3 - CA Exercicio

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2006 3-1 ufpr/tc405 
3 
3AÇÕES, SOLICITAÇÕES E RESISTÊNCIAS1 
3.1 Tipos de ações 
Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam 
produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os 
possíveis estados limites últimos e os de serviço. 
As ações a considerar classificam-se de acordo com a ABNT NBR 8681 em: 
− permanentes; 
− variáveis; e 
− excepcionais. 
3.1.1 Ações permanentes 
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda 
a vida da construção. Também são consideradas como permanentes as ações que crescem no 
tempo, tendendo a um valor limite constante. As ações permanentes devem ser consideradas com 
seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança. 
As ações permanentes são constituídas pelas: 
− ações permanentes diretas; e 
− ações permanentes indiretas. 
3.1.1.1 Ações permanentes diretas 
As ações permanentes diretas são constituídas pelos: 
− peso próprio da estrutura; 
− pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes; e 
− empuxos permanentes. 
3.1.1.1.1 Peso próprio da estrutura 
Nas construções correntes admite-se que o peso próprio da estrutura seja avaliado 
considerando a massa especifica do material conforme estabelecido em [1.4.2]. 
3.1.1.1.2 Peso dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes 
As massas específicas dos materiais de construção correntes podem ser avaliadas com 
base nos valores indicados na ABNT NBR 6120. Os pesos das instalações permanentes são 
considerados com os valores nominais indicados pelos respectivos fornecedores. 
3.1.1.1.3 Empuxos permanentes 
Consideram-se como permanentes os empuxos de terra e outros materiais granulosos 
quando forem admitidos não removíveis. 
Como representativos devem ser considerados os valores característicos Fk,sup ou Fk,inf 
conforme a ABNT NBR 8681. 
3.1.1.2 Ações permanentes indiretas 
As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por: 
− retração; 
− fluência; 
− deslocamentos de apoio; e 
− imperfeições geométricas. 
 
1 O texto relativo a este capítulo é, basicamente, uma cópia dos capítulos 11 e 12 da ABNT NBR 6118. 
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3.1.1.2.1 Retração do concreto 
A deformação específica de retração do concreto deve ser calculada conforme indica o 
Anexo A da ABNT NBR 6118. 
Na grande maioria dos casos, permite-se que ela seja calculada simplificadamente através 
da Tabela [1.2], por interpolação. Essa tabela fornece o valor característico superior da 
deformação específica de retração entre os instantes t0 e t∞, εcs(t∞,t0), em algumas situações 
usuais. 
Nos casos correntes das obras de concreto armado, em função da restrição à retração do 
concreto, imposta pela armadura, satisfazendo o mínimo especificado na ABNT NBR 6118, o valor 
de εcs(t∞,t0) pode ser adotado igual a 
)10(-15‰15,0)t,t( -50cs ×−=ε ∞ Equação 3.1 
Esse valor admite elementos estruturais de dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm 
sujeitos a umidade ambiental não inferior a 75%. 
O valor característico inferior da retração do concreto é considerado nulo. 
Nos elementos estruturais permanentes submetidos a diferentes condições de umidade em 
faces opostas, admite-se variação linear da retração ao longo da espessura do elemento 
estrutural entre os dois valores correspondentes a cada uma das faces. 
3.1.1.2.2 Fluência do concreto 
As deformações decorrentes da fluência do concreto devem ser calculadas conforme indica 
o Anexo A da ABNT NBR 618. 
Nos casos em que a tensão σc(t0) não varia significativamente, permite-se que essas 
deformações sejam calculadas simplificadamente pela expressão: 





 ϕ
+σ=ε ∞∞ )28(E
)t,t(
)t(E
1)t( )t,t(
ci
0
0ci
0c0c Equação 3.2 
onde: 
εc(t∞,t0) é a deformação específica total do concreto entre os instantes t0 e t∞; 
σc(t0) é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em t0; 
ϕ(t∞,t0) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por carregamento 
aplicado em t0; 
Eci(t0) é o módulo de elasticidade inicial do concreto no instante t0; e 
Eci(28) é o módulo de elasticidade inicial do concreto aos 28 dias. 
O valor de ϕ(t∞,t0) pode ser calculado por interpolação da Tabela [1.2]. Essa Tabela fornece 
o valor característico superior de ϕ(t∞,t0) em algumas situações usuais. 
O valor característico inferior de ϕ(t∞,t0) é considerado nulo. 
3.1.1.2.3 Deslocamentos de apoio 
Os deslocamentos de apoio só devem ser considerados quando gerarem esforços 
significativos em relação ao conjunto das outras ações, isto é, quando a estrutura for hiperestática 
e muito rígida. 
O deslocamento de cada apoio deve ser avaliado em função das características físicas do 
correspondente material de fundação. Como representativo desses deslocamentos, devem ser 
considerados os valores característicos superiores, δk,sup, calculados com avaliação pessimista da 
rigidez do material de fundação, correspondente, em princípio, ao quantil de 5% da respectiva 
distribuição de probabilidade. 
Os valores característicos inferiores podem ser considerados nulos. 
O conjunto desses deslocamentos constitui-se numa única ação, admitindo-se que todos 
eles sejam majorados pelo mesmo coeficiente de ponderação. 
3.1.1.2.4 Imperfeições geométricas 
Na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as 
imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas 
imperfeições podem ser divididas em dois grupos: 
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− imperfeições globais; e 
− imperfeições locais. 
3.1.2 Ações variáveis 
As ações variáveis são constituídas pelas: 
− ações variáveis diretas; e 
− ações variáveis indiretas. 
3.1.2.1 Ações variáveis diretas 
As ações variáveis diretas são constituídas pelas: 
− cargas acidentais1 previstas para o uso da construção; e 
− ação do vento e da chuva. 
Todas as ações devem respeitar as prescrições feitas por Normas Brasileiras específicas. 
3.1.2.1.1 Cargas acidentais previstas para o uso da construção 
As cargas acidentais correspondem normalmente a: 
− cargas verticais de uso da construção; 
− cargas móveis, considerando o impacto vertical; 
− impacto lateral; 
− força longitudinal de frenação ou aceleração; e 
− força centrífuga. 
Essas cargas devem ser dispostas nas posições mais desfavoráveis para o elemento 
estudado, ressalvadas as simplificações permitidas por Normas Brasileiras específicas. 
3.1.2.1.2 Ação do vento 
Os esforços devidos à ação do vento devem ser considerados e recomenda-se que sejam 
determinados de acordo com o prescrito pela ABNT NBR 6123, permitindo-se o emprego de 
regras simplificadas previstas em Normas Brasileiras específicas. 
3.1.2.1.3 Ação da água 
O nível d'água, ou de outro líquido, adotado para cálculo de reservatórios, tanques, 
decantadores e outros deve ser igual ao máximo possível compatível com o sistema de 
extravasão, considerando apenas o coeficiente γf = γf3 =1,2 (ver 3.5 e 3.6). Nas estruturas em que 
a água de chuva possa ficar retida deve ser considerada a presença de uma lâmina de água 
correspondente ao nível da drenagem efetivamente garantida pela construção. 
3.1.2.1.4 Ações variáveis durante a construção 
As estruturas em que todas as fases construtivas não tenham sua segurança garantida pela 
verificação da obra pronta, devem ter, incluídas no projeto, as verificações das fases construtivas 
mais significativas e sua influência na fase final. 
A verificação de cada uma dessas fases deve ser feita considerando a parte da estrutura já 
executada e as estruturas provisórias auxiliares com os respectivos pesos próprios. Além disso 
devem ser consideradas as cargas acidentaisde execução. 
3.1.2.2 Ações variáveis indiretas 
As ações variáveis indiretas são constituídas pelas: 
− variações uniformes de temperatura; e 
− variações não uniformes de temperatura. 
3.1.2.2.1 Variações uniformes de temperatura 
A variação da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da temperatura 
da atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela depende do local de 
implantação da construção e das dimensões dos elementos estruturais que a compõem. 
 
