Aula 06 (Cálculo II Semestre 2015.1)

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Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 
1 
AULA 06 – Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1) 
Definição 1. A integral de Riemann é por definição dada por 
   
i
b n
*
i i
máx x 0
i 1a
f x dx lim f x x
 

 
 (1) 
onde o limite independe da particular escolha dos números 
*
ix
. 
 
 Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo - 1ª parte). Se 
f
 for contínua no intervalo 
 a,b
 e 
F
 é uma primitiva de 
f
 em 
 a,b
, então, 
     
b
a
f x dx F b F a 
 (2) 
 
Prova. Considere a partição 
0 1 2 n 1 nP: a x x x ... x x b      
, que divide o intervalo 
 a,b
 em 
n
 subintervalos 
i 1 ix , x  
, cujo comprimento (ou a amplitude) é dado por 
i i i 1x x x   
, 
i 1,2,3, ...,n
. 
Por hipótese 
F f
 para todo 
x
 em 
 a,b
, logo 
F
 é diferenciável e contínua neste 
intervalo. Então, Para cada intervalo 
i 1 ix , x  
, tem-se que 
F
 é contínua em 
i 1 ix , x  
 e 
diferenciável em 
 i 1 ix , x
, ou seja, a função 
F
 satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor 
Médio. 
Teorema do Valor Médio. Se uma função 
f
 for contínua em 
 a,b
 e 
diferenciável em 
 a,b
, então existe 
 c a,b
 tal que: 
 
   f b f a
f c
b a

 

. 
 
 
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Então, pode-se concluir que existe 
 *i i 1 ic x , x
 tal que 
 
       i i 1 i i 1
i
i i 1 i
F x F x F x F x
F c
x x x
 

 
  
 
 (3a) 
ou 
       * *i i 1 i i i iF x F x F c x f c x     
 (3b) 
Então, para cada subintervalo, pode-se escrever 
     *1 1 1 1a, x : F x F a f c x     
 
     *1 2 2 1 2 2x , x : F x F x f c x     
 
     *2 3 3 2 3 3x , x : F x F x f c x     
 
 
     *n 2 n 1 n 1 n 2 n 1 n 1x , x : F x F x f c x          
 
     *n 1 n 1 n nx ,b : F b F x f c x      
 
Somando as equações precedentes, obtém-se como resultado 
     
n
*
i i
i 1
F b F a f c x

  
 (4) 
Fazendo 
n 
 implica que 
imáx x 0 
. Como a função é contínua então o 
lado direito da equação (4) tende a 
 
b
a
f x dx
, enquanto o lado esquerdo dessa equação é 
constante independente de 
n
 e igual a 
   F b F a
. Assim, pode-se escrever 
 
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       
i
bn
*
i i
máx x 0
i 1 a
F b F a lim f c x f x dx
 

    
 (5a) 
ou, em notação alternativa, 
       
b
b
a
a
f x dx F x F b F a  
 (5b) 
 
Exemplo 1. Calcule 1
2
0
x dx
. 
 
Solução. A função 
  3
1
F x x
3

 é uma primitiva de 
  2f x x
 em 
 0,1
, então, 
   
1 1
3 32 3
0
0
1 1 1 1
x dx x 1 0
3 3 3 3

   

 
 
Exemplo 2. Calcule a integral 
0
cos x dx


. 
 
Solução. A função 
 F x senx
 é uma primitiva de 
 f x cos x
 em 
 0,
, então, 
     
0
0
cos x dx senx sen sen 0 0


    
 
 
Em geral, quando for aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, não há a 
necessidade de incluir uma constante de integração, pois, de qualquer forma, ela desaparecerá. 
É possível observar o seguinte fato 
 
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           
b
b
a
a
f x dx F x C F b C F a C F b F a               
 (6) 
Assim, as integrais definidas e indefinidas se relacionam da seguinte forma, 
   
b
b
a
a
f x dx f x dx 
   
 (7) 
 
Exemplo 3. Calcule 0
1
x x 1dx


. 
 
