Aplicações de integração

Prévia do material em texto

Aplicações de integração 
 
 
 
Cálculo 2– Prof. Aline Paliga 
Áreas entre curvas 
Nós já definimos e calculamos áreas de regiões que estão sob os gráficos 
de funções. Aqui nós estamos usando integrais para encontrar áreas de 
regiões entre os gráficos de duas funções. 
Considere a região S que está entre duas curvas y=f(x) e y=g(x) e entre as 
retas verticais x=a e x=b, onde f e g são funções contínuas e f(x)≥g(x) 
para todo x em [a,b]. 
 
 
 
 
 
 
 
 ( , ) / , ( ) ( )S x y a x b g x y f x    
Assim como fizemos em aula passada, dividimos S em n faixas de larguras 
iguais e então aproximamos a i-ésima faixa por um retângulo com base Δx 
e . A soma de Riemann é portanto uma aproximação que nós 
intuitivamente pensamos da área de S. 
 
 
 
Esta aproximação parece melhorar 
quando . Portanto nós definimos 
 a área A de S como o valor do limite da 
soma das áreas destes retângulos 
aproximadores: 
 
 
 
 
 
 
   * *
1
n
i i
i
f x g x x

   
   * *i if x g x
   * *
1
lim
n
i i
n
i
A f x g x x


    
n
A área A da região limitada pelas curvas é então: 
 
 
 
Notamos que se g(x)=0, S é a região sob o gráfico de f, e nossa definição 
acima é reduzida à definição anteriormente estudada. 
 
Se f e g forem positivas: 
 
    
b
a
A f x g x dx   
   
   
[ ( )] [ ( )]
 = 
 
b b
a a
b
a
A área sob y f x área sob y g x
f x dx g x dx
f x g x dx
   

   
 

EXEMPLO 1: 
Encontre a área da região limitada por cima 
Por y=ex e por baixo por y=x, e limitada pelos 
lados por x=0 e x=1. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
  
1 1 1
0 0 0
1
2 2 2
1
1 0
0
0
( )
1 0
2 2 2
1 3
1 . .
2 2
x x
x
A e x dx e dx xdx
x
e e e
e e u a
    
   
         
   
    
  
EXEMPLO 2: 
Encontre a área da região entre as parábolas y=x2 e y=2x-x2 . 
 
RESOLUÇÃO: 
Nós primeiro encontramos os pontos de 
intersecção das parábolas resolvendo suas 
equações simultaneamente. 
 
 
 
2 2
2
2
1
2
2
2 2
0
( 1) 0 0 1
0 0 I (0,0)
1 1 I (1,1)
x x x
x x
x x
x x x e x
x y
x y
 

 
    
  
  
   
 
1 1
2 2 2
0 0
1 1 1
2 2
0 0 0
1 1
2 3 2 2 3 3
0 0
(2 ) 2 2
2 2 2
1 0 1 0
2 2 2
2 3 2 2 3 3
2 1
1 . .
3 3
A x x x dx x x dx
x x dx xdx x dx
x x
u a
      
   
       
           
       
  
 
  
Algumas regiões são mais bem tratadas considerando x como uma função 
de y. Se uma região é limitada por curvas com equações x=f(y), x=g(y), 
y=c e y=d, onde f e g são contínuas e f(y)≥g(y) para c≤y≤d, então sua 
área é: 
 
 
 
 
 
 
    
d
c
A f y g y dy   
EXEMPLO 3: 
Encontre a área limitada pela reta y=x-1 e pela parábola y2=2x+6. 
 
RESOLUÇÃO: 
Colocando x como função de y nas duas 
equações: 
 
 
 
2 2
2
2
1 1
2 6 6 2
6
 
2
 3
2
y x x y
y x y x
y
x
y
x
    
    


 
Depois encontramos os pontos de intersecção da parábola e da 
reta resolvendo suas equações simultaneamente. 
 
 
 
 
2
2
2
2
2
2
1
2
1 3
2
6
1
2
2( 1) 6
2 2 6
2 8 0
( 2) ( 2) 4.1.( 8)
2.1
2 6
4 y 2
2
2 1 2 1 1 I (-1,-2)
4 1 4 1 5 I (5,4)
y
y
y
y
y y
y y
y y
y
y y e
y x y
y x y
  

 
  
  
  
     


    
         
      
 
   
 
 
2
4 4
2
2 2
4 4 4
2
2 2 2
4 4
3 2
4
2
2 2
3 23 2
1
( 1) 3 4
2 2
1
4
2
1
4
2 3 2
2 21 4 4
4 4 ( 2)
2 3 3 2 2
81 64 16 4
4 6
2 3 3 2 2
y
A y dy y y dy
y dy ydy dy
y y
y
 
  

 
    
           
   
   
   
       
   
    
          
      
   
          
  
 
 
  
1 72 12
24 12 6 24 18 . .
2 3 2
u a
   
         
   
Volumes 
Na tentativa de encontrar o volume de um sólido nós nos deparamos com 
o mesmo tipo de problema para calcular áreas. 
Começando com um sólido simples chamado cilindro, que é limitado por 
uma região plana B1, chamada base, e a região B2 congruente em um plano 
paralelo. O cilindro consiste em todos os pontos nos segmentos de retas 
perpendiculares à base que unem B1 e B2. Se á área da base é A e a altura 
(distância entre B1 e B2) é h, então o volume é: 
 
 
 
 
V Ah
Para um sólido S que não é um cilindro, nós primeiro “cortamos” S em 
pedaços e aproximamos cada pedaço por um cilindro. Chegamos ao 
volume exato de S através de um processo de limite quando o número de 
partes se torna grande. Pense em fatiar S com uma faca através de x e 
calcular a área dessa fatia. A área A(x) varia quando x aumenta de a a b. 
 
