ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - CALCULO NUMERICO

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y 
x 
ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
Nome Completo: Amilton Marcos D Silva 
Matrícula: 01417109 
Curso: Engenharia Civil 
 
INTRODUÇÃO 
Onde: 
 
 
an , an–1 , ⋯ , a1e a0 são os coeficientes do EOLINÔNIO Os exeoentes são CONEOSTOS eor 
NÚNERO naturais. 
Fale resaltar que o grau de um polinômio é definito pelos expoentes da parte 
variaveis, ou seja, soma-se os expoentes das letras que compõem cada termo e 
a maior soma será seu grau. 
• Função Polinôminal de 1º grau (função afim). 
f(x) = ax + b 
O gráfico SENERE será UNA reta 
 
y 
x 
y 
x 
• Função Polinôminal de 2º grau (função quadratica) 
f(x) = ax2 + bx + c 
O gráfico SENERE será earábola 
 
 
• Função Polinôminal de 3º grau (função cúbica) 
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d 
O gráfico é conhecido CONO cúbica 
 
 
 
 
OBJETIVO. 
Nesta atividade, vamos aprender a definição do Método de Gregory – Nenton e 
Lagrange o conceito de interpolação polinominais que são as estimativas de 
pontos intermediários a partir de dados precisos e o uso pratico com a resolução 
de um problema hipotético. 
y 
a>0 
x 
y 
a0 , ou a 0, a parábola irá cortar o eixo Y acima da origem; 
Se c0, a partir do ponto de corte do eixo Y a curvatura da parábola irá subir; 
Se b = 0, após o ponto de corte não haverá inclinações. 
A resolução de funções quadráticas, também conhecidas como funções 
polinomiais têm o intuito de facilitar os cálculos utilizam a interpolação de pontos 
que não são dados. Existem várias maneiras de interpolação de polinômio. 
Vamos comentar e resolver três dessas maneiras. 
A primeira e mais fácil diz respeito a interpolação quadrática muito utilizada em 
vários problemas e necessita de três pontos para sua constituição e após seu 
resultado obtém-se o polinômio desejado. 
a1 x0 + a0 = y0 
{a1 x1 + a0 = y1 
O processo para resolver consiste basicamente em isolar uma variável, 
encontrar seu valor e substituir no polinômio para descobrir a outra variável. 
Em casos que este procedimento não é possível utilizamos outros dois, como o 
método de Lagrange e o método Newton-Gregory. 
O método de Lagrange que aparentemente se apresenta de forma complicada, 
mas que na verdade é apenas um pouco mais trabalhoso, oferece a alternativa 
de calcular o polinômio que passa por três pontos utilizando funções distintas. 
P2(x) = L0 . f(s0) + L1 . f(s1) + L2 . f(s2) 
A terceira maneira o método Newton-Gregory é usada apenas se os pontos 
de xi forem igualmente espaçados, ou seja, a diferença entres eles forem 
constante. Outra característica é que permite passar de um polinômio de 
grau p para um polinômio de grau p + 1, adicionando um termo ao polinômio de 
grau p. 
xk yk ∆1yk ∆2yk ∆3yk 
x0 y0 
 ∆1y0 = y1 — y0 
x1 y1 ∆2y0 = ∆1y1 — ∆1y0 
 ∆1y1 = y2 — y1 ∆3y0 = ∆2y1 — ∆2y0 
x2 y2 ∆2y1 = ∆1y2 — ∆1y1 
 ∆1y2 = y3 — y2 
x3 y3 
 
Sua resolução consiste inicialmente em efetuar as diferenças ordinárias e o 
resultado ser utilizado na 
x — x0 
z = 
h
 
 
P (x) = y + z∆1y + 
z(z — 1) 
∆2y
 
 
 + 
z(z — 1)(z — 2) 
∆3y
 
 
 
n 0 0 2! 0 3! 0 
 
No exército abaixo, iremos resolver usando as três opções para analisar quais 
são possíveis, e qual a melhor. 
 
 
Exercício. 
Um engenheiro responsável pelo projeto de duplicação de uma avenida em uma 
cidade hipotética implantou um aparelho no local capaz de mensurar, por hora, 
a quantidade de carros que se moviam pela avenida. Os dados referentes a tal 
medição, no decorrer de um dia, estão dispostos na tabela a seguir. 
 
 
 
 
Hora 
 
Carros 
 
Hora 
 
Carros 
0h 5 12h 28 
1h 4 13h 17 
2h 0 14h 8 
3h 0 15h 10 
4h 3 16h 14 
5h 5 17h 19 
6h 9 18h 22 
7h 12 19h 10 
8h 20 20h 11 
9h 12 21h 9 
10h 5 22h 9 
11h 10 23h 4 
De maneira a facilitar a determinação da quantidade de veículos para qualquer 
horário que seja necessário, o engenheiro responsável optou por encontrar um 
polinômio interpolador, isto é, uma função que seja gerada de modo a relacionar 
os dados. 
No entanto, interpolar 24 dados numéricos seria uma tarefa muito árdua e 
trabalhosa, por isso, o engenheiro optou por utilizar três pontos relacionados ao 
horário compreendido entre 16h e 18h e, assim obter um polinômio quadrático. 
Conforme estudamos nas unidades, um polinômio quadrático, também chamado 
de função quadrática ou função polinomial de 2º grau, pode ser expressa em um 
gráfico, levando a curva da parábola. 
PROPOSTA DE ATIVIDADE 
Com base no contado no enunciado, determine a relação matemática que 
representa o polinômio solicitado. 
 
