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MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Grupo B - 2o semestre de 2015
Lista de exerc´ıcios 4 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito)
Exerc´ıcio 1.
(2,0 pontos) De uma urna contendo 5 bolas brancas e 3 bolas pretas retiramos duas bolas
aleatoriamente. Sejam os eventos:
A: a primeira retirada resulta em bola branca; e B: a segunda retirada resulta em bola branca.
Se as retiradas sa˜o sem reposic¸a˜o, especifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas,
e justifique sua resposta.
(a) (1,0 pontos) P(A) = P(B).
Resposta:
A afirmac¸a˜o e´ VERDADEIRA, pois P (A) = 5
8
e pela Figura 1, temos que, a probabilidade
Figura 1: Diagrama de a´rvore.
da segunda bola, retirada sem reposic¸a˜o, ser branca e´ dada por:
P (B) = P (A) · P (B|A) + P (Ac) · P (B|Ac) = 5
8
· 4
7
+
3
8
· 5
7
=
20 + 15
56
=
35
56
=
5
8
= P (A) .
�
(b) (1,0 pontos) A e B sa˜o eventos independentes.
Resposta:
A afirmac¸a˜o e´ FALSA, pois se A e B fossem independentes enta˜o, ter´ıamos P (B|A) = P (B).
No entanto, P (B|A) = 4/7 e P (B) = 5/8 (calculado no item (a)). Logo a ocorreˆncia do
evento A afeta a probabilidade de B, e portanto sa˜o eventos dependentes. �
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Grupo B - 2o semestre de 2015
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Exerc´ıcio 2.
(2,0 pontos) Numa cidade do litoral de Sa˜o Paulo, estima-se que cerca de 20% dos habitantes
teˆm algum tipo de alergia. Sabe-se que 50% dos ale´rgicos praticam alguma atividade esportiva,
enquanto que entre os na˜o-ale´rgicos essa porcentagem e´ de 40%. Para um indiv´ıduo escolhido
aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade de (use 4 casas decimais).
Considere os seguintes eventos:
• E = { habitante pratica esporte } e, portanto, Ec = { habitante na˜o pratica esporte };
• A = { habitante e´ ale´rgico } e, portanto, Ac = { habitante na˜o e´ ale´rgico }.
(a) (1,0 pontos) Ele na˜o praticar atividade esportiva;
Resposta:
A probabilidade de na˜o praticar esporte e´ denotada por P (Ec).
Pelo texto temos as seguintes probabilidades:
P (A) = 0, 2 =⇒ P (AC) = 0, 8
P (E | A) = 0, 5 =⇒ P (EC | A) = 0, 5
P (E | AC) = 0, 4 =⇒ P (EC | AC) = 0, 6 .
Portanto,
P (Ec) = P (Ec ∩ A) + P (Ec ∩ Ac)
= P (A) · P (Ec | A) + P (AC) · P (Ec | Ac)
= 0, 2 · (0, 5) + 0, 8 · (0, 6) = 0, 10 + 0, 48 = 0,58 .
A probabilidade de um habitante, escolhido ao acaso, na˜o praticar esporte e´ 0,58. �
(b) (1,0 pontos) Ele ser ale´rgico, dado que na˜o pratica atividade esportiva.
Resposta:
A probabilidade solicitada e´ probabilidade condicional e corresponde a
P (A | Ec) = P (A ∩ E
c)
P (Ec)
=
P (A) · P (Ec | A)
P (Ec)
=
0, 2 · (0, 5)
0, 58
=
0, 10
0, 58
= 0,1724 ;
para obter o resultado, foi aplicado a regra do produto de probabilidades.
�
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Exerc´ıcio 3.
(2,0 pontos) Numa cidade do interior do pa´ıs existem treˆs operadoras de telefonia mo´vel: A,
B e C. Constatou-se que entre 1000 famı´lias que tem telefone celular, 370 tem celular da
operadora A; 230 tem celular da operadora B; 140 tem celular da operadora C; 57 tem celular
das operadoras A e B; 73 tem celular das operadoras A e C; 85 tem celular das operadoras B
e C e 45 tem celulares das treˆs operadoras.
ATENC¸A˜O monitores e alunos: O enunciado do exerc´ıcio da´ margem a 2 inter-
pretac¸o˜es. Na correc¸a˜o sera˜o consideradas as 2 interpretac¸o˜es, cujas soluc¸o˜es esta˜o
abaixo.
Ale´m disso, os enunciados dos itens foram levemente alterados para um melhor entendimento
do texto. O ponto principal sa˜o os operadoras, e na˜o a quantidade de celulares na famı´lia. As
mudanc¸as esta˜o em ita´lico.
