Notas de Aula parte1 matrizes sistemase determinantes

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Notas de Aula – 2013/2 
Matemática para Economia III 
Professora: Solimá G. Pimentel 
 
 
EMENTA 
 
1. Matrizes 
2. Determinantes 
3. Sistemas Lineares 
4. Espaços vetoriais 
5. Transformações Lineares 
6. Autovetores e Autovalores 
7. Equações Diferenciais Ordinárias 
 7.1 Equações Diferenciais de 1ª Ordem 
 7.2 Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem 
 7.3Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 2ª Ordem 
 7.4 Sistemas de EDO lineares 
 7.5 Equações de Diferenças 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
Álgebra Linear: A. Steimbruch e P. Winterle 
Editora Makron Books 
 
Matemática para Economistas: A. Chiang 
Editora Mc Graw Hill 
 
Matemática para Economistas: M. Bobik Braga e outros. 
Editora Atlas 
 
1. Matrizes 
 Uma matriz de ordem m por n é um arranjo retangular de m.n elementos 
dispostos em m linhas e n colunas. 
Os elementos de uma matriz podem ser números, funções, ou ainda outras 
matrizes. 
 Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por: 
 
[ ]
mxnij
mnmmm
n
n
mxn a
aaaa
aaaa
aaaa
A =












...
...............
...
...
321
2232221
1131211
 
Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos 
especificar a ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas), escrevemos 
Amxn. 
 
Igualdade de Matrizes 
 Duas matrizes Amxn e Bmxn, de mesma ordem são iguais se, e somente se, todos os 
elementos que ocupam a mesma posição são idênticos. 
 
Matrizes Especiais 
1. Matriz Retangular: Amxn é uma matriz na qual m n≠ . 
2. Matriz Coluna: é aquela que possui uma única coluna (n = 1). 
Exemplo: →
















1
31
21
11
ma
a
a
a
M
Vetor coluna com m linhas. 
3. Matriz Linha: é aquela que possui uma única linha (m = 1). 
Exemplo: [ ]→naaaa 1131211 L Vetor linha com n colunas. 
A matriz-linha é denominada vetor-linha. 
4. Matriz Quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = 
n). Neste caso diremos que A é uma matriz de ordem n. 
Exemplo: A= ( aij ) de ordem 2 onde aij = i + j. 
4.1. Diagonal principal 
Os elementos aij , em que i = j, constituem a diagonal principal. 
4.2. Diagonal Secundária 
Os elementos aij , em que i + j = n+1, constituem a diagonal secundária. 
4.3. Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada onde aij = 0 para i ≠ j, isto é, os 
elementos que não estão na diagonal principal são nulos. 
Exemplo: 












nna
a
a
000
000
000
000
22
11
O
 
4.4. Matriz Escalar: É a matriz diagonal porém os elementos da diagonal principal são 
todos iguais. 
 
a
a
a
0 0
0 0
0 0










 a ≠ 0 
4.5. Matriz Identidade ou matriz Unidade: é uma matriz quadrada onde aij = 1 para i = 
j e aij = 0 para i ≠ j. Notação: I = I n = →












1000
000
0010
0001
O
 Matriz Identidade de ordem n 
4.6 Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada onde todos os elementos 
abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, m = n e aij = 0 para i > j. 
Exemplo: 












nn
n
n
a
aa
aaa
000
0 222
11211
MOMM
L
K
 
4.7. Matriz Triangular Inferior: é aquela em que m = n e aij = 0 para i < j. 
Exemplo: 












nnnn aaa
aa
a
L
OMM
21
2221
11
0
00
000
 
5. Matriz Nula: é aquela em que aij = 0 para todo i e j. 
Exemplo: A= ( )aij
x23
 onde aij = 0, ∀i,j. 
 
Operações com Matrizes 
1. Adição e subtração de matrizes. Sejam Amxn , Bmxn e Cmxn matrizes de mesma ordem. 
Cada elemento de uma matriz é então somado ou subtraído ao correspondente elemento 
da outra matriz. 
Propriedades 
1. A + B = B + A 
2. A + (B + C) = (A + B) + C 
3. A + 0 = 0 + A 
4. A + (-A) = 0 
 
