método das secantes com duas particularidades:
1) sempre temos a e b tais que f(a).f(b) < 0
2) a escolha do ponto a ser descartado é feita segundo o critério da
bissecção.