Gabarito Primeira Avaliação de Cálculo II 2017

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GABARITO 
PRIMEIRA AVALIAÇÃO PRESENCIAL DE CÁLCULO II 
1º SEMESTRE DE 2017 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 01 (8 pontos) 
 
 
 
Dois veículos estão se encaminhando em direção a 
um cruzamento: um carro seguindo em direção 
leste a uma velocidade de 90 𝑘𝑚/ℎ e um caminhão 
seguindo a direção sul, a 60 𝑘𝑚/ℎ. Qual a taxa 
segundo a qual eles se aproximam um do outro no 
instante em que o carro está a 4 𝑘𝑚 do cruzamento 
e o caminhão a 3 𝑘𝑚? 
 
 
 
Solução: 
 
Sejam 
𝑥(𝑡): 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝑒 𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡. 
𝑦(𝑡): 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 𝑒 𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡. 
𝑧(𝑡): 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝑒 𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎã𝑜 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡. 
Temos 
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 
No instante em que 𝑥 = 4 𝑘𝑚 e 𝑦 = 3 𝑘𝑚, temos 
𝑧2 = 9 + 16 → 𝑧 = 5 𝑘𝑚 
Ainda, sabemos que 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 90 𝑘𝑚/ℎ e 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 60 𝑘𝑚/ℎ. 
 
Como 
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2, 
derivando ambos os membros da equação em relação à 𝑡, temos 
2𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
No instante em que 𝑥 = 3 𝑘𝑚 e 𝑦 = 4 𝑘𝑚, 
2 ⋅ 5 ⋅
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2 ⋅ 4 ⋅ 90 + 2 ⋅ 3 ⋅ 60 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 108 𝑘𝑚/ℎ 
Portanto, no instante dado os carros estão se aproximando a 108 𝑘𝑚/ℎ. 
 
 
 
 
QUESTÃO 02 (8 pontos) 
 
 
 
 
Uma caixa fechada com base quadrada deve 
ter um volume de 2.000 𝑐𝑚3. O material da 
tampa e da base deve custar 𝑅$ 2,00 o 
centímetro quadrado e o material dos lados 
deve custar 𝑅$ 1,00 o centímetro quadrado. 
Determine as dimensões da caixa que 
minimizarão o custo total do material utilizado. 
Em seguida, determine o custo do material 
para a confecção da caixa de custo mínimo. 
 
 
 
 
Solução: 
 
Sejam 𝑥 a largura e o comprimento da caixa e 𝑦 a altura, ambas medidas em centímetros. 
O volume da caixa é 
𝑉 = 𝑥2𝑦 = 2000. 
Assim, 
𝑦 =
2000
𝑥2
 
O custo para a produção da base e da tampa da caixa é 
2 ⋅ (𝑥2 + 𝑥2) = 4𝑥2 
O custo para a produção dos lados da caixa é 
1 ⋅ (𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦) = 4𝑥𝑦 
Portanto, o custo 𝐶(𝑥) para a produção da caixa é 
𝐶(𝑥) = 4𝑥2 + 4𝑥𝑦 = 4𝑥2 + 4𝑥 ⋅
2000
𝑥2
= 4𝑥2 +
8000
𝑥
, 𝑥 > 0 
Como 
𝐶′(𝑥) = 8𝑥 −
8000
𝑥2
= 8 (
𝑥3 − 1000
𝑥2
) , 𝑥 > 0 
Uma vez que 𝐶(𝑥) e 𝐶′(𝑥) têm os mesmos domínios, os únicos pontos críticos de 𝐶 são as soluções da 
equação 𝐶′(𝑥) = 0, isto é, 𝑥 = 10. 
Como 𝐶′(𝑥) < 0 no intervalo (0,10) e 𝐶′(𝑥) > 0 no intervalo (10, +∞), segue que 𝑓 é decrescente em 
(0,10] e crescente no intervalo [10, +∞). Portanto, o custo é máximo quando 𝑥 = 10 𝑐𝑚 e 𝑦 = 20 𝑐𝑚. 
O custo do material para a confecção da caixa de custo mínimo é 
𝐶(10) = 4 ⋅ 102 +
8000
10
= 𝑅$1.200,00 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 03 (8 pontos) 
 
Calcule as integrais abaixo. 
 