2. Multiplicação por um escalar. Seja Amxn = [aij]mxn e k um número, então definimos 
uma nova matriz 
k.A = [kaij]mxn 
Exemplo: 





−
−−
=





−
−
62
204
31
102
2 
Propriedades 
1. k(A + B) = kA + kB 
2. ( AkAkAkk 2121 ) +=+ 
3. 0.A = 0 
4. AkkAkk )()( 2121 = 
 
3. Produto entre duas matrizes. O produto das matrizes 
mxp pxn mxne é a matriz CA B , onde cada elemento ijC é obtido através da soma 
dos produtos dos elementos i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B. 
Isto é: 
ijC = njinjiji bababa ...... 2211 +++ , para cada par i e j. 
Propriedades: Sejam A, B, C, I e 0 matrizes de ordens tais que as somas e produtos 
dados abaixo sejam possíveis. 
1. Em geral AB ≠ BA 
2. AI = IA = A 
3. A(B+C) = AB + AC 
4. (A+B)C = AC + BC 
5. (AB)C = A(BC) 
6. 0.A = 0 e A.0 = 0 
 
4. Transposição 
 Dada uma matriz A = [aij]mxn, podemos obter uma outra matriz B = [bij]nxm, cujas linhas 
são as colunas de A, isto é, bij = aji. B é denominada transposta de A. 
 Notação: B = At. 
⇒












=
aaaa
aaaa
aaaa
A
mnmmm
n
n
mxn
....
....................
....
....
321
2232221
1131211
 












=
aaaa
aaaa
aaaa
A
nmmmm
n
n
T
nxm
....
....................
....
....
321
2322212
1312111
 
Propriedades 
 
1. ttA = A 
2. (A + B)t = At + Bt 
3.(kA)t = kAt, onde k é um escalar. 
4.(AB)t = BtAt 
4.1. Matriz Simétrica: é uma matriz quadrada igual à sua transposta. A = A t 
4.2. Matriz Oposta: uma matriz oposta de uma matriz A é a matriz obtida a partir de A, 
trocando-se o sinal de todos seus elementos. 
Notação: - A. 
3. Matriz Antissimétrica: é uma matriz quadrada igual à oposta de sua transposta. 
A = -A t 
5. Potência de uma matriz 
Definimos Ak como sendo o produto da matriz A k-vezes, ou seja, 
AAAkA
vezesk
...=
−
 
5.1 Matriz Periódica: Uma matriz quadrada A é periódica se An =A, sendo n ≥ 2. 
5.2 Matriz Idempotente: Uma matriz Anxn é dita idempotente se o produto dela por ela 
mesma resulta ela própria: A.A = A ou A2 = A. 
Exemplo: A= 





−
−
44
55
 
 
5.3 Matriz Nilpotente: Uma matriz Anxn é chamada nilpotente se o produto dela por ela 
mesma resulta a matriz nula: A. A = 0 ou A2 = 0. 
Exemplo:A=










−
−
−
021
011
011
, é Nilpotente para n = 3. 
 
1ª Lista de Exercícios 
1. Uma matriz quadrada A se diz simétrica se AT = A e anti-simétrica se AT = - A. 
a. Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica e que 
o mesmo ocorre para matrizes anti-simétricas. 
b. O produto de duas matrizes simétricas de ordem n é também uma matriz 
simétrica? 
2. Determine a e b para que a matriz A = 










501−
03+
−242
ba
ba
 seja simétrica. 
3. Encontre todas as matrizes 2 x 2 tal que X2 = I, em que I é a matriz identidadede 
ordem 2. 
4. Se A e B são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz 





01−
10
, 
mostre que AB = BA. 
5. Verdadeiro ou falso? 
a. (-A)T = -(AT). 
b. Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0. 
c. Se AB = 0, então B.A = 0. 
d. Se podemos efetuar o produto A.A, então A é uma matriz quadrada. 
6. Seja A uma matriz arbitrária. Sob quais condições o produto AAT é definido? 
7. Nos problemas 1, 2 e 3, sejam 
 A = 




 −
430
211
, B = 





−−
−
321
304
, C= 










−
−−
−
3001
2415
1032
, D = 










−
3
1
2
. 
Encontre, se possível, 
A + B, A + C, 3A – 4B, AB, AC, AD, BC, BD, CD, AT, AT C, BTA, DTAT , 
DDT. 
Sejam A = 





−12
31
 e B = 





−
−
623
402
. Encontre AB e BA, se possível. 
8. Se A é uma matriz simétrica, calcule A – AT. 
 
