CAPÍTULO IX PROJECCAO ESTEREOGRAFICA

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CAPÍTULO IX – PROJACÇÃOESTEREOGRÁFICA
Introdução
A projeção estereográfica constitui um processo gráfico que, através de diagramas (redes) especiais, permite a representação de elementos estruturais, principalmente rectas e planos, para que posteriormente possam ser determinadas suas relações geométricas. Esta projecção é usada para representar projeções esféricas em uma superfície plana.
Esse tipo de projecção tem diversas aplicações no campo da geologia estrutural, constituindo-se um método prático de representar, no plano, elementos planares e lineares situados no espaço, com preservação de suas relações angulares. 
A projecção estereográfica diferencia-se da projeção ortográfica (geometria descritiva) porque esta preserva uma relação espacial entre as estruturas, enquanto que a estereográfica mostra a geometria e a orientação das linhas e planos.
Aprojecção estereográfica é mais usado na Geologia Estrutural, porqueé um método rápido, fácil e eficaz para resolver problemas geométricos, enquanto que a projecção ortográfica requer uma lenta e cuidadosa construção de linhas e planos.
O problema de representação de uma projecção esférica sobre uma superfície horizontal bidimensional é análogo ao problema da construção de um mapa bidimensional da abóboda celeste.
Fundamentos Básicos
Considerando-se uma esfera de raio R, por cujo centro O passa um plano não horizontal(Pi). A intersecção desse plano com a esfera descreve um círculo de raio R e diâmetro AB. A recta AB representa, também, a direcção do plano . O plano equatorial (PE) divide ao meio o círculo de interseção entre o plano e a esfera de referência.
Eliminando-se o hemisfério superior da esfera de referência e imaginando um observador no ponto V, a uma distância R verticalmente acima do centro O, o semicírculo formado pela interseção do plano com a esfera será visualizado pelo observador segundo o arco AB, projetado no plano equatorial.
Cada ponto do semicírculo 1, 2, 3, 4, 5 e 6 será projectado no plano equatorial segundo os pontos 1’, 2’, 3’, 4’, 5’ e 6’. Diz-se, então, que o arco AB representa a projeção estereográfica do plano considerado e a linha AB corresponde à direção do plano.
Se imaginarmos o plano com seu ângulo de inclinação diminuíndo, o que aconteceria com o arco que representa sua projecção estereográfica? Com certeza se aproximaria mais da periferia do plano equatorial.
Se acontecesse o oposto, um aumento do ângulo de inclinação do plano, o arco que representa sua projeção seria mais fechado, até que, atingir um ângulo de 90o,o arco estaria restrito à própria recta AB.
Da mesma forma, se o ângulo de inclinação do plano fosse gradualmente reduzido, o arco de sua projecção se aproximaria mais e mais da borda do plano equatorial, até ser confundido com o próprio, ao ser atingido o valor de inclinação igual a zero.
Pode-se, também, variar a direção da recta AB, dividindo-se o plano equatorial em intervalos de 10 graus. Obtém-se, então, uma rede de projeção estereográfica com a qual pode-se projectar quaisquer feicções planares e lineares de interesse. 
A rede estereográfica, é a projecção estereográfica bidimensional de apenas um hemisfério da esfera de referência e é composta pelos seguintes elementos:
1.	Rede de projecções de grandes e pequenos círculos que ocupam o plano equatorial da projeção da esfera de referência.
2.	Espaçamento de 2º entre si de grandes e pequenos círculos que ocupam o plano de referência. A cada 10º os círculos são reforçados em bold. 
3.	Grandes círculos representam uma família de planos de inclinação comuns desde 0º a 90º (sentido norte-sul).
4.	Pequenos círculos podem ser caracterizados como o "caminho" ao longo do qual as linhas se movimentam quando são rodados sobre um eixo horizontal orientado paralelamente à ordenação da rede (sentido equatorial E-W).
Redes estereográficas são diagramas especiais, através das quais se fazem as projecções estereográficas.
Existem vários tipos de rede estereográfica para serem utilizadas em geologia estrutural, mas as mais comuns delas são as redes de Wulff ou rede de igual ângulo e a rede de Smith-Lambert ou rede de igual área.
Rede de Wulff é mais usada em Mineralogia e Cristalografia, para exercícios de relações angulares. As áreas 10°x10° próximas dos limites da rede são maiores do que no centro e as curvas nesta rede são arcos circulares.
