Raciocínio Lógico e Matemática para concursos

Prévia do material em texto

� O nosso objetivo é a sua Aprovação
CONJUNTOS
1 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.
Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. 
Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.
1.1 - Relação de pertinência: 
Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x  A , onde o símbolo  significa "pertence a". 
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y  A.
O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por  . 
Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. 
Assim é que, pode-se escrever como exemplos:
 = { x; x  x} e U = {x; x = x}. 
1.2 - Subconjunto: 
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que 
A é subconjunto de B e indicamos isto por A  B.
Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A  A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (  A) 
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado 
conjunto das partes de A e é indicado por P(A). 
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.
2 - Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber: 
Conjunto dos números naturais
N = {0,1,2,3,4,5,6,... }
Conjunto dos números inteiros
Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
Obs: é evidente que N  Z.
Conjunto dos números racionais
Q = {x; x = p/q com p  Z , q  Z e q  0 }.
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. 
Lembre-se que não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. 
Notas:
a) é evidente que N  Z  Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444... = 4/9 
Conjunto dos números irracionais 
I = {x; x é uma dízima não periódica}.
Exemplos de números irracionais: 
 = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 
2,01001000100001... (dízima não periódica)
 3 = 1,732050807... (raiz não exata).
Conjunto dos números reais
R = { x; x é racional ou x é irracional}.
Notas: 
a) é óbvio que N  Z  Q  R
b) I  R
c) I  Q = R 
d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!
3 - Intervalos numéricos
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do 
intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo. 
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. 
A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
	PRIVATE�TIPOS
	REPRESENTAÇÃO
	OBSERVAÇÃO
	INTERVALO FECHADO
	[p;q] = {x  R; p  x  q} 
	inclui os limites p e q
	INTERVALO ABERTO
	(p;q) = { x  R; p  x  q} 
	exclui os limites p e q
	INTERVALO FECHADO A ESQUERDA
	[p;q) = { x  R; p  x  q} 
	inclui p e exclui q
	INTERVALO FECHADO À DIREITA
	(p;q] = {x  R; p  x  q} 
	exclui p e inclui q
	INTERVALO SEMI-FECHADO
	[p; ) = {x  R; x  p} 
	valores maiores ou iguais a p.
	INTERVALO SEMI-FECHADO
	(-  ; q] = { x  R; x  q} 
	valores menores ou iguais a q.
	INTERVALO SEMI-ABERTO
	(- ; q) = { x  R; x  q}
	valores menores do que q.
	INTERVALO SEMI-ABERTO
	(p;  ) = { x  p }
	valores maiores do que p.
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( - ; +  ).
4 - Operações com conjuntos
4.1 - União (  )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A  B = { x; x  A ou x  B}.
Exemplo: {0,1,3}  { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A  A = A
b) A   = A
c) A  B = B  A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A  U = U , onde U é o conjunto universo.
4.2 - Interseção (  )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A  B = {x; x  A e x  B}.
Exemplo: {0,2,4,5}  { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A  A = A
b) A   =  
c) A  B = B  A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A  U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A  ( B  C ) = (A  B)  ( A  C) (propriedade distributiva)
P2. A  ( B  C ) = (A  B )  ( A  C) (propriedade distributiva)
P3. A  (A  B) = A (lei da absorção)
P4. A  (A  B) = A (lei da absorção)
Obs: Se A  B =  , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
4.3 - Diferença: A - B = {x ; x  A e x  B}. 
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos: 
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A -  = A
b)  - A =  
c) A - A =  
d) A - B  B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
4.3.1 - Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B  A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .
Simbologia: CAB = A - B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: 
B' = {x; x  B}. É óbvio, então, que:
a) B  B' = 
b) B  B' = U 
c) 'U
d) U' = 
5 - Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø.
Assim, o conjunto das partes de A será:
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):
X = { {2}, {3,5} }
Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:
a) nenhum dos elementos de X é Ø .
b) {2} {}Ø
c) {2} U {} = {2, 3, 5} = A
Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A.
Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S= { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto Z dos números inteiros, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...}  {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = Z .
6 - Número de elementos da união de dois conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.
Representando o número de elementos da interseção A  B por n(A  B) e o número de elementos da união A  B por n(A  B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B) 
7 - Exercícios resolvidos:
1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
b) quando chove de manhã não chove à tarde;
c) houve 5 tardes sem chuva;
d) houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a)7 
b)8 
*c)9 
d)10 
e)11
Veja a solução AQUI. 
2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era:
I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:
*a)48
b)35 
c)36 
d)47 
e)37
Para ver a solução clique AQUI
3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:
*a) 29 
b) 24 
c) 11 
d) 8 
e) 5
Clique AQUI para ver a solução.
4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:
a)século XIX 
b)século XX 
c)antes de 1860
d)depois de 1830 
e)nenhuma das anteriores
Pode-se garantir que a resposta correta é:
a)a 
b)b 
*c)c 
d)d 
e)e
Clique AQUI para ver a solução.
8 - Exercícios propostos
1 - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 9 
*e)10
2 - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ?
*a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 0 
3) PUC-SP - Se A =  e B = { }, então:
*a) A  B 
b) A  B = 
c) A = B 
d) A  B = B 
e) B  A
4) FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A  B é 30, o número de elementos de A  C é 20 e o número de elementos de A  B  C é 15. 
Então o número de elementos de A  (B  C) é igual a:
*a)35 
b)15 
c)50 
d)45 
e)20
5) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto 
A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são:
*a)2 ou 5 
b)3 ou 6 
c)1 ou 5 
d)2 ou 6 
e)4 ou 5
LÓGICA
1 - INTRODUÇÃO
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George Boole , matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica.
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições , as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:
Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa , não havendo outra alternativa.
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ).
As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u, ... 
De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito" , "3 + 5" , "x é um número real" , "x + 2 = 7", etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso).
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0.
p: " a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V )
q: " 3 + 5 = 2 " ( F )
r: " 7 + 5 = 12" ( V)
s: " a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si = (n - 2) . 180º " ( V )
t: " O Sol é um planeta" ( F )
w: " Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F )
2 - Símbolos utilizados na Lógica Matemática 
	PRIVATE� 
	não 
	 
	e 
	 
	ou
	 
	se ... então
	 
	se e somente se
	 
	tal que
	 
	implica
	 
	equivalente
	 
	existe
	  
	existe um e somente um
	 
	qualquer que seja
3 - O Modificador Negação
Dada a proposição p , indicaremos a sua negação por ~p . (Lê-se " não p " ).
Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V )
~p: Três pontos não determinam um único plano ( F )
Obs.: duas negações eqüivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p . 
4 - Operações lógicas
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos  ,  ,  e  , dando origem ao que conhecemos como proposições compostas . Assim , sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p q , p q , p q , p q (Os significados dos símbolos estão indicados na tabela anterior). 
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir.
Conjunção: p q (lê-se "p e q " ).
Disjunção: p q (lê-se "p ou q ") .
Condicional: p q (lê-se "se p então q " ).
Bi-condicional: p q ( "p se e somente se q") . 
Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q , como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Ah! caro vestibulando! Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.
Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1 quando verdadeira (V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada:
	PRIVATE�p
	q
	p  q
	p  q
	p q
	p  q
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	1
	0
	1
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	1
Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:
a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. 
a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. 
a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. 
a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais. 
Ex.: Dadas as proposições simples:
p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0)
q: 3 + 5 = 8 (valor lógico V ou 1)
Temos:
p q tem valor lógico F (ou 0)
p q tem valor lógico V (ou 1)
p q tem valor lógico V (ou 1)
p q tem valor lógico F (ou 0).
Assim, a proposição composta "Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8" é logicamente verdadeira, não obstante ao aspecto quase absurdodo contexto da frase!
Não quero lhe assustar, mas o fato das proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0), não podem estar associadas à analogia de que zero (0) pode significar um circuito elétrico desligado e um (1) pode significar um circuito elétrico ligado? Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, caros amigos, isto é uma verdade, e é a base lógica da arquitetura dos computadores!
Seria demais imaginar que a proposição p q pode ser associada a um circuito série e a proposição p q a um circuito em paralelo?
Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que mudaram o mundo!
Vimos no texto anterior, a tabela verdade - reproduzida abaixo - que permite determinar o valor lógico de uma proposição composta, conhecendo-se os valores lógicos das proposições simples que a compõem.
	PRIVATE�p
	q
	p q
	p q
	p q
	p q
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	1
	0
	1
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	1
Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou V
valor lógico falso = 0 ou F
Podemos observar que é muito fácil entender (e o nosso intelecto admitir) as regras contidas na tabela acima para a conjunção, disjunção e equivalência, ou seja:
a conjunção "p e q" só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras.
A disjunção "p ou q" só é falsa quando p e q forem ambas falsas.
A bi-condicional só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos.
Quanto à condicional "se p então q" , vamos analisá-la separadamente, de modo a facilitar o entendimento das regras ali contidas:
	PRIVATE�p
	q
	p q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
O raciocínio a seguir, será a base da nossa análise:
Se é dada uma proposição p e é possível fazer-se um raciocínio válido que nos conduza a outra proposição q, consideraremos que p q é verdadeira.
Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima:
1º) p é V e q é V: somente através de um raciocínio válido é possível partir de uma proposição verdadeira para outra também verdadeira. Logo, p q é verdadeira.
2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido capaz de , partindo-se de uma proposição verdadeira chegar-se a uma proposição falsa. Logo, neste caso, p q é falsa.
3º) p é F e q é V: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição verdadeira. Isto é um pouco difícil de entender, mas acompanhe o exemplo abaixo: 
Sejam as proposições: 
p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 15 = 15 (valor lógico V)
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p (falsa), chegar a q(verdadeira). Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que 5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5 = 5+10 e portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um raciocínio válido chegar-se a q VERDADEIRA. Logo, p q é verdadeira
4º) p é F e q é F: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição também falsa. Senão vejamos:
Sejam as proposições:
p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 19 = 9 (valor lógico F)
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p FALSA, chegarmos a q também FALSA. Com efeito, se 10 = 5, então, subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4. Somando agora membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19 = 9, que é a proposição q dada. Logo, p q é verdadeira (V).
Exercícios:
1) Sendo p uma proposição verdadeira e q uma proposição falsa, qual o valor lógico da proposição composta r: (p  q)  q ?
Solução: Teremos, substituindo os valores lógicos dados: p = V , q = F e ~q = V .
r: (V  V)  F , logo, pelas tabelas acima vem: r: V  F e portanto r é falsa. Valor lógico F ou 0.
2) Qual das afirmações abaixo é falsa? 
a) se Marte é um planeta então 3 = 7 - 4.
b) a soma de dois números pares é um número par e 72 = 49. 
c) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado. 
d) se 102 = 100 então todo número inteiro é natural.
e) 2 = 32 - 7 ou a Terra é plana. 
Analisando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores, concluiremos que apenas a proposição do item (d) é falsa, uma vez que 102 = 100 é V e "todo número inteiro é natural" é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro, mas não é natural) . Portanto, temos V  F , que sabemos ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima).
Resumo da Teoria
1 - Tautologias e Contradições 
Considere a proposição composta s: (p q)  (p q) onde p e q são proposições simples 
lógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s :
Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos:
	PRIVATE�p
	q
	p q
	p q
	(p q)  (p q)
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA.
Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta 
(valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F), podemos concluir que a proposição composta "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano" é uma proposição logicamente verdadeira.
Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO.
Ex.: A proposição composta t: p  ~p é uma contradição, senão vejamos:
	PRIVATE�p
	~p
	p ~p
	V
	F
	F
	F
	V
	F
NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2n linhas.
Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (p q)  r
Teremos:
	PRIVATE�p
	q
	r
	(p q)
	(p q)  r
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	F
Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição.
Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades:
Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, são TAUTOLOGIAS:
1) (p q)  p 
2) p  (p q) 
3) [p (p q)]  q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens") 
4) [(p q)  ~q]  ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens") 
Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V.
NOTAS:
a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência. 
b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, uma contradição.
2 - Álgebra das proposições
Sejam p , q e r três proposições simples quaisquer, v uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. São válidas as seguintes propriedades:
a) Leis idempotentes
p p = p
p p = p
b) Leis comutativas 
p q = q p
p q = q p
c) Leis de identidade 
p  v = p
p  f = f
p  v = v
p  f = p
d) Leis complementares
~(~p) = p (duas negações eqüivalem a uma afirmação)
p  ~p = f
p  ~p = v
~v = f
~f = v
e)Leis associativas
(p q) r = p (q r)
(p q) r = p (q r)
f) Leis distributivas 
p (q r) = (p q)  (p r)
p (q r) = (p q)  (p r)
g) Leis de Augustus de Morgan 
~(p q) = ~p  ~q
~(p q) = ~p  ~q
h) Negação da condicional
~(p q) = p ~q 
Todas as propriedades acima podem ser verificadas com a construçãodas tabelas verdades. 
Vamos exemplificar verificando a propriedade do item (h):
Para isto, vamos construir as tabelas verdades de ~(p q) e de p ~q :
Tabela1:
	PRIVATE�p
	q
	p q
	~(p q)
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
Tabela 2:
	PRIVATE�p
	q
	~q
	p ~q
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	F
Observando as últimas colunas das tabelas verdades 1 e 2 , percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas apresentam a seqüência F V F F , o que significa que ~(p q) = p ~q .
Exs.:
1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"?
Do item (g) acima, concluímos que a negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo".
2) Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado" ?
Do item (g) acima, concluímos que a negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado".
3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu aprendo" ?
Conforme a propriedade do item (h) acima, concluímos facilmente que a negação procurada é: "Eu estudo e não aprendo"
RELAÇÕES BINÁRIAS
INTRODUÇÃO
Neste capítulo, vamos estudar apenas os tópicos necessários para um perfeito entendimento do assunto que será abordado no capítulo seguinte: Funções.
