PC_2020-2_AD2-Parte1_GABARITO

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AD2-Parte 1 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 5 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
Parte 1 da Segunda Avaliação a Distância (AD2-Parte 1) 
GABARITO 
IMPORTANTE!!! TODAS AS RESPOSTAS DEVEM VIR ACOMPANHADAS DAS JUSTIFICATIVAS 
Os gráficos devem ser feitos à mão, não será aceito gráfico feito com aplicativo ou com programa computacional 
Questão 1 [2,5 pontos] Considere a função 𝑓(𝑥) = 3 sen(2𝑥), 𝑥 ∈ ℝ. 
(1a) Essa função é PAR? ÍMPAR? Nenhuma delas? Justifique a resposta. 
(1b) Resolva a equação 𝑓(𝑥) =
3
2
 para −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋. 
(1c) Determine os intervalos do domínio de 𝑓 em que 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤
3
2
 e 𝑥 ∈ [−𝜋, 𝜋]. 
(1d) Esboce o gráfico de 𝑓, justificando sua construção através de transformações a partir do gráfico 
de 𝑦 = sen(𝑥). Marque no gráfico os pontos em 𝑓(𝑥) =
3
2
 para −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋. (pode usar as 
soluções encontradas no item (1b)). 
RESOLUÇÃO 
(1a) Para todo 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓) = ℝ , −𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓) = ℝ, ou seja, o domínio é simétrico em relação à 
origem 𝑥 = 0 da reta numérica. Isso significa que essa função satisfaz a primeira condição da definição 
de função PAR e de função ÍMPAR. 
𝑓(−𝑥) = 3 sen(2(−𝑥)) = 3 sen(−(2𝑥)) =⏞
(∗)
3(− sen(2𝑥)) = −3 sen(2𝑥) = −𝑓(𝑥) 
(*) aqui usamos que a função seno é uma função ímpar, isto é, 𝑓(−𝜃) = 𝑓(𝜃), para todo 𝜃 ∈ ℝ. 
Logo 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓) = ℝ. Isso significa que a função 𝑓 satisfaz a segunda 
condição da definição de função ÍMPAR. 
Portanto, a função 𝑓 é ÍMPAR. 
(1b) 𝑓(𝑥) =
3
2
, 𝑓(𝑥) = 3 sen(2𝑥) e −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 ⟺ 3 sen(2𝑥) =
3
2
 e −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 ⟺ 
sen(2𝑥) =
1
2
 e −𝜋 ≤ 𝑥 < 𝜋 ⟺ sen(2𝑥) =
1
2
 e −2𝜋 ≤ 2𝑥 ≤ 2𝜋. 
Para simplificar e usar o círculo trigonométrico na variável 𝜃, vamos mudar de variável fazendo 2𝑥 = 𝜃. 
Temos que resolver sen(𝜃) =
1
2
 e −2𝜋 ≤ 𝜃 < 2𝜋. 
Observando o círculo trigonométrico ao lado para 𝜃 tal que 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 
temos que sen(𝜃) =
