EXERCICIOS DE MATEMATICA APLICADA

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EXERCICIOS DE MATEMATICA APLICADA
 
 
Módulo 1 – A função demanda
 
Texto 1
 
A função demanda relaciona preços e quantidades de uma mercadoria, estudando essa relação sob o ponto de vista dos consumidores.
A quantidade de uma mercadoria ou de um serviço que um consumidor deseja ou está disposto a consumir, em um certo período de tempo, depende de vários fatores, tais como: o preço da mercadoria, a renda do consumidor, o preço de outras mercadorias ou bens substitutos, o gosto pessoal do consumidor, o preço de outras mercadorias ou bens complementares, etc.
Como estamos interessados em estudar as aplicações das funções matemáticas elementares, vamos considerar que a quantidade demandada de uma mercadoria depende apenas do seu preço, sendo os demais fatores constantes.
A representação gráfica da função demanda é geralmente chamada de curva de demanda.
Por meio de análises empíricas do comportamento dos consumidores, os economistas observaram que à medida que o preço de uma mercadoria aumenta, a sua quantidade demandada diminui. Da mesma forma, se o preço de uma mercadoria diminui, a sua quantidade demandada tende a aumentar. Essa relação é o que os economistas chamam de Lei da Demanda. Dessa forma, observou-se que a função demanda é uma função estritamente decrescente.
 
Exemplo:
Para um indivíduo, a demanda por uma certa mercadoria relaciona-se com o preço de acordo com a tabela abaixo.
 
	preço
	8
	7
	6
	5
	4
	3
	2
	1
	0
	quantidade
	0
	1000
	2000
	3000
	4000
	5000
	6000
	7000
	8000
 
Vamos construir o gráfico da curva de demanda referente a esses dados:
 
 
O gráfico revela que a curva de demanda é na verdade uma reta, ou seja, trata-se de uma demanda linear. Observe nesse gráfico que consideramos a quantidade (q) no eixo vertical e o preço (p) no eixo horizontal. Isso indica que estamos considerando a quantidade como variável dependente e o preço como variável independente, ou seja, q = f(p).
Os economistas não fazem distinção em considerar q = f(p) ou p = f(q). Para nossos estudos, vamos admitir apenas a primeira opção.
 
Texto 2
 
·         A demanda individual e a demanda de mercado
 
A demanda individual indica o quanto um determinado consumidor está propenso a consumir de um produto a certo nível de preço. Já a demanda de mercado ou demanda agregada nos mostra as quantidades nas quais esse produto é procurado, num certo período de tempo, por todos os indivíduos que compõem o mercado. A demanda de mercado depende de todos os compradores da mercadoria existentes no mercado.
Se todos os n consumidores forem idênticos, a demanda de mercado será um múltiplo da demanda individual de um consumidor:
qm = n.q
Se os consumidores tiverem funções de demanda distintas, a demanda de mercado será dada pela soma das funções demanda individuais de todos os n consumidores:
qm = q1 + q2 + ... + qn
 
 
Exemplo: Suponha que existem dois indivíduos idênticos no mercado, cada um com uma demanda por uma certa mercadoria dada por q = 8 – p. Vamos obter a demanda de mercado dessa mercadoria.
Como o mercado é composto apenas por dois indivíduos, temos que:
qm = 2.(8 – p) à qm = 16 – 2p
 
Exemplo: Admita que o mercado é formado por três indivíduos cujas demandas por uma certa mercadoria, num certo período de tempo, são dadas pelas funções q1 = 8 – p; q2 = 12 – 2p e q3 = 15 – 3p. Vamos obter a expressão da demanda de mercado por essa mercadoria.
Como o mercado é composto por três indivíduos com funções demanda diferentes, devemos somar as três expressões. Assim, a demanda de mercado será dada por:
qm = q1 + q2 + q3 = (8 – p) + (12 – 2p) + (15 – 3p) = 8 + 12 + 15 – p – 2p – 3p
qm = 35 – 6p
 
·         A função demanda linear
Como admitimos que q = f(p), podemos escrever a função demanda como:
q = a + b.p, com b < 0
Essa função só será estudada no primeiro quadrante do gráfico, pois não faz sentido pensar em preço negativo ou em quantidade negativa.
Outro detalhe importante é que, como a função demanda é sempre decrescente, o parâmetro b será negativo, ou seja, b < 0.
 
Exemplos Resolvidos
 
1) A função que relaciona os preços e quantidades de um certo produto é dada por 2q + 4p = 10. Vamos construir o gráfico dessa função demanda.
Primeiro vamos isolar a variável q:
2.q = 10 – 4p
q = (10 – 4p)/2
q = 5 – 2p
 
Pelo que conhecemos de função do 1º grau, sabemos que o intercepto do eixo vertical é dado pelo parâmetro a, que nesse caso vale 5. Já o intercepto do eixo horizontal, é dado pelo valor de x correspondente a y = 0, ou, no nosso caso, o valor de p correspondente a q = 0. Assim, substituindo 0 na variável q, temos:
0 = 5 – 2p
2p = 5
p = 5/2 = 2,5
 
Agora podemos construir o gráfico, tomando por base os interceptos do eixo horizontal e do eixo vertical. Observe abaixo que a linha do gráfico deve ficar tracejada no trecho que está fora do primeiro quadrante. Observe também o aspecto decrescente do gráfico.
 
