Elementos de Máquinas UNIDADE 2 Análise de falhas sob carregamento estático

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Unidade 2 
Análise de falhas sob 
carregamento estático 
Elementos 
de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Teoria de falha estática 
 Tipo de carregamento 
 
 Carregamentos estáticos 
são aplicados lentamente, permanecendo constantes com 
o tempo. 
 
 Carregamentos dinâmicos 
são aplicados repentinamente (caso de impacto) e/ou 
variando repetidamente com o tempo (caso de cargas por 
fadiga). 
 
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Teoria de falha estática 
 Falha de acordo com o tipo de material 
 
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Corpo de prova 
Ensaio de Tração 
Teoria de falha estática 
 Falha de acordo com o tipo de material 
 
 Material dúctil 
Qualquer material que possa ser submetido a grandes 
deformações antes da ruptura 
 
São capazes de absorver choque ou energia e, quando 
sobrecarregados, exibem, em geral, grande escoamento 
antes de falhar. 
 
Exemplo: 
 Aço 
 
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Falha de um 
material dúctil 
Teoria de falha estática 
 Falha de acordo com o tipo de material 
 
 Material frágil 
Sofrem fratura, praticamente sem mudanças significativas 
de sua forma externa 
 
São materiais que apresentam pouco (ou nenhum) 
escoamento antes de falhar. 
 
Exemplo: 
 Ferro Fundido 
 
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Falha de um 
material frágil 
Teoria de falha estática 
 As teorias de falha são fundamentais para a 
determinação de critérios para a previsão da falha 
de um determinado material frente a um estado bi 
ou tridimensional de tensões, sendo as mais clássicas: 
 
 Materiais Frágeis 
 Teoria da Máxima Tensão Normal (Rankine) 
 Critério de Falha de Mohr 
 
 Materiais Dúcteis 
 Teoria da Máxima Tensão Cisalhante (Tresca) 
 Teoria da Máxima Energia de Distorção (Von Mises) 
 
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Teoria da Máxima Tensão Normal 
(Rankine) 
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 Materiais Frágeis 
 
 Definição (Shigley) 
 
“a falha ocorre sempre que uma das três tensões 
principais iguala-se ou excede à resistência” 
 
 Em outras palavras: 
 
“a falha ocorre quando a tensão principal máxima no 
material atinge (ou excede) a tensão normal máxima 
que o material pode suportar em um teste de tração 
uniaxial” 
 
 
 
Teoria da Máxima Tensão Normal 
(Rankine) 
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 Para o caso de tensão tridimensional: 
 
𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ 𝜎3 
 
 Essa teoria prediz ocorrência de falha sempre que: 
 
𝜎1 ≥ 𝑆𝑢𝑡 𝑜𝑢 𝜎3 ≤ −𝑆𝑢𝑐 
 
 Onde: 
𝑆𝑢𝑡 = resistência de tração última (do teste de tração) 
𝑆𝑢𝑐 = resistência de compressão última 
𝜎𝑖 = tensão normal máxima do material 
 
 
Teoria da Máxima Tensão Normal 
(Rankine) 
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 Para o caso de tensão bidimensional (plana): 
 
𝜎2 = 0 𝑒 𝜎1 ≥ 𝜎3 
 
𝜎𝐶 = 0 𝑒 𝜎𝐴 ≥ 𝜎𝐵 
 
 Essa teoria prediz ocorrência de falha sempre que: 
 
𝜎1 ≥ 𝑆𝑢𝑡 𝑜𝑢 𝜎3 ≤ −𝑆𝑢𝑐 
 
𝜎𝐴 ≥ 𝑆𝑢𝑡 𝑜𝑢 𝜎𝐵 ≤ −𝑆𝑢𝑐 
 
 
 
Estado seguro 
 das tensões 
𝜎1 
𝜎2 
𝑆𝑢𝑡 
𝑆𝑢𝑡 
−𝑆𝑢𝑐 
−𝑆𝑢𝑐 
Teoria da Máxima Tensão Normal 
(Rankine) 
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 Estas equações podem ser plotadas no plano 
𝜎1 − 𝜎2 conforme apresentado na figura abaixo: 
 
Diagrama de falha para a teoria da 
tensão normal máxima (tensão plana) 
Teoria da Máxima Tensão Normal 
(Rankine) 
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 Fator de Segurança 
 
 
“relação entre a tensão do material e a tensão 
aplicada” 
 
 
 Para o caso de tensão bidimensional (plana) 
 
 
𝐹𝑆 ≥
𝑆𝑢𝑡
𝜎𝐴
𝑜𝑢 𝐹𝑆 ≤ −
𝑆𝑢𝑐
𝜎𝐵
 
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Materiais regulares e irregulares 
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 Materiais regulares 
são aqueles que tendem a apresentar uma resistência a 
compressão igual a resistência a tração. 
Ex: Ferro Fundido 
 