1 O termo "cargas acidentais", embora bastante consagrado na engenharia brasileira de estruturas, não representa 
carregamento que provoque acidente, mas corresponde, apenas e tão somente, as "cargas não permanentes". Nos 
paises de língua inglesa, cargas acidentais (não permanentes) são definidas como "live loads" e cargas 
permanentes como "dead loads". 
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De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores: 
− para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, deve ser 
considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10ºC a 15ºC; 
− para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteiramente 
fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que essa oscilação 
seja reduzida respectivamente para 5ºC a 10ºC; e 
− para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm 
admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados. 
A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50% da 
diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra. 
Em edifícios de vários andares devem ser respeitadas as exigências construtivas prescritas 
pela ABNT NBR 6118 para que sejam minimizados os efeitos das variações de temperatura sobre 
a estrutura da construção. 
3.1.2.2.2 Variações não uniformes de temperatura 
Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição significativamente 
diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de dados 
mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre os valores de temperatura adotados, 
desde que a variação de temperatura considerada entre uma face e outra da estrutura não seja 
inferior a 5ºC. 
3.1.3 Ações dinâmicas 
Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, está sujeita a choques ou vibrações, os 
respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das solicitações e a possibilidade de 
fadiga deve ser considerada no dimensionamento dos elementos estruturais de acordo com a 
seção 23 da ABNT NBR 6118. 
3.1.4 Ações excepcionais 
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos 
não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações excepcionais com 
os valores definidos, em cada caso particular, por Normas Brasileiras específicas. 
3.2 Tipos de estruturas 
Segundo a ABNT NBR 8681, as estruturas são classificadas como: 
− grandes pontes; 
− edificações tipo 1; e 
− edificações tipo 2. 
3.2.1 Grandes pontes 
Grandes pontes são aquelas em que o peso próprio da estrutura supera 75% da totalidade 
das ações permanentes. 
3.2.2 Edificações tipo 1 
Edificações tipo 1 são aquelas onde as cargas acidentais superam 5 kN/m2. 
3.2.3 Edificações tipo 2 
Edificações tipo 2 são aquelas onde as cargas acidentais não superam 5 kN/m2. 
3.3 Valores das ações 
3.3.1 Valores característicos 
Os valores característicos Fk das ações são estabelecido em função da variabilidade de 
suas intensidades. 
3.3.1.1 Ações permanentes 
Para as ações permanentes, os valores característicos devem ser adotados iguais aos 
valores médios das respectivas distribuições de probabilidade, sejam valores característicos 
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superiores ou inferiores. Esses valores estão definidos na ABNT NBR 6118 ou em Normas 
Brasileiras específicas, como a ABNT NBR 6120. 
Alguns valores apresentados na ABNT NBR 6120, para peso específico de materiais de 
construção, correspondem a: 
blocos de argamassa ................................................................................................. 22 kN/m3 
lajotas cerâmicas ....................................................................................................... 18 kN/m3 
tijolos furados ............................................................................................................. 13 kN/m3 
tijolos maciços ............................................................................................................ 18 kN/m3 
argamassa de cal, cimento e areia ............................................................................ 19 kN/m3 
argamassa de cimento e areia ................................................................................... 21 kN/m3 
concreto simples ........................................................................................................ 24 kN/m3 
concreto armado ........................................................................................................ 25 kN/m3 
3.3.1.2 Ações variáveis 
Os valores característicos das ações variáveis, Fqk estabelecidos por consenso e indicados 
em Normas Brasileiras específicas, correspondem a valores que têm de 25% a 35% de 
probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos, o 
que significa que o valor característico Fqk é o valor com período médio de retorno de 200 a 140 
anos respectivamente. Esses valores estão definidos na ABNT NBR 6118 ou em Normas 
Brasileiras específicas, como a ABNT NBR 6120. 
Alguns valores apresentados na ABNT NBR 6120, para valores mínimos de cargas verticais, 
correspondem a: 
ginásios de esportes ................................................................................................. 5,0 kN/m2 
lojas ........................................................................................................................... 4,0 kN/m2 
restaurantes .............................................................................................................. 3,0 kN/m2 
escritórios .................................................................................................................. 2,0 kN/m2 
forros ......................................................................................................................... 0,5 kN/m2 
edifícios residenciais 
dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro ...................................................... 1,5 kN/m2 
despensa, área de serviço e lavanderia .......................................................... 2,0 kN/m2 
escadas 
com acesso ao público .................................................................................... 3,0 kN/m2 
sem acesso ao público .................................................................................... 2,5 kN/m2 
3.3.2 Valores representativos 
As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: 
− valores característicos conforme definido em 3.3.1; 
− valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações 
excepcionais; 
− valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como: 
! verificações de estados limites últimos, quando a ação considerada se 
combina com a ação principal. Os valores reduzidos são determinados a partir 
dos valores característicos pela expressão ψ0 Fk, que considera muito baixa a 
probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou 
mais ações variáveis de naturezas diferentes; e 
! verificações de estados limites de serviço. Estes valores reduzidos são 
determinados a partir dos valores característicos pelas expressões ψ1 Fk e ψ2 Fk, 
que estimam valores freqüentes e quase permanentes, respectivamente, deuma ação que acompanha a ação principal. 
3.3.3 Valores de cálculo 
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos, 
multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação γf. 
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3.4 Tipos de carregamento1 
Durante o período de vida da construção, podem ocorrer os seguintes tipos de 
carregamento: 
− normal; 
− especial; 
− excepcional; ou 
− de construção. 
Os tipos de carregamento podem ser de longa duração ou transitórios, conforme seu tempo 
de duração. 
3.4.1 Carregamento normal 
O carregamento normal decorre do uso previsto para construção. Admite-se que o 
carregamento normal possa ter duração igual ao período de referência da estrutura, e sempre 
deve ser considerado na verificação da segurança, tanto em relação a estados limites últimos 
quanto em relação a estados limites de serviço. 
3.4.2 Carregamento especial 
Um carregamento especial decorre da atuação de ações variáveis de natureza ou 
intensidade especiais, cujos efeitos superem em intensidade os efeitos produzidos pelas ações 
consideradas no carregamento normal. Os carregamentos especiais são transitórios, com duração 
muito pequena em relação ao período de referência da estrutura. Os carregamentos especiais são 
em geral considerados apenas na verificação da segurança em relação aos estados limites 
últimos, não se observando as exigências referentes aos estados limites de serviço. 
3.4.3 Carregamento excepcional 
Um carregamento excepcional decorre da atuação de ações excepcionais que podem 
provocar efeitos catastróficos. Os carregamentos excepcionais somente devem ser considerados 
no projeto de estrutura de determinados tipos de construção, para os quais a ocorrência de ações 
excepcionais não possa ser desprezada e que, além disso, na concepção estrutural, não possam 
ser tomadas medidas que anulem ou atenuem a gravidade das conseqüências dos efeitos dessas 
ações. O carregamento excepcional é transitório, com duração extremamente curta. Com um 
carregamento do tipo excepcional, considera-se apenas a verificação da segurança em relação a 
estados limites últimos, através de uma única combinação última excepcional de ações. 
3.4.4 Carregamento de construção 
O carregamento de construção é considerado apenas nas estruturas em que haja risco de 
ocorrência de estados limites, já durante a fase de construção. O carregamento de construção é 
transitório e sua duração deve ser definida em cada caso particular. Devem ser consideradas 
tantas combinações de ações quantas sejam necessárias para verificação das condições de 
segurança em relação a todos os estados limites que são de se temer durante a fase de 
construção. 
3.5 Coeficientes de ponderação das ações 
3.5.1 Estado limite último 
3.5.1.1 Coeficientes de majoração de ações 
Quando se consideram estados limites últimos, os coeficientes γf de ponderação 
(majoração) das ações podem ser considerados como o produto de dois outros, de tal forma que: 
0,13f1ff ≥γ×γ=γ Equação 3.3 
onde2: 
γf1 leva em conta a variabilidade das ações; e 
γf3 considera os possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, seja por problemas 
construtivos, seja por deficiência do método de cálculo empregado. 
 
1 O texto relativo a este capítulo é, basicamente, uma cópia do item 4.3.2 da ABNT NBR 8681. 
2 O coeficiente de combinação ψ0 faz o papel do terceiro coeficiente, que seria indicado por γf2. 
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O desdobramento do coeficiente de segurança γf em coeficientes parciais permite que os 
valores gerais estabelecidos para γf possam ser discriminados em função de peculiaridades dos 
diferentes tipos de estruturas e de materiais de construção considerados. 
Tendo em vista as diversas ações levadas em conta no projeto, o índice do coeficiente γf 
pode ser alterado para identificar a ação considerada, resultando os símbolos γg, γq e γε, de tal 
forma que: 







γ
γ
γ
γ
=γ×γ=γ
ε
ε
indiretas) variáveis (ações
diretas) variáveis (ações
indiretas) spermanente (ações
diretas) spermanente (ações
q
q
g
g
3f1ff Equação 3.4 
Os coeficientes de ponderação para combinações últimas γg, γεg, γq e γεq são apresentados, 
em forma de tabelas, na ABNT NBR 8681, considerando: 
− ações permanentes diretas consideradas separadamente (Tabela 1); 
− ações permanentes diretas agrupadas (Tabela 2); 
− efeitos de recalques de apoio e de retração dos materiais (Tabela 3); 
− ações variáveis consideradas separadamente (Tabela 4); e 
− ações variáveis consideradas conjuntamente (Tabela 5). 
A ABNT NBR 6118 procura sintetizar, na sua Tabela 11.1, os valores mais usados 
apresentados nas Tabelas 1 a 5 de ABNT NBR 8681. Por se tratar de uma tabela incompleta (não 
leva em conta os tipos de estrutura, não diferencia ações consideradas separadamente de ações 
agrupadas, não apresenta coeficientes para efeitos de temperatura, etc.) recomenda-se, sempre, 
o uso das tabelas da ABNT NBR 8681. 
Quando as ações permanentes diretas são agrupadas (Tabela 1 da ABNT NBR 8681) e as 
ações variáveis são consideradas conjuntamente (Tabela 5 da ABNT NBR 8681), os valores de γg, 
γεg, γq e γεq assumem os valores apresentados na Tabela 3.11, Tabela 3.2 e Tabela 3.3. 
Grandes pontes 
Ações 
Permanentes Variáveis 
Diretas (γg) Indiretas (γεg) Diretas (γq) Indiretas (γεq) 
Combinações de 
ações 
D F D F D F D F 
 
Normais 
 
1,3 1,0 1,2 0,0 1,5 0,0 1,2 0,0 
Especiais 
ou de 
construção 
1,2 1,0 1,2 0,0 1,3 0,0 1,0 0,0 
 
Excepcionais 
 
1,1 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 
D → desfavorável F → favorável 
Tabela 3.1 - ELU - Coeficientes γf – Grandes pontes - Ações permanentes diretas agrupadas e 
ações variáveis consideradas conjuntamente 
 
1 A Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3 foram construídas com base na afirmação contida no rodapé da Tabela 5 da 
ABNT NBR 8681: 
 “Quando as ações variáveis forem consideradas conjuntamente, o coeficiente de ponderação mostrado na 
tabela 5 se aplica a todas as ações, devendo-se considerar também conjuntamente as ações permanentes diretas. 
Nesse caso permite-se considerar separadamente as ações indiretas como recalque de apoio e retração dos 
materiais conforme tabela 3 e o efeito de temperatura conforme tabela 4.“ 
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Edificações tipo 1 e pontes em geral 
Ações 
Permanentes Variáveis 
Diretas (γg) Indiretas (γεg) Diretas (γq) Indiretas (γεq) 
Combinações de 
ações 
D F D F D F D F 
 