 
 
 
 2) Considere a função q = 10 – 2p. Para que ocorra “mercado”, as condições básicas devem ser:
Preço maior que “zero” (p > 0)
Demanda ou Procura pelo produto maior que “zero” (q > 0)
 
Observe
 
Ao admitirmos q > 0, ocorre:
 
10 – 2p > 0
10 > 2p
10 > p
2
 
5 > p ou p < R$ 5,00                               
 
Portanto, temos que o preço do produto, nesta situação, varia entre 0 e R$ 5,00.
 
0 < p < R$ 5,00
 
Ao admitirmos p > 0, ocorre:
 
q = 10 – 2p  
q + 2p = 10
2p = 10 – q
p = 10 – q
          2
 
10 – q > 0
    2
 
10 – q > 0 . 2
10 – q > 0
 
10 > q   ou    q < 10
 
Portanto, temos que a demanda (procura) pelo produto, nesta situação, varia entre 0 e 10 unidades.
0 < q < 10 unidades
 
 Variação do preço: 0 < p < R$ 5,00
 Variação da demanda: 0 < q < 10 unidades
  
Módulo 2 – A função oferta
 
Texto 1
 
Em Economia, é possível relacionar preços e quantidades de uma mercadoria por meio de funções matemáticas. Empiricamente, ou seja, por meio de verificações objetivas de dados coletados em situações práticas, podemos verificar uma forte correlação entre essas variáveis econômicas. Assim, isso pode ser observado nos diversos níveis de preço e entre quaisquer mercadorias.
 
·         A função Oferta
Entendemos a função oferta como a quantidade de um bem ou serviço que os produtores ou fabricantes (vendedores) estão dispostos a ofertar a um dado nível de preço, em um certo período de tempo. Assim, podemos escrever:
q = f(p)
no qual q representa a quantidade ofertada e p representa o preço de uma mercadoria.
Em uma análise meramente lógica ou baseada no bom senso, podemos afirmar que:
 
(i) Um aumento dos preços irá provocar um aumento na quantidade ofertada, isto é, se a um preço p1 a quantidade ofertada for q1, a um preço p2 > p1 a quantidade ofertada será q2 > q1. Resumidamente, temos:
p2 > p1 → q2 > q1
 
(ii) Uma queda nos preços irá provocar uma diminuição na quantidade ofertada, isto é, se a um preço p1 a quantidade ofertada for q1, a um preço p2 < p1 a quantidade ofertada será q2 < q1. Resumidamente, temos:
p2 < p1  → q2 < q1
 
Mas você poderia perguntar: porque os vendedores ofertam maior quantidade de um produto quando o seu preço aumenta? A resposta a esse questionamento pode ser melhor entendida se tomarmos um exemplo no mercado agrícola. Imagine que os preços do milho, por exemplo, aumentam no mercado internacional e, por consequência, no mercado interno também. Os produtores agrícolas ficam incentivados a produzirem mais milho, pois assim podem obter mais lucro, visto que os preços estão altos. Da mesma forma, se o preço de um produto agrícola cair, os produtores irão ficar inclinados a produzir menos, buscando plantar outros produtos que dêem a eles melhores retornos financeiros.
Na prática, podemos observar os efeitos da função oferta no Brasil no mercado de açúcar e de etanol. Os produtores de cana de açúcar podem destinar seu produto para a produção de açúcar ou de etanol, mas eles sempre vão preferir destinar o seu produto paraa opção que estiver mais valorizada, ou seja, que pagar o melhor preço, em detrimento da outra opção menos valorizada, com menor preço de mercado. Por isso, frequentemente vemos surgir crises no abastecimento de etanol no mercado interno, pois isso sempre acontece quando o preço do açúcar sobe nos mercados internacionais.
Admitindo, então, o fato de que as quantidades ofertadas aumentam quando os preços aumentam e, analogamente, diminuem quando os preços caem, podemos entender que a função oferta, que relaciona preços e quantidades, é uma função estritamente crescente.
 
Os estudiosos de Economia não fazem distinção em relacionar preços e quantidades como q = f(p) ou p = f(q). Para fins didáticos, em nossos estudos vamos considerar apenas a primeira opção, ou seja, a quantidade (q) é a variável dependente (y) e o preço (p) é a variável independente (x).
 
