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TRABALHO ESPECIAL DE ESTATÍSTICA APLICADA (736R) Num hospital seis pacientes devem submeter-se a um determinado tipo de cirurgia da qual 68% sobrevivem. Qual é a possibilidade de que no mínimo dois destes pacientes sobrevivam? 68,00% 32,00% 46,24% 2,48% 98,53% Resposta E - . Certa empresa adota o seguinte critério no setor de controle de qualidade: para cada lote de 90 unidades de seu produto, testa por amostragem, apenas 8. O critério de avaliação final é feito da seguinte maneira: se for encontrado no máximo 2 peças defeituosas o lote é aceito normalmente; caso contrário, deve-se passar por outra inspeção. Admitindo-se que em média existem 3 peças defeituosas por lote, calcular quantos desse lotes serão devolvidos para uma segunda inspeção se a produção diária é de 90.000 produtos dia? 9 lotes 2 lotes Nenhum lote 8 lotes 3 lotes Resposta: B – P (X > 2) = 1 – P (X≤ 2) = 1 - P(X=2) - P(X=1) - P(X=0) P(X=2) = Comb.(8; 2) *(3/90)² * (87/90)6 = 0,762 455 P(X=1) = Comb.(8; 1) *(3/90)1 * (87/90)7 = 0,210 332 P(X=0) = Comb.(8; 0) *(3/90)0 * (87/90)8 = 0,025 385 P(X > 2) = 1 –0,998 172 p(x > 2) = 0,001 828 Em 1 000 lotes teremos 1 000 * 0,001 828 ≈ 1,8 ≈ 2 lotes rejeitados/dia Determinada empresa tem quatro eventuais compradores de seu produto, que pagam preços em função da qualidade. O comprador "A" paga R$ 1300,00 por peça, se em uma amostra de 5 peças não encontrar nenhuma defeituosa, caso contrário paga somente R$ 420,00. O comprador "B" paga R$ 980,00 por peça desde que encontre no máximo uma peça defeituosa em 5 peças, caso contrário paga só R$ 700,00. O comprador "C" paga R$ 1000,00 por peça, aceitando até 2 defeitos em uma amostra de 5 peças e R$ 300,00 nas outras situações e o comprador "D" não exige nenhuma inspeção, mas paga apenas R$ 950,00 por peça. Determinar qual dos compradores deveria ser escolhido por último pelo empresário se ele sabe que na produção 10% das peças são defeituosas? A; C; B; D. A; B; D; C. C; B; D; A. B; A; C; D. D; C; B; A. Resposta: C - Os valores abaixo representam a distribuição de probabilidades de X, a procura diária de certo produto. Qual a procura esperada diária deste produto? 1,5 unidades 2,0 unidades 2,5 unidades 3,0 unidades 3,5 unidades Resposta: E – E(x)=0,1+0,2+0,6+1,6+1 E(x)=3,5 unidades As vendas de determinado produto têm apresentado distribuição normal com média de 1200 unidades/mês e desvio padrão de 130 unidades/mês. Se a empresa decide fabricar 1600 unidades naquele mês, qual é a probabilidade dela não poder atender a todos os pedidos naquele mês, por estar com a produção completa. 0,10% 1,00% 10,00% 99,90% 99,00% Resposta: A – Média: 1200 Desvio padrão 130 X= 1600 Z= (1600-1200)/130 = 3,8 De acordo com a tabela de distribuição normal 3,08 = 0,4990 (49,90%) Z= 0,5000 – 0,4990 = 0,0010*100 = 0,10% P(z> 1600-1200/130) = p (z > 3,08) = 0,0010 = 0,10% As vendas de determinado produto têm apresentado distribuição normal com média de 1200 unidades/mês e desvio padrão de 130 unidades/mês. A empresa quer determinar quanto produtos ela deverá fabricar por mês, para que não corra mais de 1% de risco de não poder atender a todos os pedidos, por estar com a produção completa. 1602 unidades 1503 unidades 1367 unidades 898 unidades 1034 unidades Resposta: B – Z= 0,5000 – 0,0100= 0,4900 tabela gaussiana 0,4900 = 2,33 2,33 = (x – 1200)/130 X= 1200 = 2,33*130 X= 1200 + 303 X = 1503 O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino de uma determinada universidade é de 75,5 kg e o desvio padrão 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos estão normalmente distribuídos quantos estudantes têm peso entre 60 e 77,5 kg? 250 estudantes 280 estudantes 294 estudantes 350 estudantes 380 estudantes Resposta: C – Média = 75,5 Desvio padrão = 7,5 P = (60<x<77,5) Z¹ = (60 - 75,5) / 7,5 Z¹ = - 2,07 tabela gaussiana 0,1064 0,4808 + 