Normais 
 
1,35 1,0 1,2 0,0 1,5 0,0 1,2 0,0 
Especiais 
ou de 
construção 
1,25 1,0 1,2 0,0 1,3 0,0 1,0 0,0 
 
Excepcionais 
 
1,15 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 
D → desfavorável F → favorável 
Tabela 3.2 - ELU - Coeficientes γf – Edificações tipo 1 e pontes em geral - Ações permanentes 
diretas agrupadas e ações variáveis consideradas conjuntamente 
Edificações tipo 2 
Ações 
Permanentes Variáveis 
Diretas (γg) Indiretas (γεg) Diretas (γq) Indiretas (γεq) 
Combinações de 
ações 
D F D F D F D F 
 
Normais 
 
1,4 1,0 1,2 0,0 1,4 0,0 1,2 0,0 
Especiais 
ou de 
construção 
1,3 1,0 1,2 0,0 1,2 0,0 1,0 0,0 
 
Excepcionais 
 
1,2 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 
D → desfavorável F → favorável 
Tabela 3.3 - ELU - Coeficientes γf – Edificações tipo 2 - Ações permanentes diretas agrupadas e 
ações variáveis consideradas conjuntamente 
O valor do coeficiente de ponderação, de cargas permanentes de mesma origem, num dado 
carregamento, deve ser o mesmo ao longo de toda estrutura. A única exceção é o caso da 
verificação da estabilidade como corpo rígido. 
O valor do coeficiente de ponderação, para ações variáveis direta decorrentes de empuxos 
d'água, ou deoutro líquido, adotado para cálculo de reservatórios, tanques, decantadores e outros 
deve ser considerando como sendo 1,1 (ver 3.1.2.1.3). 
3.5.1.2 Pilares com dimensão inferior a 20 cm 
Em casos especiais, permite-se a consideração de pilares ou pilares-parede com dimensões 
entre 19 cm e 12 cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no 
dimensionamento por um coeficiente adicional (coeficiente de ajustamento) γn apresentado na 
Tabela 3.4. Em qualquer caso não se permite pilar com seção transversal inferior a 360 cm2. 
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b (cm) ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 
onde: 
γn = 1,95 – 0,05b (b em cm) 
b é a menor dimensão da seção transversal da parede ou pilar. 
nota: o coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos 
pilares, quando de seu dimensionamento. 
Tabela 3.4 - Coeficiente γn - ELU 
3.5.1.3 Fatores de combinação de ações 
A consideração da simultaneidade das ações variáveis é expressa pelo fator ψ0 da 
ABNT NBR 8681 e estão, resumidamente, apresentados na Tabela 3.5. O fator ψ0 pode ser 
representado por: 
0,102ff ≤ψ=γ=γ Equação 3.5 
 
Ações ψ0 
Edificações residenciais, de acesso restrito 0,5 
Edificações comerciais, de escritórios e de 
acesso público 0,7 Cargas acidentais de edifícios 
Bibliotecas, arquivos, depósitos, oficinas e 
garagens 0,8 
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 
Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 
Passarelas de pedestre 0,6 
Pontes rodoviárias 0,7 
Pontes ferroviárias não especializadas 0,8 
Pontes ferroviárias especializadas 1,0 
Passarelas e pontes 
Vigas de rolamento de pontes rolantes 1,0 
Tabela 3.5 - Coeficiente γf2 – ELU 
3.5.2 Estado limite de serviço 
O coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é dado pela 
Equação 3.6 e tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (Tabela 3.6). 
2ff γ=γ Equação 3.6 
onde: 
γf2 = 1,0 para combinações raras; 
γf2 = ψ1 para combinações freqüentes; e 
γf2 = ψ2 para combinações quase permanentes. 
2006 3-10 ufpr/tc405 
Ações ψ1 ψ21), 2) 
Edificações residenciais, de acesso restrito 0,4 0,3 
Edificações comerciais, de escritórios e de 
acesso público 0,6 0,4 Cargas acidentais de edifícios 
Bibliotecas, arquivos, depósitos, oficinas e 
garagens 0,7 0,6 
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,3 0,0 
Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,5 0,3 
Passarelas de pedestre 0,4 0,3 
Pontes rodoviárias 0,5 0,3 
Pontes ferroviárias não especializadas 0,7 0,5 
Pontes ferroviárias especializadas 1,0 0,6 
Passarelas e pontes 
Vigas de rolamento de pontes rolantes 0,8 0,5 
1) Para combinações excepcionais onde a ação principal for sismo, admite-se adotar para ψ2 o valor zero. 
2) Para combinações excepcionais onde a ação principal for o fogo, o fator de redução ψ2 pode ser reduzido, 
multiplicando-o por 0,7. 
Tabela 3.6 - Coeficiente γf2 - ELS 
3.6 Combinações de ações 
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não 
desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período 
pré-estabelecido. 
A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados os efeitos 
mais desfavoráveis para a estrutura. A verificação da segurança em relação aos estados limites 
últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada em função de combinações últimas e 
combinações de serviço, respectivamente. 
3.6.1 Combinações últimas 
Uma combinação última pode ser classificada em: 
− normal; 
− especial ou de construção; e 
− excepcional. 
3.6.1.1 Combinações últimas normais 
Em cada combinação devem estar incluídas as ações permanentes e a ação variável 
principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas como 
secundárias, com seus valores reduzidos de combinação, conforme ABNT NBR 8681. 
De modo geral, as combinações últimas usuais de ações deverão considerar: 
− o esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais de concreto 
armado; e 
− a perda de equilíbrio como corpo rígido 
3.6.1.1.1 Esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais 
A equação para o cálculo de solicitações considerando o possível esgotamento da 
capacidade resistente de elementos estruturais de concreto armado pode ser representada por: 
qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF εεεεε ψγ+ψ+γ+γ+γ= ∑ Equação 3.7 
2006 3-11 ufpr/tc405 
onde: 
Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última. 
Fgk representa as ações permanentes diretas (valor característico): 
− peso próprio da estrutura; 
− peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e 
− empuxos permanentes. 
Fεgk representa as ações permanentes indiretas (valor característico): 
− retração do concreto; 
− fluência do concreto; 
− deslocamentos de apoio; e 
− imperfeições geométricas. 
Fq1k representa a ação variável direta considerada como principal (valor característico). 
Fqjk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal (valor 
característico): 
− cargas acidentais; 
− ação do vento; e 
− ação da água. 
Fεqk representa as ações variáveis indiretas (valor característico): 
− variações uniformes de temperatura; e 
− variações não uniformes de temperatura. 
γg representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas: 
Grandes pontes (Tabela 3.1): 
− 1,3 para combinação desfavorável; e 
− 1,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 
− 1,35 para combinação desfavorável; e 
− 1,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): 
− 1,4 para combinação desfavorável; e 
− 1,0 para combinação favorável. 
γεg representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes indiretas (Tabela 3.1, 
Tabela 3.2 e Tabela 3.3): 
− 1,2 para combinação desfavorável; e 
− 0,0 para combinação favorável. 
γq representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas: 
Grandes pontes (Tabela 3.1): 
− 1,5 para combinação desfavorável; e 
− 0,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 
− 1,5 para combinação desfavorável; e 
− 0,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): 
− 1,4 para combinação desfavorável; e 
− 0,0 para combinação favorável. 
γεq representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis indiretas (Tabela 3.1, 
Tabela 3.2 e Tabela 3.3): 
− 1,2 para combinação desfavorável; e 
− 0,0 para combinação favorável. 
ψ0j representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas 
(Tabela 3.5): 
− 0,5 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
− 0,7 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 
− 0,8 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
− 0,6 para o vento. 
2006 3-12 ufpr/tc405 
ψ0ε representa o fator de redução de combinação para ações variáveis indiretas 
(Tabela 3.5): 
− 0,6 para variações uniformes de temperatura. 
No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das 
cargas permanentes seja reduzido pela consideração de γg = 1,0. No caso de estruturas usuais 
de edifícios essas combinações que consideram γg reduzido (1,0) não precisam ser 
consideradas. 
Deve ser observado que a Equação 3.7 não considera a ação variável indireta (temperatura) 
como possível de ser a ação principal dentre as ações variáveis (diretas ou indiretas). Caso os 
efeitos de temperatura (Fεqk) venham a se constituir em fator altamente significativo para a 
determinação dos esforços em estruturas, constituindo-se numa possível ação variável principal, a 
seguinte equação deve também ser verificada:qkqqjkj0qgkggkgd FFFFF εεεε γ+ψγ+γ+γ= ∑ Equação 3.8 
3.6.1.1.2 Cargas de Fundações 
A capacidade de carga1 de fundações superficiais (sapatas) ou de fundações profundas 
(estacas ou tubulões), de modo geral, são definidas por tensões admissíveis (fundações 
superficiais) ou cargas admissíveis (fundações profundas). Essas tensões ou cargas admissíveis 
incluem coeficientes (fatores) de segurança que minoram as resistências dos elementos de 
fundação. Segundo a Tabela 1 da ABNT NBR 6122, os fatores de segurança globais mínimos 
correspondem a: 
capacidade de carga de fundações superficiais ................................................................. 3,0 
capacidade de carga de estacas ou tubulões sem prova de carga .................................... 2,0 
capacidade de carga de estacas ou tubulões com prova de carga .................................... 1,6 
Os valores das solicitações correspondentes às reações de apoio a serem suportadas por 
elementos de fundação, decorrentes das combinações de ações estabelecidas pela Equação 3.7 
(estado limite último), consideram coeficientes de ponderação (majoração) variáveis de acordo 
com a natureza das ações. 
Se as reações de apoio a serem suportadas por elementos de fundação, definidas pela 
Equação 3.7 do estado limite último, forem usadas diretamente nos projetos de fundações 
superficiais ou profundas, baseados no critério das tensões ou cargas admissíveis, haverá um 
confronto de critérios de segurança, pois: 
− o critério do estado limite último usa coeficientes de segurança diferenciados tanto 
para as solicitações (ações) como para as resistências dos materiais; e 
− o critério das tensões ou cargas admissíveis usa um único coeficiente de segurança 
global envolvendo tanto as solicitações (ações) com as resistências dos materiais. 
Portanto, para que não ocorra confronto entre critérios de segurança, a aplicação do critério 
das tensões ou cargas admissíveis nas fundações superficiais ou profundas implica na 
necessidade das solicitações resultantes das combinações de ações atuantes na estrutura serem 
consideradas sem coeficientes de ponderação (majoração). 
Por outro lado, a probabilidade de ocorrência simultânea de diferentes ações variáveis 
(cargas acidentais, vento, temperatura, etc.), representada pelo coeficiente ψ0, deve ser 
considerada. 
Desta forma, a equação para a definição das reações de apoio a serem suportadas por 
elementos de fundação superficiais ou profundas, que empregam fator se segurança global 
(tensões ou cargas admissíveis), corresponde a: 
qk0qjkj0k1qgkgkfund,d F)FF(FFF εεε ψ+ψ+++= ∑ Equação 3.9 
 