Texto 2
 
Numa análise mais aprofundada do comportamento do mercado, podemos entender que existem outros fatores que podem influenciar a quantidade ofertada a um certo nível de preço. Poderíamos citar fatores tais como os preços dos insumos, os preços dos bens substitutos, os problemas climáticos ou sazonais tais como a falta ou excesso de chuva, etc. Entretanto, como nosso objetivo é estudar as aplicações das principais funções matemáticas elementares, vamos desconsiderar esses fatores e focar nosso estudo apenas nas variáveis preço e quantidade.
Existem várias funções matemáticas que podem ser usadas para modelizar a função oferta, tais como a função do 1º grau, a função quadrática, etc. O que determina a melhor função a ser usada são os dados reais, ou seja, pode-se fazer um estudo gráfico do comportamento dos preços e quantidades para avaliar qual modelo matemático é mais adequado aos valores observados.
A avaliação da melhor função matemática adequada a um conjunto de dados reais é tarefa da Estatística, ou melhor, da Estatística Econômica e da Econometria. Em nossos estudos, vamos considerar que a função matemática é dada a priori, evitando a necessidade de termos de testar uma série de modelos.
 
·         A função oferta pelo modelo linear
 
Como admitimos que q = f(p), podemos escrever:
q = a + b.p, com b > 0
Devemos também chamar a atenção para o fato de que essa função só será estudada no primeiro quadrante do gráfico, pois não faz sentido pensar em preço negativo nem quantidade negativa.
Outro detalhe importante é que, como a função oferta é sempre crescente, o parâmetro b será positivo, ou seja, b > 0.
 
·         A oferta de mercado de uma mercadoria
 
A oferta de mercado, também chamada de oferta agregada de uma mercadoria, fornece as quantidades da mercadoria que são ofertadas, num dado período de tempo, aos vários preços alternativos, por todos os produtores dessa mercadoria que operam no mercado. A oferta de mercado depende dos mesmos fatores que determinam a oferta dos produtores individuais, sendo, portanto, obtida com base na função oferta individual dos produtores.
Se todos os produtores forem idênticos, ou seja, se tiverem a mesma função oferta individual, para se obter a função oferta de mercado, basta tomar a função oferta individual e multiplicá-la pelo número de produtores.
Se os produtores forem diferentes, ou seja, se tiverem funções oferta individuais distintas, a função oferta de mercado será dada pela soma algébrica das funções oferta individuais dos produtores.
 
Exemplo: Considere que a função oferta de uma mercadoria por um produtor individual é dada por
q = -40 + 20.p
Se existem 100 produtores dessa mercadoria no mercado, vamos obter a função oferta agregada:
qm = 100.(-40 + 20.p)
qm = -4000 + 2000.p
 
Exemplo: Um produtor tem função oferta individual de uma mercadoria dada por q = -20 + 10.p. Outro produtor tem função oferta individual da mesma mercadoria dada por q = -30 + 20.p. Vamos obter a função oferta de mercado para essa mercadoria.
Como os produtores têm funções oferta diferentes para a mesma mercadoria, a função oferta de mercado será obtida com a soma das funções oferta individuais, ou seja:
qm = (-20 + 10.p) + (-30 + 20.p)
qm = -50 + 30.p
 
Exemplos Resolvidos
 
1) A função que relaciona os preços e quantidades de um certo produto é dada por 2q – 4p = 12. Vamos construir o gráfico dessa função oferta.
Primeiro vamos isolar a variável q:
2q = 12 + 4p
q = (12 + 4p)/2
q = 6 + 2p
 
Pelo que conhecemos de função do 1º grau, sabemos que o intercepto do eixo vertical é dado pelo parâmetro a, que nesse caso vale 6. Já o intercepto do eixo horizontal, é dado pelo valor de x correspondente a y = 0, ou, no nosso caso, o valor de p correspondente a q = 0. Assim, substituindo 0 na variável q, temos:
0 = 6 + 2p
2p = -6
p = -6/2 = -3
 
Apesar do intercepto do eixo horizontal ser negativo, isso só servirá como referência para a construção do gráfico. Observe abaixo que a linha do gráfico deve ficar tracejada no trecho que está fora do primeiro quadrante. Observe também o aspecto da função crescente.
 
 
Uma outra forma de se construir o gráfico de uma função oferta é simplesmente atribuir zero para as duas variáveis, calculando o valor da outra.
 
 
 
2) Considere a função q = – 8 + 2p, onde p é o preço por unidade do bem ou serviço e q é a correspondente oferta de mercado. A partir de que preço os produtores vão oferecer esse bem ou serviço? 
 
