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1a Avaliação Presencial Data: 21/05/2016 Disciplina:Cálculo II Professora:Beatriz Ribeiro Aluno(a): SUGESTÃO DE SOLUÇÃO Questão 1 (6 Pontos): Calcule a integral ∫ ( 2x2 + 1 x4 −√x+ ex ) dx. Resolução Temos que: I = ∫ ( 2x2 + 1 x4 −√x+ ex ) dx = ∫ 2x2dx+ ∫ 1 x4 dx− ∫ √ xdx+ ∫ exdx Agora, podemos fazer cada integral separadamente:∫ 2x2dx = 2 ∫ x2dx = 2 · x 3 3 + C ∫ 1 x4 dx = ∫ x−4dx = x−3 −3 + C = − x−3 3 + C − ∫ √ xdx = − ∫ x1/2dx = −x 3/2 3/2 + C = −2 3 x3/2 + C = −2 3 √ x3 + C∫ exdx = ex + C Portanto: I = 2 3 x3 − 1 3x3 − 2 3 √ x3 + ex + C Questão 2 (8 Pontos): Calcule a integral ∫ cos x√ 4− sen2x dx. Resolução Fazendo a mudança de variáveis u = sen x, temos que du = cos x dx. Assim: I = ∫ cos x√ 4− sen2x dx = ∫ 1√ 4− u2 du (Nesse ponto, quem usou que essa integral é arcsen u 2 + C e voltou para a variável x já levou total na questão, mas vamos terminá-la.) Agora, uma nova mudança: u = 2 senθ, donde du = 2cosθ dθ: I = ∫ 1√ 4− u2 du = ∫ 2cosθ√ 4− 4sen2θ dθ = ∫ 2cosθ√ 4(1− sen2θ) dθ = ∫ 2cosθ 2 √ 1− sen2θ dθ = ∫ cosθ√ 1− sen2θ dθ Como sen2θ + cos2θ = 1, segue que 1− sen2θ = cos2θ, assim: I = ∫ cosθ√ 1− sen2θ dθ = ∫ cosθ√ cos2θ dθ = ∫ cosθ cosθ dθ = ∫ dθ = θ + C Como u = 2 senθ, segue que θ = arcsen u 2 . Mas a primeira mudança foi u = sen x, donde: I = θ + C = arcsen u 2 + C = arcsen (sen x 2 ) + C Questão 3 (8 Pontos): Calcule a integral ∫ −8x x3 − 3x2 − x+ 3 dx. Resolução Temos que 13− 3 · 12− 1+ 3 = 0, donde 1 é raiz de x3− 3x2− x+3. Assim, x3− 3x2− x+3 é divisível por x− 1. Efetuando a divisão, temos: x3− 3x2− x+3 = (x− 1)(x2− 2x− 3) = (x− 1)(x+1)(x− 3) (já que é fácil encontrar raiz de equação de 2o grau). Assim: I = ∫ −8x x3 − 3x2 − x+ 3 dx = ∫ −8x (x− 1)(x+ 1)(x− 3) dx = ∫ A x− 1 + B x+ 1 + C x− 3 dx Agora: A = lim x→1 −8x (x+ 1)(x− 3) = −8 2 · (−2) = 2 B = lim x→−1 −8x (x− 1)(x− 3) = 8 (−2)(−4) = 1 C = lim x→3 −8x (x− 1)(x+ 1) = −24 2 · 4 = −3 Logo: I = ∫ 2 x− 1 + 1 x+ 1 + −3 x− 3 dx = 2ln|x− 1|+ ln|x+ 1| − 3ln|x− 3|+ C Questão 4 (8 Pontos): Calcule a integral ∫ ln2 x dx. Resolução Vamos usar integração por partes. Sejam u = ln2 x e dv = dx. Assim, du = 2 lnx x dx e v = x, donde: I = ∫ ln2 x dx = x ln2 x− ∫ x 2 lnx x dx = x ln2 x− 2 ∫ lnx dx Você poderia lembra que ∫ lnx dx = x(lnx− 1) + C ou fazer a conta por partes de novo: Sejam u = lnx e dv = dx. Então, du = 1 x dx e v = x, donde:∫ lnx dx = x lnx− ∫ x 1 x dx = x lnx− ∫ dx = x lnx− x+ C = x(lnx− 1) + C Portanto: I = x ln2 x− 2x(lnx− 1) + C = x(ln2 x− 2 lnx− 2) + C Questão 5 (10 Pontos): a) Determine as antiderivadas de cossec2x e de sec2x. b) Usando o item a), calcule a integral ∫ (tg 2x+ cotg 2x)2 dx. Atenção: no item b), não é permitido usar as fórmulas de redução. Resolução a) Como a derivada de tg x é sec2x e a derivada de cotg x é −cossec2x, segue que∫ sec2x dx = tg x+ C e ∫ cossec2x dx = −cotg x+ C b) Primeiro, vemos que: I = ∫ (tg 2x+ cotg 2x)2 dx = ∫ (tg22x+ 2tg x cotg x+ cotg22x) dx Agora, temos que: 1 + cotg2x = cossec2x e 1 + tg2x = sec2, donde cotg2x = cossec2x− 1 e tg2x = sec2x− 1. Assim: I = ∫ (sec22x+ 2tg x cotg x+ cossec22x− 2) dx = ∫ sec22x dx+ 2 ∫ tg x cotg x dx+ ∫ cossec22x dx− ∫ 2 dx Usando o item (a) e lembrando ainda que tg x · cotg x = 1, temos: I = tg 2x 2 − cotg 2x 2 + C
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