Aula 15 (Cálculo II Semestre 2015.1)

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Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 
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AULA 15 – Substituições Racionalizantes 
 
Alguns integrandos são formados por funções não racionais que podem ser 
transformados em funções racionais por uma substituição apropriada. Tais substituições são 
conhecidas por substituições racionalizantes. 
 
Exemplo 1. Calcule 
dx
1 x
. 
 
Solução. Para racionalizar o integrando, pode-se fazer a substituição 
2u x
, o que implica em 
2u du dx
 e 
u x
. Assim, 
dx 2u 2
du 2 du 2u 2ln 1 u C
1 u 1 u1 x
 
       
     
 
Como 
u x
, então, tem-se 
dx
2 x 2ln 1 x C
1 x
   

 
 
Exemplo 2. Encontre 
3
dx
x x
. 
 
Solução. O integrando contém duas raízes distintas 3 x e x . Fazendo 6u x , então, ambos 
os termos serão racionalizados simultaneamente. Isto é, se 
6x u
, então implica que 
5dx 6u du
, 
23 x u
 e 
3x u
. Assim, 
5 3
2
2 33
dx 6u 6u 1
du du 6 u u 1 du
1 u 1 ux x u u
 
      
       
 
2 3 216 u u 1 du 2u 3u 6u 6ln 1 u C
1 u
 
         
 
 
 
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2 
Como 
6u x
, então, pode-se escrever 
3 6 6
3
dx
2 x 3 x 6 x 6ln 1 x C
x x
     

 
 
Exemplo 3. Calcule 
x1 e dx
. 
 
Solução. Para racionalizar o integrando, faz-se a seguinte mudança de variável 
2 xu 1 e 
, o 
que implica em 
xu 1 e 
. Em seguida, resolvendo a equação para 
x
, obtém-se 
 2x ln 1 u 
, o que implica em 
2
2u
dx du
1 u


. Assim, 
2
x
2 2
2u 2u 1 1
1 e dx u du du 2 du
u 1 u 11 u u 1
   
       
        
 
1 1 u 1
2 du 2u ln u 1 ln u 1 C 2u ln C
u 1 u 1 u 1
 
           
   
 
Como 
xu 1 e 
, pode-se concluir que 
x
x x
x
1 e 1
1 e dx 2 1 e ln C
1 e 1
 
    
 

 
 
Exemplo 4. Calcule 
3 4cos
dx
senx x
. 
 
Solução. Para converter o integrando em uma função racional em 
u
 faz-se o seguinte 
x
u tg , x
2
 
     
 
 
Dessa forma, é possível escrever 
 
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3 
2
2
x 1 1 1
cos
x2 x 1 usec 1 tg
2 2
 
   
           
 
e 
2
x x x u
sen cos tg
2 2 2 1 u
     
       
      
 
Em seguida, pode-se concluir que 
22 2
x x u 1 2u
senx 2sen cos 2
2 2 1 u1 u 1 u
   
     
     
 
e 
2 2
2
2 2
22 2
1 u 1 u
cos x cos x sen x
1 u1 u 1 u
    
       
        
 
De 
x
u tg
2
 
  
 
, é possível expressar 
x 2arctgu
, implicando em 
2
2
dx du
1 u


. 
Assim, em resumo, se um integrando é uma expressão racional em senos e cossenos, então a 
substituição 
2
2u
senx
1 u


, 2
2
1 u
cos x
1 u



 e 
2
2
dx du
1 u


 
onde 
x
u tg
2
 
  
 
, converterá o integrando em uma expressão racional de 
u
. 
Logo 
2
2 22
2 2
2
du
dx 2 11 u du du
3senx 4cos x 4u 6u 4 2u 3u 22u 1 u
3 4
1 u 1 u
  
       
         
    
  2
1 1 2 5 1 5 1 1
du du du ln 2u 1 ln u 2 C
2u 1 u 2 2u 1 u 2 5 52u 3u 2
 
        
        
 
2
1 1 2u 1
du ln C
5 u 22u 3u 2

 
 
 
 
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Como 
x
u tg
2
 
  
 
, pode-se então concluir que 
x
2tg 1
dx 1 2
ln C
x3senx 4cos x 5
tg 2
2
 
 
  
  
 
 