PAR ORDENADO : conjunto ordenado de dois elementos, representado pelo símbolo (x;y) onde x e y são números reais, denominados respectivamente de abcissa e ordenada.
Ex: Par ordenado (6; -3) : abcissa = 6 e ordenada = -3.
Propriedade: dois pares ordenados são iguais , quando são respectivamente iguais as abcissas e as ordenadas. Em termos simbólicos:
(x;y) = (w;z)  x = w e y = z 
Ex: (2x - 4; y) = (- x; 7)  2x - 4 = - x e y = 7  x = 4/3 e y = 7. 
PLANO CARTESIANO : também conhecido como sistema de coordenadas retangulares ; Trata-se de um conceito introduzido no século XVII pelo matemático e filósofo francês René Descartes, para representar graficamente o par ordenado (xo;yo). Consiste basicamente de dois eixos orientados que se interceptam segundo um angulo reto, num ponto denominado origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abcissas e o eixo vertical é denominado eixo das ordenadas. Denominamos o ponto O de origem do plano cartesiano, sendo nulas a sua abcissa e a sua ordenada, ou seja, O(0;0). 
Observe que o plano cartesiano pode ser subdividido em quatro regiões , que são denominadas Quadrantes. Temos então o seguinte quadro resumo:
	PRIVATE�QUADRANTE
	ABCISSA
	ORDENADA
	1º quadrante
	+
	+
	2º quadrante
	-
	+
	3º quadrante
	-
	-
	4º quadrante
	+
	-
Obs:
1) a equação do eixo Ox é y = 0 e do eixo Oy é x = 0.
2) o gráfico de y = x é uma reta denominada bissetriz do primeiro quadrante.
3) o gráfico de y = -x é uma reta denominada bissetriz do segundo quadrante.
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL : Entende-se por módulo ou valor absoluto do número real a e 
escreve-se  a , o seguinte:
 a = a se a  0
 a = -a se a  0
Por esta definição, o módulo de um número positivo ou nulo (não negativo) é o próprio número e o módulo de um número negativo é o simétrico desse número.
Exs:  7 = 7 ;  -5 = 5 ;  0 = 0 ;  7 - 10 =  -3 = 3
São válidas as seguintes propriedades relativas às igualdades e desigualdades modulares:
P1)  w = 0  w = 0
P2)  w = b , onde b  0  w = b ou w = - b
P3)  w  b , onde b 0  w  b ou w  - b
P4)  w  b , onde b 0  -b  w  b
PRODUTO CARTESIANO : Dados dois conjuntos A e B , definimos o produto cartesiano de A por B , que indicamos pelo símbolo AxB , ao conjunto de todos os pares ordenados (x;y) onde x A e y  B. Em termos simbólicos, podemos escrever:
AxB = { (x;y); x  A e y  B}
Ex: {0;2;3} x {5; 7} = { (0;5) , (0; 7) , (2;5) , (2;7) , (3;5}, (3;7) }
Obs: Sendo A e B conjuntos quaisquer, temos:
a) o produto cartesiano de um conjunto A por ele mesmo, ou seja AxA é representado por A2 . 
Assim , podemos escrever: A x A = A2 .
b) A x B  B x A (o produto cartesiano é uma operação não comutativa)
c) A x  =  
d) n(A x B) = n(A) . n(B) , onde n(A) e n(B) representam os números de elementos de A e de B, respectivamente.
RELAÇÃO BINÁRIA
Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em B , a qualquer subconjunto de AxB. Em termos simbólicos, sendo  uma relação de A em B , podemos escrever:
 = { (x;y)  AxB ; x  y }
Ex:  = { (0;3) , (2;5) , (3;0) } é uma relação de A = { 0;2;3;4} em B = {3;5;0}.
NOTAS:
1)   AxB
2) o conjunto A é o conjunto de partida e B o conjunto de chegada ou contradomínio.
3) se (x;y)   , então dizemos que y é imagem de x , pela relação  .
4) a expressão x y eqüivale a dizer que (x;y)   .
5) dada uma relação  = { (x;y)  AxB ; x  y } , o conjunto dos valores de x chama- se domínio da relação e o conjunto dos valores de y chama-se conjunto imagem da relação.
6 - o número de relações possíveis de A em B é dado por 2n(A).n(B) . 
7 - Dada uma relação  = { (x,y)  AxB ; x  y } , define-se a relação inversa  -1 como sendo: 
 -1 = { (y,x)  BxA ; y  x }.
Ex: F = { (0,2) , (3.5) , (4,8) , ( 5,5) }
F-1 = { (2,0) , (5,3) , (8,4) , (5,5) }.
EXERCÍCIOS DE ARITMÉTICA
1 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras: a primeira possui uma vazão de 38 litros por minuto e a segunda 47 litros por minuto. A saída da água dá-se através de um orifício que deixa passar 21 litros por minuto. Deixando abertas as duas torneiras e a saída da água, o reservatório se enche em 680 minutos. 
Qual o volume do reservatório?
Solução:
É fácil perceber que a cada minuto:
entram 38 litros da torneira 1
entram 47 litros da torneira 2
e saem 21 litros.
Portanto: 38 + 47 – 21 = 64 litros/min, é o saldo líquido da água que abastece o reservatório. Ora, se em 1 minuto são preenchidos 64 litros do reservatório, nos 680 minutos, teremos: 680x64 = 43520 litros, que é o volume do reservatório. 
2 – Um filho sai correndo e quando deu 200 passos o pai parte ao seu encalço. Enquanto o pai dá 3 passos, o filho dá 11 passos, porém 2 passos do pai valem 9 do filho. Quantos passos deverá dar o pai para alcançar o filho?
Solução:
Temos:
2 passos do pai = 9 passos do filho. Daí, é claro que:
1 passo do pai = 4,5 passos do filho
3 passos do pai = 3x4,5 = 13,5 passos do filho
Em cada 3 passos, o pai se aproxima 13,5 – 11 = 2,5 passos do filho.
Como a distancia entre eles é de 200 passos, o pai, para vencer a distancia, deverá dar 
200/2,5 = 80 "seqüências" de 3 passos. Como cada "seqüência" é constituída de 3 passos, teremos finalmente: 80x3 = 240 passos, que é a resposta do problema.
NOTA: resolvi este probleminha, quando cursava a 1ª série ginasial. Puxa vida! Como o tempo passa depressa! Achei em minhas anotações, e resolvi publicar aqui, como uma lembrança no tempo! 
3 - Um floricultor tem 100 rosas brancas e 60 rosas vermelhas e pretende fazer o maior número possível de ramalhetes que contenha, cada um, o mesmo número de rosas de cada cor. Quantos serão os ramalhetes e quantas rosas de cada cor deve ter cada um deles?
Solução:
Vamos calcular o máximo divisor comum – MDC de 100 e 60.
Sendo D(n) o conjunto dos divisores positivos de n , vem:
D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 50, 100}
D(60) = {1, 2, 4, 5, 12, 15, 20, 30, 60}
Portanto, o máximo divisor comum será: MDC(100,60) = 20
Portanto, serão 20 ramalhetes.
