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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I Aula 12: Cálculo de volumes: revolução Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO CÁLCULO DE VOLUMES: REVOLUÇÃO 1 PRÓXIMOS PASSOS Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Sólidos de revolução: obtido por meio da rotação de uma área plana em torno de um eixo. Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Sólidos de revolução: obtido por meio da rotação de uma área plana em torno de um eixo. Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Sólidos de revolução: obtido por meio da rotação de uma curva em torno de um eixo. Note que qualquer seção transversal do sólido gerado é um círculo com raio igual a f(x) Função que fornece a área da seção transversal 𝑽 = 𝑨(𝒙)𝒅𝒙 𝒃 𝒂 Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Sólidos de revolução: Como calcular o volume? Função que fornece a área da seção transversal 𝐴 𝑥 = 𝜋𝑥2 Cálculo do volume 𝜋𝑥2𝑑𝑥 = 𝜋 4 0 𝑥3 3 4 0 = 64 3 𝜋 f(x) = x Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Função que fornece a área da seção transversal 𝐴 𝑦 = 𝜋𝑦2 Cálculo do volume 𝜋𝑦2𝑑𝑥 = 𝜋 4 0 𝑦3 3 4 0 = 64 3 𝜋 f(x) = x Sólidos de revolução: Como calcular o volume? Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Calcule o volume do sólido gerado pela revolução de 𝒇 𝒙 = 𝒙 (entre 0 e 4) em x Função que fornece a área da seção transversal 𝐴 𝑥 = 𝜋 𝑥 2 = 𝜋𝑥 Cálculo do volume 𝜋𝑥𝑑𝑥 = 𝜋 4 0 𝑥2 2 4 0 = 16 2 𝜋 = 8𝜋 𝑢. 𝑣. xxf )( Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Calcule o volume do sólido gerado pela revolução de 𝒇 𝒙 = 𝒙 (entre 0 e 4) em y Função que fornece o raio do círculo 𝑓 𝑦 = 𝑦2 Função que nos fornece a área da seção 𝐴 𝑦 = 𝜋𝑦2 2 = 𝜋𝑦4 Cálculo do volume 𝜋𝑦4𝑑𝑦 = 𝜋 2 0 𝑦5 5 2 0 = 32 5 𝜋 𝑢. 𝑣. Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Sólidos de revolução mais complexos Sólido de revolução em torno do eixo x gerado pela região delimitada pelas funções 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏 e 𝐠 𝒙 = 𝟓 5)( xg 1)( 2 xxf Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Sólidos de revolução mais complexos 5)( xg 1)( 2 xxf Sólido de revolução em torno do eixo x gerado pela região delimitada pelas funções 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏 e 𝐠 𝒙 = 𝟓 Como definir o volume? O volume final será obtido pela diferença entre o volume gerado por g(x) e f(x). Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Como definir o volume? O volume final será obtido pela diferença entre o volume gerado por g(x) e f(x) Quais os limites? Sólidos de revolução mais complexos 5)( xg 1)( 2 xxf Serão definidos pela interseção entre g(x) e f(x). Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Quais os limites? Serão definidos pela interseção entre g(x) e f(x) Igualando as funções 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟓 Portanto 𝑥 = ±2 Cálculo do volume 𝑉 = 𝜋52𝑑𝑥 − 𝜋(𝑥2 + 1)2𝑑𝑥 2 −2 2 −2 Sólidos de revolução mais complexos 5)( xg 1)( 2 xxf Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Cálculo do volume 𝑉 = 𝜋52𝑑𝑥 − 𝜋(𝑥2 + 1)2𝑑𝑥 2 −2 2 −2 𝑉 = 25𝜋 𝑑𝑥 − 𝜋 𝑥4 + 2𝑥2 + 1𝑑𝑥 2 −2 2 −2 Sólidos de revolução mais complexos 5)( xg 1)( 2 xxf Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Cálculo do volume 𝑉 = 25𝜋𝑥 2 −2 − 𝜋( 𝑥5 5 + 2𝑥3 3 + 𝑥) 2 −2 𝑉 = 25𝜋𝑥 2 −2 − 𝜋( 𝑥5 5 + 2𝑥3 3 + 𝑥) 2 −2 𝑉 = 100𝜋 − 2( 32𝜋 5 + 16𝜋 3 + 2𝜋) Sólidos de revolução mais complexos 5)( xg 1)( 2 xxf Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Cálculo do volume 𝑉 = 100𝜋 − 2( 32𝜋 5 + 16𝜋 3 + 2𝜋) 𝑉 = 𝜋 100 − 64 5 − 32 3 − 4 𝑉 = 𝜋 15 1500 − 192 − 160 − 60 𝑉 = 1008𝜋 15 u.v Sólidos de revolução mais complexos 5)( xg 1)( 2 xxf Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO Construir sólidos de revolução não costuma ser tarefa fácil e exige certa habilidade. O uso do GeoGebra poderá ajuda-lo(a) e muito nesta tarefa. www.geogebra.org . Dicas, textos, vídeos e cursos: Assuntos da próxima aula: 1. Cálculo de comprimento de curvas planas.
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