Para que ocorra “mercado”, o produto deve ser oferecido para venda, portanto:
(q > 0)
 
Observe
 
Ao admitirmos q > 0, ocorre:
 
– 8 + 2p > 0 
2p > 8
p > 8
      2
 
p > R$ 4,00
 
Portanto, temos que o preço do produto, nesta situação, deverá ser maior que R$ 4,00. Ou seja, o produto será oferecido ao cliente, somente, com preços maiores do que R$ 4,00.
Módulo 3 – O Ponto de Equilíbrio
 Texto 1
 
·         Introdução
Vimos nos tópicos anteriores que existem duas funções que relacionam os preços e as quantidades de uma mercadoria:
a) a oferta de mercado é uma função que indica a quantidade de uma mercadoria que os produtores estão dispostos a ofertar a um certo nível de preço;
b) a demanda de mercado é uma função que indica a quantidade de uma mercadoria que os consumidores estão dispostos ou desejam consumir a um certo nível de preço.
Agora, vamos pensar na seguinte questão: seria possível a oferta dos produtores ser igual à demanda de mercado dos consumidores por uma mercadoria a um certo nível de preço?
Como vimos, a função oferta é uma função estritamente crescente e a função demanda é uma função estritamente decrescente. Sendo assim, se colocássemos essas duas funções em um mesmo gráfico, haveria um ponto de interseção entre elas? Caso exista esse ponto de interseção, o que ele significa?
 
·         O equilíbrio
A palavra equilíbrio pode ter diversas interpretações. Em geral, o dicionário associa equilíbrio à idéia de estabilidade, harmonia, justeza. No que diz respeito à Economia, o equilíbrio se refere às condições do mercado, as quais, uma vez atingidas, tendem a persistir. Isso ocorre quando a quantidade ofertada de uma mercadoria se iguala à sua quantidade demandada num mesmo período de tempo. Graficamente, o equilíbrio ocorre na interseção das curvas de demanda e oferta de mercado.
Sobre essa interseção, este ponto, se existir, é único, pois a curva de demanda é decrescente e a curva de oferta é crescente. Assim, neste ponto a quantidade que os consumidores desejam comprar é exatamente igual à quantidade que os produtores desejam vender. Existe uma coincidência de desejos.
 
Texto 2
 
No ponto de equilíbrio não existem pressões para alterações nos preços, pois os planos dos vendedores são consistentes com os planos dos compradores.
O preço e a quantidade referentes ao ponto de equilíbrio são chamados de preço de equilíbrio e quantidade de equilíbrio, respectivamente.
Um equilíbrio é considerado estável se qualquer desvio em relação a esta posição provocar a interferência de forças do mercado que fazem com que preços e quantidades retornem à condição de equilíbrioinicial.
Se houver uma tendência a preços e/ou quantidades se afastarem da condição de equilíbrio, então este é dito instável.
Uma análise econômica das condições fora do ponto de equilíbrio revelam que há um intervalo no qual ocorre excesso de demanda e outro intervalo no qual ocorre excesso de oferta. Essa análise pode ser feita por meio dos preços ou das quantidades.
Se analisarmos pelos preços, um preço maior do que o preço de equilíbrio indica que há mais oferta dos produtores do que demanda dos consumidores, ou seja, há um excesso de oferta. Por outro lado, um preço menor do que o preço de equilíbrio indica que há mais demanda dos consumidores do que oferta dos produtores, ou seja, há um excesso de demanda. A análise feita por meio das quantidades é análoga a essa.
 
·         Determinação do ponto de equilíbrio
 
O ponto de equilíbrio pode ser determinado graficamente, traçando-se os gráficos das funções oferta e demanda o obtendo-se o seu ponto de interseção. Entretanto, uma determinação algébrica pode ser mais eficiente. Para isso, basta igualarmos as quantidades ofertada e demandada, dadas por suas respectivas funções. Matematicamente, isso equivale a resolver um sistema formado por duas equações e duas incógnitas.
Podemos obter o equilíbrio trabalhando com funções lineares (do 1º grau), quadráticas (do 2º grau), exponenciais ou logarítmicas. Vejamos alguns exemplos de aplicação:
 
Exemplos Resolvidos
 
1) Considere que a quantidade demandada (qd) e a quantidade ofertada (qs) são dadas em relação aos preços pela tabela abaixo:
 
	Preço (p)
	qd
	qs
	3
	120
	30
	4
	100
	40
	5
	80
	50
	6
	60
	60
	7
	40
	70
	8
	20
	80
 
Observe que, ao nível de preço igual a 6, as quantidades demandada e ofertada se igualam. Este, portanto, é o ponto de equilíbrio. Observe também que:
 preço > 6 → excesso de oferta
preço < 6 → excesso de demanda
 