Solução. Inicialmente resolve-se a integral indefinida 
x x 1dx
 
Fazendo 
u x 1 
, tem-se que 
du dx
 e 
x u 1 
, então, 
   3 2 1 2 5 2 3 22 2x x 1dx u 1 u du u u du u u C
5 3
         
 
Como 
u x 1 
, pode-se concluir que 
   
5 2 3 22 2
x x 1dx x 1 x 1 C
5 3
     
 
Assim, 
   
0 00
5 2 3 2
1 1
1
2 2 2 2 4
x x 1dx x x 1dx x 1 x 1
5 3 5 3 15 

                 
 
Pode-se resolver diretamente pelo método da mudança de variável, sem a 
necessidade de resolver primeiro a integral indefinida. 
0
1
x x 1dx


 
 
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Sendo assim, faz-se 
u x 1 
, o que implica em 
du dx
 e 
1x u 
. Então, se 
x 1
 implica 
u 0
 e 
x 0
 implica 
u 1
. Logo, a integral com a mudança de variável se 
torna 
 
0 1 1
3 2 1 2 5 2 3 2
0
1 0
2 2 2 2 4
x x 1dx u u du u u
5 3 5 3 15

 
        
  
 
 
A exigência da continuidade de 
f
 em 
 a,b
 no enunciado do Teorema 
Fundamental do Cálculo é muito importante, pois se for aplicado este teorema a integrandos 
descontínuos no intervalo de integração pode-se obter resultados errôneos. Veja o exemplo 
abaixo. 
 
Exemplo 4. Seja a integral 1
2
1
1
dx
x


. 
 
Solução. Usando diretamente o teorema no intervalo 
 1,1
, 
1 1
2
1
1
1 1
dx 1 1 2
xx 


   

 
Como a função 
 
2
1
f x
x

 é positiva em 
 1,1
, então o valor dessa integral não 
poderia ser negativo, o que implica em resultado errado. Isto se deve pelo que fato, que esta 
função apresenta uma descontinuidade infinita em 
x 0
. 
 
Exemplo 5. Mostre que se 
f
 for uma função ímpar e contínua em 
 p,p
, então 
 
p
p
f x dx 0


 
 
 
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Solução. Faz-se a mudança de variável 
u x
, então 
du dx
. Então, se 
x p
 implica que 
u p
 e se 
x p
 implica que 
u p
. Assim, 
        
p p p p
p p p p
f x dx f x dx f u du f u du

  
        
 
Do fato de que 
f
 é ímpar, então, tem-se 
   f u f u 
, o que resulta em 
   
p p
p p
f x dx f u du
 
 
 
Como 
   
p p
p p
f x dx f u du
 
 
, então 
   
p p
p p
f x dx f x dx
 
 
 
ou 
 
p
p
2 f x dx 0


 
o que implica em 
 
p
p
f x dx 0


 
 
Teorema 2 (Teorema do Valor Médio para Integrais). Se 
f
 for contínua em um intervalo 
fechado 
 a,b
, então há pelo menos um 
x
 em 
 a,b
 tal que 
    
b
a
f x dx f x b a 
 (8) 
 
 
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Prova. Por hipótese 
f
 é contínua em 
 a,b
, então pelo Teorema do Valor Extremo, tem-se 
 m f x M 
 (9) 
onde 
m
 e 
M
 são os valores mínimo e máximo, respectivamente, que a função assume no 
intervalo. 
Teorema do Valor Extremo. Se uma função 
f
 for contínua em um 
intervalo fechado finito 
 a,b
, então 
f
 tem ambos um máximo e um 
mínimo absolutos em 
 a,b
. 
Em seguida, integrando a desigualdade dada pela equação (9) no intervalo 
 a,b
, 
é possível escrever 
 
b b b
a a a
mdx f x dx M dx   
 (10a) 
obtendo 
     
b
a
m b a f x dx M b a   
 (10b) 
ou ainda 
 
b
a
1
m f x dx M
b a
 
 
 (10c) 
Teorema do Valor Intermediário. Se uma função 
f
 for contínua em um 
intervalo fechado 
 a,b
 ek
 é um número qualquer entre 
 f a
 e 
 f b
, 
inclusive, então há no mínimo um número 
 c a,b
 tal que 
 f c k
. 
 
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Logo, como o número 
 
b
a
1
f x dx
b a 
 está compreendido entre 
m
 e 
M
, e 
 f x
 
assume todos os valores compreendidos entre 
m
 e 
M
 em 
 a,b
, então pelo Teorema do 
Valor Intermediário existe 
 x a,b
, tal que 
   
b
a
1
f x f x dx
b a
 
 
 (11a) 
ou finalizando a prova 
    
b
a
f x dx f x b a 
 (11b)