9. Se A é uma matriz diagonal, calcule AT. 
 
10. Prove que (AB)T = BTAT. 
 
2. Determinantes 
Determinante é um número associado a matrizes quadradas que pode indicar 
informação útil sobre a matriz. Utilizaremos a notação A para denotar o determinante 
de A. 
1. Determinante de primeira ordem. Dada uma matriz quadrada de primeira ordem 
11A a= chamamos de determinante associado à matriz A o número real a11 . 
2. Determinante de segunda ordem. Dada a matriz 11 12
21 22
a aA
a a
= , de ordem 2, 
11 12
21 22
det a aA
a a
= = aaaa 21122211 .. − 
3. Determinante de terceira ordem. 
Seja 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
A
a a a
a a a
a a a
 
 
=  
  
. Então, 
( ) ( ) ( )11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31det A a a a a a a a a a a a a a a a= − − − + − . Ou, 
11 12 13
22 23
21 22 23 11 12
32 33
31 32 33
det
a a a
a a
A a a a a a
a a
a a a
= = −
21 23
31 33
a a
a a
+ 21 2213
31 32
a a
a
a a
. 
 
Propriedades dos Determinantes 
1. O determinante de uma matriz não se altera quando se trocam as linhas pelas 
colunas. 
2. Se a matriz possui uma linha (coluna) constituída de elementos nulos, o 
determinante é nulo. 
3. Se a matriz tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, seu determinante é nulo. 
4. Se na matriz duas linhas (ou colunas) têm seus elementos correspondentes 
proporcionais, o determinante é nulo. 
5. O determinante de uma matriz diagonal A (superior ou inferior) é igual ao termo 
principal, isto é, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. 
6. Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz, seu determinante muda 
de sinal. 
7. Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então det (A .B) = det A . det B. 
8. Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de uma linha ou 
de uma coluna da matriz A, o determinante fica multiplicado por esse número. 
9. Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha 
(coluna) da matriz os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente 
multiplicados por um número diferente de zero. 
 
Cálculo de um determinante de qualquer ordem 
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada, de ordem n, é utilizado o 
processo de triangularização (ou triangulação). 
Este processo consiste em dada uma matriz quadrada, se procederão com as 
linhas (ou colunas) de seu determinante as operações adequadas para transformar a 
matriz A numa matriz triangular superior (ou inferior), ao mesmo tempo em que se 
efetuarão com o det A as necessárias compensações, quando for o caso, para manter 
inalterado seu valor, tudo de acordo com as propriedades dos determinantes. 
Exemplo. Usaremos este processo para calcular o seguinte determinante: 
265
201
423
−
−
. 
=−
−
265
201
423
=−
−
−
265
423
201
=−
−
265
423
201
2
1260
510
201
2
1260
1020
201
−=−
−
−=−
−
.84)42(2
4200
510
201
−=−=−
−
 
 
 
 
Menor Complementar 
 Chamamos menor complementar relativo ao elemento ija de uma matriz 
quadrada A, o determinante Aij associado à matriz obtida de A quando suprimos a linha 
i e a coluna j. 
 
Exemplo 
Dada a matriz 
2 1 3
1 2 4
1 0 3
A
 
 
= − − 
 − 
 , 23
2 1
1 0
A = = -1. 
Cofator 
 Chamamos de cofator relativo ao elemento ija de uma matriz quadrada o 
número ij∆ tal que: 
( 1)i jij ijA+∆ = − ⋅ 
Exemplo. 
Dada a matriz 422
2 1 3
2 3
1 2 4 ; ( 1) 1 ( 6 3) 9
1 3
1 0 3
A
 
 
= − − ∆ = − = ⋅ − − = − 
−
 − 
. 
 