2) As leis de oferta e de demanda de uma determinada mercadoria são dadas respectivamente por qS = 120 + 6.p e qd = 400 – 8p. Vamos obter o ponto de equilíbrio algebricamente e vamos representá-lo num gráfico.
Como as funções dadas já estão com as quantidades isoladas no membro da esquerda, podemos simplesmente igualar as duas funções:
qs = qd
120 + 6.p = 400 – 8.p
6.p + 8.p = 400 – 120
14.p = 280
p = 280/14 = 20
Portanto, o preço de equilíbrio é 20. Para obter a quantidade de equilíbrio, basta substituir esse valor na função oferta ou na função demanda:
qS = 120 + 6.p → qs = 120 + 6.20 = 120 + 120 = 240
qd = 400 – 8.p → qd = 400 – 8.20 = 400 – 160 = 240
Observe que os dois resultados são iguais. Pelos cálculos, podemos então observar que o ponto de equilíbrio é: PE(p = 20; q = 240).
Pode-se também obter o gráfico das duas funções e localizar o PE:
A função oferta é:
qS = 120 + 6.p
Para q = 0, temos: 120 + 6p = 0 → 6p = -120 → p = -120/6 = -20 (este é o intercepto do eixo horizontal).
Para p = 0, temos: qs = 120 + 6.0 → qs = 120 (este é o intercepto do eixo vertical).
A função demanda é:
qd = 400 – 8p
Para q = 0, temos: 400 – 8p = 0 → 400 = 8p → 400/8 = p = 50 (este é o intercepto do eixo horizontal).
Para p = 0, temos: qd = 400 – 8.0 → qd = 400 (este é o intercepto do eixo vertical).
Deixamos para você a construção do gráfico. Por meio dele, você poderá perceber que:
 
preço > 20 à excesso de oferta
preço < 20 à excesso de demanda
 
3) Dadas as funções q = 40 – 2p e q = –15 + 3p, encontrar PE (preço de equilíbrio) e QE (quantidade de equilíbrio)
40 – 2p = –15 + 3p
40 + 15 = 3p + 2p
55 = 5p
55/5 = p
11 = p
p = R$ 11,00 (PE)
Escolher uma das funções para encontrar QE, por exemplo, q = 40 – 2p
q = 40 – 2.(11) = 40 – 22 = 18 unidades (QE)
Módulo 4 – A função custo total
 
Texto 1
 
·         Introdução
 
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria ou loja, na produção ou aquisição de algum produto. Todo custo, em geral, possui dois componentes: um fixo e outro variável. Neste módulo, vamos estudar como o custo se relaciona com as quantidades produzidas na forma de uma função matemática.
 
·         A Função Custo
 
Representamos a função custo total por meio da seguinte expressão:
Ct = Cf + Cv
Na qual:
Ct é o custo total
Cf é o custo fixo
Cv é o custo variável
 
Os custos fixos independem da quantidade produzida e estão sempre presentes na linha de produção, como salários e aluguel. Em termos relativos, quanto maior for o volume de produção ou venda, menores serão os custos fixos por unidade.
 
Cf = K (K>0)
(Sendo K uma constante de produção)
 
Como o custo fixo é constante, se quisermos representá-lo graficamente, teremos que fazê-lo por meio do gráfico da função constante, que é uma reta paralela ao eixo horizontal. Veja o exemplo abaixo:
 
 
Já o custo variável tem relação direta com o nível de produção e, quando zero unidades é produzida, o custo variável é zero. Os custos variáveis compreendem a matéria-prima e as embalagens, entre outros itens.
 
Texto 2
 
O custo variável de um produto pode ser obtido multiplicando-se seu custo unitário de produção pela quantidade produzida, ou seja:
Cv = pu . q
No qual
pu é o preço de custo ou o custo unitário de produção
q é a quantidade produzida, que é aqui é considerada variável
Cv é o custo variável de produção
 
Podemos escrever a função custo total como:
Ct = Cf + Cv
Ct = Cf + pu.q
Podemos ilustrar a relação entre o custo total, o custo fixo e o custo variável por meio de um gráfico genérico:
 
 
 
Observe que a função custo total somente é definida no primeiro quadrante do sistema de eixos, pois não faz sentido pensarmos em custo negativo ou quantidades negativas.
Podemos inferir também que a função custo depende diretamente das parcelas de custo fixo e custo variável nas quais incorre a produção de um determinado bem. A função de custo representa o custo total da empresa na produção de um item e é uma função estritamente crescente.
 
·         Custo médio
 
Para melhor avaliação de custos por parte do empresário, é importante que ele saiba o custo médio por unidade fabricada de sua linha de produção.
O custo médio total da produção é obtido por meio da divisão do custo total pelo número de unidades produzidas:
 
Cm = Ct/q
 
 
Exemplos Resolvidos
 
1) Uma indústria fabrica um determinado componente e trabalha com um custo fixo de R$20.000,00. Se o preço unitário de produção do componente é de R$500,00, pede-se:
a) a expressão algébrica da função custo total;
b) o gráfico dessa função.
 