𝑆𝑢𝑐 = 𝑆𝑢𝑡 
 
 Círculo de Mohr 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝜎1
2
 
Materiais regulares e irregulares 
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 Materiais irregulares 
são aqueles que tendem a apresentar uma resistência a 
compressão muito superior a resistência a tração. 
Ex: Ferro Fundido Cinza 
 
𝑆𝑢𝑐 ≫ 𝑆𝑢𝑡 
 
 Círculo de Mohr 
𝜏𝑖 = 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑐 
Teoria de Rankine 
não é aplicável 
Materiais regulares e irregulares 
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 Linhas de falha: Região segura do projeto 
 
 Círculo de Mohr para cisalhamento puro 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜎1 = 𝜎2 
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 Materiais Frágeis 
 
 Como visto anteriormente, a teoria da Máxima 
Tensão Normal (Rankine) é aplicável apenas para 
materiais frágeis regulares. 
 
 Assim, para prever falhas em materiais frágeis 
irregulares o critério de falha de Mohr ou a teoria de 
falha de Coulomb-Mohr é a mais indicada. 
 
 Essa teoria é uma adaptação da teoria da máxima 
tensão normal 
Critério de falha de Mohr 
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 A figura abaixo ilustra o critério de Coulomb-Mohr para 
materiais frágeis, considerando a máxima resistência à 
tração 𝑆𝑢𝑡 
Critério de falha de Mohr 
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 Para materiais frágeis regulares temos: 
 
𝑺𝒖𝒄 = 𝑺𝒖𝒕 
quadrado simétrico 
 
 Para materiais frágeis irregulares temos: 
 
𝑺𝒖𝒄 ≫ 𝑺𝒖𝒕 
quadrado assimétrico. 
 
 Em que: 
𝑆𝑢𝑡 = resistência de tração última (do teste de tração) 
𝑆𝑢𝑐 = resistência de compressão última 
 
 
Critério de falha de Mohr 
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 Porém, a envoltória de falha para materiais 
irregulares é válida somente nos 1º e 3º quadrantes, 
por não considerar a relação de variação existente 
entre as tensões normal e de cisalhamento. 
Critério de falha de Mohr 
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 Relação de dependência 
a relação de dependência entre tensão normal (𝝈) e 
tensão de cisalhamneto (𝝉) é contemplada através da 
união dos vértices destes dois quadrantes 
Critério de falha de Mohr 
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𝜏𝑖 = 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑐 
materiais irregulares 
𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡 
𝑆𝑢𝑡, 0 
0, 𝑆𝑢𝑡 
−𝑆𝑢𝑐 , 0 
−𝑆𝑢𝑐, −𝑆𝑢𝑐 
 Teoria de Mohr 
Critério de falha de Mohr 
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Estado seguro 
 das tensões 
0,−𝑆𝑢𝑐 
𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡 
𝑆𝑢𝑡, −𝑆𝑢𝑡 
0,−𝑆𝑢𝑐 
−𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡 
−𝑆𝑢𝑐 , 0 
−𝑆𝑢𝑐, −𝑆𝑢𝑐 
 Teoria de Mohr modificada 
experimentalmente 
Critério de falha de Mohr 
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Estado seguro 
 das tensões 
 Fator de Segurança 
Analisando os 1º e 2º quadrantes da figura referente ao 
critério de Mohr modificado, definem-se claramente três 
planos de condições de tensão: 
 
I. plano A, onde 𝝈𝟏 e 𝝈𝟑 são sempre positivos; 
 
II. plano B, onde 𝝈𝟏 e 𝝈𝟑 tem sinais opostos e o limite de 
resistência em 𝑺𝒖𝒕; 
 
III. plano C, onde 𝝈𝟏 e 𝝈𝟑 tem sinais opostos e os limites 
de resistência em 𝑺𝒖𝒕 e 𝑺𝒖𝒄. 
 
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Critério de falha de Mohr 
𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡 
𝑆𝑢𝑡, −𝑆𝑢𝑡 
0,−𝑆𝑢𝑐 
−𝑆𝑢𝑡, 𝑆𝑢𝑡 
−𝑆𝑢𝑐 , 0 
−𝑆𝑢𝑐, −𝑆𝑢𝑐 
Estado seguro 
 das tensões 
𝑆𝑢𝑡, −𝑆𝑢𝑐 
 Fator de Segurança 
 
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Critério de falha de Mohr 
 Fator de Segurança 
 
 Para os planos A e B, temos: 
 
 
𝐹𝑆 ≥
𝑆𝑢𝑡
𝜎1
𝑜𝑢 𝐹𝑆 ≤ −
𝑆𝑢𝑐
𝜎3
 
 
 
 Pois a falha ocorre quando as linhas de carga 
ultrapassam os pontos A’ e B’, respectivamente, para 
os planos A e B. 
 