Rede de Schmidt é mais usada em Geologia estrutural e Geotecnia, é mais apropriada para a representação de estruturas lineares e planares. As áreas 10°x10° próximas dos limites da rede têm a mesma dimensão que no centro e as curvas nesta rede são arcos elípticos. Foi desenvolvida pela primeira vez por H. Lambert em 1772 e pela primeira vez aplicada na Geologia Estrutural por Walter Schmidt em 1925, de quem herdou o nome.
Na literatura as denominações encontradas para a rede estereográfica: estereograma, rede de Schmidt, diagrama de Schmidt e stereonet.
Para resolver os exercícios que lhe são propostos necessita do seguinte material: rede estereográfica de Schmidt, folha de papel vegetal, afixador (percevejo), lápis e borracha. Antes de usar a sua rede é conveniente copia-la (tirar cópia) num cartão resistente.
Pega-se uma rede de Projecção de Schmidt (Lambert) e por cima coloca-se um papel transparente e depois insere-se o afixador no centro do diagrama, de modo que estejam fixos (a rede e o papel vegetal).
Com o papel vegetal devidamente fixado, traça-se o limite da circunferência com lápis e coloca-se os pontos cardeais, Norte (N); Este (E), Sul (S) e Oeste (W) no papel vegetal.
Regras Básicas de Projecção Estereográfica
Para cada plano ou linha que se pretenda projectar, começa-se por marcar a sua direcção em redor da circunferência e faz-se uma marca no papel vegetal.
Roda-se o papel vegetal, por forma a que a direcção do plano ou linha a marcar coincida com o eixo N-S, dependendo do quadrante em que se encontra o ponto.
Se as medidas tiverem direcções NW (4º Quadrante) e SE (2ºQuadrante): gira-se o papel transparente no sentido horário.
Se as medidas tiverem direcções NE (1ºQuadrante) e SW (3ºQuadrante): gira-se papel transparente no sentido anti-horário.
Se for na porção Superior (NW e NE) deve-se colocar a marca correspondente sobre o Norte da rede. Se for na porção Inferior (SE e SW) deve-se colocar sobre o Sul da rede.
Projecção de um Plano e do seu Polo 
Projecção estereográfica do plano de estratificação, cuja atitude é 320°/40°SW. 
Prepare a rede com o papel vegetal. Faça uma pequena marca sobre o Norte e escreve N, e repita para os restantes pontos cardeais. 
Para localizar o plano com direcção 320°, conte 320º no sentido horário a partir do Norte e faça uma pequena marca sobre o círculo primitivo naquele ponto.
Como nenhum círculo máximo da rede passa através deste ponto marcado, é necessário girar o papel vegetal no sentido horário até que a marca da direcção coincida com o Norte da rede.
Para localizar o círculo máximo que representa este plano com inclinação de 40°SW, conte 40º a partir do círculo primitivo do lado esquerdo que está espaçado de 10º em 10º, ao longo do diâmetro E-W e trace o arco de grande círculo, que corresponderá a inclinação deste plano. 
Para projectar o polo deste plano, conte 90º, a partir deste grande círculo traçado e coloque o ponto PP, que corresponderá o polo deste plano.
Para visualizar a representação real do plano 320°/40°SW e do seu polo, volta o papel vegetal para a posição original, girando no sentido anti-horário, até o norte do papel vegetal coincidir com o da rede estereográfica.
Projecção de uma Linha 
Projecção estereográfica da lineação de um veio mineralizado cuja atitude é 30°/140°.
Prepare a rede com o papel vegetal. Faça uma pequena marca sobre o Norte e escreve N, e repita para os restantes pontos cardeais. 
Para localizar a linha com direcção 140°, conte 140º no sentido horário partindo do Norte e faça uma pequena marca sobre o círculo primitivo naquele ponto.
Depois gire o papel transparente no sentido horário,de modo que a marca de 140º coincida com o Sul da rede.
Agora usando os círculos menores que estão espaçados de 10º em 10º, partindo do polo Sul da rede, conte 30º em direcção ao centro, ao longo do diâmetro N-S e registre o ponto Lx, que corresponderá a inclinação desta linha. Note que para marcar a inclinação desta linha usamos o diâmetro N-S.
Depois, volta o papel transparente para a posição inicial, onde o Norte do papel transparente é ao Norte da rede. E então se tem a posição da lineação de um veio mineralizado.
É de salientar a projecção de uma linha é um ponto.