Para calcular o número de rosas conforme a cor, em cada um dos 20 ramalhetes, basta efetuar: 
100/20 = 5 rosas brancas e 60/20 = 3 rosas vermelhas.
Resp: 20 ramalhetes, contendo cada um, 5 rosas brancas e 3 rosas vermelhas.
4 – Numa corrida de automóveis, o primeiro piloto dá a volta completa na pista em 10 segundos, o segundo em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Mantendo-se o mesmo tempo, no final de quantos segundos os três pilotos passarão juntos pela primeira vez pela linha de partida e quantas voltas terãodado cada um nesse tempo?
Solução:
Basta calcular o mínimo múltiplo comum – MMC(10, 11, 12).
Sendo M(n) o conjunto dos múltiplos positivos de n, vem:
M(10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, ... , 660, ...}
M(11) = {11, 22, 33, 44, 55, 66, ... , 660, ...}
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, ... , 660, ...}
Temos: MMC(10, 11, 12) = 660
Portanto, os 3 pilotos passarão pela primeira vez no ponto de partida, após 660 segundos 
(ou 660/60 = 11 minutos).
Cada piloto terá dado então:
1º piloto: 660 / 10 = 66 voltas
2º piloto: 660 / 11 = 60 voltas
3º piloto: 660 / 12 = 55 voltas
NOTA: a determinação do MMC acima, também poderia ser feita pelo método tradicional, ou seja:
Portanto MMC(10,12,11) = 2x2x3x5x11 = 22x3x5x11 = 660
5 – Converta a velocidade de 20 m/s em km/h.
Solução:
NOTA: 1 hora = 60 min = 60.60 = 3600 segundos  1h = 3600s e portanto, 1s = (1/3600)h.
Exercícios propostos
1 - Um gato persegue um rato; enquanto o rato dá 5 pulos, o gato dá 3, porém 1 pulo do gato equivale a 2 pulos do rato. O rato leva uma dianteira equivalente a 50 pulos do gato. Quantos pulos o gato deverá dar para alcançar o rato?
Resp: 300 pulos
2 - Pretende-se dividir dois rolos de arame de 36 metros e 48 metros de comprimento, em partes iguais e de maior tamanho possível. Qual deverá ser o comprimento de cada uma destas partes?
Resp: 12 metros
3 - Três despertadores são ajustados da seguinte maneira: o primeiro para despertar de 3 em 3 horas; o segundo de 2 em 2 horas e o terceiro de 5 em 5 horas. Depois da primeira vez em que os três relógios despertarem ao mesmo tempo, após quantas horas isto voltará a ocorrer?
Resp: 30 horas
4 - Converta a velocidade v = 144 km/h em m/s.
Resp: 40 m/s
1 – Um carpinteiro deve cortar três tábuas de madeira com 2,40m, 2,70m e 3m 
respectivamente, em pedaços iguais e de maior comprimento possível. Qual deve ser 
o comprimento de cada parte?
SOLUÇÃO:
Transformando as medidas em centímetros, vem: 240, 270 e 300 cm.
Agora, basta calcular o MDC (máximo divisor comum) entre estes números. Teremos, 
então:
MDC(240,270,300) = 30.
Logo, o carpinteiro deverá cortar pedaços de madeira de 30 cm de comprimento.
2 – Sabe-se que o MDC (máximo divisor comum) de dois números é igual a 6 e o 
MMC(mínimo múltiplo comum) desses mesmos números é igual a 60. Calcule o produto 
desses números.
SOLUÇÃO:
Uma propriedade bastante conhecida é: 
Dados dois números inteiros e positivos a e b , é válido que:
MMC(a,b) x MDC(a,b) = a x b
Daí, vem imediatamente que:
a x b = MMC(a,b) x MDC(a,b) = 6 x 60 = 360
3 – Dois cometas aparecem, um a cada 20 anos e outro a cada 30 anos. Se em 1920 
tivessem ambos aparecido, pergunta-se quantas novas coincidências irão ocorrer até o 
ano 2500?
SOLUÇÃO:
Trata-se de um clássico problema de MMC.
MMC(20,30) = 60. Logo:
A cada 60 anos haverá uma coincidência de aparições.
Portanto elas ocorrerão nos anos: (a partir de 1920)
1980, 2040, 2100, 2160, 2220, 2280, 2340, 2400, 2460, 2520, ...
Portanto, até o ano 2500, ocorrerão 09 (nove) aparições.
4 – Qual o número de divisores positivos de 320?
SOLUÇÃO:
Fatorando o número 320, vem:
320 = 26 x 51 
Portanto, o número de divisores de 320 será igual a:
Nd = (6+1) x (1+1) = 7x2 = 14
5 – Quantos divisores positivos o número 2000 possui?
SOLUÇÃO:
Fatorando o número 2000, vem:
2000 = 24 x 53
Portanto, o número de divisores positivos de 2000 será:
Nd = (4+1) x (3+1) = 5 x 4 = 20 divisores.
São eles: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 125, 200, 250, 400, 500, 1000 
2000, ou seja, 20 divisores positivos.
Existe um algoritmo para determinar todos os divisores positivos de um número natural 
positivo. Veremos isto num próximo arquivo a ser publicado em breve.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
1 – Introdução
No capítulo sobre Proporcionalidade entre grandezas, introduzimos um tratamento mais técnico à questão. Aqui, entretanto, daremos um enfoque mais prático, apresentando um método infalível, para resolver qualquer problema de regra de três composta que possa aparecer na sua vida!.
Recomendo enfaticamente, que você revise o arquivo Proporcionalidade entre grandezas, clicando no link acima.
O Método Prático consiste em:
a) escrever em coluna as variáveis do mesmo tipo, ou seja, aquelas expressas na mesma unidade de medida.
b) Identificar aquelas que variam num mesmo sentido (grandezas diretamente proporcionais) e aquelas que variam em sentidos opostos
(grandezas inversamente proporcionais), marcando-as com setas no mesmo sentido ou sentidos opostos, conforme o caso.
c) A incógnita x será obtida da forma sugerida no esquema abaixo, dada como exemplo de caráter geral.
Sejam as grandezas A, B, C e D, que assumem os valores indicados abaixo, e supondo-se, por exemplo, que a grandeza A seja diretamente proporcional à grandeza B, inversamente proporcional à grandeza C e inversamente proporcional à grandeza D, podemos montar o esquema a seguir:
Neste caso, o valor da incógnita x será dado por: 
Observem que para as grandezas diretamente proporcionais, multiplicamos x pelos valores invertidos e para as grandezas inversamente proporcionais, multiplicamos pelos valores como aparecem no esquema.
Exemplo:
STA CASA – SP – Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias?
a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5
Se você tentar usar a metodologia indicada no capítulo Proporcionalidade entre grandezas , não obstante ser um método mais rigoroso e até mais bonito, você perderia mais tempo na resolução.
Vejamos a solução:
Observe que a produção em toneladas é diretamente proporcional ao número de máquinas, ao número de dias e ao número de horas/dia.
Portanto:
Portanto, seriam produzidas 13,5 toneladas do produto, sendo D a alternativa correta.