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Critério de falha de Mohr 
 Fator de Segurança 
 
 Para o plano C, temos: 
 
𝐹𝑆 ≥
𝑆𝑢𝑡
𝜎 
 
 
 Sendo (𝜎 ) a tensão efetiva para materiais frágeis e, 
determinada por: 
 
𝜎 = 𝑀𝐴𝑋 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 
 
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Critério de falha de Mohr 
 Se 𝜎 = 𝑀𝐴𝑋 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 ≤ 0 ⇒ 𝜎 = 0 
 
 expressão de Dowling: 
 
𝐶1 =
1
2
𝜎1 − 𝜎2 +
𝑆𝑢𝑐 + 2𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑢𝑐
𝜎1 + 𝜎2 
 
𝐶2 =
1
2
𝜎2 − 𝜎3 +
𝑆𝑢𝑐 + 2𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑢𝑐
𝜎2 + 𝜎3 
 
𝐶3 =
1
2
𝜎3 − 𝜎1 +
𝑆𝑢𝑐 + 2𝑆𝑢𝑡
𝑆𝑢𝑐
𝜎3 + 𝜎1 
 
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Critério de falha de Mohr 
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𝝈𝟏 −𝝈𝟐 
𝝉𝒎𝒂𝒙 
−𝝉𝒎𝒂𝒙 
𝑻 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑵 ∙ 𝒎 
𝑻 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑵 ∙ 𝒎 
𝒓 
 O eixo maciço de ferro fundido mostrado na figura abaixo 
está sujeito a um torque 𝑻 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝑵 ∙ 𝒎 e cisalhamento 
puro 
 
 Determine seu menor raio de forma que ele não falhe 
segundo a teoria da máxima tensão normal. 
 
 Um corpo de prova de ferro fundido, testado a tração, 
apresenta uma tensão última 𝑺𝒖𝒕 = 𝟏𝟓𝟎 𝒌𝑷𝒂. 
Exercícios - 1 
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 Depois que falhas ocorreram em diversas caixas de rolamento de 
ferro fundido, tomou-se a decisão de usar rosetas de extensômetros 
(stran-gages) para determinar as tensões de operação e então 
realizar uma análise de falha usando o critério de falha de Mohr. 
 
 Durante um longo período de operação, a combinação mais 
crítica de tensões foi estabelecida como sendo ( 𝝈𝒙 = 𝟎 , 
𝝈𝒚 = 𝟏𝟏𝟓 𝑴𝑷𝒂, 𝝉𝒙𝒚 = 𝟕𝟓 𝑴𝑷𝒂); e os limites de resistência em tração e 
compressão do ferro fundido foram determinados como sendo 
𝑺𝒖𝒕 = 𝟏𝟔𝟎 𝑴𝑷𝒂 e 𝑺𝒖𝒄 = 𝟔𝟓𝟓 𝑴𝑷𝒂, respectivamente. Determine: 
 
(a) tensões principais 𝝈𝟏 e 𝝈𝟐 correspondentes ao estado de tensão 
dado. 
 
(b) Construa um diagrama de falha de Mohr, para o ferro fundido. 
 
(c) Usando os resultados obtidos nos itens (a) e (b), você poderia 
explicar porque as falhas estão ocorrendo nas caixas de 
rolamentos? Mostre seus cálculos. 
Exercícios - 2 
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 Considere a chave de roda da figura a seguir, como feita 
de ferro fundido, usinada para as dimensões fornecidas. 
 
 A força 𝑭 requerida para a fratura dessa peça pode ser 
considerada a resistência da componente da peça. 
 
 Se o material utilizado é o ferro fundido 𝑨𝑺𝑻𝑴 𝒈𝒓𝒂𝒖 𝟑𝟎 , 
encontre a força 𝑭 com o modelo de falha de Mohr 
modificado. 
 
 Dados: 
𝑆𝑢𝑡 = 215 𝑀𝑃𝑎 
𝑆𝑢𝑐 = 750 𝑀𝑃𝑎 
Exercícios - 3 
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∅ 𝟓 𝒄𝒎 
𝟓 𝒄𝒎 
𝟑𝟎 𝒄𝒎 
𝟒𝟎 𝒄𝒎 
Exercícios - 3 
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Teoria da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Teoria de Tresca) 
 Materiais Dúcteis 
 
 Definição (Shigley) 
 
“prevê que o escoamento começa sempre que a 
tensão máxima de cisalhamento em qualquer 
elemento iguala-se ou excede à tensão máxima de 
cisalhamento em um espécime de ensaio de tração do 
mesmo material quando aquele espécime começa a 
escoar” 
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Teoria da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Teoria de Tresca) 
 Materiais Dúcteis 
 
 Em outras palavras: 
 
“a falha ocorre quando a tensão de cisalhamento 
máxima em uma região supera a tensão de 
cisalhamento resultante de um teste de falha por 
tração” 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥_𝑒𝑠𝑝é𝑐𝑖𝑚𝑒 ≥ 𝜏𝑚𝑎𝑥_𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒_𝑡𝑟𝑎çã𝑜 
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Teoria da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Teoria de Tresca) 
 Neste caso, para materiais dúcteis, a resistência ao 
cisalhamento é a metade da resistência ao 
escoamento por tração. 
 