1
2
 para 𝜃 =
𝜋
6
 ou 𝜃 = 𝜋 − 
𝜋
6
=
5𝜋
6
. 
AD2-Parte 1 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 5 
Observando o círculo trigonométrico ao lado para 𝜃 tal que 
 −2𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 0, temos que sen(𝜃) =
1
2
 para 
𝜃 = −𝜋 −
𝜋
6
= −
7𝜋
6
 ou 𝜃 = −2𝜋 + 
𝜋
6
= −
11𝜋
6
. 
Voltando à variável 𝑥, temos que substituir 𝜃 = 2𝑥. 
Assim, a solução de sen(2𝑥) =
1
2
 e −2𝜋 ≤ 2𝑥 ≤ 2𝜋 é: 
2𝑥 =
𝜋
6
 ou 2𝑥 =
5𝜋
6
 ou 2𝑥 = −
7𝜋
6
 ou 2𝑥 = −
11𝜋
6
. 
Agora basta dividir tudo por 2 para encontrar as soluções na variável 𝑥, 
𝑥 =
𝜋
12
 ou 𝑥 =
5𝜋
12
 ou 𝑥 = −
7𝜋
12
 ou 𝑥 = −
11𝜋
12
. 
Representando por 𝑆 o conjunto solução de 𝑓(𝑥) =
3
2
 para −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 
𝑆 = {−
11𝜋
12
, −
7𝜋
12
, 
𝜋
12
,
5𝜋
12
} 
(1c) 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤
3
2
 e 𝑥 ∈ [−𝜋, 𝜋] ⟺ 0 ≤ 3 sen(2𝑥) ≤ 
3
2
 e −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 ⟺ 
0 ≤ sen(2𝑥) ≤ 
1
2
 e −2𝜋 ≤ 2𝑥 ≤ 2𝜋 ⟺ 
Para simplificar e usar o círculo trigonométrico na variável 𝜃, vamos mudar de variável fazendo 2𝑥 = 𝜃. 
Temos que resolver 0 ≤ sen(𝜃) ≤
1
2
 e −2𝜋 ≤ 𝜃 < 2𝜋. 
Observando os arcos do círculo e suas projeções no eixo vertical, vemos que 
para ângulos 𝜃 tal que 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, temos que: 
0 ≤ sen(𝜃) ≤
1
2
 se e só se 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
6
 ou 
5𝜋
6
≤ 𝜃 ≤ 𝜋 ou 𝜃 = 2𝜋. 
Observando os arcos do círculo e suas projeções no eixo vertical, vemos que 
para ângulos 𝜃 tal que −2𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 0, temos que: 
0 ≤ sen(𝜃) ≤
1
2
 se e só se −2𝜋 ≤ 𝜃 ≤ −
11𝜋
6
 ou −
7𝜋
6
≤ 𝜃 ≤ −𝜋. 
Voltando à variável 𝑥, temos que substituir 𝜃 = 2𝑥. 
Assim, a solução de 0 ≤ sen(2𝑥) ≤
1
2
 e −2𝜋 ≤ 2𝑥 ≤ 2𝜋 é: 
−2𝜋 ≤ 2𝑥 ≤ −
11𝜋
6
 ou −
7𝜋
6
≤ 2𝑥 ≤ −𝜋 ou 0 ≤ 2𝑥 ≤
𝜋
6
 ou 
5𝜋
6
≤ 2𝑥 ≤ 𝜋 ou 2𝑥 = 2𝜋. 
Agora basta dividir tudo por 2 para encontrar as soluções na variável 𝑥, 
−𝜋 ≤ 𝑥 ≤ −
11𝜋
12
 ou −
7𝜋
12
≤ 𝑥 ≤ −
𝜋
2
 ou 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
12
 ou 
5𝜋
12
≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
 ou 𝑥 = 𝜋. 
Representando por 𝑆 o conjunto solução de 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤
3
2
 e 𝑥 ∈ [−𝜋, 𝜋], 
𝑆 = [−𝜋,−
11𝜋
12
] ∪ [−
7𝜋
12
, −
𝜋
2
] ∪ [0,
𝜋
12
] ∪ [
5𝜋
12
,
𝜋
2
] ∪ {𝜋} 
 