 
 
 seção transversal 
 
 
Vamos dividir S em n fatias de larguras iguais Δx usando os planos Px1, 
Px2,...Se escolhermos pontos de amostragem x
*
i em [xi-1, xi], podemos 
aproximar a i-ésima fatia Si por um cilindro com área de base A(x
*
i ) com 
“altura” Δx . 
 
 
 
 
 
 
 
Adicionando os volumes destas fatias, nós obtemos uma aproximação 
para o volume total: 
 
 
 
 
 
 
  *( )i iV S A x x 
*
1
( )
n
i
i
V A x x

 
Esta aproximação parece melhorar quando . Pense em tornar as 
fatias cada vez mais finas. Portanto, definimos o volume como o limite 
destas somas quando . Mas reconhecemos o limite da soma de 
Riemann como a integral definida, e assim temos o seguinte definição. 
 
n
*
1
lim ( ) ( )
n b
i
an
i
V A x x A x dx


   
n
DEFINIÇÃO DE VOLUME 
Seja S um sólido que está entre x=a e x=b. Se a área da seção 
transversal de S no plano Px, passando por x e perpendicular ao eixo x, 
é A(x), onde A é uma função contínua, então o volume de S é: 
 
 
 
 
EXEMPLO 1: 
Mostre que o volume de uma esfera de raio r é: 
 
 
RESOLUÇÃO: 
Se colocarmos a esfera de tal maneira que o seu 
centro esteja na origem, então o plano Px intercepta 
a esfera em um círculo cujo raio (pelo teorema de 
Pitágoras) é . 
Então a área da seção transversal é: 
 
 
Usando a definição de volume com a=-r e b=r, nós temos: 
 
 
 
 
 
2 2y r x 
34
3
V r
   
2
2 2 2 2 2( )A x y r x r x      
 2 2( )
r r
r r
V A x dx r x dx
 
   
 2 2 2 2
r r r
r r r
V r x dx r dx x dx  
  
      
   
 
 
33 3
2 2
3
2 3 3 3
( )
3 3 3
2 4
2 2 2 . .
3 3 3
r
r
r
r
rx r
r x r r r
r
r r r r r u v
   
    


  
         
    
 
     
 
Pela soma de Riemann: 
 
 
 
 
 
 
 com 5 discos com 10 discos com 20 discos 
 
EXEMPLO 2: 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo 
x da região sob a curva de 0 a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
Se fizermos a rotação ao redor do eixo x, obteremos o sólido 
mostrado acimae se fatiarmos através do ponto x, obtemos um 
disco com raio . A área desta seção transversal é: 
 
y x
 
2
( )A x x x  
x
O sólido está entre x=0 e x=1; assim, o seu volume é: 
 
 
 
 
 
 
1
2 2
1 1
0 0
0
1
( )
2 2 2
x
V A x dx xdx
        
 
 
EXEMPLO 3: 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região 
limitada por 
ao redor de y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3, y=8 e x=0y x
RESOLUÇÃO: 
Como a região é girada ao redor do eixo y, faz sentido 
fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo y e portanto 
Integrar em relação a y. Se nós fatiarmos a uma altura 
 y, obteremos um disco circular com raio x onde : 
 
Então a área da seção transversal é: 
 
 
Como o sólido está entre y=0 e y=8, seu volume é: 
 
 
 
3x y
 
2 2
2 33( )A y x y y    
8
5
38 8 2
3
0 0
0
3.58
5 5
53 3 3
0
( )
5
3
3 3 3 3 3 96
 = 8 2 2 32 . .
5 5 5 5 5 5
y
V A y dy y dy
y u v
 
     
 
    
 
 
      
  
 
1
3 5 3 5
1 1
2 4
0 0
0
1 1 2
( ) ( ) . .
3 5 3 5 15
x x
V A x dx x x dx u v
               
   
 
EXEMPLO 4: 
A região ℜ limitada pelas curvas y=x e y=x2 é girada ao redor do 
eixo x. Encontre o volume do sólido resultante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 arruela (anel) 
Portanto temos: 
   
22 2 2 4( ) ( )A x x x x x     
Os sólidos dos exemplos 1-4 são chamados de sólidos de revolução, 
porque são obtidos pela rotação de uma região ao redor de um eixo. Então 
em geral, calculamos o volume de um sólido de revolução usando a 
fórmula básica da definição: 
 
 ou 
 
e encontramos a A(x) ou A(y) por uma das seguintes maneiras: 
 Se a seção transversal for um disco (exemplo 1 a 3), nós encontramos 
o raio do disco (em termos de x ou y) e usamos: 
 
 Se a seção for uma arruela (exemplo 4), encontramos o raio interno 
rint e o raio externo rext e calculamos a área da arruela subtraindo a área do 
disco interno da área do disco externo: 
 
 
( )
b
a
V A x dx  ( )
d
c
V A y dy 
2( )A raio
2 2( externo) ( interno)A raio raio  