Trabalho Econometria

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Universidade Estadual Paulista
”Ju´lio de Mesquita Filho”
TRABALHO DE
ECONOMETRIA
Marcela Almeida Alves
Prof. Manoel
Presidente Prudente
2017
1
1. (a) X = c(105,130,141,159,160,172)
Y = c (2042,2301,2421,2518,2606,2718)
Z = c(1,1,1,1,1,1)
x = cbind(Z,X)
XX = t(x)%%x
tXY = t(x)%*%Y
b = solve(XX)%*%(tXY); b
[,1]
Z 1025.246864
X 9.751463
reg = lm (Y X); reg
plot (X,Y,las=1)
abline (reg,col = 2)
abline (v=mean(X),col=3)
abline (h=mean(Y),col=4)
(b) anova(reg)
m = X - mean(X)
n = Y - mean(Y)
SQTotal = sum(n∧2); SQTotal
SQReg = b[2]*sum(m*n); SQReg
SQRes = SQTotal - SQReg; SQRes
QMReg = SQReg/1; QMReg
QMRes = SQRes/(n-2); QMRes
Fest = QMReg/QMRes; Fest
[1] 250.315
Ftab = qf(0.95,1,n-2); Ftab
[1] 7.708647
Como Fest > Ftab rejeita-se Ho e conclui-se que existe ao menos
uma diferena entre os grupos comparados.
(c) s2 = QMRes;s2
s2b = s2 / (sum(m∧2)); s2b
s2a = ((1/n)+((mean(X))∧2)/(sum(m∧2)))*s2; s2a
t0 = qt(0.95,n-2); t0
b[1] - t0 * sqrt(s2a)
2
b[1] + t0 * sqrt(s2a)
b[2] - t0 * sqrt(s2b)
b[2] + t0 * sqrt(s2b)
Enta˜o,
intervalo de confianc¸a para β : [8, 437503; 11, 06542]
intervalo de confianc¸a para α : [833, 1276; 1217, 366]
(d) xh = 180 - mean(X)
Yh = a2 + b2*xh;Yh
[1] 1371.424
Ent~ao o custo estimado Y h = 1371.424.
Yh - t0 * (sqrt((1 + (1/n) + (xh∧2/sum(x∧2)))*s2))
[1] 1280.884
Yh + t0 * (sqrt((1 + (1/n) + (xh∧2/sum(x∧2)))*s2))
[1] 1461.963
Enta˜o intervalo de confianc¸a para a predic¸a˜o: [1280,884; 1461.963]
2. (a) r = -0.6
n = 20
Fest = (r∧2) * ((n-2)/(1-r∧2)); Fest
[1] 10.125
Ftab = qf(0.99,1,n-2); Ftab
[1] 8.28542
Como Fest > Ftab o coeficiente de correlac¸a˜o r e´ significativo ao
n´ıvel de 1%. Renda per capita e proporc¸a˜o de analfabetos se
mostram negativamente correlacionados, ou seja, analfabetismo
implica baixa renda per capita.
(b) coef det = r∧2; coef det
[1] 0.36
Logo r2 = 0, 36
3. x1 = c (6,12,10,8,9)
x2 = c (28,40,32,36,34)
Y = c (10,20,17,12,11)
Z = c(1,1,1,1,1)
(a) X1 = cbind(Z,x1)
reg1 = lm(Y X1); reg1
XX1 = t(X1)%*%X1
tXY1 = t(X1)%*%Y
b1 = solve(XX1)%*%(tXY1); b1
3
[, 1]
Z -1.75
x1 1.75
Logo coeficiente angular da regressa˜o Y contra X1 e´ 1.75
(b) X2 = cbind(Z,x2)
reg2 = lm(Y X2); reg2
XX2 = t(X2)%*%X2
tXY2 = t(X2)%*%Y
b2 = solve(XX2)%*%(tXY2); b2
[,1]
Z -7.250
x2 0.625
Logo coeficiente angular da regressa˜o Y contra X2 e´ 0.625
(c) X = cbind(Z,x1,x2)
XX = t(X)%*%X
tXY = t(X)%*%Y
b = solve(XX)%*%(tXY); b
[, 1]
Z 2.3333333
x1 2.0833333
x2 -0.2083333
Logo Y = 2.33 + 2.0833X1− 0.2083X2
(d) m = x1 - mean(x1)
n = x2 - mean(x2)
y = Y - mean(Y)
SQReg1 = b[2]*sum(m*y); SQReg1
SQRes1 = sum(y∧2) - SQReg1 ;SQRes1
s21 = SQRes1/2
Vb1 = s21*solve(t(X1)%*%X1)[1,1]; Vb1
t1 = (b[2] - 0) / sqrt(Vb1); t1
[1] 1.373088
Significativo
(e) SQReg2 = b[2]*sum(m*y) + b[3]*sum(n*y); SQReg
SQRes2 = sum(y∧2) - SQReg ;SQRes
s2 = SQRes/2; QMRes
Vb2 = s2*solve(XX)[2,2]; Vb2
t2 = (b[2] - 0) / sqrt(Vb2); t2
[1] 2.331262
Na˜o significativo
4
(f) A inclusa˜o de X2 afeta o valor da estimativa do coeficiente de
regressa˜o, o valor da estimativa (s2) da variaˆncia residual e o valor
do coeficiente, obtido da matriz (X ′X)−1.