1 A ABNT NBR 6122 estabelece dois modos de verificação de segurança. O cálculo empregando fator de segurança 
global (tensões e cargas admissíveis) e o cálculo empregando-se fatores de segurança parciais (estado limite 
último). O primeiro é quase que o único utilizado. 
2006 3-13 ufpr/tc405 
A Figura 3.1 mostra as solicitações decorrentes das diversas combinações de ações, a 
serem usadas na verificação da 
capacidade do terreno de fundação 
superficial (sapata). A força normal 
Nz, sendo de compressão, tem o 
sentido indicado na Figura. Os 
momentos fletores Mx e My, bem 
como as forças horizontais Hx e Hy 
dependem das combinações das 
ações (direção do vento, por 
exemplo) e podem assumir tanto 
valores positivos como negativos. 
 
Figura 3.1 – Solicitações em sapatas de concreto armado 
Deve-se tomar muito cuidado com a manipulação da Equação 3.7 e da Equação 3.9. No 
caso específico da Figura 3.1, a Equação 3.7 deve ser usada para o dimensionamento da sapata 
de concreto armado, ao passo que a Equação 3.9 seria a usada para a verificação da capacidade 
do terreno de fundação. 
Exemplo 3.1: Definir a equação de cálculo das ações para a combinação última normal (Fd) de 
estruturas de edifícios comerciais onde os carregamentos são resultantes de 
combinações que só levam em consideração as ações permanentes diretas 
(peso próprio da estrutura, paredes, caixa d'água, etc.) e ações variáveis diretas 
(cargas acidentais e vento). Considerar o esgotamento da capacidade resistente 
de edificações tipo 2 para: 
 - carregamentos gerais desfavoráveis; e 
 - efeito favorável das cargas permanentes. 
 Estabelecer, também, as equações de cálculo a serem usadas em projeto de 
fundação. 
Solução: Para a combinação última normal, deverão ser usados, para a Equação 3.7, os 
valores da Tabela 3.3 e da Tabela 3.5. Para o projeto de fundações diretas, 
deverá ser usada a Equação 3.9. 
 Fgk: Gk (valor característico da ação permanente direta) 
 Fqk,acid: Qk (valor característico da ação variável direta – carga acidental) 
 Fqk,vento: Wk (valor característico da ação variável direta – vento) 
 γg: 1,4 (combinação normal, ação permanente direta desfavorável) 
 1,0 (combinação normal, ação permanente direta favorável) 
 γq: 1,4 (combinação normal, ação variável direta desfavorável geral) 
 0,0 (combinação normal, ação variável direta favorável) 
 ψ0: 0,7 (carga acidental de edifício comercial - desfavorável) 
 0,0 (carga acidental de edifício comercial - favorável) 
 ψ0: 0,6 (vento - desfavorável) 
 0,0 (vento - favorável) 
a. Ação permanente direta desfavorável (γg =1,4) 
 qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF εεεεε ψγ+ψ+γ+γ+γ= ∑ 
 Fd = 1,4 Gk + 0,0 (Qk + 0,0 Wk) → Fd = 1,4 Gk ◄ 
 Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Qk + 0,0 Wk) → Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk ◄ 
 Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Qk + 0,6 Wk) → Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk + 0,84 Wk ◄ 
 Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Wk + 0,0 Qk) → Fd = 1,4 Gk + 1,4 Wk ◄ 
My 
Hy 
Nz 
Mx Hx 
2006 3-14 ufpr/tc405 
 Fd = 1,4 Gk + 1,4 (Wk + 0,7 Qk) → Fd = 1,4 Gk + 1,4 Wk + 0,98 Qk ◄ 
b. Ação permanente direta favorável (γg =1,0) 
 qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF εεεεε ψγ+ψ+γ+γ+γ= ∑ 
 Fd = 1,0 Gk + 0,0 (Qk + 0,0 Wk) → Fd = 1,0 Gk ◄ 
 Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Qk + 0,0 Wk) → Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk ◄ 
 Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Qk + 0,6 Wk) → Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk + 0,84 Wk ◄ 
 Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Wk + 0,0 Qk) → Fd = 1,0 Gk + 1,4 Wk ◄ 
 Fd = 1,0 Gk + 1,4 (Wk + 0,7 Qk) → Fd = 1,0 Gk + 1,4 Wk + 0,98 Qk ◄ 
c. Ação para projeto de fundação 
 qk0qjkj0k1qgkgkfund,d F)FF(FFF εεε ψ+ψ+++= ∑ 
 Fd = Gk + 0,0 (Qk + Wk) → Fd = Gk ◄ 
 Fd = Gk + (Qk + 0,0 Wk) → Fd = Gk + Qk ◄ 
 Fd = Gk + (Qk + 0,6 Wk) → Fd = Gk + Qk + 0,6 Wk ◄ 
 Fd = Gk + (Wk + 0,0 Qk) → Fd = Gk + Wk ◄ 
 Fd = Gk + (Wk + 0,7 Qk) → Fd = Gk + Wk + 0,7 Qk ◄ 
d. Observações 
 d.1 Vento 
 Todas as equações que envolvem o vento (Wk) equivalem a quatro, ou seja o 
vento tem que ser considerado atuando nas duas direções principais da estrutura (da 
esquerda para direita, da direita para a esquerda, de baixo para cima e de cima para 
baixo). Isto vale dizer que haveria 14 combinações possíveis de ações 
(carregamentos) para o item a e mais 14 combinações para o item b. O total 
corresponderia a 28 possíveis combinações de ações (carregamentos) para a 
consideração do estado limite último - combinação normal. 
 
 d.2 Verificação da fundação direta 
 Também para o projeto de fundação haveria outras 14 combinações de ações, 
dependentes das direções do vento. 
 A planilha para fornecimento das ações possíveis de atuarem nos elementos de 
fundação, para cada um deles (cada pilar), tem o aspecto mostrado a seguir. É importante 
observar que as 14 combinações de ações, individualmente, têm que ser verificadas. A 
combinação de valores da tabela, como por exemplo valores máximos, não deve ser 
incluída como outros casos possíveis de combinação de ações. 
planta de pilares 
da estrutura 
Wk1 
Wk3 
Wk2 
WK4 
2006 3-15 ufpr/tc405 
 
 cp: carga permanente 
 ca: carga acidental 
 vt: vento 
 d.3 Estruturas usuais de edifícios 
 Caso a estrutura venha a ser considerada como “usual”, os efeitos decorrentes 
das ações permanentes diretas favoráveis(γg =1,0) não precisam ser considerados. 
Isto vale dizer que todo o item b poderia ser desconsiderado. 
 d.4 Carregamentos obrigatórios em estruturas 
 As ações (carregamentos) consideradas neste exemplo (cargas permanentes, 
cargas acidentais e vento) constituem as ações obrigatórias de serem consideradas 
em todas as estruturas. Para qualquer tipo de estrutura, a ação do vento tem que ser 
considerada. 
 Incluindo a definição dos carregamentos nos elementos de fundação, são 
necessárias 42 combinações de ações para o projeto estrutural de um edifício de 
concreto armado. A consideração de ações indiretas (fluência, retração, recalques de 
apoio, temperatura, etc.) elevaria bem mais este valor. 
 
3.6.1.1.3 Perda de equilíbrio como corpo rígido 
A equação para a verificação da perda de equilíbrio como corpo rígido pode ser 
representada por: 
( ) ( )
min,sqsjkj0k1qnkgnnd
dskgssd
ndsd
Q)QQ(GF
RGF
FSFS
γ−ψ+γ+γ=
+γ=
≥
∑
 Equação 3.10 
onde: 
S(Fsd) é o valor de cálculo das solicitações estabilizantes. 
S(Fnd) é o valor de cálculo das solicitações não estabilizantes. 
Fsd representa as ações estabilizantes (valor de cálculo). 
Fnd representa as ações não estabilizantes (valor de cálculo). 
Rd é o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver. 
Gsk é o valor característico da ação permanente estabilizante. 
Gnk é o valor característico da ação permanente instabilizante. 
Q1k é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal. 
Qjk é o valor característico da ação variável instabilizante. 
Qs,min é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha 
obrigatoriamente uma ação variável instabilizante. 
Sapata (Bloco) nº .... Nz Mx My Hx Hy 
cp 
cp + ca 
cp + ca + (0,6 vt1) 
cp + ca + (0,6 vt2) 
cp + ca + (0,6 vt3) 
cp + ca + (0,6 vt4) 
cp + vt1 
cp + vt2 
cp + vt3 
cp + vt4 
cp + vt1 + (0,7 ca) 
cp + vt2 + (0,7 ca) 
cp + vt3 + (0,7 ca) 
cp + vt4 + (0,7 ca) 
2006 3-16 ufpr/tc405 
γgs representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas 
estabilizante: 
− 1,0 para combinação favorável. 
γgn representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas 
instabilizante: 
− valores das Tabelas 1 e 2 da ABNT NBR 8681. 
γq representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas instabilizante: 
− valores das Tabelas 4 e 5 da ABNT NBR 8681. 
γqs representa o coeficiente de ponderação da ação variável estabilizante que 
acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante: 
− usar o valor que conduza ao máximo Fnd. 
ψ0j representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas 
instabilizantes: 
− usar valores que levem em conta a simultaneidade das ações. 
Exemplo 3.2: Verificar as condições de segurança quanto ao tombamento da barragem de 
rejeito abaixo representada. Considerar: 
 – massa específica do concreto da barragem igual a 2 200 kg/m3; e 
 – massa específica do material de rejeito igual 1 300 kg/m3. 
 
