CCE0159 Trabalho 2017.2 GAB

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CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DE SÃO PAULO 
CCE0159 – ELETROMAGNETISMO – DATA LIMITE PARA ENTREGA: DIA DA 
REALIZAÇÃO DA AV1 - INDIVIDUAL 
 
PARTE A – PESQUISA SOBRE: 
Ondas eletromagnéticas 
Onda plana uniforme: Propagação de ondas no espaço livre e propagação de ondas 
em dielétricos. 
Linhas de transmissão: equações das linhas de transmissão e parâmetros das linhas 
de transmissão, para linhas curta, média e longa. 
Deverá ser limitada em até 12 páginas, fonte arial 12 e espaço simples, incluindo 
figuras, fotos, etc. 
 
PARTE B 
TODAS AS QUESTÕES DE 1 A 10 DEVERÃO APRESENTAR MEMÓRIA DE 
CÁLCULO PARA JUSTIFICAR AS RESPOSTAS 
QUESTÃO 01 
Nos pontos A(1, 2, -5)m, B(2, -3, 0)m e C(5, -2, 1) m, localizados no espaço livre, 
estão localizadas as cargas Q1 = 250 nC, Q2 = - 500 nC e Q3 = 350 nC, 
respectivamente. A intensidade do campo elétrico na origem do sistema de 
coordenadas vale: 
a) 242,438 (V/m) 
b) 293,248 (V/m) 
c) 427,493 (V/m) 
d) 316,901 (V/m) 
e) 339,842 (V/m) 
Resposta esperada: 
30.5.2)5,2,1()0,0,0( 11  raaaOPr zyx

 
13.3.2)0,3,2()0,0,0( 22  raaOPr yx

 
30.2.5)1,2,5()0,0,0( 33  raaaOPr zyy

 
 
).5.2..(
30
10.250.10.9
.
.
3
99
13
1
1
1 zyx aaar
r
Qk
E




 
)/(.465,68.386,27.693,131 mVaaaE zyx


 
 
).3.2.(
13
)10.500.(10.9
.
.
3
99
23
2
1
2 yx aar
r
Qk
E






 
)/(.017,288.012,1922 mVaaE yx


 
 
).2.5.(
30
10.350.10.9
.
.
3
99
33
3
1
3 zyx aaar
r
Qk
E




 
)/(.170,19.341,38851,953 mVaaaE zyx


 
)/(.295,49062,277.468,82321 mVaaaEEEE zyxP


 
)/(248,293)295,49()062,277()468,82( 222 mVEP 

 
Alternativa correta: b 
 
QUESTÃO 02 
Em uma região do espaço livre, estão localizadas as cargas Q1 = -300 nC no ponto 
A(0, 3, 0)m e Q2 = -500 nC no ponto B(0, 7, 0)m. Para obter um campo elétrico nulo no 
ponto P(0, 3, 5)m, pretende-se colocar uma carga Q3 ao longo do eixo y. Nestas 
condições a natureza e a intensidade da carga Q3 e o ponto onde deverá ser colocada 
esta carga valem respectivamente 
a) Carga positiva de 642,3 (nC) e 4,770(m) 
b) Carga negativa de 943,3 (nC) e 4,770(m) 
c) Carga positiva de 943,3 (nC) e 3,057(m) 
d) Carga negativa de 642,3 (nC) e 4,770(m) 
e) Carga positiva de 531,2 (nC) e 2,935(m) 
Resposta esperada: 
Considerando: A(0, yA, 0); B(0, yB, 0); P(0, yP, zP) e o ponto solicitado D(0, yD, 0), 
teremos: 
 
22
11 )(.).()0,,0(),,0( PAPzPyAPAPP zyyrazayyyzyAPr 
 
22
22 )(.).()0,,0(),,0( PBPzPzBPBPP zyyrazayyyzyBPr 

 
22
33 )(.).()0,,0(),,0( PDPzPyDPDPP zyyrazayyyzyDPr 
 
  
  zPyAP
PAP
azayy
zyy
Qk
E

...
.
2
3
22
1
1 


 
  
  zPyBP
PBP
azayy
zyy
Qk
E

...
.
2
3
22
2
2 


 
  
  
  
  zPyBP
PBP
zPyAP
PAP
azayy
zyy
Qk
azayy
zyy
Qk
EE


...
.
...
.
2
3
22
2
2
3
22
1
21






 
     
     
z
PBP
P
PAP
P
y
PBP
BP
PAP
AP
a
yyy
zQk
zyy
zQk
a
yyy
yyQk
zyy
yyQk
EE


.
....
.
).(.).(.
2
3
22
2
2
3
22
1
2
3
22
2
2
3
22
1
21



























 
  