𝑆𝑠𝑦 = 0,50 ∙ 𝑆𝑦 
 ou 
𝑆𝑠𝑦 =
𝑆𝑦
2
 
 
 Onde: 
𝑆𝑦 = 𝜎𝑒 → resistência ao escoamento por tração 
𝑆𝑠𝑦 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 → resistência ao escoamento em cisalhamento 
 
 
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Teoria da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Teoria de Tresca) 
 Círculo de Mohr para Solicitação por Tração 
 
 
 
 
 
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𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝜎1 − 𝜎3
2
 
Teoria da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Teoria de Tresca) 
 De acordo com a figura temos: 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝜎1 − 𝜎3
2
 
 
 Pela definição de Tresca: 
 
𝑆𝑠𝑦 =
𝑆𝑦
2
 
 
 Reescrevendo, temos: 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑆𝑠𝑦 ⇒ 
𝜎1 − 𝜎3
2
=
𝑆𝑦
2
 ⇒ 𝜎1 − 𝜎3 = 𝑆𝑦 
 
 
 
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Teoria da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Teoria de Tresca) 
 Logo, para um estado de tensão geral, a teoria da 
máxima tensão de cisalhamento prevê escoamento 
quando: 
 
𝜎1 − 𝜎3 ≥ 𝑆𝑦 
 
 E, considerando 𝑆𝑦 = 𝜎𝑒 temos: 
 
𝜎1 − 𝜎3 = 𝜎𝑒 
 
 
 
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Teoria da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Teoria de Tresca) 
 Porém, para realizar a correta análise segundo a 
teoria de Tresca, há três casos a considerar quando 
utilizarmos a equação definida anteriormente, sendo 
eles: 
 
𝜎1 − 𝜎3 ≥ 𝜎𝑒 
 
 Caso 1 
 𝜎1 = 𝜎𝐴 e 𝜎3 = 0 → 𝜎𝐴 ≥ 𝜎𝐵 ≥ 0 → ambos positivos 
 
𝝈𝑨 ≥ 𝝈𝒆 
 
 
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Teoria da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Teoria de Tresca) 
 Porém, para realizar a correta análise segundo a 
teoria de Tresca, há três casos a considerar quando 
utilizarmos a equação definida anteriormente, sendo 
eles: 
 
𝜎1 − 𝜎3 ≥ 𝜎𝑒 
 
 Caso 2 
 𝜎1 = 𝜎𝐴 e 𝜎3 = 𝜎𝐵 → 𝜎𝐴 ≥ 0 ≥ 𝜎𝐵 → sinais opostos 
 
𝝈𝑨 − 𝝈𝑩 ≥ 𝝈𝒆 
 
 
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Teoria da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Teoria de Tresca) 
 Porém, para realizar a correta análise segundo a 
teoria de Tresca, há três casos a considerar quando 
utilizarmos a equação definida anteriormente, sendo 
eles: 
 
𝜎1 − 𝜎3 ≥ 𝜎𝑒 
 
 Caso 3 
 𝜎1 = 0 e 𝜎3 = 𝜎𝐵 → 0 ≥ 𝜎𝐴 ≥ 𝜎𝐵 → ambos negativos 
 
𝝈𝑩 ≤ −𝝈𝒆 
 
 
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Teoria da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Teoria de Tresca) 
 São consideradas dentro dos limites de segurança, as 
tensões combinadas que se localizarem na área 
interna ao hexágono, estando o elemento sujeito à 
falha quando estas se posicionarem sobre o contorno 
que delimita o hexágono: 
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Teoria da Máxima Tensão de 
Cisalhamento (Teoria de Tresca) 
 Fator de Segurança 
Para propósitos de projeto, aequação de Tresca 
pode ser modificada para incorporar um fator de 
segurança (𝑭𝑺). Assim: 
 
𝜎1 − 𝜎3 =
𝜎𝑒
𝐹𝑆
 
 
Isolando (𝐹𝑆) temos: 
 
𝐹𝑆 =
𝜎𝑒
𝜎1 − 𝜎3
 
 
 
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 O eixo maciço mostrado na figura abaixo tem raio de 
𝟎, 𝟓 𝒄𝒎 e é feito de aço com tensão de escoamento de 
𝝈𝒆 = 𝟑𝟔𝟎 𝑴𝑷𝒂. 
Exercícios - 1 
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 Determine se as cargas 
provocam a falha do 
eixo de acordo como 
a teoria de Tresca. 
𝜎𝑥 
𝜏𝑥𝑦 
 Um componente de máquina construído em aço, está 
submetido ao estado de tensões indicado. 
 
 O aço utilizado tem tensão de escoamento 𝝈𝒆 = 𝟑𝟑𝟏 𝑴𝑷𝒂. 
 
 Determine se vai ocorrer escoamento de acordo com o 
critério de Tresca. 
 