Solução: Deverá ser verificada a condição de perda de equilíbrio como corpo rígido da 
barragem. Para tal deverão ser calculados o momento estabilizante [S(Fsd)] e o 
momento não estabilizantes [S(Fnd)] em relação ao pé da barragem (ponto A). A 
barragem será segura se [S(Fsd)] ≥ [S(Fnd)]. Deverão ser usados, para a 
Equação 3.10, as seguintes notações e os seguintes valores para as ações e 
coeficientes: 
 Gsk = Gpp,bar (peso próprio da barragem - ação característica estabilizante) 
 Q1k = Erej (empuxo do material de rejeito - ação característica não 
 estabilizante) 
 Fsd = γgs Gsk = γgs Gpp,bar (valor de cálculo da ação estabilizante) 
 Fnd = γq Q1k = γq Erej (valor de cálculo da ação não estabilizante) 
 γgs = 1,0 (combinação normal, ação permanente direta favorável) 
 γq = 1,2 (ver 3.1.2.1.3) 
a. Massas específicas e pesos específicos do concreto e do material de rejeito (valores 
característicos) 
 ρconc = 2 200 kg/m3 ⇒ pconc = 22 000 N/m3 = 22 kN/m3 
 ρrej = 1 300 kg/m3 ⇒ prej = 13 000 N/m3 = 13 kN/m3 
1H 
1,8V 
51 m 
54 m 
0 m 
A 
2006 3-17 ufpr/tc405 
b. Ação permanente estabilizante (peso próprio da barragem) 
 
 m 30
1,8
54B == 
 kN/m 820,0 1722
2
5430p
2
HBGG concbar,ppsk =×
×
=×
×
== 
 kN/m 820,0 17820 171,0GF skgssd =×=γ= 
c. Ação variável não estabilizante (empuxo do material de rejeito) 
 
 kN/m 906,5 1613
2
51p
2
HEQ
2
rejei
2
rejei1k =×=×== 
 kN/m 6,28620905,5 161,2QF 1kqnd =×=γ= 
d. Solicitações de cálculo (momentos referentes ao pé da barragem - ponto A) 
 
 ( ) kNm/m 400,0 356
3
302820,0 17
3
B2
FMFS barsd
A
barpp,d,sd =
×
×=
×
×== 
B 
H = 54 m 
1 
1,8 
A 
Gsk 
H = 51 m 
Q1k 
A 
Bbar = 30 m 
Fsd 
Fnd 
Hrej = 51 m 
A 
2006 3-18 ufpr/tc405 
 ( ) kNm/m 2,872344
3
516,28620
3
H
FMFS rejeind
A
rejeiemp,d,nd =×=×== 
e. Condição de segurança 
 ( ) ( ) segura barragemFSFS
)2,872344(
nd
)0,400356(
sd ⇒> 321321 ◄ 
f. Consideração do material de rejeito como sólido 
 Como o peso próprio da estrutura supera em 75% peso total das ações permanentes 
deve ser considerado para γq o valor 1,5 (Tabela 5 da ABNT NBR 8681). 
 f.1 Ação variável não estabilizante (empuxo do material de rejeito) 
 
 kN/m 906,5 1613
2
51p
2
HEQ
2
rejei
2
rejei1k =×=×== 
 kN/m 358,25 25905,5 161,5QF 1kqnd =×=γ= 
 f.2 Solicitações de cálculo (momentos referentes ao pé da barragem – ponto A) 
 
 ( ) kNm/m 400,0 356
3
302820,0 17
3
B2
FMFS barsd
A
barpp,d,sd =
×
×=
×
×== 
 ( ) kNm/m 090,25431
3
51358,25 25
3
H
FMFS rejeind
A
rejeiemp,d,nd =×=×== 
 f.3 Condição de segurança 
 ( ) ( ) segura não barragemFSFS
)25,090431(
nd
)0,400356(
sd ⇒< 321321 ◄ 
 
3.6.1.2 Combinações últimas especiais ou de construção 
Em cada combinação devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável 
especial, quando existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveis com 
probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de 
combinação, conforme ABNT NBR 8681. 
H = 51 m 
Q1k 
A 
Bbar = 30 m 
Fsd 
Fnd 
Hrej = 51 m 
A 
2006 3-19 ufpr/tc405 
As combinações últimas de ações deverão considerar o esgotamento da capacidade 
resistente de elementos estruturais. A equação para o cálculo de solicitações pode ser 
representada por: 
qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF εεεεε ψγ+ψ+γ+γ+γ= ∑ Equação 3.11 
onde: 
Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última. 
Fgk representa as ações permanentes diretas, para a situação transitória considerada 
(valor característico). 
− peso próprio parcial da estrutura; 
− peso dos elementos construtivos transitórios; 
− empuxos transitórios. 
Fεgk representa as ações permanentes indiretas, para a situação transitória considerada 
(valor característico). 
− retração parcial do concreto; 
− fluência parcial do concreto; e 
− deslocamentos de apoio. 
Fq1k representa a ação variável direta principal (especial, se for o caso), para a situação 
transitória considerada (valor característico). 
Fqjk representa as demais ações variáveis diretas que podem agir concomitantemente com 
a ação principal Fq1k (valor característico): 
− ações variáveis transitórias durante a construção; e 
− demais ações variáveis diretas (vento, água, etc.). 
Fεqk representa as ações variáveis indiretas que podem agir concomitantemente com a 
ação principal Fq1k (valor característico). 
− variações de temperatura. 
γg representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas: 
Grandes pontes (Tabela 3.1): 
− 1,2 para combinação desfavorável; e 
− 1,0 paracombinação favorável. 
Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 
− 1,25 para combinação desfavorável; e 
− 1,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): 
− 1,3 para combinação desfavorável; e 
− 1,0 para combinação favorável. 
γεg representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes indiretas (Tabela 3.1, 
Tabela 3.2 e Tabela 3.3): 
− 1,2 para combinação desfavorável; e 
− 0,0 para combinação favorável. 
γq representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas: 
Grandes pontes (Tabela 3.1): 
− 1,3 para combinação desfavorável; e 
− 0,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 
− 1,3 para combinação desfavorável; e 
− 0,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): 
− 1,2 para combinação desfavorável; e 
− 0,0 para combinação favorável. 
γεq representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis indiretas (Tabela 3.1, 
Tabela 3.2 e Tabela 3.3): 
− 1,0 para combinação desfavorável; e 
− 0,0 para combinação favorável. 
2006 3-20 ufpr/tc405 
ψ0j1 representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas que podem 
agir concomitantemente com a ação principal Fq1k, durante a situação transitória. Este 
fator deverá ser igual aos valores adotados nas combinações normais (Tabela 3.5), 
salvo quando a ação principal Fq1k tiver um tempo de atuação muito pequeno ou 
probabilidade de ocorrência muito baixa, caso em que ψ0j pode ser tomado com o 
correspondente ψ2j (Tabela 3.6): 
− 0,5 ou 0,3 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
− 0,7 ou 0,4 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 
− 0,8 ou 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
− 0,6 ou 0,0 para o vento. 
ψ0ε representa o fator de redução de combinação para ações variáveis indiretas que 
podem agir concomitantemente com a ação principal Fq1k, durante a situação 
transitória. Este fator deverá ser igual aos valores adotados nas combinações normais 
(Tabela 3.5), salvo quando a ação principal Fq1k tiver um tempo de atuação muito 
pequeno ou probabilidade de ocorrência muito baixa, caso em que ψ0ε pode ser 
tomado com o correspondente ψ2ε (Tabela 3.6): 
− 0,6 ou 0,3 para variações uniformes de temperatura. 
Deve ser observado, que a Equação 3.11 não considera a ação variável indireta 
(temperatura) como possível de ser a ação principal dentre as ações variáveis (diretas ou 
indiretas). Caso os efeitos de temperatura (Fεqk) venham a se constituir em fator altamente 
significativo para a determinação dos esforços em estruturas, constituindo-se numa possível ação 
variável principal, a seguinte equação deve também ser verificada: 
qkqqjkj0qgkggkgd FFFFF εεεε γ+ψγ+γ+γ= ∑ Equação 3.12 
3.6.1.3 Combinações últimas excepcionais 
Em cada combinação devem figurar as ações permanentes e a ação variável excepcional, 
quando existir, com seus valores representativos e as demais ações variáveis com probabilidade 
não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme 
ABNT NBR 8681. Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo, incêndio e colapso progressivo. 
As combinações últimas de ações deverão considerar o esgotamento da capacidade 
resistente de elementos estruturais. A equação2 para o cálculo de solicitações pode ser 
representada por: 
∑ψγ++γ= qjkj0qexc1qgkgd FFFF Equação 3.13 
onde: 
Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última. 
Fgk representa as ações permanentes diretas, para a situação transitória considerada 
(valor característico). 
− peso próprio parcial da estrutura; 
− peso dos elementos construtivos transitórios; e 
− empuxos transitórios. 
Fq1exc representa a ação variável transitória excepcional (valor característico). 
Fqjk representa as ações variáveis diretas que podem agir concomitantemente com a ação 
excepcional Fq1exc (valor característico). 
− ações variáveis transitórias; e 
− demais ações variáveis diretas (vento, água, etc.). 
γg representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes diretas: 
Grandes pontes (Tabela 3.1): 
− 1,1 para combinação desfavorável; e 
− 1,0 para combinação favorável. 
 