4. Y = matrix(c(2,1.5,2.5,3,5.5,6.5),nrow=6)
X = matrix(c(1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,1,1,1,1,2,3,1,2,3),
nrow=6)
(a) XX = t(X)%*%X
tXY = t(X)%*%Y
b = solve(XX)%*%(tXY); b
[, 1]
[1, ] 1.5
[2, ] 1.5
[3, ] 1.0
Logo Y = 1.5 + 1.5Zi+Xi
(b) Temos que Y = 1, 5 + 1, 5Zi+Xi
Quando Z = −1 o modelo fica Y = 1, 5− 1, 5 +X =⇒ Y = X
Quando Z = 1 o modelo fica Y = 1, 5 + 1, 5 +X =⇒ Y = 3 +X
Logo o deslocamento da oferta de um per´ıodo para o outro e´ de 3
unidades.
(c) Na˜o significativo.
5. (a) A multicolinearidade e´ definida como a presenc¸a de um alto grau de
correlac¸a˜o entre as varia´veis independentes. As varia´veis
regressoras, localizadas nas colunas da matriz X, encontram-se em
exata dependeˆncia inear, resultando na matriz singular XX, por
isso, a presena de dependeˆncia no linear tem impactos na estimac¸a˜o
dos coeficientes de regressa˜o.
(b) i. Identificac¸a˜o Teste de Farrar & Glauber:
Ho: Auseˆncia de multicolinearidade
Ha: Presenc¸a de multicolinearidade
Rejeita-se Ho se X2 > X2tab
X2tab com g.l. = k*(k-1) / 2
X2 = −[(n− 1− 1/6) ∗ (2.k+ 5)]Ln(det

1 r12 . . . r1k
r21 1 . . . r2k
...
...
. . .
...
rk1 rk2 . . . 1
)
onde: n = nu´mero de observac¸o˜es
k = nu´mero de varia´veis
rij = coeficiente de correlac¸a˜o
5
ii. Identificac¸a˜o VIF (Variance Inflation Factor):
V IFk = 1/(1− rk2)
onde rk = coeficiente de correlac¸a˜o da varia´vel K com as
demais varia´veis
E´ indicativo de problemas de multicolinearidade se V IF > 10
(c) Assim como na˜o existe um me´todo espec´ıfico de detecc¸a˜o, tambe´m
aqui, na˜o ha´ uma u´nica soluc¸a˜o. Recomendam-se os seguintes
procedimentos isolados ou combinados:
i. A ampliac¸a˜o da amostra;
ii. O uso de informac¸o˜es ”a priori”, ja´ dispon´ıveis atrave´s de
outros trabalhos;
iii. Transformac¸a˜o de alguma(as) varia´vel(eis) do modelo;
iv. Ou ainda, em casos extremos, a eliminac¸a˜o de varia´vel(eis) do
modelo;
6. X1 = c (0,1,1,2,2,3)
X2 = c (0,1,2,1,2,3)
X3 = c (1,1,1,1,1,1)
Y = c (-0.5,3.5,7.0,7.0,7.5,11.5)
X=cbind(X3,X1,X2)
(a) XX = t(X)%*%X
tXY = t(X)%*%Y
b = solve(XX)%*%(tXY); b
[, 1]
[1, ] 2
[2, ] 2
Logo Y = 2X1 + 2X2
(b) reg = lm(Y X1+X2)
anova (reg)
R2 = sum(72.727,7.273) / sum(72.727,7.273,3.00);R2
[1] 0.9638554
ou
summary(reg)
R2 = 0.9639
(c) t = −2, 828, significativo.
