CÁLCULO CARLINHOS

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CÁLCULO – LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
 
1-6. Determine uma equação do plano tangente à superfície no 
ponto especificado. 
1. z = 3y
2
 – 2x
2
 + x; (2, – 1, – 3) 
z = f(xO, yO); xO = 2, yO = – 1 e zO = – 3: 
 dz 
 dx 
 = – 4x + 1 
 dz 
 dx 
 = – 4 . 2 + 1 = – 8 + 1 
 dz 
 dx 
 = – 7 
 dz 
 dy 
 = 6y 
 dz 
 dy 
 = 6 . (– 1) 
 dz 
 dy 
 = – 6 
 
Equação do plano tangente à superfície: 
z – zO = 
 dz 
 dx 
 . (x – xO) + 
 dz 
 dy 
 . (y – yO) 
z – (– 3) = – 7 . (x – 2) + (– 6) . [y – (– 1)] 
z + 3 = – 7x + 14 – 6 . [y + 1] 
z + 3 = – 7x + 14 – 6y – 6 
z = – 7x – 6y + 14 – 6 – 3 
z = – 7x – 6y + 5 
 
2. z = 3(x – 1)
2
 + 2(y + 3)
2
 + 7; (2, – 2, 12) 
z = f(xO, yO); xO = 2, yO = – 2 e zO = 12: 
 dz 
 dx 
 = 6(x – 1) . 1 = 6x – 6 
 dz 
 dx 
 = 6 . 2 – 6 = 12 – 6 
 dz 
 dx 
 = 6 
 dz 
 dy 
 = 4(y + 3) . 1 = 4y + 12 
 dz 
 dy 
 = 4 . (– 2) + 12 = – 8 + 12 
 dz 
 dy 
 = 4 
 
Equação do plano tangente à superfície: 
z – zO = 
 dz 
 dx 
 . (x – xO) + 
 dz 
 dy 
 . (y – yO) 
z – 12 = 6 . (x – 2) + 4 . [y – (– 2)] 
z – 12 = 6x – 12 + 4 . [y + 2] 
z – 12 = 6x – 12 + 4y + 8 
z = 6x + 4y – 12 + 8 + 12 
z = 6x + 4y + 8 
 
3. z = √xy = xy 
 1 
 2 ; (1, 1, 1) 
z = f(xO, yO); xO = 1, yO = 1 e zO = 1: 
 dz 
 dx 
 = y 
 1 
 2 
 dz 
 dx 
 = 1 
 1 
 2 
 dz 
 dx 
 = 1 
 dz 
 dy 
 = 
 1 
 2 xy 
 1 
 2 
 ‒ 1 = 
 1 
 2 xy 
‒ 
 1 
 2 
 dz 
 dy 
 = 
 1 
 2 . 1 . 1 
‒ 
 1 
 2 = 
 1 
 2 . 1 
 dz 
 dy 
 = 
 1 
 2 
 
Equação do plano tangente à superfície: 
z – zO = 
 dz 
 dx 
 . (x – xO) + 
 dz 
 dy 
 . (y – yO) 
z – 1 = 1 . (x – 1) + 
 1 
 2 . (y – 1) 
z – 1 = x – 1 + 
 y 
 2 – 
 1 
 2 
z = x + 
 y 
 2 – 1 – 
 1 
 2 + 1 
z = x + 
 y 
 2 – 
 1 
 2 
 
4. z = xe
xy
; (2, 0, 2) 
z = f(xO, yO); xO = 2, yO = 0 e zO = 2: 
 dz 
 dx 
 = 1 . e
xy
 + x . ye
xy
 
 dz 
 dx 
 = (1 + xy)e
xy
 
 dz 
 dx 
 = (1 + 2 . 0)e
2 . 0
 
 dz 
 dx 
 = (1 + 0)e
0
 = 1 . 1 
 dz 
 dx 
 = 1 
 dz 
 dy 
 = x . xe
xy
 = x
2
e
xy
 
 dz 
 dy 
 = 2
2
 . e
2 . 0
 = 4 . e
0
 
 dz 
 dy 
 = 4 . 1 
 dz 
 dy 
 = 4 
 
Equação do plano tangente à superfície: 
z – zO = 
 dz 
 dx 
 . (x – xO) + 
 dz 
 dy 
 . (y – yO) 
z – 2 = 1 . (x – 2) + 4 . (y – 0) 
z – 2 = x – 2 + 4y 
z = x + 4y – 2 + 2 
z = x + 4y 
 
5. z = xsen(x + y); (– 1, 1, 0) 
z = f(xO, yO); xO = – 1, yO = 1 e zO = 0: 
 dz 
 dx 
 = 1 . sen(x + y) + xcos(x + y) . 1 
 dz 
 dx 
 = sen(x + y) + xcos(x + y) 
 dz 
 dx 
 = sen(– 1 + 1) + (– 1)cos(– 1 + 1) 
 dz 
 dx 
 = sen 0 – cos 0 = 0 – 1 
 dz 
 dx 
 = – 1 
 dz 
 dy 
 = xcos(x + y) . 1 
 dz 
 dy 
 = xcos(x + y) 
 dz 
 dy 
 = – 1 . cos(– 1 + 1) 
 dz 
 dy 
 = – cos 0 
 dz 
 dy 
 = – 1 
 
Equação do plano tangente à superfície: 
z – zO = 
 dz 
 dx 
 . (x – xO) + 
 dz 
 dy 
 . (y – yO) 
z – 0 = – 1 . [x – (– 1)] + (– 1) . (y – 1) 
z = – 1 . [x + 1] – y + 1 
z = – x – 1 – y + 1 
z = – x – y 
 
 
 
 
 
 
 
6. z = ln(x – 2y); (3, 1, 0) 
z = f(xO, yO); xO = 3, yO = 1 e zO = 0: 
 dz 
 dx 
 = 
 1 
 x ‒ 2y 
 dz 
 dx 
 = 
 1 
 3 ‒ 2 . 1 = 
 1 
 3 ‒ 2 
 dz 
 dx 
 = 
 1 
 1 
 dz 
 dx 
 = 1 
 dz 
 dy 
 = 
 ‒ 2 
 x ‒ 2y 
 dz 
 dy 
 = 
 ‒ 2 
 3 ‒ 2 . 1 = 
 ‒ 2 
 3 ‒ 2 
 dz 
 dy 
 = 
 ‒ 2 
 1 
 dz 
 dy 
 = – 2 
 
Equação do plano tangente à superfície: 
z – zO = 
 dz 
 dx 
 . (x – xO) + 
 dz 
 dy 
 . (y – yO) 
z – 0 = 1 . (x – 3) + (– 2) . (y – 1) 
z = x – 3 – 2y + 2 
z = x – 2y – 1