1 A ABNT NBR 8681 define este fator como ψ0,ef. Como a ABNT NBR 6118 não faz distinção de valores ψ0, a 
Equação 3.7 (combinação última normal) e a Equação 3.11 (combinação última especial ou de construção) são 
iguais na apresentação, embora com significados diferentes na aplicação. 
2 A equação apresentada pela ABNT NBR 6118 contém os termos Fεgk e Fεqk, o que não faz sentido pois os 
coeficientes γεg e γεq são nulos (Tabela 3.1, Tabela 3.2 e Tabela 3.3). 
2006 3-21 ufpr/tc405 
Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 
− 1,15 para combinação desfavorável; e 
− 1,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): 
− 1,2 para combinação desfavorável; e 
− 1,0 para combinação favorável. 
γq representa o coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas 
Grandes pontes (Tabela 3.1): 
− 1,0 para combinação desfavorável; e 
− 0,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 1 e pontes em geral (Tabela 3.2): 
− 1,0 para combinação desfavorável; e 
− 0,0 para combinação favorável. 
Edificações tipo 2 (Tabela 3.3): 
− 1,0 para combinação desfavorável; e 
− 0,0 para combinação favorável. 
ψ0j representa o fator de redução de combinação para ações variáveis diretas que podem 
agir concomitantemente com a ação excepcional Fq1exc, durante a situação transitória. 
Este fator deverá ser igual aos valores adotados nas combinações normais 
(Tabela 3.5), salvo quando a ação excepcional Fq1exc tiver um tempo de atuação muito 
pequeno ou probabilidade de ocorrência muito baixa, caso em que ψ0j pode ser 
tomado com o correspondente ψ2j (Tabela 3.6). 
− 0,5 ou 0,3 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
− 0,7 ou 0,4 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 
− 0,8 ou 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
− 0,6 ou 0,0 para o vento. 
3.6.2 Combinações de serviço 
As combinações de serviço são classificadas de acordo com sua permanência na estrutura 
e devem ser verificadas como estabelecido a seguir: 
− quase permanentes; 
− freqüentes; e 
− raras. 
3.6.2.1 Combinações quase permanentes de serviço 
São combinações que podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e 
sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas. 
Nas combinações quase permanentes de serviço, todas as ações variáveis são 
consideradas com seus valores quase permanentes ψ2 Fqk. 
A equação para o cálculo de solicitações pode ser representada por: 
∑ψ+= qjkj2gkser,d FFF Equação 3.14 
onde: 
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. 
Fgk representa as ações permanentes diretas (valor característico): 
− peso próprio da estrutura; 
− peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e 
− empuxos permanentes. 
Fqjk representa as ações variáveis diretas (valor característico): 
− cargas acidentais; 
− ação do vento; e 
− ação da água. 
ψ2j representa o fator de redução de combinação quase permanente para as ações 
variáveis diretas (Tabela 3.6): 
− 0,3 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
− 0,4 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 
2006 3-22 ufpr/tc405 
− 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
− 0,0 para o vento. 
3.6.2.2 Combinações freqüentes de serviço 
São combinações que se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e 
sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de fissuras, 
de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser consideradas para 
verificações de estados limites dedeformações excessivas decorrentes de vento ou temperatura 
que podem comprometer as vedações. 
Nas combinações freqüentes de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada com seu 
valor freqüente ψ1 Fq1k e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores 
quase permanentes ψ2 Fqk. 
A equação para o cálculo de solicitações pode ser representada por: 
∑ψ+ψ+= qjkj2k1q1gkser,d FFFF Equação 3.15 
onde: 
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. 
Fgk representa as ações permanentes diretas (valor característico): 
− peso próprio da estrutura; 
− peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e 
− empuxos permanentes. 
Fq1k representa a ação variável direta considerada como principal (valor característico). 
Fqjk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal (valor 
característico): 
− cargas acidentais; 
− ação do vento; e 
− ação da água. 
ψ1 representa o fator de redução de combinação freqüente para a ação variável direta 
principal Tabela 3.6): 
− 0,4 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
− 0,6 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 
− 0,7 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
− 0,3 para o vento. 
ψ2j representa o fator de redução de combinação quase permanente para as ações 
variáveis diretas (Tabela 3.6): 
− 0,3 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
− 0,4 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 
− 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
− 0,0 para o vento. 
3.6.2.3 Combinações raras de serviço 
São combinações que ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua 
consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras. 
Nas combinações raras de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor 
característico Fq1k e todas as demais ações são tomadas com seus valores freqüentes ψ1 Fqk. 
A equação para o cálculo de solicitações pode ser representada por: 
∑ψ++= qjkj1k1qgkser,d FFFF Equação 3.16 
onde: 
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. 
Fgk representa as ações permanentes diretas (valor característico): 
− peso próprio da estrutura; 
− peso dos elementos construtivos fixos das instalações permanentes; e 
− empuxos permanentes. 
Fq1k representa a ação variável direta considerada como principal (valor característico). 
2006 3-23 ufpr/tc405 
Fqjk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal (valor 
característico): 
− cargas acidentais; 
− ação do vento; e 
− ação da água. 
ψ1 representa o fator de redução de combinação freqüente para a ação variável direta 
principal Tabela 3.6): 
− 0,4 para cargas acidentais de edifícios residenciais; 
− 0,6 para cargas acidentais de edifícios comerciais ou de escritórios; 
− 0,7 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; e 
− 0,3 para o vento. 
Exemplo 3.3: Definir as equações cálculo das ações para as combinações de serviço (Fd,ser) de 
estruturas de edifícios residenciais onde os carregamentos são resultantes de 
combinações que só levam em consideração as ações permanentes diretas 
(peso próprio da estrutura, paredes, caixa d'água, etc.) e ações variáveis diretas 
(cargas acidentais e vento). 
Solução: Deverá ser usada a Equação 3.14 para a combinação quase permanente, a 
Equação 3.15 para a combinação freqüente e a Equação 3.16 para a 
combinação rara. Os valores de ψ1 e ψ2 são os constantes da Tabela 3.6. 
 Fgk: Gk (valor característico da ação permanente direta) 
 Fqk,acid: Qk (valor característico da ação variável direta – carga acidental) 
 Fqk,vento: Wk (valor característico da ação variável direta – vento) 
 ψ1: 0,4 (carga acidental de edifício residencial - desfavorável) 
 0,0 (carga acidental de edifício residencial - favorável) 
 ψ2: 0,3 (carga acidental de edifício residencial - desfavorável) 
 0,0 (carga acidental de edifício residencial - favorável) 
 ψ1: 0,3 (vento - desfavorável) 
 0,0 (vento - favorável) 
 ψ2: 0,0 (vento - desfavorável) 
 0,0 (vento - favorável) 
a. Combinação quase permanente 
 ∑ψ+= qjkj2gkser,d FFF 
 Fd,ser = Gk + 0,3 Qk + 0,0 Wk → Fd,ser = Gk + 0,3 Qk ◄ 
b. Combinação freqüente 
 ∑ψ+ψ+= qjkj2k1q1gkser,d FFFF 
 Fd,ser = Gk + 0,4 Qk + 0,0 Wk → Fd,ser = Gk + 0,4 Qk ◄ 
 Fd,ser = Gk + 0,3 Wk + 0,3 Qk → Fd,ser = Gk + 0,3 Wk + 0,3 Qk ◄ 
c. Combinação rara 
 ∑ψ++= qjkj1k1qgkser,d FFFF 
 Fd,ser = Gk + Qk + 0,3 Wk → Fd,ser = Gk + Qk + 0,3 Wk ◄ 
 Fd,ser = Gk + Wk + 0,4 Qk → Fd,ser = Gk + Wk + 0,4 Qk ◄ 
 Todas as equações que envolvem o vento (Wk) equivalem a quatro, ou seja o vento 
tem que ser considerado atuando nas duas direções principais da estrutura (da esquerda 
para direita, da direita para a esquerda, de baixo para cima e de cima para baixo). Isto vale 
dizer que haveria 5 combinações possíveis de ações (carregamentos) para a combinação 
freqüente e 8 combinações possíveis para a combinação rara. 
 
2006 3-24 ufpr/tc405 
3.7 Solicitações e tensões de cálculo 
As solicitações (esforços), decorrentes das ações atuantes em elementos estruturais, 
classificam-se em: 
− Solicitações normais, caracterizadas pelos momentos fletores (M) e forças normais 
de (N), e 
− Solicitações de cisalhamento, caracterizadas pelos momentos torçores (T) e forças 
cortantes (V). 
As tensões, também decorrentes das ações, classificam-se em: 
− Tensões normais (σ), relacionadas aos momentos fletores (M) e forças normais (N), e 
− Tensões de cisalhamento (τ), relacionadas aos momentos torçores (T) e forças 
cortantes (V). 
Como as ações a serem consideradas no projeto estrutural correspondem às ações de 
cálculo (ações combinadas), as solicitações e as tensões deverão, também, ser representadas 
pelos seus valores de cálculo. Desta, forma, para efeito de dimensionamento e verificação de 
elementos estruturais os valores das solicitações e tensões a serem considerados são: 
− Solicitações e tensões normais: 
MSd momento fletor solicitante de cálculo; 
NSd força normal solicitante de cálculo; e 
σSd tensão normal solicitante de cálculo. 
− Solicitações e tensões de cisalhamento: 
TSd momento torçor solicitante de cálculo; 
VSd força cortante solicitante de cálculo; e 
τSd tensão de cisalhamento solicitante de cálculo. 
Exemplo 3.4: Determinar, para a viga abaixo indicada, a envoltória do diagrama de momentos 
fletores solicitantes de cálculo (MSd), considerando ações diretas, estado limite 
último, combinações últimas normais, edificação tipo 2 e peso próprio 
desprezível. Admitir: 
 a. estrutura qualquer, onde as combinações das ações que consideram o 
efeito favorável das cargas permanentes (γg = 1,0) precisam ser 
consideradas; e 
 b. estrutura usual de edifício onde as combinações das ações que 
consideram o efeito favorável das cargas permanentes (γg = 1,0) não 
precisam ser consideradas (ver 3.6.1.1.1). 
 