(a) considerar 𝝈𝒐 = 𝟐𝟏𝟎 𝑴𝑷𝒂 
(b) considerar 𝝈𝒐 = 𝟐𝟗𝟒 𝑴𝑷𝒂 
Exercícios - 2 
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10 𝑘𝑃𝑎 
8 𝑘𝑃𝑎 
4 𝑘𝑃𝑎 
 O estado de tensões atuantes no ponto crítico de um 
elemento de máquina é mostrado na figura abaixo. 
 
 Determine a menor tensão de escoamento para um aço a 
ser selecionado para a fabricação do componente, 
baseado na teoria da máxima tensão cisalhante. 
Exercícios - 3 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Materiais Dúcteis 
 
 Definição (Shigley) 
 
“prevê que ocorre escoamento quando a energia de 
deformação por distorção em uma unidade de volume 
alcança ou excede à energia de deformação por 
distorção por unidade de volume correspondente ao 
escoamento sob tração ou compressão do mesmo 
material” 
 
𝑈𝑑𝑖𝑠𝑡𝑜çã𝑜_𝑒𝑠𝑝é𝑐𝑖𝑚𝑒 ≥ 𝑈𝑑𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟çã𝑜_𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒_𝑡𝑟𝑎çã𝑜 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Materiais Dúcteis 
 
 Em outras palavras: 
 
O escoamento ocorre devido ao deslizamento relativo 
das partículas de material dentro dos limites de sua 
estrutura. Tal deslizamento é provocado por tensões de 
cisalhamento, sendo acompanhado por uma distorção 
na forma do elemento em questão. A energia 
armazenada neste elemento devido à distorção é um 
indicador das tensões de cisalhamento presentes no 
material 
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Energia de 
Deformação 
Alteração 
de volume 
Alteração 
de forma 
Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Energia Total de Deformação 
 
 Define-se por energia de deformação 𝑼 a área sob 
a curva tensão-deformação, contida até o ponto 
correspondente à tensão aplicada 𝝈𝒊 , para um 
estado de tensão unidirecional. 
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𝑈 =
1
2
∙ 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
𝑈 =
1
2
∙ 𝜎 ∙ 𝜀 
Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Energia Total de Deformação 
 
 Considerando um estado tridimensional de tensões, 
temos: 
 
𝑈 =
1
2
∙ 𝜎𝑖 ∙ 𝜀𝑖 
 
𝑈 =
1
2
𝜎1𝜀1 + 𝜎2𝜀2 + 𝜎3𝜀3 
 
 Onde: 
𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 → tensões principais presentes no material 
 𝜀1, 𝜀2, 𝜀3 → deformações principais no material 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Energia Total de Deformação 
 
 Da Lei de Hooke (generalizada), temos: 
 
𝜀1 =
1
𝐸
𝜎1 − 𝜈 𝜎2 + 𝜎3 
 
𝜀2 =
1
𝐸
𝜎2 − 𝜈 𝜎1 + 𝜎3 
 
𝜀3 =
1
𝐸
𝜎3 − 𝜈 𝜎1 + 𝜎2 
 Onde: 
𝜈 → coeficiente de Poisson 
 
 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Energia Total de Deformação 
 
 Combinando a equação da Energia (𝑼) com a 
Lei de Hooke generalizada 𝜺𝒊 , temos: 
 
 
 
𝑈 =
1
2𝐸
𝜎1
2 + 𝜎2
2 + 𝜎3
2 − 2𝜈 𝜎1𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎1𝜎3 
 
Elementos de Máquinas 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Componentes da Energia de Deformação 
 
 A energia total de deformação, em um elemento 
sujeito a carregamento estático, é composta por 
duas componentes: 
 
 carregamento hidrostático 
 → altera o volume do elemento 
 
 distorção 
 → altera a forma do elemento 
 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Componentes da Energia de Deformação 
 
Elementos de Máquinas 
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(a) estado triaxial de tensões 
(b) variação de volume (carregamento hidrostático) 
(c) Variação de forma (distorção) 
Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Componentes da Energia de Deformação 
 
 Assim, separando as duas componentes da energia 
de deformação e isolando a componente da 
energia de distorção, esta será um indicador da 
tensão de cisalhamento presente no elemento. 
 
 Se 𝑼𝒅 é a energia de deformação por distorção e 
𝑼𝒉 representa a energia de deformação 
hidrostática, então: 
 
𝑈 = 𝑈𝑑 + 𝑈ℎ ⇒ 𝑈𝑑 = 𝑈 − 𝑈ℎ 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Componentes da Energia de Deformação 
 
 As tensões principais, por sua vez, também podem 
ser expressas em termos de componente hidrostático 
(ou volumétrico), que é a mesma para todas as faces 
do material; e da componente de distorção, que 
varia de acordo com a face considerada. 
 