Conforme o enunciado, podemos observar que o custo fixo é 20.000, ou seja:
Cf = 20.000
Já o custo unitário de produção do componente é de 500, logo o custo variável é:
Cv = pu.q = 500.q
Sendo assim, o custo total, que é dado pela soma do custo fixo com o custo variável será:
Ct = Cf + Cv
Ct = 20.000 + 500.q
O gráfico dessa função é uma reta, que corta o eixo vertical no ponto equivalente a y = 20.000. Para traçar a reta, precisamos de mais um ponto. Para isso, podemos atribuir um valor para q, digamos q = 10:
Ct = 20000 + 500.10
Ct = 20000 + 5000 = 25000
 
2) O unitário de produção de uma mercadoria é de R$ 12,00 e o custo fixo associado à produção é de R$ 6.000,00 . Se o preço de venda é de R$ 20,00/unidade, identificar a função Custo Total
Solução:  Ct = 6.000 + 12.q
Módulo 5: A Função Receita
 
Texto 1
·         A função Receita Total (RT)
                As receitas são geradas pelas atividades-fim a que uma emprese se dedica. Dessa forma, se uma empresa foi constituída para vender mercadorias que ela fabrica, essa é sua fonte de receitas. Por outro lado, se seu fim é a prestação de serviços, daí a advêm seus recursos. De um modo geral, as receitas vão depender das quantidades de mercadorias vendidas (ou dos serviços prestados) e dos preços dessas mercadorias ou serviços. Em linguagem matemática, podemos escrever:
RT = f(q, p)
 
·         A função Receita Total Linear
                Vamos focar nossos estudos em umaempresa genérica que comercializa um tipo de produto apenas, em intervalos de tempo nos quais os preços são constantes. A função receita total representa o faturamento bruto da empresa e depende do número de vendas de determinado produto.
                Sabe-se, no entanto, que as receitas de vendas de qualquer unidade produzida está vinculada ao preço fixado para o produto, bem como à quantidade vendida desse produto, logo:
Rt = p.q
no qual:
Rt = receita total obtida com a venda de um produto;
p = preço unitário de venda do produto;
q = quantidade vendida do produto
               
Texto 2
 
 
                A função Receita total é linear, isto é, ela não tem o termo constante, independente da variável. Isso quer dizer que seu gráfico é uma linha reta que corta o eixo y na origem (0, 0). Isso parece bastante lógico, pois se pensarmos que a quantidade vendida é zero, não haverá receita alguma para a empresa.
                Também devemos observar que, sendo o preço constante, as variáveis são a quantidade (q) e a receita total (Rt).  Como o preço é obrigatoriamente um valor positivo, essa função é estritamente crescente, ou seja, quanto maior for a quantidade vendida, maior será a receita auferida pela empresa.
                Usualmente, representamos a quantidade no eixo das abscissas (x) e a receita ($) no eixo das ordenadas (y).
                Se quisermos nos referir à receita total auferida pela venda de n produtos, devemos fazer:
Rt = R1 + R2 + ... + Rn
Rt = p1.q1 + p2.q2 + ... + pn.qn
Rt = ∑ pi.qi
 
                O gráfico da função receita típica é uma reta que passa pela origem do sistema de eixos. Usualmente consideramos a variável receita, em unidades monetárias ($) no eixo vertical e a variável quantidade (q), em unidades simples no eixo horizontal.
                Como sabemos que a venda de mais unidades de um produto resulta em uma receita maior, podemos entender que a função receita é estritamente crescente.
                O gráfico genérico de uma função receita típica é:
 
 
Exemplo resolvido
 
Considere um produto que é vendido por $20,00. Vamos obter a função receita total associada à esse produto e vamos representá-la em um gráfico.
 
Primeiro vamos obter a função receita total, que é dada por Rt = pv.q
Substituindo o preço unitário de venda, temos:
Rt = 20.q
Para fazer o gráfico, vamos construir uma tabela na qual atribuiremos alguns valores convenientes para q e calcularemos a Rtcorrespondente:
 
	q
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Rt
	 
	 
	 
	 
	 
	 
 
Para q = 0, temos:
Rt = 20.0 = 0
Para q = 1, temos:
Rt = 20.1 = 20
Para q = 2, temos:
Rt = 20.2 = 40
Para q = 3, temos:
Rt = 20.3 = 60
Para q = 4, temos:
Rt = 20.4 = 80
Para q = 5, temos:
Rt = 20.5 = 100
Completando a tabela, temos:
 
	q
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	Rt
	0
	20
	40
	60
	80
	100
 
Agora vamos colocar esses valores no gráfico:
 
Módulo 6: A Função Lucro
 
Texto 1
 
                A função lucro está relacionada aos valores arrecadados pela atividade-fim da empresa (receitas) e aos gastos efetuados (custos) por ela, seja uma indústria, uma loja revendedora ou uma firma de prestação de serviços.
               
A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a função receita e a função custo.
              