0,1064 = 0,5872 (58,72%) 500*0,5872 = 293,6 Determinada empresa tem sua produção variável ao longo do tempo de acordo com uma distribuição normal. Historicamente sabe-se que a produção varia em torno da média mensal de 7250 kg com desvio padrão de 127 kg. Considerando-se que não se queira correr mais do que 5% de risco de não se produzir o suficiente para todos os atendimentos, vendas deverão ser limitadas em: 7458 kg 7123 kg 7377 kg 7042 kg 6888 kg Resposta: D – AT= 0,05 x= 7250 + (-1,64)*127 Z= -1,64 x= 1250 – 208,28 x= 7041,72 x~= 7042 kg Recentemente efetuou-se um estudo das modificações percentuais dos preços de alguns produtos de consumo imediato ao longo da última década e verificou-se que estes se distribuem normalmente com média de 46% e desvio padrão de 12%. A proporção dos artigos que sofreram menos de 17% de aumento foi de: 78% 7,8% 1,78% 17,8% 0,78% Resposta: E – P(z<17 – 46 ÷12) = p(z < -29 ÷12) P(z<-2,42) = 0,0078 = 0,78% Recentemente efetuou-se um estudo das modificações percentuais dos preços de alguns produtos de consumo imediato ao longo da última década e verificou-se que estes se distribuem normalmente com média de 46% e desvio padrão de 12%. Admitindo-se que a pesquisa abrangeu 200 produtos, para quantos se esperaria que tivessem seus preços aumentados de pelo menos 62%. 18 artigos 28 artigos 38 artigos 48 artigos 58 artigos Resposta: A – P(z>62 – 46 ÷ 12) = p(z>16÷12) = 1-P(z<1,33) = 1-0,9082=0,0918 200x0,0918 ~= 18,36 Determinada empresa tem suas vendas variáveis ao longo do tempo de acordo com uma distribuição normal. Historicamente sabe-se que a média de vendas é de 6800 kg/mês com desvio padrão de 227 kg/mês. Considerando-se que não se queira correr mais do que 20% de riscos de que a falta de vendas gere estoque a produção máxima a se estabelecer por mês deverá ser de: 6609 kg/mês 6991 kg/mês 5440 kg/mês 8160 kg/mês 6573 kg/mês Resposta: B – Média=6800 Desvio=227 Z= 20% = 0,2000 = -0,84 P(z<0,84) 0,84 = x – 6800 ÷ 227 X= 6800+190,68 x = 6.990,68 Certo tipo de lâmpada tem vida média de 4800 horas com desvio padrão de 440 horas. Em relação a essa situação não podemos afirmar que: Ao se retirar uma amostra de N elementos o valor médio mais provável para esta amostra é de 4800 horas. Não podemos utilizar a distribuição normal em nossos cálculos a não ser que N seja superior a 30. O valor da variável reduzida correspondente a um risco de 5% de não se ultrapassar determinado valor é de –1,65. O erro padrão que a previsão da amostra está submetida depende do tamanho da amostra e do desvio padrão da população. O erro padrão que a previsão da amostra está submetida assume o valor de aproximadamente 23,5 horas para uma amostra de 350 lâmpadas. Resposta: C – Risco= 5% 95% confiabilidade α = 100% - 95% = 5 % α / 2 = 5% / 2 = 2,5% = 0,0250 = Zc= -1,96 Certo tipo de lâmpada tem vida média de 4800 horas com desvio padrão de 440 horas. Considerando-se que não se queira ter um risco de mais do que 5% que uma amostra dessas lâmpadas retirada não ultrapasse a vida útil de 4700 horas, podemos afirmar: O erro padrão deve ser de aproximadamente 440 horas. O erro padrão deve ser de no mínimo 100 horas O erro padrão é proporcional ao desvio padrão de 440 horas e ao tamanho da amostra. O erro padrão deve ser de aproximadamente 61 horas. As respostas c e d estão corretas. Resposta: C – n=1 = ? = = = 440 Através de uma amostragem prévia determinou-se que o índice de cura de dois medicamentos A e B eram respectivamente de 68% e 59%. Deseja-se ter 94% de certeza de que o erro esperado da estimação da comparação entre os dois medicamentos seja inferior a 5%. Com relação à situação acima não podemos afirmar que: O valor mais provável para a diferença entre os índices de cura é de 9% a favor do medicamento A. O erro esperado para esta estimativa deve ser de 5%. O erro padrão para esta estimativadeve ser de 5%. Para uma confiabilidade