Considere os eventos:
• A = { famı´lia tem celular(es) da operadora A } ;
• B = { famı´lia tem celular(es) da operadora B } ;
• C = { famı´lia tem celular(es) da operadora C } ;
1a.INTERPRETAC¸A˜O: No total de 1.000 famı´lias com celulares, ha´ famı´lias que possuem
aparelhos de outras operadoras ale´m das operadoras A, B e C; e os valores fornecidos represen-
tam o nu´mero de famı´lias que sa˜o usua´rias (pelo menos) da(s) operadora mencionada. Assim,
por exemplo, 370 e´ o nu´mero de famı´lias que usam (pelo menos) a operadora A. Os resultados
seguem do diagrama de Venn em anexo
(a) (1,0 pontos) Qual e´ a probabilidade de que uma famı´lia escolhida ao acaso tenha celular de
pelo menos duas operadoras? (Use 4 casas decimais).
Resposta:
Como n(A ∩B ∩ C) = 45; enta˜o temos que:
n(A ∩B) = 57− 45 = 12; n(A ∩ C) = 73− 45 = 28; e n(B ∩ C) = 85− 45 = 40 e
n(A) = 370− (28 + 12 + 45) = 285;
n(B) = 230− (12 + 40 + 45) = 133
e n(C) = 140− (28 + 40 + 45) = 27 .
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A Figura 2 ilustra o diagrama de Venn com as respectivas quantidades associadas aos
eventos e seus subconjuntos.
Figura 2: Diagrama de Venn.
O evento D = { celular(es) de pelo menos duas operadoras } corresponde a
D = {(A ∩B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)} (note que inclui o evento A ∩B ∩ C).
Assim
P (D) =
12 + 40 + 28 + 45
1000
=
125
1000
= 0,125 .
�
(b) (1,0 pontos). Qual e´ a probabilidade de que uma famı´lia escolhida ao acaso tenha celulares
de exatamente duas operadoras ? (Use 4 casas decimais).
Resposta:
Seja, o evento E = { famı´lia tem celular(es) de exatamente duas operadoras }. Note que
esse evento e´ parecido com o evento D, exceto que a famı´lia na˜o pode ter celulares de 3
operadoras.
Enta˜o,
P (E) =
12 + 40 + 28
1000
=
80
1000
= 0, 0800 = 0,08 .
�
2a.INTERPRETAC¸A˜O: As quantidades mencionadas no enunciado correspondem ape-
nas ao evento, por exemplo, 370 e´ o nu´mero de famı´lias que usam APENAS a operadora A,
230 APENAS a operadora B, 85 APENAS as operadoras B e C, e assim por diante. Nesse
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caso, so´ operam as 3 companhias A, B ou C e todas as 1.000 famı´lias esta˜o inclusas (note que
a soma dos valores e´ 1.000). Os ca´lculos sa˜o mais fa´ceis e seguem abaixo.
(a) (1,0 pontos) Qual e´ a probabilidade de que uma famı´lia escolhida ao acaso tenha celular de
pelo menos duas operadoras? (Use 4 casas decimais).
Resposta:
Temos que:
• n(A) = 370;n(B) = 230;n(C) = 140;
• n(A ∩B) = 57; n(A ∩ C) = 73; n(B ∩ C) = 85 e n(A ∩B ∩ C) = 45.
D = {(A ∩B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)} (note que inclui o evento A ∩B ∩ C).
Assim
P (D) =
57 + 73 + 85 + 45
1000
=
260
1000
= 0, 2600 = 0,26 .
�
(b) (1,0 pontos). Qual e´ a probabilidade de que uma famı´lia escolhida ao acaso tenha celulares
de exatamente duas operadoras ? (Use 4 casas decimais).
Resposta:
Seja, o evento E = { famı´lia tem celular(es) de exatamente duas operadoras }. Note que
esse evento e´ parecido com o evento D, exceto que a famı´lia na˜o pode ter celulares de 3
operadoras.
Enta˜o,
P (E) =
57 + 73 + 85
1000
=
215
1000
= 0, 2150 = 0,215 .
�
Exerc´ıcio 4.
(2,0 pontos). No Brasil, a probabilidade de que um indiv´ıduo, aleatoriamente sorteado, goste
de futebol e´ 3/4, enquanto que a probabilidade dele gostar de novela e´ 1/2. Determine a
probabilidade de que goste de futebol e na˜o de novela, nos seguintes casos (use 4 casas decimais):
Considere os seguintes eventos:
• F = { indiv´ıduo gosta de futebol } e, portanto F c = { indiv´ıduo na˜o gostade futebol };
• N = { indiv´ıduo gosta de novela } e, portanto N c = { indiv´ıduo na˜o gosta de novela }.
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e lembre-se que para quaisquer dois eventos A e B temos que
P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩BC)
ATENC¸A˜O alunos e monitores: houve erro no enunciado, deveria ser P (F ) =
1/4.
Como P (F ) = 3/4 e´ maior que P (NC) = 1/2, os itens (a) e (c) tem resoluc¸a˜o muito
particular, dada abaixo. Portanto, esses 2 itens sera˜o desconsiderados na correc¸a˜o.
