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CÁLCULO IV Profa. Ana Lucia de Sousa Aula 1: Integrais Múltiplas Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Conteúdo programático Integrais múltiplas Integral Dupla Definição Interpretação Geométrica da Integral Dupla Resolução da Integral Dupla Propriedades Teorema de Fubine Integrais Dupla sobre regiões mais gerais Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Integrais Múltiplas Objetivos da aula: Conhecer e Calcular as Integrais Duplas Interpretação geométrica da integral dupla Conhecer suas propriedades Conhecer o Teorema de Fubine Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Integral Definida Definição: Seja f uma função definida ao menos no intervalo fechado [a,b]. Então a área com sinal sob o gráfico de f entre x=a e x=b é denotada por Portanto, podemos escrever, Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Acrescentando mais um símbolo de integral a esta aprendida anteriormente. Agora ela recebe o nome de integral dupla. Integral dupla → Vamos denotar f(x,y) por z = f(x,y) Exemplo: Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Interpretação Geométrica da Integral Dupla Considere uma função real z = f(x,y) definida e contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d]. O retângulo R pode ser escrito como: R = { (x,y) 2| a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d } Ambas as notações podem ser usadas, pois estão descrevendo a mesma região. Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Integral definida → Área da função y = f(x) no intervalo [a,b] e geometricamente seria descrita por: Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Agora vamos analisar a integral dupla. z= f(x,y) é uma superfície situada acima do retângulo R. A região que se formará no espaço chamaremos de W e será definida pelo retângulo R e os quatro planos x = a, x = b, y = c e y = d Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS A região W define um volume. Ele será chamado de volume de integral dupla de f sobre R, denotado por: Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Exemplo Se f(x,y) = 1 - x e R = [0,1] x [0,1]. A região R será definida pelos pontos: f(x,y) no ponto x = 0, y = 0 será f(x,y) = 1. Então teremos o ponto (0,0,1). f(x,y) no ponto x = 0, y = 1 será f(x,y) = 0. Então teremos o ponto (0,1,0). f(x,y) no ponto x = 1, y = 0 será f(x,y) = 0. Então teremos o ponto (1,0,0). f(x,y) no ponto x = 1, y = 1 será f(x,y) = 0. Então teremos o ponto (1,1,0). Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Observe nas figuras abaixo que a função f(x,y) é o plano vermelho e a região R. Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Cálculo da Integral Dupla Resolvendo a primeira integral dupla Seja f(x,y) = 1 – x e R = [0,1] x [0,1]. Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Resolver primeiro a integral mais interna Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Resolver agora a segunda integral a partir do resultado da primeira. Portanto, Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Definição da integral dupla através do método das somas de Riemann. Seja z = f(x,y) definida numa região fechada e limitada R do plano xy. Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Agora vamos considerar os retângulo Rk contidos na região R e enumerados de 1 a n. Em cada retângulo Rk vamos escolher um ponto (xk,yk). (xk,yk) Rk A área de cada retângulo Rk será dada por ∆Ak = ∆xk . ∆yk Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Agora veja: z = f(xk,yk) (xk,yk) A área do retângulo Rk : ∆Ak = ∆xk . ∆yk Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Agora podemos formar a seguinte soma: A partir dela temos: Se o limite existe, então chamamos integral dupla de f(x,y) sobre a região R. Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Quanto mais particionamos a região R mais próximos ao volume real de f(x,y) chegaremos. Observe as figuras abaixo: Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Chamada de Soma de Riemann de z = f(x,y) sobre R. Quando z = f(x,y) ≥ 0, a integral dupla é interpretada como um volume. A soma de Riemann representa uma aproximação do volume da porção do espaço compreendido abaixo do gráfico de z = f(x,y) e acima da região R do plano xy. Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Portanto, quando f(x,y) ≥ 0, Temos o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f(x,y), e inferiormente pela região R. Teorema: Toda função contínua definida num retângulo R é integrável sobre R. Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Propriedades Linearidade Seja f e g funções integráveis num retângulo R e c1, c2 constantes reais. Então c1 f + c2 g é integrável sobre R. Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Monotonicidade Seja f e g funções integráveis num retângulo R e f(x,y) ≥ g(x,y), (x,y) , então: Ou seja, se conhecemos duas funções e uma é menor ou igual a outra, então esta propriedade será preservada na integral dupla. Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Aditividade Se o retângulo R é subdividido em n retângulos e se f é integrável sobre cada Ri, i =1, ..., n, então f é integrável sobre R, podemos escrever: Ou seja, se a função possui um conjunto de pontos de descontinuidade poderemos descrever f como uma união finita de gráficos de funções contínuas. A função f continuará a ser integrável sobre R. Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Se a região R é composta deduas sub-regiões R1 e R2 que não têm pontos em comum, excetos os pontos de suas fronteiras, então Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Teorema de Fubine Se z = f(x,y) é contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d], então a integral dupla de f sobre R pode ser obtida através de integrais iteradas, ou seja: O Teorema de Fubine é prático para o cálculo de integrais duplas através de duas integrações sucessivas de funções de uma variável. Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Exemplo Seja f(x,y) em R = [-1,1] x [0, π/2]. Podemos escrever: Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Exemplo Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Observação As integrais duplas surgiram para cálculo de volume, mas também podem ser usadas para calcular áreas. A integral dupla será escrita da seguinte forma: Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Integrais dupla sobre regiões mais gerais Vamos definir dois tipos de regiões: Região do tipo I y = f(x) y = g(x) Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Exemplo Use a integral dupla para calcular a área da região R limitada por y = x2 , y = 0 e x = 2. 2 4 0 y = x2 x y Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS 2 4 0 y = x2 x y Região do tipo I Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Região do tipo II y = f(x) y = g(x) Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Exemplo Use a integral dupla para calcular a área da região R limitada por y = x2 , y = 0 e x = 2. 2 4 0 y = x2 x y Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Exercício 1 Calcule onde R é a região do triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1). R (1,0) (0,1) y = -x + 1 Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Exercício 2 Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 – x – y, inferiormente pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. Vamos desenhar a região R, de acordo com as informações dadas. Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS Nesta Aula, você: Estudou as integrais duplas: definição e interpretação geométrica Conheceu suas propriedades Conheceu o Teorema de Fubine Aprendeu a resolver as integrais duplas Aula 1: Integrais Múltiplas CÁLCULO IV Aula 10: Operacionalização de Cruzeiros Marítimos OPERAÇÃO EM TRANSPORTES TURÍSTICOS AÉREOS E MARÍTIMOS () b a fxdx ò ò - = b a b f a f dx x f ) ( ) ( ) ( dy dx y x f b a d c ò ò ) , ( ( ) dy dx x xy y y ò ò - + 2 0 2 ò - = b a A A dx x f 2 1 ) ( dy dx y x f b a d c ò ò ) , ( òò òò R R dA y x f ou dxdy y x f ) , ( ) , ( ò ò ò ò - = 1 0 1 0 ) 1 ( ) , ( dxdy x dxdy y x f b a d c ò ò ò ò - = - 1 0 1 0 1 0 1 0 ) 1 ( ) 1 ( dy dx x dxdy x ò = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - = ú ú û ù - = - 1 0 2 2 1 0 2 2 1 2 0 0 2 1 1 2 ) 1 ( x x dx x ò = ÷ ø ö ç è æ × - ÷ ø ö ç è æ × = ú û ù = 1 0 1 0 2 1 0 2 1 1 2 1 2 1 2 1 y dy 2 1 ) 1 ( 1 0 1 0 = - ò ò dxdy x k k n k k A y x f D å = ). ( 1 , k k n k k n A y x f Lim D å = ¥ ® ). ( 1 , òò R dxdy y x f ) , ( [ ] ò ò ò ò òò + = = + R R R dxdy y x g c dxdy y x f c dxdy y x g c y x f c ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 ò ò òò ³ R R dxdy y x g dxdy y x f ) , ( ) , ( å ò ò òò = = n i R R i dxdy y x f dxdy y x f 1 ) , ( ) , ( ò ò ò ò òò + = 2 1 ) , ( ) , ( ) , ( R R R dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f ò ò ò ò òò ú ú û ù ê ê ë é = ú ú û ù ê ê ë é = d c b a b a d c R dy dx y x f dx dy y x f dA y x f ) , ( ) , ( ) , ( ò ò ò ò - - - = 1 1 2 0 2 0 1 1 ) , ( ) , ( p p dydx y x f dxdy y x f ( ) dxdy y x ò ò + 1 0 1 0 2 2 ( ) 3 2 3 1 3 1 3 1 1 . 3 1 3 3 1 3 1 1 . 3 1 3 3 1 0 3 1 0 2 1 0 1 0 2 3 1 0 1 0 2 3 1 0 1 0 2 2 = + = + = + = = ÷ ø ö ç è æ + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = + ò ò ò ò ò y y dy y dy y dy x y x dxdy y x ( ) dydx y x ò ò + 1 0 1 0 2 2 ( ) 3 2 3 1 3 1 1 . 3 1 3 1 . 3 1 3 3 1 3 1 1 . 3 3 1 0 3 1 0 2 1 0 1 0 3 2 1 0 1 0 3 2 1 0 1 0 2 2 = + = + = + = = ÷ ø ö ç è æ + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = + ò ò ò ò ò x x dx x dx x dx y y x dydx y x òò òò = = R R dA dA R de Área 1 b x a e x g y x f £ £ £ £ ) ( ) ( dx dy y x f b a x g x f ò ò ú ú û ù ê ê ë é ) ( ) ( ) , ( ï î ï í ì £ £ £ £ Þ î í ì £ £ £ £ 2 0 0 : ) ( ) ( : 2 x x y R b x a x g y x f R ò ò òò òò = = = 2 0 0 2 1 x R R dydx dydx dA R de Área ò ò = 2 0 0 2 x dx dy R de Área [ ] 2 2 0 0 2 x x y x = - = a u x dx x R de Área . 3 8 3 0 3 2 3 3 3 2 0 3 2 0 2 = - = ú ú û ù = = ò d y c e y g x y f £ £ £ £ ) ( ) ( dy dx y x f d c x g x f ò ò ú ú û ù ê ê ë é ) ( ) ( ) , ( y x = î í ì £ £ £ £ Þ î í ì £ £ £ £ 4 0 2 : ) ( ) ( : y x y R d x c x g x x f R ò ò = 4 0 2 y dy dx R de Área [ ] y x y - = 2 2 ( ) a u y y dy y R de Área . 3 8 3 16 8 8 . 3 2 8 64 3 2 8 4 3 2 4 . 2 3 2 2 2 3 4 0 3 4 0 = - = - = - = ÷ ø ö ç è æ - = = ú û ù - = - = ò ò R xydA a u resposta dxdy xy xydA R . 24 1 : Þ Þ ò ò ò î í ì £ £ - £ £ î í ì £ £ + - £ £ 1 0 1 0 : 1 0 1 0 : y y x R ou x x y R 2 1 4 1 + = x y òò - - = R dxdy y x V ) 4 ( ï î ï í ì £ £ + £ £ 2 0 2 1 4 1 0 : x x y R v u dx dy y x V x . 4 15 ) 4 ( 2 0 2 1 4 1 0 = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - = ò ò +
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