].)..[(
.
2
3
22
3
3 zPyDP
PDP
azayy
zyy
Qk
E




 
321321 0 EEEEEE


 
Portanto, como as cargas Q1 e Q2 são negativas, a carga Q3 deverá ser positiva. 
Comparando os coeficientes na direção de y, temos: 
         2
3
22
3
2
3
22
2
2
3
22
1 )(.)(.)(.
PDP
DP
PBP
BP
PAP
AP
zyy
yyQk
zyy
yyQk
zyy
yyQk








 Equação 1 
Comparando os coeficientes na direção de z, temos: 
         2
3
22
3
2
3
22
2
2
3
22
1 ......
PDP
P
PBP
P
PAP
P
zyy
zQk
zyy
zQk
zyy
zQk





 Equação 2 
Da equação 1: 
  
     
DP
PBP
BP
PAP
AP
PDP
yy
zyy
yyQk
zyy
yyQk
zyy
Qk








2
3
22
2
2
3
22
1
2
3
22
3
).(.)(.
. Equação 3 
Da equação 2: 
  
     
P
PBP
P
PAP
P
PDP
z
zyy
zQk
zyy
zQk
zyy
Qk 2
3
22
2
2
3
22
1
2
3
22
3
....
. 




 
         2
3
22
2
2
3
22
1
2
3
22
3 ...
PBPPAPPDP zyy
Qk
zyy
Qk
zyy
Qk





 Equação 4 
Comparando as equações 3 e 4, obtemos: 
     
      2
3
22
2
2
3
22
1
2
3
22
2
2
3
22
1
..
).(.)(.
PBPPAP
DP
PBP
BP
PAP
AP
zyy
Qk
zyy
Qk
yy
zyy
yyQk
zyy
yyQk










 
     
      2
3
22
2
2
3
22
1
2
3
22
2
2
3
22
1 ).()(
PBPPAP
PBP
BP
PAP
AP
DP
zyy
Q
zyy
Q
zyy
yyQ
zyy
yyQ
yy








 
     
     
)(7698,4
).()(
2
3
22
2
2
3
22
1
2
3
22
2
2
3
22
1
m
zyy
Q
zyy
Q
zyy
yyQ
zyy
yyQ
yy
PBPPAP
PBP
BP
PAP
AP
PD 








 
Da equação 1: 
     
   )(3,642.
).()(
2
3
22
2
3
22
2
2
3
22
1
3 nCzyy
yy
zyy
yyQ
zyy
yyQ
Q PDP
DP
PBP
BP
PAP
AP















 
Ou da equação 2: 
     
   )(3,642. 2
3
22
2
3
22
2
2
3
22
1
3 nCzyy
zyy
Q
zyy
Q
Q PDP
PBPPAP













 
 
QUESTÃO 03 
No ponto A(-5, 0, 0)m passa uma reta paralela ao eixo z contendo uma distribuição 
linear de carga 100 (nC/m), no ponto B(5, 5, 0)m passa uma reta paralela ao eixo x, 
que contém uma distribuição linear de cargas 250 (nC/m) e ponto C(5, 0, 6)m passa 
uma reta paralela ao eixo y que contem uma distribuição linear de cargas 125 (nC/m). 
Considerando o vácuo como meio circundante, a intensidade do campo elétrico no 
ponto P(5, 0, 0)m vale: 
a) 1095,00 (V/m) 
b) 1039,34(V/m) 
c) 1020,11 (V/m) 
d) 991,48 (V/m) 
e) 2205,82 (V/m) 
Resposta esperada: 


aE
  .
...2 0

 
Para o ponto P devido a distribuição linear de carga na reta que passa pelo ponto A e 
paralela ao eixo z, o campo elétrico resultante tem orientação em x, ou seja, 
)/)(.(180)(
10.10.84,8..2
10.100
).(
...2 12
9
0
mVaaaE xxx
  



 
Para o ponto P devido a distribuição linear de carga na reta que passa pelo ponto B e 
paralela ao eixo x, o campo elétrico resultante tem orientação em y, ou seja, 
)/)(.(900)(
5.10.84,8..2
10.250
).(
...2 12
9
0
mVaaaE yyy
  