Matriz dos cofatores 
 Dada uma matriz A definimos a matriz A dos cofatores de A como sendo a 
matriz cujos elementos são os cofatores de A, ou seja, ijA  = ∆  
 
Matriz Adjunta 
É a transposta da matriz dos cofatores. Notação: adj A. Logo, TadjA A= . 
 
Teorema de Laplace 
 O determinante de uma matriz quadrada mxmA (m≥2) pode ser obtido pela soma 
dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos 
respectivos cofatores. 
 
Exemplo 
12 22 32
1 2 3
2 1 1 ( 2) 1 ( 1)
2 1 2
A
−
= − = − ∆ + ∆ + − ∆
− −
,onde 
1 2
12
2 1( 1) 2;
2 2
+ −∆ = − = −
−
2 2
22
1 3( 1) 8;
2 2
+∆ = − =
−
3 2
22
1 3( 1) 7.
2 1
+∆ = − =
−
 
Portanto, 5.A = 
 
Inversão de Matrizes 
Dada uma matriz quadrada A de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de 
mesma ordem, que satisfaça à condição: AB = BA = I, B é dita a inversa de A e se 
representa por A-1. Neste caso diremos que A é invertível. 
Uma matriz quadrada cujo determinante é nulo é uma matriz singular. Caso contrário é 
dita não-singular ou regular. 
 
Propriedades 
1. Se a matriz admite inversa, esta é única. 
2. Se a matriz é não-singular, então A admite inversa e sua inversa 
1 1
.
det
Adj A
AA
−
= . 
3. A matriz unidade é não singular e a sua própria inversa. 
4. Se a matriz é não-singular, sua transposta também é, e ( ) ( )1 1 TTA A− −= . 
5. Se as matrizes A e B são não-singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma 
matriz não-singular e ( ) 1 1 1. .AB B A− − −= 
Uma matriz A é dita ortogonal se .1 TAA =− 
 
Operações Elementares 
Dada uma matriz A, chamam-se operações elementares sobre as linhas da matriz as 
seguintes ações: 
1. Permutar duas linhas de A. 
2. Multiplicar uma linha de A por um número real não nulo. 
3. Somar a uma linha de A uma outra linha, multiplicada por um número real. 
 
Definição. Dadas as matrizes A e B, de mesma ordem, diz-se que a matriz B é 
equivalente à matriz A se for possível transformar A em B por meio de uma sucessão 
finita de operações elementares. 
 
Observação. Qualquer matriz quadrada A, de ordem n, não-singular, pode ser 
transformada na matriz equivalente I, de mesma ordem, por meio de uma sucessão finita 
de operações elementares. Para transformar uma matriz quadrada A, não-singular, na 
matriz I, proceda da seguinte forma: 
1. Transforme a matriz A numa matriz triangular superior (inferior), ao mesmo 
tempo em que são substituídos cada um dos elementos da diagonal principal 
pelo número 1. 
2. Substitua todos os elementos situados acima (abaixo) da diagonal principal por 
zeros, isto é, processe a diagonalização da matriz A. 
Exemplo
 
12
3 2 4
1 0 2
5 6 2
LA
− 
 
= − → 
  
( 1)1
1 0 2
3 2 4
5 6 2
L −
− 
 
− → 
  
32 2 1
1 0 2
3 2 4
5 6 2
L L L= −
− 
 
− → 
  
53 3 1
1 0 2
0 2 10
5 6 2
L L L= −
− 
 
− → 
  
1( )3 2
1 0 2
0 2 10
0 6 12
L −
− 
 
− → 
  
63 3 2
1 0 2
0 1 5
0 6 12
L L L= −
− 
 
− → 
  
1( )3 3 42
1 0 2
0 15
0 0 42
L L=
− 
 
− → 
  
21 1 3
1 0 2
0 1 5
0 0 1
L L L= +
− 
 
− → 
  
52 2 3
1 0 0
0 1 5
0 0 1
L L L= +
 
 
− → 
  
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
= 
  
 
 
Inversão de uma matriz por meio de operações elementares 
A mesma sucessão finita de operações elementares que transforma a matriz A na matriz 
I transforma a matriz I na matriz A-1. 
Procedimento: 
1. Coloca-se ao lado da matriz A a matriz I, separada por um traço vertical; 
2. Transforma-se, por meio e operações elementares, a matriz A na matriz I, 
aplicando-se, simultaneamente, à matriz I, as mesmas operações. 
Exemplo. Determine a matriz inversa da matriz 










−
814
312
201
. 
 
