Uam_Calc_Avancado

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Seja P uma parábola de foco no ponto e diretriz
Uma equação de em coordenadas polares é
Resposta Correta. Vamos escrever primeiramente uma equação para P em coordenadas
retangulares. A equação padrão da parábola é
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Seja a parábola de equação
Uma equação de reta diretriz de é
Resposta Correta. Para encontrar a diretriz de uma parábola, precisamos escrever sua equação
na forma padrão. Como
temos que a equação de pode ser reescrita como Como a equação
padrão de uma parábola é temos que e Assim, uma
equação para a diretriz de é mos que a equação de
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Seja o ponto de coordenadas
Uma representação de em coordenadas polares é
(2, pi/8)
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Sabe-se que uma circunferência tem a seguinte equação em coordenadas polares:
Qual são, respectivamente, o raio e o centro de ?
2, (1,0)
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Considere a equação da circunferência C:
O diâmetro de C é
Resposta Correta. Para encontrar o diâmetro de C, precisamos completar quadrados para
colocar sua equação na forma em que é o centro de C e é seu
raio. Como e podemos reescrever a equação de C
como Assim, o raio da circunferência é e, portanto, seu
diâmetro é
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Seja a parábola de equação
O foco de está localizado no ponto
Resposta Correta. Para encontrar o foco de uma parábola, precisamos escrever sua equação na
forma padrão. Como temos que a
equação de pode ser reescrita como Como a equação padrão de uma
parábola é
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Considere a reta de equação e a circunferência de raio e centro no ponto
Sabendo que é tangente a qual o valor de
Resposta Correta.
Se é tangente, então o sistema dado pelas equações tem uma única solução. A equação de é
Como substituindo essa equação na equação da
circunferência, temos ou seja, Precisamos de
ou seja, Assim, e, portanto,
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Numa aula sobre cônicas, alguns alunos propuseram algumas conjecturas.
Analise as seguintes afirmações levantadas:
I. Duas circunferências distintas podem se intersectar e, no máximo, dois pontos.
II. Uma circunferência e uma elipse podem se intersectar em, no máximo, dois pontos.
III. Uma parábola e uma circunferência podem se intersectar em, no máximo, dois
pontos.
É correto o que se afirma em:
Resposta Correta.
 A afirmativa está correta: uma possível maneira de provar isso é usando o fato de que a
mediatriz do segmento que liga dois pontos de uma circunferência passa pelo seu
centro. Assim, suponha que e de centros e respectivamente, se intersectam
em três pontos, digamos e Então as três mediatrizes (de AB, BC e AC) teriam que
passar por e o que implica que (já que por dois pontos distintos passa
exatamente uma reta), e logo as duas circunferências são iguais, uma contradição.
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Seja o ponto de coordenadas
Uma representação de em coordenadas polares é
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Considere a hipérbole de equação em que
Sabendo-se que é uma assíntota dessa hipérbole, o valor de é
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Considere a equação diferencial
Sabendo que o valor de é
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Sejam duas funções contínuas, e sejam e soluções, respectivamente,
das equações e
A respeito dessas equações, considere as seguintes afirmações:
I. Se para todo real, então para todo real.
II. Se para todo real, então existe um número real tal que para
todo
III. Se para todo real, então existe um número real tal que
para todo real.
É correto o que se afirma em:
Resposta correta. A afirmação III. está correta. Sejam uma primitiva de e uma primitiva de
tais que Então e A condição do
enunciado implica que para todo real. Então, integrando a equações e
de a obtemos que e para certos e reais. Assim,
para todo real temos que
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Um dos principais parâmetros de uma equação diferencial é sua ordem.
Sobre esse parâmetro, considere as seguintes afirmações:
I. A ordem da equação é 3.
II. A ordem da equação é 4.
III. A ordem da equação é 3.
É correto o que se afirma em:
Resposta correta. A afirmação II. está correta. A ordem de uma equação diferencial é a ordem
da derivada mais alta da função desconhecida que aparece na equação. Assim, a ordem de
é 4.
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Considere a equação diferencial
A respeito de suas soluções, considere as seguintes afirmações:
I. Toda solução dessa equação satisfaz
II. Toda solução dessa equação satisfaz
III. Toda solução dessa equação satisfaz
É correto o que se afirma em:
Resposta correta. A afirmação I. está correta. Reescrevendo essa equação na forma padrão,
obtemos Um fator integrante para essa equação é . Assim,
multiplicando ambos os lados pelo fator e integrando, obtemos Para qualquer
valor de temos que
A afirmação III. está correta. De fato, para qualquer real, temos que
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Considere a equação diferencial onde e é uma função contínua real.
Considere as seguintes afirmações sobre essa equação:
I. A substituição transforma a equação numa equação separável.
II. Se é um polinômio, então é um polinômio.
III. Se é crescente, então é crescente.
É correto o que se afirma em:
Resposta correta. A afirmação I. está correta. Pondo ou seja, temos que
e Assim, a equação se torna ou uma
equação diferencial separável.
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Considere a equação diferencial
Considerando uma solução dessa equação tal que para todo real e que o valor de
no ponto é o valor de é
Resposta correta. A equação dada é equivalente a Integrando ambos os lados dessa
equação, obtemos Como é positiva, obtemos A condição
implica que Assim, Então, como é solução da equação diferencial
temos, derivando ambos os lados em relação a que
e assim
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Seja uma função contínua sem raízes e considere a equação diferencial
A respeito dessa equação, considere as seguintes afirmações:
I. Se e são duas soluções dessa equação, então existe um número real tal que
para todo real.
II. Se é uma função constante, então é linear.
III. Se é um polinômio, então também é um polinômio.
É correto o que se afirma em:
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Considere a equação diferencial
Um fator integrante para essa equação é
Resposta correta. Para encontrar um fator integrante, precisamos primeiramente colocar a
equação na forma padrão No caso, temos Assim, Os
fatores integrantes para a equação são onde denota uma primitiva de Assim,
é um fator integrante para a equação.
—---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Seja uma função duas vezes diferenciável definida em que satisfaz a seguinte
equação diferencial:
Sabendo-se que, no ponto o valor de coincide com o valor de suas duas primeiras
derivadas, o valor de no ponto é
Resposta correta. Temos que Integrando essa equação em relação a obtemos
Integrando novamente em relação a obtemos A condição
do enunciado diz que Substituindo esses valores, obtemos o sistema de
equações Resolvendo esse sistema, obtemos e Assim,
temos que
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Considere a equação diferencial real.
Sabendo que é uma solução tal que o valor de é
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