PC_2019-1_AD2-Q1_GABARITO_NOVO_em 02-05-2019

Prévia do material em texto

AD2-Q1 – 2019-1 GABARITO Pré-Cálculo 
Página 1 de 4 
CEDERJ 
GABARITO da Questão 1 da Avaliação a Distância 2 (AD2-Q1) 
Pré-Cálculo 
_____________________________________________________________________________________ 
IMPORTANTE!!! TODAS AS RESPOSTAS DEVEM VIR ACOMPANHADAS DAS JUSTIFICATIVAS 
Questão 1 [5,0 pontos] 
(a) [valor: 1,6] Se 
5𝜋
2
 < 𝜃 < 3𝜋 , ângulo 𝜃 em radianos, sec(𝜃) = −√5, responda 
ao que se pede em cada item. 
(a.1) O ângulo 𝜃 está em qual quadrante do círculo trigonométrico? 
(a.2) Usando identidades trigonométricas, calcule cada um dos valores: 
tan 𝜃, sen(2𝜃), csc(2𝜃). 
Resolução: 
(a.1) Os ângulos 𝜃 e 𝜃 + 2𝜋 são congruentes e estão no mesmo quadrante, por esse motivo vamos 
subtrair 2𝜋 da inequação 
5𝜋
2
 < 𝜃 < 3𝜋 para obter um intervalo na primeira volta do círculo 
trigonométrico, onde é mais fácil a identificação do quadrante. 
5𝜋
2
 < 𝜃 < 3𝜋 ⟺ 
5𝜋
2
− 2𝜋 < 𝜃 − 2𝜋 < 3𝜋 − 2𝜋 ⟺ 
𝜋
2
< 𝜃 − 2𝜋 < 𝜋 
Pelas inequações acima concluímos que 𝜃 − 2𝜋 está no 2º. Quadrante, e portanto 𝜃 está no 2º. 
Quadrante. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(a.2) Pela identidade trigonométrica 1 + tan2 𝜃 = sec2 𝜃 e sendo sec(𝜃) = −√5 , concluímos que 
1 + tan2 𝜃 = (−√5 )
2
 . Portanto, tan2 𝜃 = 5 − 1 = 4, donde tan 𝜃 = ±2. Pelo item (a.1), 𝜃 está no 2º. 
Quadrante, donde tan 𝜃 < 0 e portanto, 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = −𝟐. 
Como cos 𝜃 =
1
sec 𝜃
 e sec 𝜃 = −√5 , então 𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝟏
−√𝟓
= − 
√𝟓 
𝟓
 . 
Pela identidade trigonométrica fundamental sen2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1 , concluímos que 
sen 𝜃 = ±√1 − cos2 𝜃 . Como pelo item (a.1), 𝜃 está no 2º. Quadrante, donde sen 𝜃 > 0 , e assim, 
sen 𝜃 = √1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃. 
Dado que cos 𝜃 =
1
−√5
, sen 𝜃 = √1 −
1
5
= √
4
5
 =
2
√5
=
2√5 
5
, portanto 𝐬𝐞𝐧 𝜽 =
𝟐√𝟓 
𝟓
 
Sendo cos 𝜃 = − 
√5 
5
 e sen 𝜃 =
2√5 
5
 , pela identidade sen(2𝜃) = 2 sen 𝜃 cos 𝜃 , segue que 
sen(2𝜃) = 2
2√5 
5
∙ (−
√5 
5
) = −
 4 
 5 
 . Portanto 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽) = −
 4 
 5 
 
AD2-Q1 – 2019-1 GABARITO Pré-Cálculo 
Página 2 de 4 
Sendo csc(𝜃) = 
1
sen 𝜃
 , segue que csc(2𝜃) = 
1
sen 2𝜃
 e portanto, csc(2𝜃) = 
1
−
 4 
 5 
 
