Calculo I - Exercicio I

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Piau´ı - UFPI
Ca´lculo Diferencial e Integral I
Vitaliano Amaral.
Exerc´ıcios
0.1 Mostre que :
a) Se x 6= 0 enta˜o x2 > 0. b) Se x > 0 enta˜o 1
x
> 0
0.2 Mostre que:
a) a < b ⇒ a < a+ b
2
< b. b) Se ab = 0 enta˜o a = 0 ou b = 0.
0.3 Sejam a e b reais poistivos. Mostre que a < b se, e somente se, a2 < b2.
0.4 Mostre que se 0 < a < b enta˜o
√
a <
√
b.
0.5 Mostre que | a− b |≤| a | + | b | , ∀ a, b ∈ R.
0.6 Mostre que | x |≤ a se , e somente se , −a ≤ x ≤ a, onde a > 0.
0.7 Determine os valores de x que satisfazem as igualdades:
a) | x+ 1 |= 2 b) | x− 2 |= 1 c) | x− 1 |= 3.
0.8 Determine os intervalos de nu´meros satisfazendo as seguintes desigualdades:
a) | 2x+ 1 |≤ 1; b) (x+ 1)(x− 2) < 0; c) (x− 5)2(x+ 3) ≤ 0;
d) 0 <| x− 2 |< 1; e) (x+ 1)(x− 2)(x− 1) < 0.
0.9 Mostre que x+
1
x
≥ 2 se x > 0.
0.10 Mostre que, dados a, b ∈ R, temos que: ab ≤ a
2
2s
+
1
2
b2s, ∀ s > 0 (Desigualdade de
Young).
0.11 Mostre que se 0 < x < y enta˜o temos que:
1
x
>
1
y
.
0.12 Mostre que 3 +
√
2 e´ um nu´mero irracional.
0.13 Seja y =
√
4− x2. Determine:
a) domı´nio de f ; b) contradomı´nio de f ; c) a imagem de f .
Matema´tica -1- UFPI-CCN
0.14 Seja f : R −→ R tal que f(x) =
{
1 se x ∈ Q
0 se x ∈ I Calcule:
a) f(0); b) f(
√
2); c) f(−34); d) f(pi).
0.15 Uma func¸a˜o y = f(x), x ∈ R e´ dita par se f(−x) = f(x) ∀x ∈ R e e´ chamada
ı´mpar se f(−x) = −f(x) ∀x ∈ R. Determine quais da func¸o˜es abaixo sa˜o pares ou ı´mpares.
a) f(x) = x; b) f(x) = x2; c) f(x) = x3; d) f(x) =
{ 1
x
se x 6= 0
0 se x = 0
0.16 Dada uma func¸a˜o y = f(x), x ∈ R, defina as func¸o˜es :
g(x) = 12 [f(x) + f(−x)] e h(x) = 12 [f(x)− f(−x)]. Mostre que g e´ par e h e´ ı´mpar.
0.17 Mostre que toda func¸a˜o f : R −→ R se escreve como soma de uma func¸a˜o par com
uma func¸a˜o ı´mpar.
0.18 Construa o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
a) y = 1 +
√
x− 4; b) y = 2− x− 1
x
; c) y = 1− | x− 3 |; d) y = 2 + 3√x+ 1
e) y = x2 − 4x+ 5; f) y = x3 + 2.
0.19 Mostre que se a2 + b2 = 0 enta˜o a = 0 e b = 0.
0.20 Mostre que :
a) Se a+ c = c+ b ∀a, b, c ∈ R enta˜o a = b. b) Se ac = cb e c 6= 0 enta˜o a = b.
0.21 A equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto P (x1, x2) e tem inclinac¸a˜o m e´ da forma
y−y1 = m(x−x1). Escreva a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (1, 2) e tem inclinac¸a˜o
m =
1
2
.
0.22 Prove que | x |≥ a se, e somente se x ≥ a ou x ≤ −a.
0.23 Esboce o gra´fico das func¸o˜es y = xn , n = 1, 2, 3, 4, 5 no mesmo sistema de eixos
coordenados.
0.24 Esboce os gra´ficos das func¸o˜es y = x−n , n = 1, 2, 3, 4, 5 no mesmo sistema de eixos
coordenados.
0.25 Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = 0 se x ≤ 0 e f(x) = 1 se x > 0;
b)f(x) =
{
x2 se x < 0
x se x ≥ 0 c) f(x) =
{ | x | +x se | x |≤ 1
3 se x > 1
0.26 Prove que se a ≥ 0 e b ≥ 0 enta˜o
√
ab ≤ a+ b
2
.
Matema´tica -2- UFPI-CCN