 
Interpolação Quadrática – Sistema Linear 
P2(x) = ax2 + bx + c 
 
 
Hora 
 
Carros 
16h 14 
17h 19 
18h 22 
 
a. 162 + b. 16 + c = 14 
{a. 172 + b. 17 + c = 19 
a. 182 + b. 18 + c = 22 
a. 256 + b. 16 + c = 14 
↔ {a. 289 + b. 17 + c = 19 a. 324 + b. 18 
+ c = 22 
256a + 16b + c = 14 (1) 
{289a + 17b + c = 19 (2) 324a + 18b + c 
= 22 (3) 
Agora vamos diminuir o sistema (2) – (1) 
289a + 17b + c = 19 (2) 
{
256a + 16b + c = 14 (1) 
{33a + b = 5 
Agora vamos diminuir o sistema (3) – (2) 
324a + 18b + c = 22 (3) 
{
289a + 17b + c = 19 (2) 
{35a + b = 3 
Temos um novo sistema 
{
35a + b = 3 33a + 
b = 5 
{2a = —2 
a = — 
2
 
2 
 
↔ a = — 1 
Substituindo o valor de “a” na 1ª equação vamos encontrar o valor de “b” 
33a + b = 5 
33 . (—1) +b = 5 
—33 + b = 5 
b = 5 + 33 ↔ b = 38 
Agora que temos os valores de “a” e “b”, vamos substituir na equação inicial para 
encontrar o valor de “c”. 
 
 
O valor de a = -1 e b = 38 
{256a + 16b + c = 14 
 
 
256 . (—1) + 16 . 38 + c = 14 
—256 + 608 + c = 14 
352 + c = 14 
c = 14 — 352 ↔ c = —338 
Agora é só substituir os valores de “a”, “b” e “c” na formula geral da interpolação 
quadrática. 
P2(x) = ax2 + bx + c a = —1 
b = 38 
c = —338 
P2(x) = —x2 + 38x — 338 
Interpolação Polinomial – Método de Lagrange 
P2(x) = L0 . f(s0) + L1 . f(s1) + L2 . f(s2) 
Onde: 
(x — x1) . (x — x2) 
L0 = 
(x0 — x1) . (x0 — x2) 
(x — x0) . (x — x2) 
L1 = 
(x1 — x0) . (x1 — x2) 
(x —x0) . (x — x1) 
L2 = 
(x2 — x0) . (x2 — x1) 
 
Hora 
 
Carros 
16h x0 14 f(s0) 
17h x1 19 f(s1) 
18h x2 22 . f(s2) 
 
Resolvendo agora o L0 
L = 
(x — x1) . (x — x2) 
=
 
0 (x0 — x1) . (x0 — x2) 
 
 
(x — 17) . (x — 18) 
(16 — 17) . (16 — 18) 
=
 
x2 — 35x + 306 
 
 
x2 — 18x — 17x + 306 (—1) . 
(—2) 
 
Pegamos agora o L1 
L0 = 
2
 
L1 = 
(x — x0) . (x — x2) 
=
 
(x1 — x0) . (x1 — x2) 
(x — 16) . (x — 18) 
=
 
(17 — 16) . (17 — 18) 
x2 — 34x + 288 
x2 — 18x — 16x + 288 (1) . (—
1) 
 
Por último o L2 
L1 = 
1
 
L2 = 
(x — x0) . (x — x1) 
=
 
(x2 — x0) . (x2 — x1) 
(x — 16) . (x — 17) 
=
 
(18 — 16) . (18 — 17) 
x2 — 33x + 272 
x2 — 17x — 16x + 272 2 
L2 = 
2
 
Vamos pegar a função principal e substituir os valores de “L” e “f(x)” 
P2(x) = L0 . f(s0) + L1 . f(s1) + L2 . f(s2) 
( ) 
x2 — 35x + 306 
 
 
x2 — 34x + 288 
 
 
x2 — 33x + 272 
 
P2 x = ( 
2 
) 14 + ( 
—1 
) 19 + ( 
2 
) 22 
 
P2(x) = (x2 — 35x + 306)7 + (x2 — 34x + 288)(—19) + (x2 — 33x + 272)11 P2(x) = 7x2 — 245x + 2142 — 19x2 + 646x — 
5472 + 11x2 — 363x + 2992 P2(x) = 7x2 — 19x2 + 11x2 — 245x + 646x — 363x + 2142 — 5472 + 2992 P2(x) = —x2 + 
38x — 338 
x 
16 
Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 
5 
17 19 -2 
3 
18 22 
14 
Interpolação Polinomial – Método de Newton-Gregory 
 
 
 
 
Hora 
 
Carros 
16h 14 
17h 19 
18h 22 
 
Inicialmente vamos construir a tabela com os valores de x e y e as diferenças 
ordinárias. 
 
 
 
 
O valor de h é obitido pela diferença dos termos x1 – x0 
h = x1 — x0 
h = 17 — 16 ↔ h = 1 
 
 
x — x0 
z = 
h 
x — 16 
z = 
1 
↔ z = x — 16 
Agora é só subistituir no poçinômio os valores encontrados 
 
P (x) = y + z∆1y + 
z(z — 1) 
∆2y
 
 
 + 
z(z — 1)(z — 2_ 
∆3y
 
 
 
n 0 0 2! 0 3! 0 
P (x) = 14 + (x — 16)5+ 
(x — 16)(x — 16 — 1) 
(—2) 
n 
 
 
Pn(x) 
 
= 14+ 5x — 80+ 
2! 
x2 — 33x + 272 
2! 
(—2) 
Pn(x) = 14+ 5x — 80— x2 + 33x — 272 Pn(x) = — x2 + 
38x — 338 
y 
a