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MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Grupo B - 2o semestre de 2015
Lista de exerc´ıcios 10 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito)
Exerc´ıcio 1.
(2,5 pontos) Um levantamento de opinia˜o mostrou que nos u´ltimos meses a proporc¸a˜o p de
habitantes de certo pa´ıs que desaprovam a pol´ıtica de economia de energia do governo federal
e´ igual a 80%. O presidente do pa´ıs introduz uma se´rie de mudanc¸as na pol´ıtica de economia
de energia e seus assessores garantem que essa proporc¸a˜o diminuiu. Para isso, 50 pessoas sa˜o
entrevistadas depois da introduc¸a˜o das mudanc¸as.
(a) (1,0 pontos). Formule esse problema como um teste de hipo´teses.
Resposta:
A afirmac¸a˜o e´ de que a proporc¸a˜o de habitantes de certo pa´ıs que desaprovam a pol´ıtica de
economia de energia do governo federal diminuiu.
Logo, temos como hipo´teses:
H0 : p = 0, 8
H1 : p < 0, 8.
�
(b) (1,5 pontos). Se 32 das 50 pessoas entrevistadas desaprovam a pol´ıtica de economia de
energia do governo federal, qual e´ a conclusa˜o baseada no n´ıvel descritivo? (adote α=5%).
Utilize a aproximac¸a˜o pela normal.
Resposta:
Vejamos pelo valor P .
P = P (pˆobs < 0, 64|p = 0, 8) = P
Z < pˆobs − p√
p(1−p)
n
 = P
Z < 0, 64− 0, 8√
0,8(1−0,8)
50

= P (Z < −0, 16/0, 0566) = P (Z < −2, 827) = 1− A(2, 827) = 1− 0, 9976
⇒ P = 0, 0024.
Como valorP < α, enta˜o dizemos que a amostra forneceu evideˆncias suficientes para a
rejeic¸a˜o de H0, logo a afirmac¸a˜o dos assessores de que a proporc¸a˜o de habitantes que
desaprovam a pol´ıtica de economia de energia do governo federal condiz com os dados da
amostra.
##Pelo valor P
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Grupo B - 2o semestre de 2015
Lista de exerc´ıcios 10 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito)
#N:tamnaho da amostra; n:favora´veis
valorP<-function(N,n,p,alfa){
p_obs=n/N
p_v<-pnorm((p_obs-p)/sqrt((p*(1-p))/N))
if (p_v < alfa)
cat("REJEITA H0\n")
else cat("N~AO REJEITA H0\n")
return(p_v)
}
valorP(p=0.8,N=50,n=32,alfa=0.01)
�
Exerc´ıcio 2.
(2,5 pontos). Sabe-se que o produto A e´ usado por 40% dos consumidores. Uma campanha
promocional foi contratada e os promotores garantem que A passara´ a ser responsa´vel por
uma porcentagem maior do mercado. Seleciona-se uma amostra entre as pessoas submetidas a`
campanha promocional apo´s seu termino e pergunta-se a cada uma delas usualmente compra a
marca A do produto. Sendo p a porcentagem de consumidores do produto A apo´s a campanha,
(a) (0,5 pontos). Estabelec¸a as hipo´teses apropriadas.
Resposta:
Como os promotores garantem que A passara´ a ser responsa´vel por uma porcentagem maior
do mercado, temos que:
H0 : p = 0, 4
H1 : p > 0, 4.
�
(b) (1,0 pontos). Se entre 19 clientes entrevistados, 11 responderam sim, qual e´ a sua conclusa˜o
com base no n´ıvel descritivo? Adote α=1%.
Resposta:
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Vejamos pelo valor P .
P = P (pˆobs > 0, 5789|p = 0, 4) = P
Z > 0, 5789− 0, 4√
0,4(1−0,4)
19
 = P (Z > 0, 5789− 0, 4
0, 1124
)
= P (Z > 0, 1789/0, 1124) = P (Z > 1, 5916) = 1− A(1, 5916) = 1− 0, 9441
⇒ P = 0, 0559.
Como valorP > α, enta˜o dizemos que a amostra forneceu evideˆncias suficientes para a na˜o
rejeic¸a˜o de H0, logo a afirmac¸a˜o de que o produto A passara´ a ser responsa´vel por uma
porcentagem maior do mercado na˜o condiz com os dados da amostra.
##Pelo valor P
#N:tamnaho da amostra; n:favora´veis
valorP<-function(N,n,p,alfa){
p_obs=n/N
p_v<-1-pnorm((p_obs-p)/sqrt((p*(1-p))/N))
if(p_v<alfa)
cat("REJEITA H0\n")
else cat("N~AO REJEITA H0\n")
return(p_v)
}
valorP(p=0.4,N=19,n=11,alfa=0.01)
�
(c) (1,0 pontos). Se entre 330 clientes entrevistados, 155 responderam sim, qual e´ a sua con-
clusa˜o com base no n´ıvel descritivo? Adote α=1%.
Resposta:
Observe que pˆobs = 155/330 = 0, 4697, logo:
P = P (pˆobs > 0, 4697|p = 0, 4) = P
Z > 0, 4697− 0, 4√
0,4(1−0,4)
330
 = P (Z > 0, 4697− 0, 4
0, 0270
)
= P (Z > 0, 0697/0, 0270) = P (Z > 2, 5815) = 1− A(2, 5815) = 1− 0, 9951
⇒ P = 0, 0049. (0, 49%)
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Como valorP = 0, 49% < α = 1%, enta˜o dizemos que a nova amostra forneceu evideˆncias
suficientes para rejeic¸a˜o de H0, logo, nesta situac¸a˜o, a afirmac¸a˜o de que o produto A pas-
sara´ a ser responsa´vel por uma porcentagem maior do mercado condiz com os dados da
amostra. �
Exerc´ıcio 3.