𝜎1 = 𝜎1𝑑 + 𝜎ℎ 
 
𝜎2 = 𝜎2𝑑 + 𝜎ℎ 
 
𝜎3 = 𝜎3𝑑 + 𝜎ℎ 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Componentes da Energia de Deformação 
 
 Somando as tensões principais, temos: 
 
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 = 𝜎1𝑑 + 𝜎ℎ + 𝜎2𝑑 + 𝜎ℎ + 𝜎3𝑑 + 𝜎ℎ 
 
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 = 𝜎1𝑑 + 𝜎2𝑑 + 𝜎3𝑑 + 3𝜎ℎ 
 
 Portanto: 
 
3𝜎ℎ = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 − 𝜎1𝑑 + 𝜎2𝑑 + 𝜎3𝑑 
 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Componentes da Energia de Deformação 
 
 Para uma redução volumétrica, sem distorção, a 
tensão hidrostática se reduz a uma média aritmética 
das tensões principais: 
 
3𝜎ℎ = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 − 𝜎1𝑑 + 𝜎2𝑑 + 𝜎3𝑑 
 
 
3𝜎ℎ = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 
 
𝜎ℎ =
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3
3
 
 
 
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(Teoria de von Mises) 
 Componentes da Energia de Deformação 
 
 Substituindo as tensões principais 𝝈𝟏, 𝝈𝟐, 𝝈𝟑 pela 
tensão hidrostática 𝝈𝒉 na equação da Energia 𝑼 , 
obtemos a energia de deformação hidrostática 𝑼𝒉 : 
 
𝑈 =
1
2𝐸
𝜎1
2 + 𝜎2
2 + 𝜎3
2 − 2𝜈 𝜎1𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎1𝜎3 
 
𝑈ℎ =
1
2𝐸
𝜎ℎ
2 + 𝜎ℎ
2 + 𝜎ℎ
2 − 2𝜈 𝜎ℎ𝜎ℎ + 𝜎ℎ𝜎ℎ + 𝜎ℎ𝜎ℎ 
 
𝑈ℎ =
1
2𝐸
𝜎ℎ
2 + 𝜎ℎ
2 + 𝜎ℎ
2 − 2𝜈 𝜎ℎ
2 + 𝜎ℎ
2 + 𝜎ℎ
2 
 
 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Componentes da Energia de Deformação 
 
𝑈ℎ =
1
2𝐸
𝜎ℎ
2 + 𝜎ℎ
2 + 𝜎ℎ
2 − 2𝜈 𝜎ℎ
2 + 𝜎ℎ
2 + 𝜎ℎ
2 
 
𝑈ℎ =
1
2𝐸
3𝜎ℎ
2 − 2𝜈 3𝜎ℎ
2 
 
𝑈ℎ =
1
2𝐸
3𝜎ℎ
2 1 − 2𝜈 
 
𝑈ℎ =
3 1 − 2𝜈
2𝐸
𝜎ℎ
2 
 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) Componentes da Energia de Deformação 
 
 Substituindo a tensão hidrostática 𝝈𝒉 pelas tensões 
principais 𝝈𝟏, 𝝈𝟐, 𝝈𝟑 em 𝑼𝒉 , temos: 
 
𝑈ℎ =
3 1 − 2𝜈
2𝐸
𝜎ℎ
2 
 
𝑈ℎ =
3 1 − 2𝜈
2𝐸
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3
3
2
 
 
𝑈ℎ =
1 − 2𝜈
6𝐸
𝜎1
2 + 𝜎2
2 + 𝜎3
2 − 2 𝜎1𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎1𝜎3 
 
 
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(Teoria de von Mises) 
 Componentes da Energia de Deformação 
 
 A energia de distorção 𝑼𝒅 é, então, obtida, 
subtraindo a energia de deformação hidrostática 
𝑼𝒉 da energia de deformação 𝑼 , ou seja: 
 
 
𝑈 = 𝑈𝑑 + 𝑈ℎ 
 
 
 𝑈𝑑 = 𝑈 − 𝑈ℎ 
 
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(Teoria de von Mises) 
 Componentes da Energia de Deformação 
 
 𝑈𝑑 = 𝑈 − 𝑈ℎ 
 
𝑈𝑑 =
1
2𝐸
𝜎1
2 + 𝜎2
2 + 𝜎3
2 − 2𝜈 𝜎1𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎1𝜎3 − 
 
−
1 − 2𝜈
6𝐸
𝜎1
2 + 𝜎2
2 + 𝜎3
2 − 2 𝜎1𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎1𝜎3 
 
 
𝑈𝑑 =
1 + 𝜈
3𝐸
𝜎1
2 + 𝜎2
2 + 𝜎3
2 − 𝜎1𝜎2 − 𝜎2𝜎3 − 𝜎1𝜎3 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Critério de Falha 
 
 Para se obter um critério de falha, comparamos a 
energia de distorção, por volume unitário, dada pela 
expressão de 𝑼𝒅 , com a energia de distorção, por 
volume unitário, presente num teste de falha por 
tração 𝑼𝒅 𝒕, por ser esta a principal fonte de dados 
de resistência dos materiais. 
 
