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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA Profª.: Dra. Selma Helena Marchiori Hashimoto Interpolação Polinomial Seja um conjunto de dados {xi, f(xi)} tal como na tabela abaixo: xi 0 1.5 3.0 4.5 6.0 f(xi) 0.001 0.016 0.028 0.046 0.057 O problema é estimar o valor de f(x) para um valor de x que não tenha sido medido, como por exemplo, x = 2.0, uma vez que não se conhece f(x). Portanto, interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi, f(xi)}, significa simplesmente, calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x). A interpolação polinomial consiste em se obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto de (n+1) dados {xi, f(xi)}, isto é: p(x0) = f(x0) p(x1)=f(x1) p(x2)=f(x2) (1) ... p(xn)=f(xn) (note que a contagem começa em zero, portanto temos n+1 pontos na expressão acima). O polinômio p(x) é chamado de polinômio interpolador. É possível se demonstrar que existe um único polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que passa por todos os (n+1) pontos do conjunto {xi, f(xi)} (ver o livro texto Cálculo Numérico para uma demonstração dessa proposição). Forma de Lagrange Seja um conjunto de n+1 dados {xi, f(xi)}. Um polinômio interpolador p(x) que satisfaça a condição (1), isto é, passe por todos os pontos, é: )()()()()()()( 1100 nn xfxLxfxLxfxLxp (2) onde os Lk(x) são polinômios tais que: 2 L xk i ki (3) sendo que: ikse ikse ki ,1 ,0 (4) Portanto, )()( )(0)(0)(1)( )()()()()()()( 00 100 01010000 xfxp xfxfxfxp xfxLxfxLxfxLxp n nn e, p x L x f x L x f x L x f x p x f x f x f x p x f x n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 ou seja: p x f xi i( ) ( ) o que mostra que o polinômio interpolador p(x) passa exatamente sobre os pontos {xi, f(xi)} da tabela dada. Falta encontrar os polinômios Lk(x), que satisfaçam (3). Uma função que satisfaz a condição (3) é: nkkikkikkk nkk k xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xL 1110 1110)( que é fácil verificar, pois: L x e L x se i k k k k i 1 0 , De maneira compacta, podemos escrever o polinômio interpolador na Forma de Lagrange, como: p x L x f xn i i i n 0 (5) e, n ij j ji n ij j j i xx xx xL 0 0 3 Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de retas (n = 1) xi x0 x1 f(xi) f(x0) f(x1) De (5): 1 0 1100 )().()().()().()( i ii xfxLxfxLxfxLxp (6) As funções Li(x) devem satisfazer (3), ou seja: L0 (x0) =1 L1 (x0) =0 L0 (x1) =0 L1 (x1) =1 (7) É fácil verificar que, as seguintes funções, satisfazem (7): 10 1 0 )( xx xx xL 01 0 1 )( xx xx xL (8) De (8) em (6) : 1 01 0 0 10 1 xf xx xx xf xx xx xp Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de parábolas (n=2) xi x0 x1 x2 f(xi) f(x0) f(x1) f(x2) De (5): 221100 2 0 xfLxfLxfLxfLxp i ii (9) onde: L0 (x0) =1 L1 (x0) =0 L2 (x0) =0 L0 (x1) =0 L1 (x1) =1 L2 (x1) =0 L0 (x2) =0 L1 (x2) =0 L2 (x2) =1 Por construção: 2010 21 0 xxxx xxxx L 2101 20 1 xxxx xxxx L 1202 10 2 xxxx xxxx L 4 Portanto: 2 1202 10 1 2101 20 0 2010 21)( xf xxxx xxxx xf xxxx xxxx xf xxxx xxxx xp Exemplo: Ajuste uma reta aos seguintes pontos: x 2 4 f(x) 3,1 5,6 1 01 0 0 10 1 xf xx xx xf xx xx xp 28.2455.16.5 24 2 1.3 42 4 xx xx xp 6.025.1 xxp Forma de Newton Para que possamos discutir a Forma de Newton temos que antes nos familiarizar com a construção da chamada “Tabela de Diferenças Divididas” Tabela de Diferenças Divididas Dada a tabela de valores: x x0 x1 x2 x3 f(x) f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) Pode-se construir a seguinte tabela: xi ixf 1, ii xxf 21,, iii xxxf 321 ,,, iiii xxxxf x0 0xf 10 , xxf x1 1xf 210 ,, xxxf 21, xxf 3210 ,,, xxxxf x2 2xf 321 ,, xxxf 32 , xxf x3 3xf 5 em que: 01 01 10 , xx xfxf xxf , 12 12 21, xx xfxf xxf , 23 23 32 , xx xfxf xxf 02 1021 210 ,, ,, xx xxfxxf xxxf , 13 2132 321 ,, ,, xx xxfxxf xxxf 03 210321 3210 ,,,, ,,, xx xxxfxxxf xxxxf Exemplo: Dados os seguintes valores: xi 0,1 0,4 0,7 1 1,2 f(xi) 0,813 0,536 0,682 1,25 1,864 a tabela de diferenças divididas é: xi ixf 1, ii xxf 21,, iii xxxf 321 ,,, iiii xxxxf 0,1 0,813 923,0 1,04,0 813,0536,0 0,4 0,536 350,2 1,07,0 923,0487,0 487,0 4,07,0 536,0682,0 008,0 1,01 350,2343,2 0,7 0,682 343,2 4,01 487,0893,1 893,1 7,01 682,025,1 014,0 4,02,1 343,2354,2 1 1,250 354,2 7,02,1 893,107,3 07,3 12,1 25,1864,1 1,2 1,864 4321 ,,,, iiiii xxxxxf = 02,0 1,02,1 ) 008,0(014,0 6 Forma de Newton para o Polinômio Interpolador