Solução: Deverão ser usados, para a Equação 3.7, os seguintes valores para as ações e 
coeficientes (Tabela 3.3 – edificação tipo 2): 
 qk0qqjkj0k1qqgkggkgd F)FF(FFF εεεεε ψγ+ψ+γ+γ+γ= ∑ 
 Fgk = Gk = 10 kN (valor característico da ação permanente direta) 
 Fq1k = Qk = 5 kN (valor característico da ação variável direta principal) 
 γg = 1,4 (combinação normal, ação permanente direta desfavorável) 
 γg = 1,0 (combinação normal, ação permanente direta favorável) 
 γq = 1,4 (combinação normal, ação variável direta desfavorável geral) 
 γq = 0,0 (combinação normal, ação variável direta favorável geral) 
 Para o caso a, deverão ser consideradas as seguintes combinações: 
 Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk (permanente desfavorável + ação variável favorável) 
 Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk (permanente desfavorável + variável desfavorável geral) 
 Fd = 1,0 Gk + 0,0 Qk (permanente favorável + ação variável favorável)C A 
B D 
2 m 4 m 4 m 
Gk = 10 kN 
(permanente) Qk = 5 kN 
(variável) 
2006 3-25 ufpr/tc405 
 Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk (permanente favorável + variável desfavorável geral) 
 Para o caso b, deverão ser consideradas as seguintes combinações: 
 Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk (permanente desfavorável + ação variável favorável) 
 Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk (permanente desfavorável + variável desfavorável geral) 
a. Consideração do efeito favorável da ação permanente 
 a.1 Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk 
 
 a.2 Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk 
 
 a.3 Fd = 1,0 Gk + 0,0 Qk 
 
 a.4 Fd = 1,0 Gk + 1,4 Qk 
 
 a.5 envoltória MSd 
 
C A 
B D 
2 m 4 m 4 m 
1,0 x 10 = 10 kN 
1,4 x 5 = 7 kN 
MSd,A = -00 kNm 
MSd,B = +04 kNm 
MSd,C = -20 kNm 
MSd,D = -00 kNm 
-14 kNm 
-28 kNm 
+4 kNm 
MSd,A = -00 kNm 
MSd,B = -00 kNm 
MSd,C = -28 kNm 
MSd,D = -00 kNm 
C A 
B D 
2 m 4 m 4 m 
1,4 x 10 = 14 kN 
1,4 x 5 = 7 kN 
MSd,A = -00 kNm 
MSd,B = -14 kNm 
MSd,C = -28 kNm 
MSd,D = -00 kNm 
C A 
B D 
2 m 4 m 4 m 
1,4 x 10 = 14 kN 
0,0 x 5 = 0 kN 
C A 
B D 
2 m 4 m 4 m 
1,0 x 10 = 10 kN 
0,0 x 5 = 0 kN 
MSd,A = -00 kNm 
MSd,B = -10 kNm 
MSd,C = -20 kNm 
MSd,D = -00 kNm 
2006 3-26 ufpr/tc405 
b. Não consideração do efeito favorável da ação permanente 
 b.1 Fd = 1,4 Gk + 0,0 Qk 
 
 b.2 Fd = 1,4 Gk + 1,4 Qk 
 
 b.3 envoltória MSd 
 
c. Observações 
 Deve ser observado que a consideração ou não do efeito favorável da carga 
permanente define a existência ou não de momentos positivos atuando na viga. A 
envoltória MSd mostrada no item a.5 mostra um momento positivo máximo de 4 kNm, 
enquanto que a envoltória MSd mostrada no item b.3 não apresenta momentos positivos. 
 Em princípio, deve-se acreditar que o efeito favorável da carga permanente deva ser 
sempre considerado nas combinações de ações, e que a envoltória apresentada no 
item a.5 é a única correta. 
 Na realidade a opção mostrada em 3.6.1.1.1, onde a ABNT NBR 6118 estabelece: 
 "No caso de estruturas usuais de edifícios essas combinações que consideram 
γg reduzido (1,0) não precisam ser consideradas" 
 não pode ser usada isoladamente. A ABNT NBR 6118 estabelece, também: 
 "14.6.7 Estruturas usuais de edifícios - Aproximações permitidas 
 14.6.7.1 Vigas contínuas 
 Pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada 
nos pilares, para o estudo das cargas verticais, observando-se a necessidade das 
seguintes correções adicionais: 
 a) não devem ser considerados momentos positivos menores que os que se 
obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos; 
 b) ............." 
 Portanto, ao diagrama (envoltória) apresentado no item b.3, deve-se acrescentar o 
diagrama de momentos fletores para o seguinte carregamento: 
C A 
B D 
2 m 4 m 4 m 
1,4 x 10 = 14 kN 
1,4 x 5 = 7 kN 
MSd,A = -00 kNm 
MSd,B = -00 kNm 
MSd,C = -28 kNm 
MSd,D = -00 kNm 
-14 kNm 
-28 kNm 
C A 
B D 
2 m 4 m 4 m 
1,4 x 10 = 14 kN 
0,0 x 5 = 0 kN 
MSd,A = -00 kNm 
MSd,B = -14 kNm 
MSd,C = -28 kNm 
MSd,D = -00 kNm 
2006 3-27 ufpr/tc405 
 
 Desta forma, embora o efeito favorável da ação permanente não tenha sido 
considerado nas combinações últimas, a envoltória MSd apresenta momentos positivos, 
como mostrado no diagrama seguinte. 
 
 
3.8 Resistências 
3.8.1 Valores característicos 
Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de material, têm uma 
determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável para a segurança. 
Usualmente é de interesse a resistência característica inferior fk,inf., cujo valor é menor que a 
resistência média fm, embora por vezes haja interesse na resistência característica superior fk,sup, 
cujo valor é maior que fm. 
Para os efeitos desta Norma, a resistência característica inferior é admitida como sendo o 
valor que tem apenas 5% de 
probabilidade de não ser atingido 
pelos elementos de um dado lote 
de material (Figura 3.2). 
 
Figura 3.2- Valor característico de resistência 
3.8.1.1 Resistência característica do concreto 
O concreto, quer preparado no canteiro quer pré-misturado, deverá apresentar uma 
resistência característica fck, compatível com a adotada no projeto. Conforme mostrado na 
Tabela [1.1], ao se definir a classe do concreto, fica estabelecido o valor da sua resistência 
característica (por exemplo, para o concreto classe C25, o valor de fck corresponde a 25 MPa). 
-28 kNm 
-14 kNm 
+8,75 kNm 
de
ns
id
ad
e 
de
 
pr
ob
ab
ilid
ad
e 
resistências fm fk,inf 
5% 
distribuição 
normal 
B 
C 
A 
4 m 4 m 
1,4 x 5 = 7 kN 
MSd,A = -0,00 kNm 
MSd,B = +8,75 kNm 
MSd,C = -10,5 kNm 
2006 3-28 ufpr/tc405 
A especificação pura e simples da classe não é suficiente para a caracterização do 
concreto. A ABNT NBR 6118 exige, também, que seja fixado um valor máximo para a relação 
água/cimento, conforme mostrado na Tabela [2.2]. 
Outras características do concreto, tais como diâmetro máximo da brita, “slump”, etc. 
também podem ser requeridas. Em casos específicos, o consumo mínimo de cimento por metro 
cúbico de concreto pode vir a ser solicitado. 
Outro fator importante que deve ser estabelecido pelo profissional responsável pelo projeto 
é a data em que o concreto deverá ser solicitado estruturalmente. Etapas construtivas, tais como, 
retirada de cimbramento, manuseio de pré-moldados, etc., definem valores da resistência 
característica do tipo fck,14, fck,90, fck,180, onde o número posterior à vírgula corresponde à data em 
que o concreto deverá ser solicitado estruturalmente. A não indicação da data significa que o 
concreto foi dosado para atingir sua resistência característica aos 28 dias (fck = fck,28). 
3.8.1.2 Resistência característica do aço 
Conforme mostrado na Tabela [1.3], ao se definir a categoria do aço, fica estabelecido o 
valor da sua resistência característica (por exemplo, para o aço CA-25, o valor de fyk corresponde 
a 250 MPa). 
3.8.2 Valores de cálculo 
3.8.2.1 Resistência de cálculo 
A resistência de cálculo fd é dada pela expressão: 
m
k
d
ff
γ
= Equação 3.17 
onde: 
fd resistência de cálculo; 
fk resistência característica; e 
γm coeficiente de ponderação (minoração) da resistência. 
O coeficiente γm é obtido pela multiplicação de três fatores, de tal forma que: 
3m2m1mm γ×γ×γ=γ Equação 3.18 
onde: 
γm1 leva em conta a variabilidade da resistência efetiva, transformando a resistência 
característica num valor extremo de menor probabilidade de ocorrência; 
γm2 considera as diferenças entre a resistência efetiva do material da estrutura e a 
resistência medida convencionalmente em corpos-de-prova padronizados; e 
γm3 considera as incertezas existentes na determinação das solicitações resistentes, seja 
em decorrência de métodos construtivos seja em virtude do método de cálculo 
empregado. 
3.8.2.2 Resistência de cálculo do concreto 
Quando os valores de projeto são referidos à resistência do concreto aos 28 dias, a 
resistência de cálculo fica definida pela expressão: 
f fcd ck
c
=
γ
 Equação 3.19 
O valor de γc varia acordo com os estados limites e com as combinações de ações. Seus 
valores estão mostrados na Tabela 3.7. 
Combinações γc 
Normais 1,40 
Especiais ou de construção 1,20 
Estado Limite Ultimo 
Excepcionais 1,20 
Estado Limite de Serviço 1,00 
Tabela 3.7 - Valores de γc 
2006 3-29 ufpr/tc405 
Para a execução de elementos estruturais nos quais estejam previstas condições 
desfavoráveis (por exemplo, más condições de transporte, ou adensamento manual, ou 
concretagem deficiente por concentração de armadura), o coeficiente γc deve ser multiplicado por 
1,1. 
Para elementos estruturais pré-moldados e pré-fabricados deve ser consultadaa 
ABNT NBR 9062. 
Admite-se, no caso de testemunhos extraídos da estrutura, dividir o valor de γc por 1,1 
No caso em que o concreto venha a ser solicitado antes dos 28 dias, a resistência de 
cálculo fica definida pela expressão: 
c
ck
1
c
ckj
cd
fff
γ
β≅
γ
= Equação 3.20 
Na Equação 3.20, fckj representa a resistência característica do concreto aos j dias. Os 
valores de β1 dependem do tipo de cimento e podem ser estabelecidos pelas expressões: 
ARI-CPV decimento concreto parae
f
f
CPII e CPI cimento de concreto parae
f
f
CPIV e CPIII cimento de concreto parae
f
f
t
2810,20
ck
ckj
1
t
2810,25
ck
ckj
1
t
2810,38
ck
ckj
1
