1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0
2 1 3 0 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0
4 1 8 0 0 1 0 1 0 4 0 1 0 0 1 6 1 1
           
           
− → − − − → − − −           
           − − −           
 
 
1 0 0 11 2 2 1 0 0 11 2 2
0 1 0 4 0 1 0 1 0 4 0 1
0 0 1 6 1 1 0 0 1 6 1 1
− −       
       → − − → −       
       − − − −       
. 
A inversa de 










−
814
312
201
é 










−−
−
−
116
104
2211
. 
 
2ª Lista de Exercícios 
1. Admita que det A = 10, onde A = 










ihg
fed
cba
. Ache: 
(a) det (3.A) 
(b) det (2.A-1) 
(c) det (2.A)-1 
(d) det 










fic
ehb
dga
 
2. Calcule m e n para que a matriz B = 





92
225
 seja a inversa da matriz A = 
.





2−
22−
n
m
 
3. Encontre a inversa de 










1−32
01−4
002
. 
4. Calcule o valor de k para que a matriz 





=
k
A
2
45
 não tenha inversa. 
 
5. Mostre que as matrizes 










−
814
312
201
 e 










−−
−
−
116
104
2211
são inversíveis e que são 
inversas uma da outra. 
6. Encontre a inversa de 










−
814
312
201
. 
7. Quando é uma matriz diagonal A=












na
a
a
000
............
0...0
0...0
2
1
 inversível e qual é sua 
inversa? 
8. Calcular, pelo processo de triangularização, 










435
231
712
det . 
9. Dada a matriz A=









 −
315
120
312
 calcule a) adjA; b) detA; c) A-1 
10. Seja x o valor do determinante 
1000
1100
3020
0112
−
−
−
−
 então x é igual a. 
11. Se 
2 1
6 4
A
− 
=  
− 
 e 2( ) +3x+2f x x= − , calcule ( )detf A . 
12. Resolver as equações: 
 
(a) 128
247
25
64
−=−
x
x
x
 
 (b) 7
7109
354
413
−=
+++ xxx
 
13. Calcular o valor de k para que a matriz 





=
k
A
6
32
 não tenha inversa. 
14. Seja A= 










−
561
413
012
 calcule a matriz adjunta. 
15. Seja a matriz A= 










−
−
−
2
112
01
ba
c
. Sabendo que TA A= , Calcule o determinante 
da matriz A - 2A + I2, onde I é a matriz identidade de ordem 3. 
16. Se a matriz 





−−
−+
5
52
x
xx
não é invertível, calcule o valor de x. 
17. Para que valores reais de x a matriz 










−−
−
−
842
03
431
x
x
x
 é inversível? 
18. Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que B = 
P-1AP. Mostre que DetA = DetB se A e B são semelhantes. 
19. A matriz A=










200
020
00x
 é tal que o 4 2det
x
A = . Calcule o valor de x. 
20. Verdadeiro ou falso? Se det A = 1 então A-1 = A. 
21. Seja a matriz 1 0 2
1 2 4
A
− 
=  
 
. Calcule o determinante do produto de A pela sua 
transposta. 
22. Determine a solução da equação 
0
2
1
3
2
51
321
−
−x = 0. 
23. Dada a matriz 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
 
 
=  
  
, calcule o detA pelo método de Laplace. 
24. Escreva o determinante de 5 3 2
2 4 6
a b c
A
 
 
=  
  
 e 
5 1
3 2
2 3
a
B b
c
 
 
=  
  
 um em função do 
outro. 
25. Dada a matriz 









 −
=
100
0cossen
0sencos
θθ
θθ
M , calcular MMT e concluir que M é 
ortogonal. 
 
3. Sistemas de Equações Lineares 
Uma equação linear é uma equação com a seguinte forma: bxaxaxa nn =+++ ...2211 
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares. Um sistema com m equações e 
n variáveis pode ser representado por: 







=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
K
M
K
K
2211
22222121
11212111
 
 Uma solução de um sistema é uma n–upla de números ( )nxxx ,...,, 21 que satisfaça 
simultaneamente estas m equações. 
Dois sistemas são equivalentes quando possuem a(s) mesma(s) solução (ões). 
 