 
Para o ponto P devido a distribuição linear de carga na reta que passa pelo ponto C e 
paralela ao eixo y, o campo elétrico resultante tem orientação emz, ou seja, 
)/)(.(375)(
6.10.84,8..2
10.125
).(
...2 12
9
0
mVaaaE zzz
  



 
)/(48,991)375()900()180( 222 mVEres 
 
Alternativa correta: d 
 
QUESTÃO 04 
Nos pontos A(3, 0, 0)m, B(0, 3, 0)m e na origem do sistema cartesiano estão 
localizadas as cargas Q1 = 300 nC, Q2 = 300 nC e Q3, respectivamente. Determinar a 
intensidade e a natureza da carga Q3 de modo que no ponto (3, 3, 0)m, o campo 
elétrico seja nulo. 
Resposta esperada: 
Campo gerado pela carga Q1 e Q2 são iguais em módulo e vale: 
2
1
21
.

Qk
EE 
 
Os campos gerados pelas cargas Q1 e Q2 formam um ângulo reto e a resultante 
destes campos vale: 
2
1
1
2
2
2
1
.
.2.2

Qk
EEEER 
 
O campo elétrico a ser gerado pela carga Q3, tem módulo igual a: 
  2
3
2
3
3
.2
.
.2
.

QkQk
E 
 (a carga está na diagonal do ponto onde o campo elétrico 
resultante é zero) 
Para que o campo resultante seja nulo, as intensidades de ER e E3 deverão ser iguais 
e em oposição. 
Em módulo: 
)(528,848.2.2.2
2
.
.2
.2
.
131
3
2
1
2
3
3 nCQQQ
QQkQk
EE R 

 
Como as cargas Q1 e Q2 são positivas, a carga Q3 deverá ser negativa para que o 
campo resultante no quarto vértice seja nulo. 
 
QUESTÃO 05 
No plano y0z está localizado um anel circular de raio 15 cm e centro na origem do 
sistema, carregado com cargas elétricas Q = 850 nC, uniformemente distribuída. 
Considerando o vácuo como meio circundante, a intensidade e a orientação do 
campo elétrico no ponto P(1,8; 0; 0) m vale: 
a) 2202,32 (V/m) no sentido de x crescente 
b) 2002,32 (V/m) no sentido de x crescente 
c) 2336,73 (V/m) no sentido de x crescente 
d) 2202,32 (V/m) no sentido de x decrescente 
e) 2336,73 (V/m) no sentido de x decrescente 
Resposta esperada: 
 
 


..2
10.850 9

 e ρ = 15 cm 
 
)...(
..
..
3
22
3 x
aha
h
dk
r
r
dq
kEd



 

 

 
Pela simetria, as componentes verticais se anulam, obtemos: 
     





 
..2.
..
.
.....
3
22
..2
0322
3
22 h
hk
d
h
hk
E
h
dhk
dE xx





 
 
 
 
)/(73,233615,0..2.
8,115,0
8,1.
15,0..2
10.850
.10.9
3
22
9
9
mVEx 



 
Alternativa correta: c 
 
QUESTÃO 06 
Uma linha de cargas, com densidade linear  = 20 (nC/m), está localizada no eixo y. 
O meio circundante onde estão localizados a linha e o ponto é o vácuo. A intensidade 
do campo elétrico no ponto P (4, 3, 8) m vale: 
a) 90,0 V/m 
b) 38,2 V/m 
c) 120,0 V/m 
d) 40,2 V/m 
e) 720,0 V/m 
Resposta esperada: 
Como a linha carregada está ao longo do eixo y, a distância deste eixo até o ponto P, 
vale: 
)(944,88084 22 m 
A intensidade do campo elétrico no ponto vale: 
)/(249,40
...2 0
mVE  

 
Alternativa correta: d 
 
QUESTÃO 07 
Um plano vertical está carregado com densidade superficial de cargas S = 100 nC/m2. 
Um fio de isolante está fixo em um ponto deste plano e na outra extremidade está 
presa uma esfera de massa m e contém uma quantidade de cargas elétricas q = 
121,88 nC. Considerando que o meio circundante é o vácuo e o ângulo de inclinação 
que o fio forma com o plano é  = 8º, a massa m da esfera vale: 
 
 
a) 0,07 g 
b) 0,55 g 
c) 0,25 g 
d) 0,50 g 
e) 0,15 g 
Resposta esperada: 
 
Da figura, na condição de equilíbrio: 
0.2
.
.

