Lista 2

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Lista 2
Ca´lculo B
31 de outubro de 2017
Exercı´cio 1 Determine o volume do so´lido S:
a) A base de S e´ um cı´rculo de raio a, e as sec¸o˜es transversais perpendiculares a` base sa˜o quadradas.
b) A base de S e´ a regia˜o parabo´lica {(x, y); x2 ≤ y ≤ 1}, e as sec¸o˜es transversais perpendiculares
ao eixo y sa˜o triaˆngulos equila´teros com um lado na base.
c) A base de S e´ a regia˜o limitada pela para´bola y = 1 − x2 e pelo eixo x, e as sec¸o˜es transversais
perpendiculares ao eixo x sa˜o triaˆngulos iso´sceles com altura igual a` base.
d) S e´ um tetraedro com treˆs faces perpendiculares entre si e as treˆs arestas perpendiculares entre
si com comprimentos de 3cm, 4cm e 5cm.
e) S e´ uma calota de uma esfera de raio r e altura h.
f) S e´ uma piraˆmide regular com altura h = 9 e base quadrada de lado l = 4.
Exercı´cio 2 Encontre o volume comum de dois cilindros circulares, cada um com raio r, se os eixos
dos cilindros se intersectam em aˆngulos retos.
Exercı´cio 3 Utilize o me´todo das sec¸o˜es transversais para determinar o volume do so´lido gerado
pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada por:
a) y =
1
x
; x = 1; x = 2; y = 0, em torno do eixo x.
b) y = x
2
3 ; x = 1; y = 0, em torno do eixo y.
1
c) y = x2; y = 4, ao redor da reta y = 4.
d) y = x4; y = 1, ao redor da reta y = 2.
Exercı´cio 4 Utilize o me´todo da casca cilı´ndrica para determinar o volume do so´lido gerado pela
rotac¸a˜o da regia˜o limitada por:
a) y =
1
x
; x = 1; x = 2; y = 0, em torno do eixo x.
b) y = 3 + 2x − x2; x + y = 3, em torno do eixo y.
c) y = 4(x − 2)2; y = x2 − 4x + 7, em torno do eixo y.
d) y = 4x − x2; y = 8x − 2x2, em torno da reta x = −2.
Exercı´cio 5 Calcule o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada por:
a) x = y − y2; x = 0; 0 ≤ y ≤ 1 em torno do eixo y.
b) y = x; x = 2; x = 4; y = 0, ao redor da reta x = 1.
c) y =
√
x − 1; y = 0; x = 5, em torno da reta y = 3.
d) x + y = 3; x = 4 − (y − 1)2, em torno do eixo x.
e) x = 2y2, y ≥ 0, x = 2, em torno da reta y = 2.
f) y = x + 1, y = 0, x = 0, x = 2, em torno do eixo x.
Exercı´cio 6 Seja S o toro gerado pela rotac¸a˜o do cı´rculo (x − R)2 + y2 = r2 ao redor do eixo y.
Construa as integrais que representam o volume do S, pelo me´todo das sec¸o˜es transversais e pelo
me´todo das cascas cilı´ndricas.
2
Respostas:
1] (a)
16a3
3
; (b)
√
3
2
; (c)
8
15
; (d)10; (e)pih2(r − h
3
); (f)48.
2]
16r3
3
.
3] (a)
pi
2
; (b)
3pi
4
; (c)
512pi
15
; (d)
208pi
45
.
4] (a)
pi
2
; (b)
27pi
2
; (c)16pi;d)
256pi
3
.
5] (a)
pi
30
; (b)
76pi
3
; (c) 24pi; (d)
27pi
2
; (e)
13pi
3
; (f)
26pi
3
.
6] vol(S) = 8piR
∫ r
0
√
r2 − y2dy ; vol(S) =
∫ R+r
R−r
2pix.2
√
r2 − (x − R)2dx.
3