(d) F = 41, significativo.
(e) xh = matrix(c(1,0.5,2.5)nrow=3)
Yh = t(xh)%*%b
6
VYh = t(xh)%*%solve(XX)%*%xh%*%s2
Yh - qt(0.9,4)*sqrt(VYh)
[, 1]
[1, ] 3.235973
Yh + qt(0.9,4)*sqrt(VYh)
[, 1]
[1, ] 8.764027
Enta˜o intervalo de confianc¸a para a estimativa: [3.235973; 8.764027]
(f) rk = 0.82
vif = 1 / (1 - rk); vif
[1] 5.555556
Como V IF < 10 na˜o temos indicativos de multicolinearidade neste
problema.
7. (a) E´ um fenoˆmeno estat´ıstico na qual a variabilidade dentro de cada
observac¸a˜o na˜o e´ constante entre diferentes observac¸o˜es.
(b) i. Identificac¸a˜o Teste de Glejser:
Ho: Auseˆncia de heterocedasticia
Ha: Presenc¸a de heterocedasticia
�i = β1 + β2Xi+ νi
Se β2 for estatisticamente diferente de zero em algumadas
regresso˜es auxiliares ( pelo teste t), enta˜o rejeita-se a hipo´tese
nula.
ii. Identificac¸a˜o Teste de White:
Ho: Auseˆncia de heterocedasticia
Ha: Presenc¸a de heterocedasticia
Rejeita-se Ho se X2calc > X2tab
X2tab com g.l. = nu´mero de regressoras
X2calc = nR2
(c) Consequncias da heterocedasticia:
i. Os estimadores de MQ ainda sera˜o na˜o-tendenciosos e
consistentes;
ii. Pore´m, os estimadores na˜o sera˜o eficientes,ou seja, na˜o
apresentara˜o a menor variaˆncia, quando comparados com
outros estimadores lineares na˜o-tendenciosos, implicando em
concluo˜es enganosas na realizac¸a˜odo teste t.
7
8. (a) Autocorrelac¸a˜o e´ a correlac¸a˜o entre integrantes de se´ries de
observac¸o˜eses ordenadas no tempo (como as se´ries temporais) ou no
espac¸o (como nos dados de corte transversal).
(b) Consequeˆncias:
i. Estimadores deixam de ser eficientes (continuam lineares, na˜o
tendenciosos, consistentes e com distribuic¸a˜o normal
assinto´tica);
ii. Os estimadores das variaˆncias sa˜o viesados: tendeˆncia de
subestimar os erros-padra˜o. Estat´ıstica t elevada. Mais
prova´vel de rejeitar Ho (p.e. afirmar que os coeficientes sa˜o
estatisticamente significativos), mesmo que eles na˜o sejam.
iii. A variaˆncia residual σˆ =
∑
µˆ2/n− 2 provavelmente
subestimara´ o verdadeiro σ2;
iv. Seremos levados a superestimar R2;
v. Os habituais testes de significaˆncia t e F na˜o sera˜o mais va´lidos;
9. Z = c(0,0,1,1,2,2,3,3)
C = c(0,4,1,5,2,6,3,7)Y = c(0,4,2,6,4,8,6,10)
z = Z - mean(Z)
c = C - mean(C)
y = Y - mean(Y)
(a) beta1 = sum(c*y) / sum(y∧2); beta1
[1] 0.7222222
alpha1 = mean(C) - (beta1*mean(Y)); alpha1
[1] -0.1111111
(b) beta2 = sum(z*c) / sum(z*y); beta2
[1] 0.5
alpha2 = mean(C) - (beta2*mean(Y)); alpha2
[1] 1
(c) B = sum(z*c) / sum(z∧2); B
[1] 1
A = mean(C) - B*mean(Z); A
[1] 2
beta3 = B / (1+B); beta3
[1] 0.5
alpha3 = (1-beta3)*A; alpha3
[1] 1
8
(d) pi2 = sum(z*y) / sum(z∧2); pi2
[1] 2
pi1 = mean(Y) - pi2*mean(Z); pi1
[1] 2
# 1oestagio
Yt = pi1 + pi2*Z; Yt
[1] 2 2 4 4 6 6 8 8
yt = Yt - mean(Yt); yt
[1] -3 -3 -1 -1 1 1 3 3
# 2oestagio
beta4 = sum(c*yt) / sum(yt∧2); beta4
[1] 0.5
alpha4 = mean(C) - beta4*mean(Y); alpha4
[1] 1
9