Podemos escrever o sistema acima numa forma matricial: 












=
























mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
MM
K
MMMM
K
K
2
1
2
1
21
22221
11211
. ou A.X = B onde 












=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
K
MMMM
K
K
21
22221
11211
 é a 
matriz dos coeficientes, 












=
nx
x
x
X
M
2
1
 a matriz das incógnitas e 












=
mb
b
b
B
M
2
1
 a matriz dos 
termos independentes. 
 
Um sistema de equações lineares onde os termos independentes são todos nulos é 
chamado homogêneo. 
 
Outra matriz que podemos associar ao sistema é 












mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
K
MMMMM
K
K
21
222221
111211
, que chamamos matriz ampliada ou aumentada do sistema. 
 
Soluções de um sistema de equações lineares 
 Em um sistema de uma equação e uma incógnita, ax = b existirão três 
possibilidades: 
i) a ≠ 0. Neste caso a equação tem uma única solução x = b/a. 
ii) a = 0 e b = 0. Então temos 0.x = 0 e qualquer número real será solução da equação. 
iii) a = 0 e b ≠ 0. Temos 0.x = b. Não existe solução para esta equação. 
 
Caso geral 
Consideremos um sistema de m equações lineares com n incógnitas .,...,, 21 nxxx 







=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
K
M
K
K
2211
22222121
11212111
 
Cujos coeficientes ija e termos independentes bi são números reais (ou complexos). 
Este sistema poderá ter 
i) Uma única solução: 







=
=
=
mn kx
kx
kx
M
22
11
 
ii) Infinitas soluções 
iii) Nenhuma solução. 
 
No primeiro caso dizemos que o sistema é possível (compatível) e determinado. 
No segundo caso, dizemos que o sistema é possível (compatível) e indeterminado. E no 
terceiro caso, dizemos que o sistema é impossível (incompatível). 
 
Operações Elementares e Sistemas Equivalentes 
Um sistema de equações lineares se transforma num sistema equivalente quando se 
efetuam as seguintesoperações lineares: 
1. Permutação de duas equações. 
2. Multiplicação de uma equação por um escalar não nulo. 
3. Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente 
multiplicada por um número real não nulo. 
 
Forma Escada 
Uma matriz mxn é linha reduzida à forma escada se 
1) O primeiro elemento não-nulo de cada linha não-nula é 1. 
2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não-nulo de alguma linha tem 
todos os seus outros elementos iguais a zero. 
3) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é, daquelas que 
possuem pelo menos um elemento nulo). 
4) Se as linhas 1, ..., r são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da 
linha i ocorre na coluna ki, então ....21 rkkk <<< 
Esta última condição impõe a forma escada à matriz. Isto é, o número de zeros 
precedendo o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que 
sobrem somente linhas nula, se houver. 
Exemplos: 
1. 










−
0100
0110
0001
 Não é a forma escada, pois a segunda condição não é satisfeita. 
2. 










−
000
301
120
 Não é a forma escada, pois não satisfaz a primeira e a quarta condições. 
3. 










−
−
21000
00000
10310
 Não satisfaz a primeira nem a terceira condição. 
4. 









 −
00000
21000
20310
 É a forma escada, pois todas as condições são satisfeitas. 
 
Teorema. Toda matriz Amxn é linha equivalente a uma única matriz-linha reduzida à 
forma escada. 
 
Definição. Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-linha reduzida à forma escada 
linha equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de 
B. A nulidade de A é o número n – p. 
 
Exemplos 
1. Desejamos encontrar o posto e a nulidade de 










−
−=
1121
5301
0121
A . 
assim, efetuamos as seguintes operações com matrizes: 
 
→










−
−
1121
5301
0121
→










− 1040
5420
0121
→










− 1040
210
0121
2
5 →









 −−
11800
210
5301
2
5
→










−−
8
11
2
5
100
210
5301










−
−
8
11
4
1
8
7
100
010
001
 
o posto é 3 e a nulidade é 4 – 3 =1. 
 