𝑎) ∫ (
√𝑡 + 𝑡2 − 𝑡
𝑡3
) 𝑑𝑡 𝑏) ∫ (3 cos 𝑡 + 𝑒𝑡 − 8 sen 𝑡 + 𝑡3 + 6)
2
0
𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 a) 
∫ (
√𝑡 + 𝑡2 − 𝑡
𝑡3
) 𝑑𝑡 = ∫ (
√𝑡
𝑡3
+
𝑡2
𝑡3
−
𝑡
𝑡3
) 𝑑𝑡 = ∫ (𝑡−
5
2 +
1
𝑡
− 𝑡−2) 𝑑𝑡 = −
2
3
𝑡−
3
2 + ln|𝑡| + 𝑡−1 + 𝑐 
 
 
 
 
 b) 
∫ (3 cos 𝑡 + 𝑒𝑡 − 8 sen 𝑡 + 𝑡3 + 6)
2
0
𝑑𝑡 = [3 sen 𝑡 + 𝑒𝑡 + 8 cos 𝑡 +
𝑡4
4
+ 6𝑡]
𝑡=0
𝑡=2
 
= [3 sen 2 + 𝑒2 + 8 cos 2 +
24
4
+ 6 ⋅ 2] − [3 sen 0 + 𝑒0 + 8 cos 0 +
04
4
+ 6 ⋅ 0] 
= 3 sen 2 + 𝑒2 + 8 cos 2 + 7 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 04 (8 pontos) 
 
Determine o domínio, as assíntotas, os pontos críticos e os pontos de inflexão da função 
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒−4𝑥. 
Em seguida, estude a monotonicidade e a concavidade de 𝑓. 
Utilize as informações obtidas para esboçar o gráfico da função 𝑓. 
 
 
 
 
Solução: 
 
• O domínio de 𝑓 é o conjunto dos reais, uma vez que não existe nenhum tipo de restrição para 
o cálculo da função. 
• Como 𝐷𝑓 = 𝑅 e 𝑓 é contínua, não existe assíntota vertical. 
• A reta 𝑦 = 0 é a única assíntota horizontal de 𝑓, uma vez que 
lim
𝑥→+∞
𝑥𝑒−4𝑥 = lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑒4𝑥
= lim
𝑥→+∞
1
4𝑒4𝑥
= 0 (𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝐿′𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙) 
lim
𝑥→−∞
𝑥𝑒−4𝑥 = −∞ 
• 𝑓′(𝑥) = 𝑒−4𝑥 − 4𝑥𝑒−4𝑥 = 𝑒−4𝑥(1 − 4𝑥); 𝐷𝑓
′ = 𝑅 
• Como 𝐷𝑓 = 𝐷𝑓
′ , o único ponto crítico de 𝑓 é a raiz da equação 𝑓′(𝑥) = 0, isto é, 𝑥 = 1/4. 
• 𝑓′(𝑥) > 0 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (−∞,
1
4
) 𝑒 𝑓′(𝑥) < 0 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (
1
4
, +∞) 
consequentemente, 𝑓 é decrescente no intervalo (−∞,
1
4
] e crescente no intervalo [
1
4
, +∞). 
• 𝑓′′(𝑥) = −4𝑒−4𝑥(1 − 4𝑥) − 4𝑒−4𝑥 = 8𝑒−4𝑥(2𝑥 − 1), 𝐷𝑓
′′ = 𝑅 
• 𝑓′′(𝑥) > 0 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (
1
2
, +∞) 𝑒 𝑓′′(𝑥) < 0 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (−∞,
1
2
) 
consequentemente, 𝑓 tem concavidade voltada para cima no intervalo (
1
2
, +∞) e concavidade 
voltada para baixo no intervalo (−∞,
1
2
) 
• 𝑥 = 1/2 é o único ponto de inflexão de 𝑓. 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 5 (3 PONTOS) 
 
 
A reta tangente à curva de equação 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3 no ponto (1,1) é perpendicular à reta 
 
a) 𝑥 + 𝑦 = 1 
b) 𝑥 − 𝑦 = 1 
c) 𝑥 − 2𝑦 = 1 
d) 2𝑥 − 𝑦 = 1 
 
 
 
Solução: 
 
Utilizaremos derivação implícita para determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no 
ponto dado. Derivando ambos os lados da equação, obtemos 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦′ + 2𝑦𝑦′ = 0 
𝑦′ = −
(2𝑥 + 𝑦)
𝑥 + 2𝑦
 
O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto (1,1) é dado por 
𝑦′ = −1 
Duas retas são paralelas quando possuem o mesmo coeficiente angular. Dentre as retas dadas, a 
única que tem coeficiente angular igual a −1 é a reta apresentada no item (𝑎). 
 
A reta tangente à curva no ponto (1,1) é 
𝑦 − 1 = −1(𝑥 − 1) 
𝑦 = −𝑥 + 2 
Dentre as retas apresentadas, a única que é perpendicular à reta 𝑥 + 𝑦 = 2 é a reta 𝑥 − 𝑦 = 1. 
 
.