AD2-Parte 1 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 3 de 5 
 
(1d) Uma sequência de transformações de gráficos é: 
𝑦 = sen(𝑥) 
𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 
1
2
 
 𝑜𝑢 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 2.
→ 𝑦 = sen(2𝑥)
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜
𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 3
→ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3 sen(2𝑥) 
 
Vamos esboçar os três gráficos da sequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 2 [2,5 pontos] Considere que cos(𝜃) = −
2
3
 e 𝜃 é um ângulo qualquer do terceiro 
quadrante, isto é, 𝜋 + 2𝑘𝜋 ≤ 𝜃 ≤
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
(2a) Calcule sen(𝜃), sen(2𝜃), cos(2𝜃). 
(2b) Em qual quadrante se encontra o ângulo 2𝜃? Para justificar sua resposta, use os cálculos do item 
(2a). 
(2c) Se 𝑘 é PAR, em qual quadrante se encontra o ângulo 
𝜃
2
 ? Se 𝑘 é ÍMPAR, em qual quadrante se 
encontra o ângulo 
𝜃
2
 ? 
(2d) Sabemos que para calcular cos (
𝜃
2
) e sen (
𝜃
2
) podemos usar as identidades cos2 (
𝜃
2
) =
1+cos𝜃
2
 
e sen2 (
𝜃
2
) =
1−cos𝜃
2
. 
Se 𝑘 é PAR, calcule cos (
𝜃
2
) e sen (
𝜃
2
). 
AD2-Parte 1 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 4 de 5 
Se 𝑘 é ÍMPAR, calcule cos (
𝜃
2
) e sen (
𝜃
2
). 
(2e) Considere que 𝑘 é PAR. Calcule: 3 tan (2 (𝜃 −
𝜋
2
)) + 10 sec (
𝜋
2
−
𝜃
2
). 
Sugestão: para simplificar a expressão, use identidades trigonométricas de simetrias e depois, use 
os resultados dos itens anteriores. 
RESOLUÇÃO 
(2a) cos(𝜃) = −
2
3
 e 𝜋 + 2𝑘𝜋 ≤ 𝜃 ≤
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Determinando 𝐬𝐞𝐧(𝜽) 
Da identidade trigonométrica fundamental sen2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1 e dado que cos(𝜃) = −
2
3
, temos 
sen2(𝜃) + (−
2
3
)
2
= 1 ⟺ sen2(𝜃) = 1 − (−
2
3
)
2
 ⟺ sen2(𝜃) = 1 −
4
9
=
5
9
 
⟺ sen2(𝜃) =
5
9
 ⟺ sen(𝜃) =
√5
3
 𝑜𝑢 sen(𝜃) = −
√5
3
 . 
Considerando 𝜋 + 2𝑘𝜋 ≤ 𝜃 ≤
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, sabemos que sen(𝜃) < 0. 
Portanto, sen(𝜃) = −
√5
3
 