 = −
 5 
 4 
. Assim, 
 𝐜𝐬𝐜(𝟐𝜽) = −
 𝟓 
 𝟒 
. 
_____________________________________________________________________________________ 
(b) [valor: 1,0] 
Resolva para, 𝑥 ∈ [0,2𝜋] a inequação 2sen2𝑥 − 1 < 0 e marque o conjunto solução no círculo 
trigonométrico. 
Resolução: 
Vamos fazer a mudança de variável 𝑡 = sen 𝑥 : 2𝑡2 − 1 < 0. 
Estudando o sinal da parábola 𝑦 = 2𝑡2 − 1 , cujas raízes são −
√2
2
 e 
√2
2
 , temos que 
𝑦 = 2𝑡2 − 1 < 0 ⟺ −
√2
2
< 𝑡 <
√2
2
 . 
Voltando à variável 𝑥, segue que 2 sen2 𝑥 − 1 < 0 ⟺ −
√2
2
< sen 𝑥 <
√2
2
 . 
Vamos marcar no círculo trigonométrico as soluções das equações sen 𝑥 = −
√2
2
 e sen 𝑥 =
√2
2
 , 
e determinar para quais ângulos do intervalo [0, 2𝜋] teremos a projeção no eixo 𝑂𝑦 entre −
√2
2
 e 
√2
2
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅; 0 ≤ 𝑥 < 𝜋/4 𝑜𝑢 3𝜋/4 < 𝑥 < 5𝜋/4 𝑜𝑢 7𝜋/4 < 𝑥 ≤ 2𝜋 }. 
_____________________________________________________________________________________ 
(c) [valor: 1,3] Considere a função 𝑔(𝑥) =
1
2
sec (2𝑥 +
𝜋
4
) 
(c.1) Determine o domínio da função 𝑔. 
(c.2) Resolva a equação 𝑔(𝑥) = −1, para 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 (𝑔). 
Resolução: 
 
(c.1) Considerando 𝑘 ∈ ℤ 
AD2-Q1 – 2019-1 GABARITO Pré-Cálculo 
Página 3 de 4 
2𝑥 +
𝜋
4
≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ 2𝑥 ≠
𝜋
2
−
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 ⟺ 2𝑥 ≠
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠
𝜋
8
+
𝑘𝜋
2
 . 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝜋
8
+
𝑘𝜋
2
 , 𝑘 ∈ ℤ }. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c.2) 𝑔(𝑥) =
1
2
sec (2𝑥 +
𝜋
4
) = −1 ⟺ sec (2𝑥 +
𝜋
4
) = −2 ⟺ cos (2𝑥 +
𝜋
4
) = −
1
2
 
Fazendo a mudança de variável, 𝜃 = 2𝑥 +
𝜋
4
 , a equação a ser resolvida é cos 𝜃 = −
1
2
 . 
A solução na variável 𝜃 é 𝜃 = 
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ou 𝜃 = 
4𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . 
Voltando à variável original e resolvendo as equações: 
2𝑥 +
𝜋
4
=
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 ⟺ 2𝑥 =
2𝜋
3
−
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋 =
 5 𝜋
 12
 + 2𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 = 
 5 𝜋
 24
 + 𝑘𝜋 
ou 
2𝑥 +
𝜋
4
=
4𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 ⟺ 2𝑥 =
4𝜋
3
−
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋 =
 13 𝜋
 12
 + 2𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 = 
 13 𝜋
 24
 + 𝑘𝜋 
Portanto a solução é 𝑥 = 
 5 𝜋
 24
 + 𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = 
 13 𝜋
 24
 + 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ. 
_____________________________________________________________________________________ 
(d) [valor: 1,1] Calcule se possível, justificando suas contas. 
(d.1) sen (arccos (−
√3
2
)) (d.2) arccos (cos (
7𝜋
9
)) (d.3) cos (arcsen (−
√3
2
)) 
Resolução: 
(d.1) sen (arccos (−
√3
2
)) 
Observemos que arccos (−
√3
2
) = 
5𝜋
6
 , pois cos (
5𝜋
6
) = −
√3
2
 e 
5𝜋 
6
 ∈ [0, 𝜋], que é o intervalo de 
inversão da função cosseno. 
Logo, sen (arccos (−
√3
2
)) = sen (
5𝜋
6
) =
1
2
 . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(d.2) arccos (cos (
7𝜋
9
)) 
Temos que 0 <
7𝜋
9
< 𝜋 e sabemos que arccos(cos 𝑦) = 𝑦 para ∀ 𝑦 ∈ [0, 𝜋] , logo, 
 arccos (cos (
7𝜋
9
)) = 
7𝜋
9
 . 
(d.3) cos (arcsen (−
√3
2
)) 
AD2-Q1 – 2019-1 GABARITO Pré-Cálculo 
Página 4 de 4 
Observemos que arcsen (−
√3
2
) = − 
𝜋
3
 , pois sen (− 
𝜋
3
) = −
√3
2
 e − 
𝜋
3
 ∈ [−
𝜋
2
 ,
𝜋
 2
], que é o 
intervalo de inversão da função seno. 
Logo, cos (arcsen (−
√3
2
)) = cos (− 
𝜋
3
) = 
1
2