−
















−
















−
==β
==β
==β
 Equação 3.21 
Na Equação 3.21, t corresponde a idade efetiva do concreto, em dias. Alguns valores de β1 
estão mostrados na Tabela 3.8. 
β1 
Dias CPIII e CPIV CPI e CPII CPV - ARI 
3 0,46 0,60 0,66 
7 0,68 0,78 0,82 
14 0,85 0,90 0,92 
21 0,94 0,96 0,97 
28 1,00 1,00 1,00 
Tabela 3.8 - Valores de β1 
Exemplo 3.5: Definir o valor de fcd para o concreto classe C25. Considerar combinação de 
ações normais para estado limite último, cimento CPIV e concreto solicitado aos 
10 e 28 dias. Considerar, também, estado limite de serviço. 
Solução: A fixação da classe do concreto automaticamente define o valor da resistência 
característica fck, conforme mostrado na Tabela [1.1]. A obtenção do valor da 
resistência de cálculo fcd aos 28 dias é feita pela Equação 3.19, com valores de γc 
obtidos da Tabela 3.7. Para a determinação do valor da resistência de cálculo fcd 
aos 10 dias deverão ser usadas a Equação 3.20 e a Equação 3.21. 
a. Valor de fcd aos 28 dias para o concreto classe C25 - ELU 
 2ck kN/cm 2,5MPa 25f == 
 1,4=γ c 
 2
c
ck
cd kN/cm 1,791,4
2,5ff ==
γ
= ◄ 
b. Valor de fcd aos 28 dias para o concreto classe C25 - ELS 
 2ck kN/cm 2,5MPa 25f == 
2006 3-30 ufpr/tc405 
 1,0=γ c 
 2
c
ck
cd kN/cm 2,501,0
2,5ff ==
γ
= ◄ 
c. Valor de fcd aos 10 dias para o concreto classe C25, cimento CPIV - ELU 
 2ck kN/cm 2,5MPa 25f == 
 1,4=γ c 
 dias 10t = 
 cimento = CPIV 
 0,774ee 10
2810,38
t
2810,38
1 ===β
















−
















−
 
 2
c
ck
1cd,10 kN/cm 1,381,4
2,5774,0
f
f =×=
γ
β= ◄ 
d. Valor de fcd aos 10 dias para o concreto classe C25, cimento CPIV - ELS 
 2ck kN/cm 2,5MPa 25f == 
 1,0=γ c 
 dias 10t = 
 cimento = CPIV 
 0,774ee 10
2810,38
t
2810,38
1 ===β
















−
















−
 
 2
c
ck
1cd,10 kN/cm 1,941,0
2,5774,0
f
f =×=
γ
β= ◄ 
 
3.8.2.3 Resistência de cálculo do aço 
O valor da resistência de cálculo fyd é definido pela expressão: 
s
yk
yd
f
f
γ
= Equação 3.22 
O valor de γs varia acordo com os estados limites e com as combinações de ações. Seus 
valores estão mostrados na Tabela 3.9. 
Combinações γs 
Normais 1,15 
Especiais ou de construção 1,15 
Estado Limite Ultimo 
Excepcionais 1,00 
Estado Limite de Serviço 1,00 
Tabela 3.9 - Valores de γs 
Exemplo 3.6: Definir o valor de fyd para o aço CA-50. Considerar ações normais para o estado 
limite último, e estado limite de serviço. 
Solução: A fixação da categoria do aço automaticamente define o valor da resistência 
característica fyk, conforme mostrado na Tabela [1.3]. A obtenção do valor da 
resistência de cálculo fyd é feita pela Equação 3.22, com valores de γs obtidos da 
Tabela 3.9. 
a. Valor de fyk para o aço CA-50 - ELU 
 2yk kN/cm 50MPa 500f == 
 1,15=γ s 
 2
s
yk
yd kN/cm 43,51,15
50ff ==
γ
= ◄ 
2006 3-31 ufpr/tc405 
b. Valor de fyk para o aço CA-50 - ELS 
 2yk kN/cm 50MPa 500f == 
 1,0=γ s 
 2
s
yk
yd kN/cm 50,01,0
50ff ==
γ
= ◄ 
 
3.9 Esforços resistentes de cálculo 
Os esforços resistentes de cálculo decorrem da distribuição de tensões (resistentes) 
atuantes numa dada seção do elemento estrutural. Desta forma, assim como para as solicitações 
e tensões de cálculo, os esforços e as tensões resistências de cálculo a serem consideradas são: 
− Esforços e tensões normais: 
MRd momento fletor resistente de cálculo; 
NRd força normal resistente de cálculo; e 
σRd tensão normal resistente de cálculo. 
− Esforços e tensões de cisalhamento: 
TRd momento torçor resistente de cálculo; 
VRd força cortante resistente de cálculo; e 
τRd tensão de cisalhamento resistente de cálculo. 
3.10 Verificação da segurança 
Na verificação da segurança das estruturas de concreto devem ser atendidas: 
− as condições construtivas; e 
− as condições analíticas de segurança. 
3.10.1 Condições construtivas de segurança 
Para as condições construtivas de segurança devem ser atendidas as exigências 
estabelecidas: 
− nos critérios de detalhamento constantes das seções 18 e 20 da ABNT NBR 6118; 
− nas normas de controle dos materiais, especialmente a ABNT NBR 12655; e 
− no controle de execução da obra, conforme ABNT NBR 14931 e Normas Brasileiras 
específicas. 
3.10.2 Condições analíticas de segurança 
As condições analíticas de segurança devem ser verificadas para o: 
− estado limite último; e 
− estado limite de utilização. 
3.10.2.1 Estado limite último 
As condições analíticas de segurança estabelecem que as resistências não devem ser 
menores que as solicitações e devem ser verificadas em relação a todos os estados limites e 
todos os carregamentos especificados para o tipo de construção considerada, ou seja, em 
qualquer caso deve ser respeitada a condição: 
dd SR ≥ Equação 3.23 
onde: 
Rd representa os esforços resistentes de cálculo; e 
Sd representa as solicitações de cálculo. 
Os valores de cálculo dos esforços resistentes são determinados a partir dos valores de 
cálculo das resistências dos materiais adotados no projeto, ou das tensões resistentes de cálculo, 
como definido em 3.8.2.1. 
As solicitações de cálculo são calculadas, para a combinação de ações considerada, de 
acordo com a análise estrutural. 
2006 3-32 ufpr/tc405 
Para a verificação do estado limite último de perda de equilíbrio como corpo rígido, Rd e Sd 
devem assumir os valores de cálculo das ações estabilizantes e desestabilizantes 
respectivamente. 
Uma condição analítica de segurança pode ser representada no trecho ∆l de uma viga de 
concreto armado, mostrada na Figura 3.3. 
 
Figura 3.3 - Solicitações e resistências em viga de concreto armado 
Na Figura 3.3, as dimensões, áreas, deformações, tensões, esforços e solicitações 
correspondem a: 
MSd solicitação de cálculo obtida da envoltória MSd (ações características - permanentes, 
variáveis, dinâmicas ou excepcionais - ponderadas pelos coeficientes γf e combinadas 
entres si definem a envoltória MSd, como mostrado no Exemplo 3.4); 
MRd esforço resistente de cálculo, binário dado pelo produto Rcd z ou Rsd z; 
εc encurtamento (deformação) do concreto provocado pelo momento fletor solicitante de 
cálculo MSd; 
εs alongamento (deformação) da armadura provocado pelo momento fletor solicitante de 
cálculo MSd; 
σc tensão de compressão atuante na região de concreto comprimido decorrente do 
encurtamento (deformação) εc; 
x posição da linha neutra (distância compreendida entre a fibra de concreto mais 
comprimida e a linha neutra); 
z braço de alavanca (distância entre os esforços resistentes de cálculo Rcd e Rsd); 
d altura útil da viga (distância compreendida entre a fibra de concreto mais comprimida e 
o centro de gravidade da seção geométrica