Circuitos Elétricos I: Resposta e Exemplos

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Circuitos Elétricos I Alexandre Cunha Oliveira 
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Circuitos Elétricos I 
Resposta a um sinal Retardado 
Dado: 
logo: 
considerando 
então: 
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Circuitos Elétricos I 
Circuito invariante no tempo
Um atraso no sinal de entrada, gera um atraso equivalente no sinal de saída, sem alterar o valor original desta saída. 
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Circuitos Elétricos I 
Resposta ao Impulso
Seja: , então
Implica que
A resposta do circuito ao impulso unitário é igual a função de transferência;
Corresponde a resposta natural do circuito;
A aplicação de um impulso em um circuito constituído por capacitores e/ou indutores, provoca o armazenamento instantâneo de energia nesses componentes. O uso dessa energia a partir de t=0+ equivale a resposta natural do circuito 
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Circuitos Elétricos I 
Função de Transferência e Integral de Convolução 
A integral de convolução relaciona a saída y(t) de um circuito linear invariante no tempo à entrada x(t) e a resposta do circuito ao impulso unitário 
onde o símbolo “*” representa a Convolução.
OBS: 
A integral de convolução, definida acima, é comutativa;
A convolução é o método formal para cálculo da transformada inversa de Laplace do produto de duas funções em S, ou seja, do produto da transformadas de Laplace.
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Circuitos Elétricos I 
Exemplos de convolução
Considere o sinal de entrada x(t) e a resposta ao impulso unitário de um sistema, dada por h(t), conforme apresentados abaixo. A saída y(t), obtida a partir da convolução dos dois sinais é obtida segundo a sequência de passos indicadas a seguir. 
onde: x(t) = 2, para 0 ≤ t < 2, x(t)=4-t, para 0 ≤ t < 2 e x(t)=0, para t ≥ 4.
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Circuitos Elétricos I 
Exemplos de convolução
Passo 1 – Rebater x(t) ou h(t) em relação ao eixo t=0 (eixo vertical). Isso representa a função x(t-τ) ou h(t- τ), respectivamente. A curva a ser rebatida será x(t); 
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Circuitos Elétricos I 
Exemplos de convolução
Passo 2 – Determinação do primeiro intervalo de convolução: Para as curvas apresentadas, observa-se que no intervalo de t=0 a t=2, o produto h(τ)x(t-τ) não se altera, assim esse será o primeiro intervalo
0 ≤ t < 2 
Expressão: 
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Circuitos Elétricos I 
Exemplos de convolução
Passo 3 – Determinação do segundo intervalo de convolução:
2 ≤ t < 3 
Expressão: 
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Circuitos Elétricos I 
Exemplos de convolução
Passo 4 – Determinação do terceiro intervalo
3 ≤ t < 4 
Expressão: 
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Circuitos Elétricos I 
Exemplos de convolução
Passo 5 – Determinação do quarto intervalo
4 ≤ t < 5 
Expressão: 
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Circuitos Elétricos I 
Exemplos de convolução
Passo 6 – Determinação do quinto intervalo
5 ≤ t < 7 
Expressão: 
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Circuitos Elétricos I 
Exemplos de convolução
Passo 7 – Determinação do sexto intervalo
t ≥ 7 
Expressão: 
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Circuitos Elétricos I 
Função Impulso
* Operação de comutação circuito RC
(1)
(2)
OBS: Chave está aberta e é fechada em t=0.
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Circuitos Elétricos I 
onde
Determinando a transformada inversa de Laplace de I(s), obtemos a expressão:
(3)
(4)
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Circuitos Elétricos I 
representada graficamente pelas curvas abaixo, considerando dois valores distintos para R (R=R1 e R=R2, onde R2<R1)
A medida que R→0, i(0) aumenta e a constante RCe diminui => i(0) aproxima-se de uma função impulso.
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Circuitos Elétricos I 
Necessário verificar se a área sob a curva de i(t) é constante quando R→0. 
Corresponde a verificar se a carga transferida de C1 para C2 é finita e independe de R. 
Calculando a integral, temos:
Logo, quando R→ 0, i(t) → 
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Circuitos Elétricos I 
Fazendo R=0 na equação (1), temos: 
Cuja transformada inversa de Laplace é dada por:
O resultado acima justifica e explica a mudança da tensão, observada em ambos os capacitores na forma de um degrau, visto que sobre os mesmos é aplicado um impulso de corrente.
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Circuitos Elétricos I 
No caso do circuito formado apenas pelos capacitores, onde a carga extraída de um capacitor é transferida para o outro, podemos utilizar o princípio de conservação de cargas e assim determinar as tensões finais nos capacitores. 
Para o exemplo, temos
Carga Inicial = C1vo;
Carga final = C1vi + C2vi;
Conservação de cargas => Carga inicial = Carga final => C1vo = C1vi + C2vi, logo: vi = C1vo / (C1 + C2)
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Circuitos Elétricos I 
* Operação de comutação circuito RL
OBS: Chave esta fechada e é aberta em t=0.
Através da análise nodal, podemos escrever a seguinte equação para o circuito acima 
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Circuitos Elétricos I 
onde, substituindo os valores numéricos e expandindo em frações parciais, temos:
Calculando a transformada inversa de Laplace, obtemos a expressão:
onde se observa a existência de um termo de tensão impulsiva, que faz com que a corrente nos indutores altere na forma de um degrau.