 Trata-se, portanto, da resistência ao escoamento 𝝈𝒆 
 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Critério de Falha 
 
 O teste de tração é um estado de tensão uniaxial 
onde, no escoamento, tem-se: 
 
𝜎1 = 𝜎𝑒 e 𝜎2 = 𝜎3 = 0 
 
 Portanto, da expressão de 𝑼𝒅 , obtém-se a energia 
de distorção para o teste de tração 𝑼𝒅 𝒕: 
 
𝑈𝑑 𝑡 =
1 + 𝜈
3𝐸
𝜎𝑒
2 
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(Teoria de von Mises) 
 Critério de Falha 
 
𝑈𝑑 𝑡 =
1 + 𝜈
3𝐸
𝜎𝑒
2 
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Círculo de Mohr para Tensão de Tração Unidirecional 
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(Teoria de von Mises) 
 Critério de Falha 
 
 Portanto, para um estado tridimensional, o critério de 
falha por energia de distorção, fica: 
 
𝑈𝑑 𝑡 = 𝑈𝑑 
 
1 + 𝜈
3𝐸
𝜎𝑒
2 =
1 + 𝜈
3𝐸
𝜎1
2 + 𝜎2
2 + 𝜎3
2 − 𝜎1𝜎2 − 𝜎2𝜎3 − 𝜎1𝜎3 
 
𝜎𝑒
2 = 𝜎1
2 + 𝜎2
2 + 𝜎3
2 − 𝜎1𝜎2 − 𝜎2𝜎3 − 𝜎1𝜎3 
 
𝜎𝑒 = 𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1𝜎2 − 𝜎2𝜎3 − 𝜎1𝜎3 
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(Teoria de von Mises) 
 Critério de Falha 
 
 e, para um estado bidimensional, o critério de falha 
por energia de distorção, fica: 
 
𝜎2 = 0 
 
 
𝜎𝑒 = 𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1𝜎2 − 𝜎2𝜎3 − 𝜎1𝜎3 
 
 
𝜎𝑒 = 𝜎12 + 𝜎32 − 𝜎1𝜎3 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Critério de Falha 
 
 A equação do critério de falha para um estado 
bidimensional descreve uma elipse nos respectivos eixos 𝝈𝟏 
e 𝝈𝟑. 
 
 O interior da elipse define a região das tensões biaxiais 
combinadas, dentro dos limites de segurança quanto ao 
escoamento, sob carga estática. 
 
 A equação do critério de falha para um estado 
tridimensional descreve um cilindro de seção circular, 
inclinado em relação aos eixos 𝝈𝟏, 𝝈𝟐 e 𝝈𝟑, de modo que 
sua interseção com qualquer dos três planos principais, seja 
uma elipse como a da figura a seguir. 
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Para torção pura 
𝜎𝑒
𝜎12 − 𝜎1𝜎3 + 𝜎32
= 1 
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(Teoria de von Mises) 
 Critério de Falha 
 
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Elipse da Energia de Distorção em 2-D para Resistência ao Escoamento 
Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Tensão Efetiva de von Mises 
 
 Define-se como tensão efetiva de Von Mises (𝝈′) uma 
tensão de tração uniaxial, capaz de gerar a mesma 
energia de distorção, como aquela resultante da 
combinação das tensões reais aplicadas. 
 
 
𝜎′ = 𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1𝜎2 − 𝜎2𝜎3 − 𝜎1𝜎3 
 
 
Homenagem ao Dr. Von Mises – colaborador da Teoria 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Tensão Efetiva de von Mises 
 
 Portanto, para um estado tridimensional, a teoria de 
von Mises, fica: 
 
𝜎′ = 𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1𝜎2 − 𝜎2𝜎3 − 𝜎1𝜎3 
 
 em termos das tensões aplicadas, temos: 
 
𝜎′ = 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
+ 𝜎𝑦 − 𝜎𝑧
2
+ 𝜎𝑧 − 𝜎𝑥 2 + 6 𝜏𝑥𝑦2 + 𝜏𝑦𝑧2 + 𝜏𝑧𝑥2 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Tensão Efetiva de von Mises 
 
 e, para um estado bidimensional, 𝜎2 = 0 , a teoria de 
von Mises, fica: 
 
𝜎′ = 𝜎12 + 𝜎32 − 𝜎1𝜎3 
 
 em termos das tensões aplicadas, 𝜎𝑧 = 0 , 𝜏𝑦𝑧 = 0 , 
𝜏𝑧𝑥 = 0 , temos: 
 
𝜎′ = 𝜎𝑥2 + 𝜎𝑦2 − 𝜎𝑥𝜎𝑦 + 3𝜏𝑥𝑦
2 
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(Teoria de von Mises) 
 Critério de Falha de von Mises 
 
 Logo, para materiais dúcteis, o escoamento ocorrerá 
quando: 
 
 
𝜎′ ≥ 𝜎𝑒 
 
 
 onde: 
𝜎𝑒 → resistência (tensão) ao escoamento por tração 
 𝜎′ → tensão efetiva de von Mises 
 