2 – Exercícios resolvidos e propostos 
2.1 – Vinte e cinco teares trabalhando oito horas por dia, durante 10 dias, fizeram 1200 metros de certo tecido. Vinte teares trabalhando nove horas por dia durante dezoito dias, produzirão quantos metros do mesmo tecido?
Nota: Tear – máquina destinada a tecer fios, transformando-os em pano ou tecido. Plural: teares.
SOLUÇÃO:
Observe que o comprimento do tecido é diretamente proporcional ao número de teares, ao número de dias e ao número de horas/dia.
Portanto: 
Resp: 1944 m
2.2 – Em uma fábrica, vinte e cinco máquinas produzem 15000 peças de automóvel em doze dias, trabalhando 10 horas por dia.
Quantas horas por dia, deverão trabalhar 30 máquinas, para produzirem 18000 peças em 15 dias?
Solução: 
Observe que:
Aumentando o número de horas/dia, aumenta o número de peças, diminui o número de dias necessários e diminui o número de máquinas necessárias.
Portanto:
Resp: 8 h
2.3 – Certo trabalho é executado por 15 máquinas iguais, em 12 dias de 10 horas. Havendo defeito em três das máquinas, quantos dias de 8 horas deverão trabalhar as demais, para realizar o dobro do trabalho anterior?
Solução:
Aumentando o número de dias, diminui o número de horas/dia necessários e diminui o número de máquinas necessárias.
Podemos também dizer que para realizar o dobro do trabalho, o número de dias deve aumentar.
Portanto, podemos montar o seguinte esquema: 
Logo,
Resp: 37,5 dias
Agora resolva estes dois:
1 - Em uma residência, no mês de fevereiro de um ano não bissexto, ficaram acesas, em média, 16 lâmpadas elétricas durante 5 horas por dia e houve uma despesa de R$ 14,00. Qual foi a despesa em março, quando 20 lâmpadas iguais às anteriores ficaram acesas durante 4 horas por dia, supondo-se que a tarifa de energia não teve aumento?
Resp: R$15,50
2 - Um livro está impresso em285 páginas de 34 linhas cada uma com 56 letras em cada linha. Quantas páginas seriam necessárias para reimprimir esse livro com 38 linhas por página, cada uma com 60 letras?
Resp: 238 páginas
CUIDADO COM A REGRA DE TRÊS
Um trabalhador recebeu a incumbência de fazer a capinação de um terreno circular de 3 metros de raio, cobrando pelo trabalho o valor de $10,00. Qual seria o preço justo a ser cobrado para capinar um terreno semelhante, porém com 6 metros de raio? 
Solução:
Vamos por partes:
1 – Capinação
Ação de capinar; retirar do solo, a planta gramínea conhecida como capim.
2 – Alguns mais desavisados, seriam compelidos a afirmar imediatamente e equivocadamente, que deveria ser cobrado $20,00, uma vez que 6 metros é o dobro de 3 metros. Ledo engano!.
3 – Observe que a área capinada pelo eficiente trabalhador é igual a 
S = p.r2, onde r é o raio do círculo capinado.
Sendo r = 3m, vem S = p.32 = (9p) m2.
NOTAS: 
1 – a área S de um círculo de raio r é igual a S = pr2.
2 - m2 = metro quadrado
Na capinação de uma área circular de 6 metros de raio, ele teria capinado uma área S’ = p.(r’)2 = p.62 = (36.p) m2.
Formamos agora, a seguinte regra de três simples e direta:
ÁREA(m2) PREÇO ($)
9p 10
36p x
Como o preço a ser cobrado, deve ser diretamente proporcional ao trabalho realizado, vem imediatamente que:
x = 10.36p / 9p = 10.4 = $40,
Em resumo:
Se for cobrado $10 para capinar um terreno circular de 3 metros de raio, então, o valor justo a ser cobrado para capinar um terreno circular de 6 metros de raio, deve ser igual a $40,. 
Muitas pessoas achariam $20 um valor justo! Por isto eu lembro: estudem Matemática, mesmo que vocês pretendam ingressar em cursos que não sejam da área de Ciência Exatas!
O CONJUNTO VAZIO
Um conjunto, na linguagem comum e intuitiva, é uma classe, coleção ou agrupamento de objetos denominados elementos. Na realidade, conjunto é um conceito primitivo da Matemática, sendo aceito, portanto, sem definição. Assim, estabelecendo-se uma propriedade a ser obedecida pelos elementos x de um determinado conjunto, poderemos formar tantos conjuntos quanto queiramos, a exemplo de: 
A = {x; x é vogal do alfabeto latino} = {a, e, i, o, u}
B = {x; x é um satélite natural da Terra} = {Lua}
C = {x; x é uma estrela que permite a existência de vida na Terra} = {Sol}
D = {x; x é o planeta no qual vivemos} = {Terra}
E = {x; x é um número inteiro maior do que 7} = {8, 9, 10, 11, ... , 205, 206, ... }
Se a propriedade que define os elementos x for contraditória, os elementos não existirão e, diremos, por extensão, que temos um conjunto sem elementos, o qual é denominado conjunto vazio, representado pelo símbolo  .
Notas: 
1 -  é uma letra de origem escandinava, ou seja, da Escandinávia.
2 – Escandinávia – região situada ao norte da Europa, abrangendo a Dinamarca, Noruega, Suécia, Finlândia e Islândia.
Assim, poderemos exemplificar: 
 = {x; x é diferente de x}
 = {x; x é um osso de borboleta}
 = {x; x é uma asa de elefante}
 = {x; x é um mês de 32 dias}
 = {x; x é um número racional e irracional} 
É válido afirmar que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto dado, ou seja:  A,   A ,
que se lê: qualquer que seja o conjunto A, o conjunto vazio está contido em A (ou é subconjunto de A).
Isto pode ser demonstrado como segue: 
Suponhamos que   A, ou seja, que o conjunto vazio não seja subconjunto de um dado conjunto A. Se isto fosse verdadeiro, então deveria existir pelo menos um elemento no conjunto  , que não pertenceria ao conjunto A. Ora, isto é um absurdo, pois já sabemos que o conjunto vazio não possui elementos. Então, a afirmativa   A é FALSA , o que nos leva a concluir que   A é VERDADEIRA.
Algumas observações sobre o conjunto vazio: 
1 – O cardinal de  é igual a zero, ou seja, o número de elementos do conjunto vazio é zero.
2 – O conjunto vazio é subconjunto de si próprio, ou seja,    .
3 – Não confunda o conjunto vazio  , com o conjunto unitário {}, cujo único elemento é o conjunto vazio, ou seja:  = {} é FALSO. 
O correto seria escrever uma das seguintes condições, ambas verdadeiras: 
  {} ou   {} . A primeira afirmação é verdadeira, pois o conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto e a segunda é verdadeira, pois o conjunto {} realmente possui o  como elemento e, portanto, é correto também afirmar que 
 pertence a {}, indicado simbolicamente por   {}.
4 – Não confunda o conjunto vazio  com o conjunto unitário {0}, cujo único elemento é o zero. 