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Circuitos Elétricos I 
Determinação da expressão de corrente:
logo: , onde observa-se um termo degrau na expressão da corrente. 
As variações de corrente observadas pelos indutores são:
∆iL1 = -4A, corrente passa de 10A para 6A;
∆iL2 = 6A, corrente passa de 0A para 6A.
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Circuitos Elétricos I 
No caso estudado acima, o fluxo instantâneo λ=L∙i, não se altera, dessa forma temos que: λ(0-) = λ(0+). Assim, é possível determinar o valor da corrente nos indutores após a comutação da chave através da expressão:
λL1(0-) + λL2(0-) = λL1(0+) + λL2(0+)
λL1(0-) = L1∙ iL1(0-) = L1∙ vi/R1;
λL2(0-) = L2∙ iL2(0-) = L2∙0 = 0;	
λL1(0+) = L1∙ iL1(0+);	
λL2(0+) = L2∙ iL2(0+);	
como iL1(0+) = iL2(0+) = iL(0+), temos: iL(0+) = (L1∙ vi/R1)/( L1+ L2) 
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Circuitos Elétricos I 
Uma observação importante sobre a existência de impulsos de tensão em uma malha fechada é que a Lei de Kirchoff das tensões deve ser respeitada para o caso de funções impulsivas, assim, a soma dos impulsos de tensão em uma malha fechada deve ser zero.
Considerando o exemplo anterior, observa-se que no indutor L2, cuja variação de corrente em t=0, foi: ∆iL2 = 6A. Sabendo que a derivada do degrau é o impulso, implica que vL2(0+) = L2∙dil2/dt = 2∙6δ(t) = 12 δ(t). Portanto na mesma malha deve haver um impulso de mesma amplitude e sinal contrário. 
Observando a variação de corrente em L1, ∆iL1 = -4A, e aplicando o mesmo raciocínio, temos vL1(0+) = L1∙dil1/dt = 3∙-4δ(t) = -12 δ(t).
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Circuitos Elétricos I 
A expressão de vo(t) é definida por:
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Circuitos Elétricos I 
Fontes de Impulso
Considerando iL(0-) = 0, temos:
Assim, entre t=0- e t=0+ a energia transferida da fonte para o circuito será:
, para t>0+, 
, logo 
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Circuitos Elétricos I 
A expressão anterior confirma o resultado obtido para i(0+), onde substituindo t=0 na expressão da corrente i(t) obtém-se uma corrente inicial igual a .
Considere o circuito abaixo, onde é adicionada uma fonte impulsiva de tensão igual a 50δ(t) 
OBS: Chave esta fechada e é aberta em t=0.
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Circuitos Elétricos I 
Escrevendo a expressão da corrente I(s), temos:
cuja transformada inversa de Laplace, i(t) é expressa por: 
Calculando i(0+), que será a corrente circulando em ambos os indutores, obtém-se o valor de 16A. Considerando que a corrente iL1(0-)=10A e que a corrente ∆iL2(0-)=0A, temos que:
∆iL1 = 6A, corrente passa de 10A para 16A;
∆iL2 = 16A, corrente passa de 0A para 16A.
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Circuitos Elétricos I 
No caso estudado anteriormente, o fluxo instantâneo λ=L∙i, se altera em função da fonte de tensão impulsiva, sendo que o ∆λ = λ(0-) = λ(0+) = 50
que é o valor da amplitude do impulso de tensão. Assim, é possível determinar o valor da corrente nos indutores após a comutação da chave através da expressão:
λL1(0-) + λL2(0-) + 50 = λL1(0+) + λL2(0+)
λL1(0-) = L1∙ iL1(0-) = L1∙ vi/R1;
λL2(0-) = L2∙ iL2(0-) = L2∙0 = 0;	
λL1(0+) = L1∙ iL1(0+);	
λL2(0+) = L2∙ iL2(0+);	
como iL1(0+) = iL2(0+) = iL(0+), temos: iL(0+) = (L1∙ vi/R1)/( L1+ L2)
OBS: A soma ou subtração do impulso de tensão na expressão de fluxo depende da polaridade da fonte impulsiva. Se observarmos o circuito no domínio S, veremos que tanto a fonte de tensão 50V (Laplace de 50δ(t)), quanto a fonte resultante da energia inicial em L1, 30V, tem polaridades que se somam.
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Circuitos Elétricos I 
Considerando o exemplo, observa-se que no indutor L2 a variação de corrente em t=0, foi: ∆iL2 = 16A. Sabendo que a derivada do degrau é o impulso, implica que vL2(0+) = L2∙dil2/dt = 2∙16δ(t) = 32 δ(t). 
Portanto na mesma malha deve haver um impulso de mesma amplitude e sinal contrário. Observando a variação de corrente em L1, ∆iL1 = 6A, e aplicando o mesmo raciocínio, temos vL1(0+) = L1∙dil1/dt = 3∙6δ(t) = 18 δ(t). 
Somando os impulsos de tensão em L1 e em L2, temos que o resultante é igual a 50δ(t), com sinal contrário ao da fonte 50δ(t), resultando em um somatório de impulsos igual a zero.
A expressão da tensão vo(t) é dada por:
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