(2,5 pontos). O crescimento de bebeˆs durante o primeiro meˆs de vida pode ser modelado por
uma distribuic¸a˜o Normal. Admita que, em me´dia, um crescimento de 5 cm ou mais seja con-
siderado satisfato´rio. Deseja-se verificar se o crescimento de bebeˆs de um bairro da periferia
de Sa˜o Paulo acompanha o padra˜o esperado. Para tanto, 10 rece´m-nascidos na periferia foram
sorteados e suas alturas acompanhadas, sendo que apo´s determinado per´ıodo de acompanha-
mento, forneceram as seguintes medidas de crescimento em cent´ımetros: 5,03; 5,02; 4,95; 4,96;
5,01; 4,97; 4,90; 4,91; 4,90 e 4,93.
(a) (0,5 pontos). Que hipo´teses esta˜o sendo testadas?
Resposta:
Como um crescimento de 5 cm ou mais e´ considerado satisfato´rio (padra˜o esperado), enta˜o:
H0 : µ = 5 cm
H1 : µ < 5 cm.
�
(b) (1,0 pontos). Qual e´ o estimador a ser utilizado para testar as hipo´teses em (a) e qual e´
sua distribuic¸a˜o?
Resposta:
Note que ja´ sabemos que o crescimento dos bebeˆs segue uma distribuic¸a˜o normal, e temos
a variaˆncia da amostra, enta˜o temos como estimador
T =
X¯ − µ√
S2
n
∼ t(α;n−1).
�
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(c) (1,0 pontos). Qual e´ a sua decisa˜o a um n´ıvel de significaˆncia de 5%? Se necessa´rio construa
intervalo de confianc¸a apropriado
Resposta:
Pela amostra temos que X¯ = 4, 958 e S2 = 0, 00242, enta˜o o valor P e´ tal que:
P = P (X¯ < 4, 958|µ = 5) = P
T < 4, 958− 5√
0,00242
10
 = P (T < −0, 042/0, 0156)
= P (T < −2, 692) = 0, 0124 (1, 24%).
Podemos observar que o valor P < α, logo a amostra fornece evideˆncias que nos leve rejeic¸a˜o
de H0, logo o crescimento dos bebeˆs deste determinado bairro da periferia de Sa˜o Paulo
na˜o acompanham o padra˜o esperado de crescimento.
x<-c(5.03,5.02,4.95,4.96,5.01,4.97,4.90,4.91,4.90,4.93)
##Pelo valor P
valorP<-function(x,alfa,mu){
S2<-var(x);xbar<-mean(x);N<-length(x)
T_obs<-(xbar-mu)/(sqrt(S2/N))
P_v<-pt(T_obs,N-1)
if (P_v < alfa)
cat("REJEITA H0\n")
else cat("N~AO REJEITA H0\n")
return(list(P_v,T_obs))
}
valorP(x=x,alfa=0.05,mu=5)
�
Exerc´ıcio 4.
(2,5 pontos). Um criador tem constatado uma incideˆncia de 6% na proporc¸a˜o de gado com
verminose no seu rebanho. O veterina´rio alterou a dieta dos animais e acredita que a doenc¸a
diminuiu de intensidade. Um exame em 200 cabec¸as do rebanho, escolhidas ao acaso, indicou
10 delas com verminose.
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(a) (0,75 pontos). Formule o problema como um teste de hipo´teses estat´ıstico.
Resposta:
Como o veterina´rio alterou a dieta dos animais e acredita que a doenc¸a diminuiu de inten-
sidade, temos que:
H0 : p = 0, 06
H1 : p < 0, 06.
�(b) (0,75 pontos). Qual e´ o significado dos erros tipo I e tipo II?
Resposta:
Tipo I: RejeitarH0 quandoH0 e´ verdadeira⇒ proporc¸a˜o de gado com verminose no rebanho
e´ menor que 6% quando na verdade na˜o e´.
Tipo II: Na˜o rejeitar H0 quando H0 e´ falsa⇒ proporc¸a˜o de gado com verminose no rebanho
e´ de 6% quando na verdade e´ menor que 6%. �
(c) (1,0 pontos). Com base no n´ıvel descritivo, ha´ ind´ıcios de que a incideˆncia diminuiu, ao
n´ıvel de significaˆncia de 7%? Resolva utilizando a aproximac¸a˜o pela normal.
Resposta:
Vejamos pelo valor P .
Temos que pˆobs = 10/200 = 0, 05, enta˜o:
P = P (pˆobs < 0, 05|p = 0, 06) = P
Z < pˆobs − p√
p(1−p)
n
 = P
Z < 0, 05− 0, 06√
0,06(1−0,06)
200

= P (Z < −0, 01/0, 0168) = P (Z < −0, 5952) = 1− A(0, 5952) = 1− 0, 7257
⇒ P = 0, 2743.
Como valorP > α, enta˜o dizemos que a amostra forneceu evideˆncias suficientes para a
aceitac¸a˜o de H0, logo a crenc¸a do veterina´rio de que a doenc¸a diminuiu de intensidade na˜o
condiz com os dados da amostra. �
##Pelo valor P
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Lista de exerc´ıcios 10 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito)
#N:tamnaho da amostra; n:favora´veis
valorP<-function(N,n,p,alfa){
p_obs=n/N
p_v<-pnorm((p_obs-p)/sqrt((p*(1-p))/N))
if (p_v < alfa)
cat("REJEITA H0\n")
else cat("N~AO REJEITA H0\n")
return(p_v)
}
valorP(p=0.06,N=200,n=10,alfa=0.07)
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