Determinação do ângulo entre um plano e uma linha
Este ângulo deve ser medido ao longo do círculo máximo num segundo plano que contém a linha e o polo do plano.
Considere o eixode uma dobra, com atitude 30°/260° (que representa uma linha), exposta numa diaclase, com atitude 150°/60°E (que representa um plano).
Usando os conhecimentos anteriores projecta o eixo da dobra como umalinha.
Depois no mesmo papel vegetal, usando os conhecimentos anteriores, projecta a diaclase como um plano e o seu polo. 
Roda o papel vegetal de forma a alinhar no mesmo círculo máximo o eixo da dobra e o polo do plano (diaclase) e trace o respectivo círculo máximo, unindo-os.
Meça o ângulo entre as linhas ao longo deste círculo máximo.
Determinação do ângulo entre duas linhas 
Considere que a atitude 16°/N42°E, representa a linha e a atitude 80°/S16°E, a outra. O ângulo entre duas linhas é medido no plano que as contém. 
Projecte as linhas na rede estereográfica.
Determine o plano definido pelas linhas rodando o papel vegetal até que os dois pontos que representam as linhas fiquem sobre o mesmo círculo máximo.
O ângulo entre as duas linhas é medido ao longo deste círculo máximo contando os círculos menores, que o intersectam.
Determinação da atitude dum plano que contém duas linhas 
Considere que a atitude duma linha é 40°/214° e da outra, aatitude é 50°/128° e que as duas linhas estejam contidas no mesmo plano. 
Projecte as linhas no mesmo papel vegetal e rode-as por forma a alinhar os dois pontos no mesmo círculo máximo.
Trace o círculo máximo e faça da leitura da inclinação do plano no eixo E-W (Neste caso conte partindo de Este até ao plano projectado).
Para a direcção do plano volte ao estado inicial, onde N da rede coincide com o N do papel vegetal e faça a leitura na extremidade.
Determinação da atitude de intersecção de dois planos
Considera dois planos com as seguintes atitudes 102°/60°S (estratificação) e 197°/41°E (clivagem).
Projecta os dois planos desenhando os respectivos círculos máximos.
A intersecção de dois planos é uma linha
Roda o papel vegetal de forma a trazer a lineação ao diâmetro E-W.
Meça o inclinação a partir da primitiva, partindo de Este em direcção ao centro da rede até a intersecção dos dois planos, que corresponde a inclinação da linha de intersecção e marque com um traço.
Este traço indica a direcção da linha de intersecção dos dois planos.
Roda o papel vegetal para a posição inicial, onde o Norte do papel transparente coincide com o Norte da rede estereográfica. 
Para obter o valor da direcção da linha de intersecção dos dois planos, conte a partir do Norte até onde o traço que corta a primitiva.
Assim sendo a lineação de intersecção mergulha 38°SE segundo a direcção 128°.
Determinação do ângulo entre dois planos
O ângulo entre os dois planos é determinado medindo o ângulo entre os polos. 
Considera uma dobra cujos flancos têm as seguintes atitudes: 304°/50°SW (flanco A) e 218°/26°NW (flanco B).
Projecta os dois flancos, com os seus respectivos polos. 
Roda o papel vegetal até que os polos fiquem alinhados no mesmo círculo máximo. 
Traça o respectivo círculo máximo a partir da união dos dois polos.
O plano assim traçado é perpendicular à linha de intersecção entre os dois planos. 
O ângulo entre os dois planos, é medido ao longo deste círculo máximo, sendo obtido através da contagem o ângulo entre esses mesmos polos que é de 56º. 
Depois volte o papel vegetal de modo que o norte do papel coincida com o norte da rede.
Exercícios Básicos
Projecta os seguintes planos: N50E/40SE; N30E/60NW; N70W/55SW; N57W/80NE; S70W/40NW; S20E/75SW.
Represente os seguintes planos através de seus pólos: N73E/34SE; N45E/52NW; N42W/68SW; N22W/42NE; N38W/65NE.
Determine o ângulo entre dois planos. (N50E/30SE e N62W/40SW), (N35E/60NW e N70W/45NE).
Determine o ângulo entre duas linhas, sendo Lº = 40/320 e L1 = 30/230
Determine o ângulo entre a lineação atrito (estria) = 40/300 e uma lineação de estiramento mineral (Ln) = 65/240
Represente estereograficamente as seguintes lineações de atrito (estrias em planos de falha): N230/80; N60/45; N235/10; N148/28.