de 94% devemos utilizar um índice de confiabilidade de 1,88. Existe uma e apenas uma alternativa errada entre as anteriores. Resposta: D – 94% certeza A-B 5% α=100% - 94% = 6% = = 3% = 0,0300 = Zc : -1,88 Através de uma amostragem prévia determinou-se que o índice de cura de dois medicamentos A e B eram respectivamente de 68% e 59%. Deseja-se ter 94% de certeza de que o erro esperado da estimação da comparação entre os dois medicamentos seja inferior a 5%.A estimativa proposta só poderá ser feita se o tamanho da amostra for: Em torno de 650 elementos Menos de 649 elementos Em torno de 308 elementos Entre 308 e 640 elementos Nenhuma das respostas anteriores. Dentre todos os alunos de Estatística foi retirada uma amostra de 257 elementos que revelou um nível de aprovação de 81%. Baseada nesta amostra foi feita a estimativa que a aprovação de todos os alunos será de 81% 4%. Na situação acima podemos afirmar que: O erro esperado é de 4%. O erro padrão é de 2,45%. O erro esperado é de 2,45% . As questões a e c estão corretas Nenhuma das alternativas acima está correta. Resposta: B – = = = 0,0245=2,45% Dentre todos os alunos de Estatística foi retirada uma amostra de 257 elementos que revelou um nível de aprovação de 81%. Baseada nesta amostra foi feita a estimativa que a aprovação de todos os alunos será de 81% 4%. Com relação à confiabilidade da estimativa feita acima não podemos afirmar que: O valor do coeficiente de confiabilidade é de 1,63. A confiabilidade é de 94,84% A confiabilidade é de 89,68% O erro esperado para uma confiabilidade de 100% seria de 9,79%. As quatro alternativas acima estão erradas. Resposta: B – Z = 1,63 = 94,84% Os dados abaixo referem-se a amostra de 180 unidades retiradas das populações de dois tipos cabos de: Cabo Resistência média à quebra Desvio Padrão A 19.800 kg 620 kg B 18.300 kg 390 kg Baseados nos dados acima nós podemos afirmar que: A amostra do cabo A irá resistir mais do que a amostra do cabo B em pelo menos 1500 kg. Um cabo A irá sempre resistir mais do que um cabo B. A amostra do cabo A provavelmente irá resistir mais do que a amostra cabo B em mais de 1500 kg. É possível prever que o mais provável é que a amostra retirada do cabo A irá suportar 1500 kg a mais do que a amostra do cabo B. Nenhuma das respostas anteriores. Resposta: B – = = = 46,20 ; = = = 29,06 m - = 19.800 – 18300 = 1500 mín: 1500 - 4×54,58 máx: 1500 + 4×54,58 =1500 – 218,32 =1500 + 218,32 = 1281,68 =1718,32 Se (A-B) > 0 - A>B Os dados abaixo se referem à amostra de 180 unidades retiradas das populações de dois tipos cabos de aço Cabo Resistência média à quebra Desvio Padrão A 19.800 kg 620 kg B 18.300 kg 390 kg As previsões baseadas nos dados acima descritas estão sujeitas a um erro padrão que: É aproximadamente igual a 55 kg. É de 1010 kg É de 505 kg Só pode ser determinado se soubéssemos a confiabilidade. Existem duas questões corretas entre as anteriores. RESPOSTA: A - o cálculo está no execício acima - = 54,58 55kg Os dados abaixo se referem à amostra de 180 unidades retiradas das populações de dois tipos cabos de aço Cabo Resistência média à quebra Desvio Padrão A 19.800 kg 620 kg B 18.300 kg 390 kg Ao compararmos as duas amostras descritas acima podemos afirmar que: É impossível que a amostra A suporte mais do que a amostra B, 1600 kg em média. Existe uma probabilidade de 96,64% de que a amostra A suporte mais do que a amostra B pelo menos 1600 kg em média. Existe uma probabilidade de 3,36% de que a amostra A suporte mais do que a amostra B pelo menos 1600 kg em média. Existe uma probabilidade de 57,14% de que a amostra A suporte mais do que a amostra B pelo menos 1600 kg em média. Existe uma probabilidade de 42,86% de que a amostra A suporte mais do que a amostra B pelo menos 1600 kg em média Resposta: C – = 1,83 = 0,9664 = 1- 0,9664 = 0,0336 ou 3,36%
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