Portanto,  = {0} é FALSO. O correto seria escrever   {0}.
Exercício resolvido: 
UFBA 73 – O conjunto dos valores de n para os quais a inequação
nx2 – 2(n+1)x + n + 1 > 0 se verifica qualquer que seja x  R, é:
A) {n  R; n > -1}
B) {n  R; n < 0}
C) {n  R; -1 < n < 0}
D) 
E) nenhuma das respostas anteriores
Solução: Uma condição para que a função quadrática do primeiro membro da expressão dada seja sempre positiva é expressada na figura seguinte, onde está representada uma função quadrática 
do tipo y = ax2 + bx + c :
Deveremos então ter as seguintes condições, para satisfazer ao enunciado da questão:
1) n > 0
2)  < 0
Se necessário, revise Funções.
Portanto, como  = b2 – 4ac, vem, substituindo: 
[-2(n+1)]2 – 4.n.(n+1) < 0
Desenvolvendo o primeiro membro da expressão acima, fica:
4(n+1)2 – 4n(n+1) < 0
4(n2 + 2n + 1) – 4n2 – 4n < 0
4n2 + 8n + 4 – 4n2 – 4n < 0
Simplificando, vem:
4n + 4 < 0
4n < - 4 
n < - 1
Ora, deveremos ter n < -1 e, pela primeira condição, n deve ser maior do que zero, ou seja: n > 0. Vemos, pois, que estas condições são contraditórias, ou seja, um número não pode ao mesmo tempo, ser maior do que zero e menor do que –1. Logo, concluímos que o conjunto das soluções para o valor de n no problema proposto é um conjunto sem elementos e, portanto, é o conjunto vazio  . A alternativa correta é então a de letra D. 
Exercício proposto
PUC – SP – Se A =  e B = {} então é correto afirmar:
A) A  B
B) A U B =  
C) A = B
D) A – B = B
E) B  A
Resposta: Pelo que foi visto anteriormente, concluímos facilmente que a única alternativa verdadeira é a de letra A.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
01 - Introdução
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
02 - Fatorial
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n  2.
Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
Para n = 1 , teremos : 1! = 1
Exemplos:
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) observe que 6! = 6.5.4!
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e) 10! = 10.9.8.7.6.5!
f ) 10! = 10.9.8!
03 - Princípio fundamental da contagem - PFC
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente , então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn 
Exemplo:
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximode veículos que poderá ser licenciado?
Solução: 
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?
04 - Permutações simples
4.1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. 
Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
4.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é Pn = n! onde 
n! = n(n-1)(n-2)... .1 . 
Exemplos:
a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
4.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.
Exemplo: 
Os possíveis anagramas da palavra REI são: 
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.
05 - Permutações com elementos repetidos
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:
Exemplo: 
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)
Solução: 
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: 
k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 
Resp: 151200 anagramas.
06 - Arranjos simples
6.1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
6.2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:
Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)
Exemplo:
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo? 
Solução: 
As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 
10.9.8 = 720. 
Observe que 720 = A10,3
07 - Combinações simples
7.1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.
Exemplo: 
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
7.2 - Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:
Obs: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:
Exemplo:
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
Solução: 
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. 
Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: 
C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003
Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:
01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?
Resp: 120
02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados?
Resp: 84
03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?
Resp: 48
Exercício resolvido:
Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?
Solução:
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.
Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:
N = 2.2.2.2.2.2 = 64
Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então 
que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63.
Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.
PROBABILIDADES
1 – Introdução
Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral. 
Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento. 
Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.
Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Exemplos de eventos no espaço amostral U:
A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}
B: sair um número primo e par: B = {2}
C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}
Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova. 
Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem. 
Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável.
Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.
Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada Probabilidade.
Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais freqüente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca".
2 – Conceito elementar de Probabilidade
Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula
p(A) = n(A) / n(U) 
onde:
n(A) = número de elementos de A e n(U) = número de elementos do espaço de prova U.
Vamos utilizar a fórmula simples acima, para resolver os seguintesexercícios introdutórios:
1.1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:
a) sair o número 3: 
Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/6. 
b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 3/6 = 1/2. 
c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 2/6 = 1/3. 
d) sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto,p(A) = 2/6 = 1/3. 
e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3.
1.2 - Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:
a) sair a soma 8
Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2.
É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j.
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 5/36. 
b) sair a soma 12
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/36. 
1.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes:
a) sair bola azul
p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30% 
b) sair bola vermelha
p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50% 
c) sair bola amarela
p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%
Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem. Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de ocorrências para um número elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá bola vermelha e 20% dos casos sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais a distribuição do número de ocorrências se aproximará dos percentuais indicados. 
3 – Propriedades
P1: A probabilidade do evento impossível é nula.
Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos:
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula.
P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade. 
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1
Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1.
P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1]. 
Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima.
P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a unidade.
Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U.
n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U). 
Dividindo ambos os membros por n(U), vem: 
n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:
p(A) + p(A') = 1
Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.
P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A B)
Observe que se A B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), então p(A U B) = p(A) + p(B). 
Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que 
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)
Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definição de probabilidade, concluímos rapidamente a veracidade da fórmula acima.
Exemplo:
Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?
SOLUÇÃO:
Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos:
n(U) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.
n(U) = n(J) + N(P) – N(J P) + 800
n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800
n(U) = 8600
Portanto, a probabilidade procurada será igual a: 
p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.
A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser).
4 – Probabilidade condicional
Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada por p(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidade condicional.
Teremos então:
p(A/B) = n(A B)/ n(B) 
onde A B = interseção dos conjuntos A e B. 
Esta fórmula é importante, mas pode ser melhorada. Vejamos:
Ora, a expressão acima, pode ser escrita sem nenhum prejuízo da elegância, nem do rigor, como:
p(A/B) = [n(A B)/n(U)] . [n(U)/n(B)]
p(A/B) = p(A B) . 1/p(B)
Vem, então: P(A/B) = p(A  B)/p(B), de onde concluímos finalmente:
p(A  B) = p(A/B).p(B) 
Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas.
Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B, sabendo-se que já ocorreu o evento B.
Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, então p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula acima fica:
p(A  B) = p(A) . p(B) 
Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes, é igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.
Exemplo:
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. 
Calcule as probabilidades de:
a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).
Solução:
p(V  B) = p(V) . p(B/V)
p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:
p(B/V) = 2/6 = 1/3
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:
P(V  B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8% 
b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.
Solução:
Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade buscada poderá ser calculada como:
P(V  B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%
Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir.
Vimos na aula anterior, que num espaço amostral U, finito e equiprovável, a probabilidade de ocorrência de um evento A é dada por:
onde n(A) = n.º de elementos de A e n(U) = n.º de elementos de U.
Sabe-se que p(A) é um número real que pode assumir valores de 0 a 1, sendo p(A) = 0, a probabilidade de um evento impossível (conjunto vazio) e p(A) = 1, a probabilidade de um evento certo (conjunto universo).
Já sabemos tambémque definido um evento A, podemos considerar o seu evento complementar 
A’ = {x  U; x A}. 
Além disto, vimos que p(A’) = 1 – p(A).