Para calcular o polinômio interpolador da Forma de Newton, começaremos com o caso mais simples: encontrar um polinômio de grau 0, p0(x), que interpola f(x) no ponto x0. Vamos partir da diferença dividida f[x0,x], que é dada por: 0 0 0, xx xfxf xxf (10) Isolando-se f(x) da expressão acima, tem-se: 000 , xxxxfxfxf (11) Da própria definição de polinômio interpolador, sabe-se que: p0 (x) = f(x0) (12) Portanto, a expressão (11) pode ser escrita como: 000 , xxxxfxpxf (13) A expressão acima não pode ser usada diretamente, pois não podemos calcular o valor f[x0, x], já que não conhecemos o valor de f(x) em qualquer ponto x. Fora do ponto x0, sabe-se que o polinômio interpolador é apenas uma aproximação de f(x), caso contrário ter-se-ia uma resposta exata e não precisaríamos da interpolação. Em outras palavras, tem-se que: p0(x) f(x), para x x0 (14) Portanto,da expressão (14), concluímos que 00 , xxxxf é simplesmente a diferença entre o valor de f(x) (valor real da função) e o valor p0(x) que obtivemos com a interpolação. Em outras palavras, esse termo é o erro no processo de interpolação, isto é: 0000 , xxxxfxpxfxE (15) Pode ser feita a mesma coisa partindo de uma diferença dividida de ordem maior, ou seja f[x0,x1,x], que é dada por: 01 0100 10 1 01 0 0 1 010 0110 , ,, , ,, ,,,, xxxx xxfxxxfxf xxxf xx xxf xx xfxf xx xxfxxf xxxfxxxf (16) Portanto, tem-se que: xxxfxxxxxxfxxxfxf ,,, 10010100 (17) xxxfxxxxxxfxxxfxf ,,, 10011000 (18) Podemos verificar que o polinômio interpolador de ordem 1, p1(x), é dado por: 10001 , xxfxxxfxp (19) 7 pois, 01000001 , xfxxfxxxfxp (20) e 1 01 01 0101001011 , xf xx xfxf xxxfxxfxxxfxp (21) que são as condições fundamentais para se encontrar tal polinômio. Portanto, o erro cometido ao se aproximar f(x) por p1(x) é: xxxfxxxxxE ,, 10101 (22) Podemos continuar indefinidamente, até encontrarmos o polinômio interpolador de uma ordem n qualquer, aplicando sempre o mesmo raciocínio. A expressão geral para um polinômio interpolador de ordem n será então: nn n xxxfxxxxxx xxxfxxxxxxfxxxfxp ,,, ,,, 10110 210101000 (23) e o erro é dado por: xxxxfxxxxxxxE nnn ,,,, 1010 (24) Exemplo: Dada a tabela, encontre o polinômio interpolador p(x) usando a forma de Newton. x 0,2 0,5 0,9 1,5 2,0 f(x) 4,88 5,00 5,72 8,00 11,00 xi f(xi) f[xi , xi+1] f[xi , xi+1, xi+2] 0,2 4,88 4,0 2,05,0 88,400,5 0,5 5,00 2 2,09,0 4,08,1 8,1 5,09,0 00,572,5 0,9 5,72 2 5,05,1 8,18,3 8,3 9,05,1 72,500,8 1,5 8,00 2 9,00,2 8,30,6 2,0 11,00 0,6 5,10,2 00,800,11 0 0 8 Usando (23): Note que usando a forma de Newton, p(xi) = f(xi) 5.4 Exercícios 1. Calcule o polinômio interpolador de Lagrange de grau no máximo 1 e 2 para as funções abaixo, com �� = 0, �� = 0,6 e �� = 0,9. Utilize o polinômio para aproximar o valor de �(0,45) e calcule o erro absoluto. Resposta: 2. Seja ��(�) o polinômio interpolador de Lagrange do conjunto de dados {(0, 0), (0.5, y), (1, 3), (2, 2)}. O coeficiente de �� é 6. Calcule o valor de y. (resposta: y = 4.25) 3. Resolva o exercício anterior com o polinômio interpolador de Newton. 52)( 2,04,0208,04,088,4)( 2).1,02,05,0(08,04,088,4)( 2).5,0).(2,0(4,0).2,0(88,4)( 2 2 2 xxxp xxxxxp xxxxxp xxxxp 9 4. A seguinte tabela informa o número de carros que passam por um determinado pedágio em um determinado dia: Horário 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 Número (em mil) 2.69 1.64 1.09 1.04 1.49 2.44 a) Faça um gráfico de horário vs. número de carros para verificar qual a tendência da curva. b) Estime o número de carros que passariam pelo pedágio às 11:10, usando a forma de Lagrange para encontrar um polinômio interpolador p(x) que estima o número de carros em função do tempo. 5. Na fabricação de determinadas cerâmicas é muito importante saber as condições de temperatura em que o produto foi assado no forno. Como não é possível medir a temperatura do forno a todo instante, ela é medida em intervalos periódicos de tempo e esses dados são interpolados para o instante em que cada peça foi “queimada” a fim de se conhecer a temperatura do forno nesse instante. Em um dia de funcionamento do forno, os seguintes dados foram coletados: Horário 7:00 10:00 13:00 16:00 19:00 21:00 Temperatura (102 oC) 2.32 2.51 2.63 2.55 2.41 2.28 a) Construa a tabela de diferenças divididas para esses pontos. b) Estime a temperatura do forno ás 14:30 usando a forma de Newton.
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