Lucro = receita total - custo total
 
                Se olharmos a função custo total mais atentamente, poderemos observar que ela agrega dois tipos de custos: os custos explícitos e os custos implícitos.
Custos explícitos são os custos que a empresa incorre de fato, isto é, são pagos monetariamente
Custos implícitos (ou custos de oportunidade) são os custos que a empresa incorre quando faz uma opção por um projeto ao invés de, por exemplo, aplicar seu capital nos investimentos disponíveis do mercado financeiro.
Essa diferenciação de custos tem como consequência duas diferentes abordagens quanto ao lucro da empresa:
                O Lucro Econômico refere-se à Receita Total menos Custo Total (incluindo os custos de oportunidade). Já o Lucro Contábil registra apenas os Custos Explícitos, ignorando dos custos de oportunidade. No Brasil, em geral, o lucro econômico é menor que o lucro contábil, devido às altas taxas de juros que prevalecem no mercado financeiro. Essas altas taxas geram oportunidades de ganhos excessivos em Finanças em detrimento da área de projetos empresariais produtivos.
 
Texto 2
 
                Como vimos, há uma diferença entre a visão econômica (do economista) e a visão contábil (do contador) na sua avaliação no tocante ao lucro obtido por uma empresa. O objetivo das firmas é de maximizar os lucros, dados pela receita total menos o custo total. Dessa forma, na visão do economista e do administrador, quando se analisa o comportamento de uma empresa faz-se necessário incluir todos os custos de oportunidade de produção. Porém, na avaliação do contador, os custos da empresa são aqueles que efetivamente impactaram o seu caixa.
                Sabemos que a Receita total é uma função crescente, pois quanto maior a quantidade vendida, maior será o valor arrecadado pela empresa. Da mesma forma, também sabemos que a função Custo total é uma função crescente, pois quanto maior a quantidade produzida, maior será o custo total de produção. De maneira análoga, a função Lucro total também será crescente, visto que quanto maior for a quantidade vendida de um produto, maior será a parcela de lucro da empresa.
                Entretanto, a função Lucro total difere em um aspecto importante das funções Receita total e Custo total. Enquanto não faz sentido pensarmos em receita negativa ou em custo negativo, em relação ao lucro, é importante sabermos que existe lucro negativo, também chamado de prejuízo. Assim, se no gráfico representarmos o lucro no eixo vertical, a função lucro total poderá ser definida nos quadrantes I e IV do sistema de eixos, conforme esquema abaixo:
 
 
Exemplo resolvido
 
Um produto é vendido por R$160,00. Seu custo unitário de produção é de R$100,00. Os custos fixos associados à produção somam R$12.000,00. Pede-se:
a) A função Lucro Total.
b) O gráfico da função Lucro total.
c) O nível de produção para o qual o lucro é nulo.
 
Para obter a função Lucro total, precisamos da função receita total e da função custo total.
A função receita total é dada por: Rt = pv.q
Como o preço de venda é de 160, temos:
Rt = 160.q
A função custo total é dada por Ct = Cf + Cv
O custo fixo é de 12.000. Já o custo variável é dado por: Cv = pu.q
O preço unitário de custo é de 100, logo o custo variável será:
Cv = 100.q
Substituindo na expressão do custo total, temos:
Ct = 12000 + 100.q
A função lucro total é dada por: Lt = Rt – Ct
Lt = 160.q – (12000 + 100.q)
Lt = 160.q – 12000 – 100.q
Lt = 60q – 12000
Essa é um função do 1º grau, logo seu gráfico é uma reta. Para obtê-lo, podemos atribuir dois valores quaisquer para q e calcular o Ltcorrespondente.
Digamos par q = 100:
Lt = 60.100 – 12000
Lt = 6000 – 12000 = -6000
Agora, suponhamos q = 300:
Lt = 60.300 – 12000
Lt = 18000 – 12000
Lt = 6000
Vamos colocar esses valores no gráfico:
 
 
Pelo gráfico, podemos ver que o lucro é nulo para q = 200. Mas, independente de termos visto isso no gráfico, podemos obter esse resultado algebricamente. Para isso, basta substituir Lt = 0 na função lucro total:
Lt = 60q – 12000
0 = 60q – 12000
12000 = 60q
q = 12000/60 = 200
 
O cálculo confere com o que o gráfico havia mostrado.
Módulo 7: Ponto de Nivelamento
 
Texto 1
 
Para uma empresa, é fundamental fazer uma análise criteriosa de seus custos e de suas receitas. Sabemos que um dos objetivos mais importantes de uma empresa é o de gerar lucro para seus proprietários ou acionistas. Com base nesse fato, a empresa deve fazer análises operacionais de modo a buscar eficiência na obtenção de resultados.
Neste módulo, estudaremos o conceito de ponto de nivelamento, que é uma importanteferramenta se gerenciar as metas de uma empresa.
 
·      O Break Even Point
O ponto de nivelamento, ou Break Even Point (BEP), representa o ponto no qual as receitas totais se igualam aos custos totais.
Tanto a função Custo total quanto a função Receita total são crescentes, mas elas tem um ponto em comum, que é o BEP.
Graficamente, podemos observar o ponto de nivelamento na interseção das curvas de receita e custo:
 
Analisando o gráfico, vemos que para quantidades menores que o BEP, o custo é maior do que a receita, o que acarreta prejuízo. Para quantidades maiores que o BEP, a receita é maior do que o custo, o que resulta em lucro. No BEP, as receitas e os custos se igualam, o que pode ser interpretado como lucro nulo.
 