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Para torção pura 
𝜎𝑒
𝜎12 − 𝜎1𝜎3 + 𝜎32
= 1 
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(Teoria de von Mises) 
 Critério de Falha de von Mises 
 
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Estado seguro 
 das tensões 
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(Teoria de von Mises) 
 Fator de Segurança 
Para propósitos de projeto, a equação de von Mises 
pode ser modificada para incorporar um fator de 
segurança (𝑭𝑺). Assim: 
 
𝜎′ =
𝜎𝑒
𝐹𝑆
 
 
Isolando (𝐹𝑆) temos: 
 
𝐹𝑆 =
𝜎𝑒
𝜎′
 
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(Teoria de von Mises) 
 Resistência ao cisalhamento sob cisalhamento 𝑺𝒔𝒚 
Considere um caso de cisalhamento puro 𝜏𝑥𝑦 em 
que para tensão plana, 𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = 0, temos: 
 
𝜎′ = 𝜎𝑥2 + 𝜎𝑦2 − 𝜎𝑥𝜎𝑦 + 3𝜏𝑥𝑦
2 
 
𝜎′ = 3𝜏𝑥𝑦
2 
 
𝜎′ = 3 ∙ 𝜏𝑥𝑦 
 
 
 
 
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(Teoria de von Mises) 
 Resistência ao cisalhamento sob cisalhamento 𝑺𝒔𝒚 
De acordo com a teoria de Von Mises, temos: 
 
𝜎′ = 𝜎𝑒 = 𝑆𝑦 
(no limite) 
 
Portanto: 
 
𝑆𝑦 = 3 ∙ 𝜏𝑥𝑦 
 
𝜏𝑥𝑦 =
𝑆𝑦
3
 
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Teoria da Energia de Distorção 
(Teoria de von Mises) 
 Resistência ao cisalhamento sob cisalhamento 𝑺𝒔𝒚 
Sabemos que: 
 
𝜏𝑥𝑦 = 𝑆𝑠𝑦 
 
Portanto: 
 
𝜏𝑥𝑦 =
𝑆𝑦
3
 
 
𝑆𝑠𝑦 = 0,577 ∙ 𝑆𝑦 
 
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Comparação 
Tresca x von Mises 
 Tresca 𝑺𝒔𝒚 
 
𝑆𝑠𝑦 = 0,50 ∙ 𝑆𝑦 
 
 von Mises 𝑺𝒔𝒚 
 
𝑆𝑠𝑦 = 0,577 ∙ 𝑆𝑦 
 
Valores obtidos por von Mises são cerca de 
15% maiores do que Tresca (mais conservativo) 
 
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Comparação 
Tresca x von Mises 
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𝝈𝒆 
𝝈𝟐 
𝝈𝟏 
𝝈𝒆 
−𝝈𝒆 
−𝝈𝒆 
−𝝈𝒆, −𝝈𝒆 
𝝈𝒆, 𝝈𝒆 
Tresca (hexágono) 
 
von Mises (elipse) 
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𝟏𝟐 𝒌𝑷𝒂 
𝟏𝟖 𝒌𝑷𝒂 
𝟐𝟎 𝒌𝑷𝒂 
 O estado plano de tensões no ponto crítico da braçadeira 
de aço de uma máquina é mostrado na figura abaixo. 
 
 Se a tensão de escoamento do aço é 𝝈𝒆 = 𝟑𝟔 𝒌𝑷𝒂 , 
determine se ocorre escoamento do material utilizando a 
teoria da máxima energia de distorção (von Mises). 
Exercícios - 1 
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 Um aço laminado a quente tem resistência ao 
escoamento de 𝝈𝒆 = 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑷𝒂 
 
 Estime o fator de segurança para os seguintes estados de 
tensão principal, de acordo com o critério de falha de von 
Mises: 
 
a) 𝟕𝟎, 𝟕𝟎, 𝟎 𝒌𝑷𝒂 
(estado bidimensional) 
 
b) 𝟑𝟎, 𝟕𝟎, 𝟓𝟎 𝒌𝑷𝒂 
(estado tridimensional) 
 
 
Exercícios - 2 
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 O eixo maciço mostrado na figura abaixo tem raio de 
𝟎, 𝟓 𝒄𝒎 e é feito de aço com tensão de escoamento de 
𝝈𝒆 = 𝟑𝟔𝟎 𝑴𝑷𝒂. 
Exercícios - 3 
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 Determine se as cargas 
provocam a falha do 
eixo de acordo como 
a teoria de von Mises. 
𝜎𝑥 
𝜏𝑥𝑦 
 A figura mostra um eixo montado em mancais em A e D e 
tendo polias em B e C. As forças que atuam nas superfícies 
das polias representam as trações de correia. 
Exercícios - 4 
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 O eixo será feito de aço 
AISI 1035 CD 𝜎𝑒 = 460 𝑀𝑃𝑎 
 
 Determine o diâmetro 
mínimo do eixo para evitar 
o escoamento. 
 
 Utilize a teoria de von Mises 
e um 𝐹𝑆 = 2 
 
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