 SH
q
FsenTT 
 
gmPTTV .cos.  
 
)(50,0
...2
.
...2
.
.
.2
.
00
0 g
tgg
q
m
gm
q
tg
gm
q
tg
T
T SS
S
V
H  




 
Alternativa correta: d 
 
QUESTÃO 08 
Em uma região do espaço livre existem três retas carregadas. A primeira reta passa 
pelo ponto A(1, 0, 0), é paralela ao eixo y e contém densidade liner de cargas  = 200 
(nC/m). A segunda reta passa pelo ponto B(-2, 0, 0), é paralela ao eixo z e contém 
densidade linear de cargas  = -100 (nC/m). A terceira reta passa pelo ponto D(0, 5, 
0)m, é paralela ao eixo x e contém uma densidade linear de cargas  = 250 (nC/m). A 
intensidade do campo elétrico na origem do sistema cartesiano vale: 
a) 2846,050 (V/m) 
b) 4409,082 (V/m) 
c) 5400,000 (V/m) 
d) 4589,118 (V/m) 
e) 3627,566 (V/m) 
Resposta esperada: 
)(1)0,0,1()0,0,0( 11 maAO x    
)(2.2)0,0,2()0,0,0( 22 maBO x    
)(5.5)0,5,0()0,0,0( 33 maDO y    
)/(.3600).(
1
10.200.10.18
.
...2
2
99
12
10
1
1 mVaaE xx



 

 
)/(.9002.
2
)10.100.(10.18
.
...2
2
99
22
20
2
2 mVaaE xx



 



 
)/(.900).5.(
5
10.250.10.18
.
...2
2
99
32
30
3
3 mVaaE yy



 

 
)/(.900.4500321 mVaaEEEE yxO


 
)/(118,4589)900()4500( 22 mVEO 

 
Alternativa correta: d 
 
QUESTÃO 09 
Em cada um dos três vértices de um quadrado de lado a = 10 cm foram colocadas as 
cargas Q1, Q2 e Q3. As cargas Q1 e Q2 são iguais a -100 nC e a carga Q3 está 
localizada no vértice diagonalmente oposta ao quarto vértice. O meio circundante é o 
vácuo. A intensidade e a natureza da carga Q3, quando o campo elétrico no quarto 
vértice é nulo, valem: 
a) 282,843 nC e carga positiva 
b) 200,000 nC e carga positiva 
c) 141,421 nC e carga negativa 
d) 282,843 nC e carga negativa 
e) 141,421 nC e carga positiva. 
Resposta esperada: 
Campo gerado pela carga Q1 e Q2 são iguais em módulo e vale: 
2
1
21
.

Qk
EE 
 
Os campos gerados pelas cargas Q1 e Q2 formam um ângulo reto e a resultante 
destes campos vale: 
2
1
1
2
2
2
1
.
.2.2

Qk
EEEER 
 
O campo elétrico a ser gerado pela carga Q3, tem módulo igual a: 
  2
3
2
3
3
.2
.
.2
.

QkQk
E 
 (a carga está na diagonal do ponto onde o campo elétrico 
resultante é zero) 
Para que o campo resultante seja nulo, as intensidades de ER e E3 deverão ser iguais 
e em oposição. 
Em módulo: 
)(843,282.2.2.2
2
.
.2
.2
.
131
3
2
1
2
3
3 nCQQQ
QQkQk
EE R 

 
Como as cargas Q1 e Q2 são negativas, a carga Q3 deverá ser positiva para que o 
campo resultante no quarto vértice seja nulo. 
Alternativa correta: a 
 
QUESTÃO 10 
Em uma região livre, passa um plano :{ 2x - 2y – z + d = 0, que passa pelo ponto R(-
2, 6, 3) m e contém uma distribuição superficial de cargas S = 500 nC/m2. A 
intensidade do campo elétrico no ponto P(-4, 5, 3) m, vale: 
DADO: Distância do ponto P(x1, y1, z1) ao plano :{ ax + by + cz + d = 0 
222
111
,
.
cba
dczbyxa
dP



 
a) 20,31 kV/m 
b) 28,28 kV/m 
c) 14,14 kV/m 
d) 28,28 V/m 
e) 40,61 kV/m 
Resposta esperada: 
Como o campo elétrico devido a distribuição superficial não depende do afastamento 
da superfície ao ponto, logo: 
)/(28,28
10.84,8.2
10.500
.2 12
9
0
mkVE S 