Vejamos um exemplo de aplicação imediata das fórmulas acima:
Ao sortear ao acaso um dos números naturais menores que 100, qual a probabilidade do número sorteado ser menor do que 30?
Ora, neste caso, o nosso espaço amostral é: U = {0,1,2,3, ... , 99}.
O evento A é igual a: A ={0,1,2,3, ... , 29}.
O evento complementar de A é igual a: A’= {30,31,32, ... , 99}.
Temos que: n(U) = 100, n(A) = 30 e n(A’) = 70.
Portanto:
p(A) = 30/100 = 0,30 = 30%
p(A’) = 70/100 = 0,70 = 70%
Vemos que p(A) + p(A’) = 0,30 + 0,70 = 1, o que confirma que a probabilidade de um evento somada à probabilidade do seu evento complementar, é igual à unidade.
Vimos também na aula anterior que, sendo A e B dois eventos do espaço amostral U, podemos escrever:
p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) 
Vejamos um exemplo de aplicação da fórmula supra:
No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter um número ímpar ou mais de 4 pontos na face de cima.
Ora, neste caso, teremos:
Espaço amostral: U = {1,2,3,4,5,6}  n(U) = 6
Evento A: A = {1,3,5}  n(A) = 3
Evento B: B = {5,6}  n(B) = 2
Evento interseção: A  B = {5}  n(A  B) = 1
Então, vem: p(A  B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%.
NOTA: Se A  B =  , então dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos, e, neste caso, 
p(A  B) = p(A) + p(B), já que p() = 0 [evento impossível].
Vejamos um exemplo ilustrativo do caso acima:
Suponha que no lançamento de um dado, deseja-se saber qual a probabilidade de se obter um número par ou um número menor do que 2.
Temos os seguintes eventos:
A = {2,4,6}  n(A) = 3
B = {1} n(B) = 1
A  B =   n(A  B) = 0
Portanto, p(A  B) = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 = 0,6667 = 66,67%
Vimos também na aula anterior, que a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos A e B é dada por: 
p(A  B) = p(A) . p(B/A) OU p(A  B) = p(B) . p(A/B)
onde:
p(A/B) = probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que ocorreu o evento B.
p(B/A) = probabilidade de ocorrer B, sabendo-se que ocorreu o evento A.
Se a ocorrência do evento B não modifica a chance de ocorrer o evento A, diremos que os eventos A e B são INDEPENDENTES e, neste caso, teremos que p(B/A) = p(B), e a fórmula resume-se a: 
p(A B) = p(A).p(B)
O exemplo ilustrativo a seguir, ajudará a entender a afirmação supra:
Qual a probabilidade de em dois lançamentos de um dado, se obter número par no primeiro e número ímpar no segundo? 
Ora, os eventos são obviamente independentes, pois a ocorrência de um não afeta o outro. 
Logo, teremos:
p(A  B) = p(A).p(B) = 3/6 . 3/6 = 1/2.1/2 = 1/4 = 0,25 = 25%.
Vejamos agora, um exemplo de eventos dependentes:
Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola da segunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde?
Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais sejam:
Ou a bola transferida é verde ou a bola transferida é preta. 
Ora, teremos: (observe atentamente a simbologia utilizada, comparando com o que foi dito anteriormente).
1ª possibilidade: a bola transferida é verde :
Probabilidade de que a bola transferida seja verde = p(V) = 4/6 = 2/3 
(4 bolas verdes em 6).
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que a bola transferida é de cor VERDE, será igual a:
P(V/V’) = 4/5 (a segunda caixa possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1 bola preta, portanto, 4 bolas verdes em 5).
Pela regra da probabilidade condicional, vem:
P(V  V’) = p(V) . p(V/V’) = 2/3 . 4/5 = 8/15
2ª possibilidade: a bola transferida é preta :
Probabilidade de que a bola transferida seja preta = p(P) = 2/6 = 1/3 
(2 bolas pretas e 4 verdes, num total de 6).
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola transferida é de cor PRETA, será igual a:
P(V/P) = 3/5 (observe que a segunda caixa possui agora, 1 bola preta + 3 bolas verdes + 1 bola preta transferida = 5 bolas).
Daí, vem:
p(V  P) = p(P) . p(V/P) = 1/3 . 3/5 = 1/5.
Finalmente vem:
P[(V  V’)  (V  P)] = p(V  V’) + p(V  P) = 8/15 + 1/5 = 8/15 + 3/15 = 11/15, que é a resposta do problema.
Mas 11/15 = 0,7333 = 73,33%
Portanto, a probabilidade de que saia uma bola verde é de 73,33%.
Uma interpretação válida para o problema acima é que se o experimento descrito for repetido 100 vezes, em aproximadamente 73 vezes será obtido bola verde. Se o experimento for repetido 1000 vezes, em aproximadamente 733 vezes será obtido bola verde; e se o experimento for repetido um milhão de vezes? 
Resposta: obteremos bola verde em aproximadamente 7333 vezes. Perceberam?
Agora, resolva este:
Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja da cor vermelha é:
a) 18/75
b) 19/45
c) 19/48
d) 18/45
e) 19/75 
Resposta: C
Obs: 19/48 = 39,58%, ou seja, em 10.000 experimentos, seriam obtidos aproximadamente 3958 bolas brancas. Em 100 experimentos? Claro que teríamos aproximadamente 39 bolas brancas. 
Vamos resolver mais algumas questões sobre o assunto.
1 – Uma urna possui três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade dela ser azul seja igual a 2/3?
SOLUÇÃO:
Seja x o número de bolas azuis a serem colocadas na urna. O espaço amostral possuirá, neste caso, 3 + 5 + x = x + 8 bolas. 
Pela definição de probabilidade vista nas aulas anteriores, a probabilidade de que uma bola retirada ao acaso seja da cor azul será dada por: x/(x+8). Mas, o problema diz que a probabilidade deve ser igual a 2/3. 
Logo, vem: x/(x+8) = 2/3; daí, vem, resolvendo a equação do 1º grau: 
3x = 2(x+8) , donde 3x = 2x + 16 e, finalmente vem que x = 16.
Resp: 16 bolas azuis.
2 – Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas 
e x bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as bolas sejam da mesma cor vale 1/2?
SOLUÇÃO:
O espaço amostral do experimento possui n(U) = 1 + 4 + x = x + 5 bolas.