Texto 2
 
Para uma empresa, é importante conhecer o BEP, pois ele representa o ponto a partir do qual ela poderá obter lucro.
Resumidamente, podemos escrever:
q > BEP à receita > custo à lucro
q < BEP à receita < curso à prejuízo
q = BEP à receita = custo à lucro nulo
 
O cálculo do ponto de nivelamento pode ser feito igualando as funções receita total e custo total:
RT = CT
Fazendo isso e resolvendo a expressão resultante, encontraremos um valor de q (quantidade). Para obter o valor da receita e do custo basta substituir o valor de q encontrado nas respectivas funções (receita total e custo total). Você irá observar que o valor encontrado em ambas as expressões é o mesmo. Sendo assim, o ponto de nivelamento corresponde a um valor de q associado a uma receita e custo iguais, que fazem com que o lucro da empresa seja nulo nesse nível de produção.
 
Exemplo resolvido
Um produto é vendido a $600. Sendo seu custo por unidade de $400 e sendo o custo fixo igual a $2.000, calcule o ponto de nivelamento.
 
Solução:
 
A função receita total é: RT = 600.q
A função custo total é: CT = 2000 + 400.q
Igualando as duas expressões, temos:
600q = 2000 + 400q
600q – 400q = 2000
200q = 2000
q = 2000/200
q = 10
 
Substituindo q = 10 na função receita total, temos: RT = 600.10 = 6000
Logo, o ponto de nivelamento é q = 10 e RT = CT = 6000
Para q > 10 a empresa terá lucro.
Para q < 10 a empresa terá prejuízo.
 
Módulo 8 – Outras Aplicações
 
Texto 1
·         Depreciação
Depreciação é a diminuição do valor de um ativo, provocada pelo desgaste proveniente do uso ou utilização em processo produtivo, ou simplesmente pelo decorrer do tempo, que muitas vezes torna o equipamento obsoleto ou ultrapassado em termos tecnológicos.
Dessa forma, a contabilidade da empresa deve, a cada exercício contábil, baixar uma parcela do valor desse ativo, calculada de acordo com o método de desvalorização adotado. Os principais métodos são:
a) depreciação linear
b) soma dos dígitos
c) estimativa do número de horas de uso
Nosso principal interesse é estudar o primeiro método, que pressupõe uma parcela de depreciação constante no decorrer da vida útil do ativo a ser depreciado. Com essa finalidade, vamos estabelecer alguns conceitos:
Vn: valor de aquisição do bem ou valor nominal;
Da: a parcela de depreciação anual, no decorrer da vida útil do bem, que segundo o modelo linear, é constante;
Vr: valor residual, alcançado pelo ativo após ser totalmente depreciado;
t: tempo de vida útil do bem, isto é, tempo durante o qual o ativo está sujeito a depreciação;
V: valor do bem em qualquer data, entre 0 e t.
O valor de V é uma função de t. Como, com o passar do tempo, o valor do ativo cai, essa função é decrescente.
 
 
·         Texto 2
Cálculo do valor de V:
Ao final do primeiro ano (t = 1), devemos descontar do preço original do ativo uma parcela de depreciação. Assim, temos:
V = Vn – 1.Da
Ao final do segundo ano (t = 2), devemos descontar mais uma parcela de depreciação, então o preço do ativo será:
V = Vn – 1.Da – 1.Da
V = Vn – 2.Da
Transcorridos t anos, podemos escrever:
V = Vn – t.Da
Se conhecermos o valor residual do bem e o seu tempo de vida útil, podemos calcular, com a fórmula acima, o valor da parcela de depreciação anual, fazendo:
Da = (Vn – Vr)/t
Se considerarmos que o valor residual do ativo é diferente de zero, podemos representar graficamente a função depreciação linear assim:
 
A depreciação também pode ser abordada como uma função exponencial. Nesse caso, define-se uma taxa de depreciação, que deve ser aplicada sobre o valor do bem no ano anterior, num processo bastante semelhante ao cálculo do juro composto. Dessa forma , a função depreciação não seria uma função linear e o valor nominal das depreciações seria decrescente com o tempo.
 
 
Exemplo Resolvido
 
Uma fábrica adquiriu 5 novas máquinas ao custo de R$500.000, por unidade. Sendo de 10 anos a sua vida útil e sendo R$50.000, o seu valor residual, obtenha a expressão algébrica da função de depreciação linear.
Solução:
Primeiro calculamos o valor da depreciação anual:
 
Da = (Vn – Vr)/t
Da = (500.000 – 50.000)/10 = 45.000
 
Substituindo em V = Vn – t.Da temos:
V = 500.000 – 45.000.t