gabarito lista 6 casa b22015

Prévia do material em texto

MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B - 2º semestre de 2015 
Lista de exercícios 6 – Distribuição Normal – C A S A 
Página 1 de 5 
http://www.ime.usp.br/~mae116 
 
Exercício 1 
Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal em períodos de seca numa 
certa região pode ser considerada como seguindo a distribuição Normal de média 30 mm e variância 
16 mm2. 
(a) (1,0) Qual é a probabilidade de que a precipitação pluviométrica mensal no período da seca 
esteja entre 24 e 39 mm? 
 
Resposta: 
 : precipitação pluviométrica mensal 
 
 N(30,16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) (1,0) Qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10% de 
chance de haver uma precipitação inferior a esse valor? 
 
Resposta: 
Queremos um , tal que 
Logo; 
 
 
 
 
 
Assim, então – 
 
 
 
 
 
Exercício 2 
Sabe-se que em uma população, a altura dos homens adultos tem distribuição normal com média 175 
cm e desvio padrão 20 cm, enquanto que a das mulheres é também normal com média 160 cm e 
desvio padrão 10 cm. 
(a) (0,75) Sorteando-se aleatoriamente dessa população um homem, qual é a probabilidade de sua 
altura ser superior a 150 cm? 
 
Resposta: 
 Altura dos homens 
 
 N( , ) 
 
 
 
 
 
(b) (0,75) Sorteando-se aleatoriamente dessa população uma mulher, qual é a probabilidade de sua 
altura ser superior a 150 cm? 
 
Resposta: 
 Altura das mulheres 
 
 N( , ) 
 
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B - 2º semestre de 2015 
Lista de exercícios 6 – Distribuição Normal – C A S A 
Página 2 de 5 
http://www.ime.usp.br/~mae116 
 
 
 
 
 
 
 
(c) (0,75) Qual é a probabilidade de uma pessoa ter altura acima de 150 cm, sendo ela sorteada de 
um grupo de pessoas constituído de 60% de mulheres e 40% de homens? 
 
Resposta: 
 
Sejam os seguintes eventos, H: a pessoa sorteada é homem, M: a pessoa sorteada é mulher e A: a 
pessoa tem altura superior a 150 cm, então; 
 
 
Pelo diagrama em árvore temos que: 
 
 
 
 
 
(d) (0,75) Qual é a altura mínima dos homens que limita os 10% mais altos? 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
Sabemos que logo, 
 
 
 . 
 
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B - 2º semestre de 2015 
Lista de exercícios 6 – Distribuição Normal – C A S A 
Página 3 de 5 
http://www.ime.usp.br/~mae116 
 
 
Exercício 3 
Um bom indicador do nível de intoxicação por benzeno é a quantidade de fenol encontrada na urina. 
A quantidade de fenol na urina de moradores de uma certa região segue, aproximadamente, uma 
distribuição normal de média 5 mg/L e desvio padrão 2 mg/L. Considere as seguintes definições em 
termos da variável quantidade de fenol na urina: 
i. Define-se como “valor de referência” a quantidade de fenol tal que 95% da população têm 
quantidade de fenol maior ou igual a esse valor; 
ii. Uma pessoa é considerada “atípica” se a quantidade de fenol em sua urina for superior a 8 mg/L 
ou inferior a 2 mg/L. 
(a) (0,75) Sorteado um morador ao acaso, qual é a probabilidade de ser “atípico”? 
 
Resposta: 
 
Seja X: quantidade de fenol na urina (em mg/L). Temos que ~N(5, 22) aproximadamente. Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) (0,75) Qual é o valor de referência da população? 
 
Resposta: 
 
A quantidade de referência satisfaz que 
 
 
 
 . Fazendo 
 
 
 
 
Da tabela, 
 
 
 
Portanto, a quantidade de referência é 1,72 mg/L. 
 
(c) (0,75) Sorteadas 5 pessoas ao acaso, qual é a probabilidade se ter no mínimo 4 “atípicas” ? 
 
Resposta: 
 
Seja Y: número de pessoas que são atípicas. Como a seleção de cada pessoas é independente e cada 
uma delas tem a mesma probabilidade de ser atípica, então 
Y~Bin(5; 0,1336) (utilizando o item a)) 
Utilizando o programa R podemos obter a seguinte tabela da distribuição b(5;0,1336). 
 
 x Pr(X=x) 
0 4.88E-01 
1 3.76E-01 
2 1.16E-01 
3 1.79E-02 
4 1.38E-03≈0,00138 
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B - 2º semestre de 2015 
Lista de exercícios 6 – Distribuição Normal – C A S A 
Página 4 de 5 
http://www.ime.usp.br/~mae116 
 
5 4.26E-05≈0,0000426 
 Então, 
 
(d) (0,75) Sabendo que uma pessoa não é atípica, qual é a probabilidade de ter quantidade de 
fenol no intervalo 4mg/L a 6 mg/L? 
 
Resposta: 
 
Usando o cálculo de probabilidade condicional temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 4 
Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição 
da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo 
para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal, sendo que no tipo A 
com média 9 meses e desvio padrão 2 meses e, no tipo B, com média 12 meses e desvio padrão 3 
meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1000 u.m. e 2000 u.m., 
respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 3000 u.m. e 8000 u.m., respectivamente. 
(a) (1,0) Calcule as probabilidades de haver restituição do valor pago para televisores do tipo A e do 
tipo B; 
 
Resposta: 
 
Sejam as variáveis aleatórias, 
A: tempo para ocorrência de defeitos nos televisores de tipo A  . 
B: tempo para ocorrência de defeitos nos televisores de tipo B  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B - 2º semestre de 2015 
Lista de exercícios 6 – Distribuição Normal – C A S A 
Página 5 de 5 
http://www.ime.usp.br/~mae116 
 
(b) (0,5) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B; 
 
Resposta: 
 
Sejam, 
LA: lucro dos televisores do tipo A e LB: lucro dos televisores do tipo B. 
 
Então a distribuição de probabilidades das variáveis aleatórias LA e LB são dadas, respectivamente, 
por 
 
LA P(LA) LB P(LB) 
-3000 0,0668 -8000 = 0,0228 
1000 = 0,9332 2000 = 0,9772 
 1 1 
 
Portanto, 
Lucro médio para os televisores do tipo A: 
E(LA)=-3000  0,0668+ 1000  0,9332 = 732,8 u.m. 
 
Lucro médio para os televisores do tipo B: 
E(LB)=-8000  0,0228 + 2000  0,9772 = 1772 u.m. 
 
(c) (0,5) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do 
tipo A ou do tipo B? Por quê? 
 
Resposta: 
 
Baseando-se nos lucros médios dos 2 tipos de televisores,a empresa deve incentivar as vendas dos 
aparelhos de tipo B, pois apresentam um lucro médio maior.