Determinando 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽) 
Da identidade trigonométrica sen(2𝜃) = 2 sen(𝜃) cos(𝜃) , 
e sabendo que cos(𝜃) = −
2
3
 sen(𝜃) = −
√5
3
, temos que 
sen(2𝜃) = 2 (−
2
3
) (−
√5
3
) =
4√5
9
. Portanto, sen(2𝜃) =
4√5
9
. 
Determinando 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽) 
Da identidade trigonométrica cos(2𝜃) = cos2(𝜃) − sen2(𝜃), 
e sabendo que cos(𝜃) = −
2
3
 sen(𝜃) = −
√5
3
, temos que 
cos(2𝜃) = (−
2
3
)
2
− (−
√5
3
)
2
=
4
9
−
5
9
= −
1
9
. Portanto, cos(2𝜃) = −
1
9
. 
(2b) 𝜋 + 2𝑘𝜋 ≤ 𝜃 ≤
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ⟹ 2𝜋 + 4𝑘𝜋 ≤ 2𝜃 ≤ 3𝜋 + 4𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Logo 2𝜃 é um ângulo do 1º ou do 2º quadrante. 
Do item (2a), cos(2𝜃) = −
1
9
 e como −
1
9
< 0, temos que cos(2𝜃) < 0. 
Assim, 
2𝜃 é um ângulo do 1º ou do 2º quadrante e cos(2𝜃) < 0 ⟹ 2𝜃 é um ângulo do 2º quadrante. 
(2c) 𝜋 + 2𝑘𝜋 ≤ 𝜃 ≤
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ⟹ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ≤
𝜃
2
≤
3𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
• Se 𝒌 é par então 𝑘 = 2𝑛, 𝑛 ∈ ℤ , Logo, 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ≤
𝜃
2
≤
3𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ⟹ 
𝜋
2
+ 2𝑛𝜋 ≤
𝜃
2
≤
3𝜋
4
+ 2𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ 
Portanto, se 𝑘 é par então 
𝜽
𝟐
 está no 2º quadrante. 
• Se 𝒌 é ímpar então 𝑘 = 2𝑛 + 1, 𝑛∈ ℤ , Logo, 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ≤
𝜃
2
≤
3𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ⟹ 
𝜋
2
+ (2𝑛 + 1)𝜋 ≤
𝜃
2
≤
3𝜋
4
+ (2𝑛 + 1)𝜋, 𝑛 ∈ ℤ 
AD2-Parte 1 – 2020-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 5 de 5 
⟹ 
𝜋
2
+ 2𝑛𝜋 + 𝜋 ≤
𝜃
2
≤
3𝜋
4
+ 2𝑛𝜋 + 𝜋, 𝑛 ∈ ℤ ⟹ 
3𝜋
2
+ 2𝑛𝜋 ≤
𝜃
2
≤
7𝜋
4
+ 2𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ 
Portanto, se 𝑘 é ímpar então 
𝜽
𝟐
 está no 4º quadrante. 
(2d) Podemos substituir cos(𝜃) = −
2
3
 nas identidades cos2 (
𝜃
2
) =
1+cos𝜃
2
 e sen2 (
𝜃
2
) =
1−cos𝜃
2
. 
cos2 (
𝜃
2
) =
1−
2
3
2
=
1
3
2
=
1
6
 ⟺ cos2 (
𝜃
2
) =
1
6
 ⟹ cos (
𝜃
2
) =
1
√6
 𝑜𝑢 cos (
𝜃
2
) = −
1
√6
 
sen2 (
𝜃
2
) =
1+
2
3
2
=
5
3
2
=
5
6
 ⟺ sen2 (
𝜃
2
) =
5
6
 ⟹ sen (
𝜃
2
) = √
5
6
 𝑜𝑢 cos (
𝜃
2
) = −√
5
6
 
Supondo que 𝒌 é PAR 
Pelo item (𝑑) 
𝜃
2
 está no 2º quadrante. Logo cos (
𝜃
2
) < 0 e sen (
𝜃
2
) > 0. 
Portanto, cos (
𝜃
2
) = −
1
√6
 e sen (
𝜃
2
) = √
5
6
 . 
Supondo que 𝒌 é ÍMPAR 
Pelo item (𝑑) 
𝜃
2
 está no 4º quadrante. Logo cos (
𝜃
2
) > 0 e sen (
𝜃
2
) < 0. 
Portanto, cos (
𝜃
2
) =
1
√6
 e sen (
𝜃
2
) = −√
5
6
 . 
(2e) 3 tan (2 (𝜃 −
𝜋
2
)) + 10 sec (
𝜋
2
−
𝜃
2
) = 3 tan(2𝜃 − 𝜋) + 10 csc (
𝜃
2
) = 3(tan(2𝜃)) + 10
1
sen(
𝜃
2
)
 
= 3
sen(2𝜃)
cos(2𝜃)
+ 10
1
sen(
𝜃
2
)
 . 
Pelos itens anteriores e considerando que 𝑘 é PAR, 
sen(2𝜃) =
4√5
9
 cos(2𝜃) = −
1
9
 sen (
𝜃
2
) = √
5
6
 . Substituindo na expressão acima, 
3
sen(2𝜃)
cos(2𝜃)
+ 10
1
sen(
𝜃
2
)
= 3
4√5
9
− 
1
9
+ 10
1
√
5
6
 
= −12√5 + 
10√6
 √5
= −12√5 + 
10√6√5
 5
= −12√5 + 2√30. 
____________________________________________________________________________________