Vamos considerar as três situações distintas possíveis:
A. as bolas retiradas são ambas da cor preta.
Como existe reposição da bola retirada, os eventos são independentes. Logo, a probabilidade que saia uma bola preta (P) e em seguida outra bola preta (P’) será dada por:
p(P  P’) = p(P).p(P’) =[1/(x+5)].[1/(x+5)] = 1/(x+5)2
B. as bolas retiradas são ambas da cor branca.
Usando o mesmo raciocínio anterior e considerando-se que os eventos são independentes (pois ocorre a reposição da bola retirada), teremos:
P(B  B’) = p(B) . p(B’) = [4/(x+5)].[4/(x+5)] = 16/(x+5)2 
C. as bolas retiradas são ambas da cor azul.
Analogamente, vem:
p(A  A’) = p(A) . p(A’) = [x/(x+5)].[x/(x+5)] = x2/(x+5)2
Estes três eventos são INDEPENDENTES – pois com a reposição da bola retirada – a ocorrencia de um dêles, não modifica as chances de ocorrencia do outro. Logo, a probabilidade da união desses três eventos, será igual a soma das probabilidades individuais. Daí, pelos dados do problema, vem que:
[1/(x+5)2] + [16/(x+5)2] + [x2/(x+5)2 ]= 1/2
Vamos resolver esta equação do 2º grau:
(1+16+x2)/(x+5)2 = 1 /2
2(17+x2) = 1. (x+5)2
34 + 2x2 = x2 +10x + 25
x2 – 10x + 9 = 0, de onde concluímos x=1 ou x=9.
Resp: x=1 ou x=9.
Nota: as questões 1 e 2 acima, compareceram no vestibular da FUVEST – 1995 – segunda fase, subdivididas em dois ítens (a) e (b) da questão 
de número 08.
3 – Uma máquina produziu 60 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Escolhendo-se ao acaso dois parafusos dessa amostra, qual a probabilidade de que os dois sejam perfeitos?
Solução:
Existem problemas de Probabilidades nos quais a contagem do número de elementos do espaço amostral U não pode ser feita diretamente. Teremos que recorrer à Análise Combinatória, para facilitar a solução.
Para determinar o número de elementos do nosso espaço amostral U, teremos que calcular quantos grupamentos de 2 parafusos poderemos obter com os 60 parafusos da amostra. Trata-se de um típico problema de Combinações simples, já visto em Análise Combinatória. Teremos então:
n(U) = C60,2 = 60!/(58!.2!) = 60.59.58!/58!.1.2 = 30.59
Considerando-se o evento E: os dois parafusos retirados são perfeitos, vem que:
60 parafusos – 5 defeituosos = 55 parafusos perfeitos.
Teremos então que o número de possibilidades desse evento será dado por:
n(E) = C55,2 = 55!/53!.2! = 55.54.53!/53!.1.2 = 55.27
Logo, a probabilidade de ocorrencia do evento E será igual a:
p(E) = n(E)/n(U) = 55.27/30.59 = 1485/1770 = 0,838983 = 83,8983%
Resp: aproximadamente 84%.
A interpretação deste resultado é que se o experimento for repetido 100 vezes, obteremos aproximadamente em 84 vezes, dois parafusos perfeitos.
Agora resolva as seguintes questões:
Q1) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos.
Resp: aproximadamente 0,05%
Q2) Em relação à questão anterior, determine a probabilidade de numa retirada de 3 parafusos ao acaso, saiam pelo menos dois parafusos defeituosos.
Resp: aproximadamente 2,30%
Observação: pelo menos 2 defeituosos = 2 defeituosos ou 3 defeituosos.
Q3) FEI-SP – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeira serem pretas e a terceira vermelha?
Resp: 5/34 ou aproximadamente 14,7%
Q4) FMU-SP – Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas duas bolas, uma após a outra, sem reposição; a primeira bola retirada é de cor preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja vermelha?
Resp: 5/8 ou 62,5%
Distribuição binomial de probabilidades
Considere um certo experimento aleatório que é repetido n vezes nas mesmas condições. Seja U o espaço amostral desse experimento e A um evento desse espaço amostral. 
Seja A’ o evento complementar do evento A. 
Já sabemos que:
1) p(A) = n(A) / n(U) [fórmula fundamental das probabilidades]
2) p(A) + p(A’) = 1  p(A’) = 1 – p(A)
Para simplificar o desenvolvimento que faremos a seguir, vamos introduzir a seguinte notação:
Probabilidade de ocorrer o evento A = p(A) = p
Probabilidade de ocorrer o evento complementar A’ = p(A’) = q
Podemos escrever: p + q = 1  q = 1 – p
Não é difícil demonstrar que:
Se o experimento for repetido n vezes nas mesmas condições, então, a probabilidade do evento A ocorrer exatamente k vezes será dada pela fórmula:
Onde:
P(n,k) = probabilidade de ocorrer exatamente k vezes o evento A após n repetições.
EXEMPLO
Lança-se um dado 8 vezes. Qual a probabilidade de sair exatamente 5 números iguais a 3?
Solução:
Sejam os eventos:
Evento A: sair o número 3
Evento complementar de A = A’: não sair o número 3
Teremos:
p(A) = 1/6 = p
p(A’) = 1 – 1/6 = 5/6
Portanto, a probabilidade procurada será dada por:
Resp: a probabilidade de sair o número 3 exatamente 5 vezes no lançamento de um dado 8 vezes, é aproximadamente igual a 0,15 ou 15%.
Agora resolva este:
Uma moeda é lançada dez vezes consecutivas. Calcule a probabilidade de sair exatamente duas caras.
Resp: aproximadamente 4,39% (ou 45/1024).
1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.
Solução:
Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k.
A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1.
Logo, k + 3k = 1  k = 1/4.
Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%.
2 – Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.
Resposta: 5/6 = 83,33%
3 – Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. 
Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer.
Solução:
Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem. Pelos dados do enunciado, temos:
p(A) = p(B) = 2.p(C).
Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2.
Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1.
Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a 1. (evento certo). 
Assim, substituindo, vem:
k + k + k/2 = 1  k = 2/5.
Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5.
A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades, ou seja 2/5 + 1/5 = 3/5. 
4 – Uma moeda é viciada, de maneira que as CARAS são três vezes mais prováveis de aparecer do que as COROAS. Calcule as probabilidades de num lançamento sair COROA.
Resp: 1/4.
5 – Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo.
Solução:
Pelo enunciado, podemos escrever:
p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5).
Seja p(2) = k. Poderemos escrever:
p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1.
Então, substituindo, vem:
k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1  k = 2/9.
Assim, temos:
p(2) = p(4) = p(6) = 2/9
p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.
O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo, 
p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.
6 – Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de num único lançamento sair um número ímpar.
Resp: 1/3
7 – Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.
Solução:
Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto, 15 números primos.
Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a probabilidade pedida será igual a 
p = 15/50 = 3/10.
8 - Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de numa única retirada, sair um cartão com um número divisível por 5.
Resp: 1/5.
9 – Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis?
Solução:
Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C3,2 possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a probabilidade procurada será igual a:
P = C3,2 / C10,2 = (3.2/2.1)/(10.9/2.1) = 6/90 = 3/45 = 1/15.
Comentários sobre o cálculo de Cn,p.
Como já sabemos da Análise Combinatória ,
�
Esta é a forma tradicional de se calcular Cn,p.
Na prática, entretanto, podemos recorrer ao seguinte expediente: Cn,p possui sempre p fatores no numerador a partir de n, decrescendo uma unidade a cada fator e p fatores no denominador a partir de p, decrescendo uma unidade a cada fator.
Exemplos:
C10,4 = (10.9.8.7)/(4.3.2.1) = 210.
C8,3 = (8.7.6)/(3.2.1) = 56.