Teorema 
i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o 
posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. 
ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única. 
iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, podemos escolher n – p 
incógnitas, e as outras incógnitas serão dadas em função destas. 
Dizemos no caso iii que o grau de liberdade do sistema é n – p. 
 
Nos exemplos abaixo é dada a matriz-linha reduzida à forma escada da matriz ampliada. 
Usamos a notação 
pc = posto da matriz dos coeficientes e 
pa = posto da matriz ampliada. Se pc = pa denotamos simplesmente por p. 
 
1. 










−
2100
2010
3001
 pc = pa = 3; m=n=p=3. Então, a solução é única e 
.22,3 321 =−== xexx 
2. 





−
−
6510
10701
 pc = pa = 2; m=2, n=3 e p =2. Temos um grau de liberdade: 
.56710 3231 xxexx −−=−−= 
3. 










−
−
2000
6510
10701
 m=n=3; pc =2 e pa = 3. O sistema é impossível e, portanto, não 
existe solução. 
4. 









 −−−
00000
41710
1021001
 pc =pa = 2; m=3, n=4 e p = 2. Temos dois graus de 
liberdade: .7421010 432431 xxxexxx −−=++−= 
 
Exemplo. Resolva o sistema 



=+−+
=+++
023
02
tzyx
tzyx
 
Solução. A matriz associada ao sistema é 





− 02131
01121
 que reduzida à forma 
escada fornece 





−
−
01230
01501
. Reinterpretando o sistema, vemos que z e t são 
variáveis livres (grau de liberdade 2). Chamando βα == tez obtemos: 
β
α
βα
βα
=
=
−=
+−=
t
z
y
x
2
5
, ou na forma matricial 












−
+











−
=












1
0
1
1
0
1
2
5
βα
t
z
y
x
. 
Observe que [ ] [ ]TT e 10110125 −− são soluções do sistema. Elas são 
chamadas soluções básicas do sistema porque geram todas as outras. Todo sistema 
homogêneo tem solução que pode ser escrita desta forma. 
 
Regra de Cramer 
Seja A uma matriz inversível m x m e seja b = (b1, b2,..., bm). Seja Ai a matriz 
obtida substituindo-se a i-ésima coluna de A por b. Se x for a única solução de AX= b, 
então 
A
A
x
i
i det
det
= , para i = 1, 2,..., m. 
Este método só se aplica a sistemas lineares em que o número de equações é 
igual ao número de incógnitas. 
 
Exemplo 
Dado o sistema de 3 equações e 3 incógnitas: 





=−
=+
=+−
02
53
1732
zy
zx
zyx
 temos 01
120
301
732
det ≠−=










−
−
. 
Portanto, podemos usar a Regra de Cramer. 
Então: 
49
1
120
305
731
−=
−
−
−
=x ; 9
1
100
351
712
=
−
−
=y ; 18
1
020
501
132
=
−
−
=z 
 
3ª Lista de Exercícios 
 
1. Determine os valores de a e b que tornam o sistema a seguir compatível e 
determinado; em seguida, resolva o sistema. 







−+=+
+=+
=+
=−
1
2535
73
bayx
bayx
byx
ayx
 
2. Determine ℜ∈λ tal que o sistema 



=+
=+
2
2
yx
yx
λ
λ
 seja 
(a) Compatível e determinado;(b) Compatível e indeterminado;(c) Incompatível. 
 
 3. Determine os valores de k, de modo que o sistema 





=−+
=++
=++
132
243
2
zyx
kzyx
kzyx
 tenha 
(a) nenhuma solução; (b) mais de uma solução; (c) uma única solução 
4. Classifique e resolva o sistema linear: 



=−+
−=−−
12
42
zyx
zyx
. 
5. Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares: 
2 3 1
3 2 7
5 3 4 2
x y z
x y z
x y z
+ − = −

− + =
 + − =
 
 6. Determine os valores de a, de modo que o sistema 





=++
=++
=−+
23
332
1
zayx
azyx
zyx
 tenha 
(a) nenhuma solução; (b) mais de uma solução; ( c) uma única solução 
7. Resolva o sistema usando a regra de cramer. 
 
2 1
2 3
5 4
x y z
x y
y z
− + =

+ =

− =