(a) (0,0 pontos). Se gostar de futebol e novela sa˜o eventos disjuntos;
Resposta:
Pede-se o ca´lculo de P (F ∩NC).
Usando a expressa˜o acima para este problema,
P (F ) = P (F ∩N) + P (F ∩N c) =⇒ P (F ∩N c) = P (F )− P (F ∩N)
Eventos disjuntos significa que F ∩ N = ∅ (e, portanto P (F ∩ N) = 0) e implica que
F ⊂ NC o que significa que F ∩N c = F , no caso geral; e a probabilidade solicitada deveria
ser
P (F ∩N c) = P (F ) .
No entanto, neste caso, na˜o ha´ como F ⊂ NC pois 3/4 = P (F ) > P (NC) = 1/2.
Assim, com essa informac¸a˜o na˜o ha´ como F e N serem disjuntos. �
(b) (1,0 pontos). Se gostar de futebol e novela sa˜o eventos independentes;
Resposta:
Se F e N sa˜o eventos independentes, enta˜o P (F ∩N) = P (F ) · P (N).
Assim, pela expressa˜o do item anterior
P (F ∩N c) = P (F )− P (F ∩N) = P (F )− P (F )P (N) = 3
4
− 3
4
· 1
2
=
6
8
− 3
8
=
3
8
.
�
(c) (0,0 pontos). Se a probabilidade de gostar, simultaneamente, de futebol e de novela e´
1/16;
Resposta:
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No caso geral, se temos a informac¸a˜o sobre o valor de P (F ∩N), enta˜o
P (F ∩N c) = P (F )− P (F ∩N) .
�
No entanto, a probabilidade de P (F ∩ N) = 1
16
e´ muito pequena, o que leva a
P (F ∪N) = 3
4
+ 1
2
− 1
16
> 1 o que e´ absurdo!
(d) (1,0 pontos). Se dentre os que na˜o gostam de novela, a probabilidade de na˜o gostar de
futebol e´ 1/4.
Resposta:
O texto afirma que 1/4 e´ a probabilidade condicional de na˜o gostar de futebol, dado que
na˜o gosta de novela, isto e´, P (F c | N c) = 1/4.
Se P (F c | N c) = 1/4, enta˜o pela propriedade de evento complementar, P (F | N c) = 3/4.
Aplicando a fo´rmula de probabilidade condicional
P (F | N c) = P (F ∩N
c)
P (N c)
=⇒ P (F ∩N c) = P (N c) · P (F | N c) = 1
2
· 3
4
=
3
8
.
�
Exerc´ıcio 5.
(2,0 pontos). Os 10000 estudantes da Universidade, cuja a´rea de estudo e geˆnero foram regis-
trados, responderam a` seguinte questa˜o:
↪→ Voceˆ e´ a favor (sim), contra´rio (na˜o), ou na˜o tem opinia˜o (nto) sobre a “democratizac¸a˜o
do acesso a` Universidade para estudantes da Escola Pu´blica”?
Os resumos das respostas esta˜o no quadro a seguir.
A´rea Geˆnero Opinia˜o
Sim Na˜o Na˜o tem opinia˜o Total
Exatas Masc 550 1000 550 2100
Fem 350 500 750 1600
Humanas Masc 100 1000 750 1850
Fem 400 600 550 1550
Biolo´gicas Masc 280 550 570 1400
Fem 220 850 430 1500
Total – 1900 4500 3600 10000
Se dentre os 10000 alunos escolhermos um aleatoriamente, qual e´ a probabilidade de (use 4
casas decimais):
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Considere os seguintes eventos:
• F = { estudante e´ do sexo feminino };
• S = { estudante e´ favora´vel (respondeu SIM) a questa˜o };
• N = { estudante e´ contra´rio (respondeu NA˜O) a questa˜o };
• W = { estudante na˜o tem opinia˜o sobre a questa˜o };
• E = { estudante e´ de exatas };
• B = { estudante e´ de biolo´gicas }.
(a) (0,6 pontos). Ser do geˆnero feminino e ser favora´vel a` questa˜o;
Resposta:
P (F ∩ S) = 350 + 400 + 220
10000
=
970
10000
= 0,0970 .
�
(b) (0,7 pontos). Ser contra´rio a` questa˜o, sabendo-se que e´ da a´rea de exatas;
Resposta:
O evento que desejado e´ {N | E}.
P (N | E) = 1000 + 500
2100 + 1600
=
1500
3700
=
15
37
= 0,4054 .
�
(c) (0,7 pontos). Ser do geˆnero feminino e da a´rea de biolo´gicas, sabendo-se que na˜o tem
opinia˜o.
Resposta:
O evento que desejado e´ {F ∩B | W}. Enta˜o,
P (F ∩B | W ) = 430
3600
= 0,1194 .
�
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